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江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2024春 潼南区期中）在，，0.3，，，，0，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2分）（2023秋 保亭县校级期中）如图，已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，且∠C＝70°，∠ABD＝30°，则∠BAD的度数是（　　）
A．80° B．60° C．30° D．不能确定
3．（2分）（2024春 安次区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC﹣BC＝3cm，AB＝7cm，则Rt△ABC的面积为（　　）
A．40cm2 B．30cm2 C．20cm2 D．10cm2
4．（2分）（2024秋 长子县期末）如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　）
A． B．3 C． D．4
5．（2分）（2023秋 濮阳期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
6．（2分）（2024秋 卧龙区期中）三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是（　　）
A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD
B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
7．（2分）（2022秋 天山区校级期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D．PC＝10，则PD的长度是（　　）
A．2.5 B．4 C．6 D．5
8．（2分）（2022秋 西青区校级期末）如图，等边三角形ABC的边长为2，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1．若D为线段BC1上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）（2024春 张店区校级月考）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数x时，输出的数比x的平方小1，若输入，则输出的数是 　 　 ．
10．（2分）（2023秋 白银区期末）若直角三角形的三边长分别为6，8，x，则x的值是 　 　 ．
11．（2分）（2020秋 桐乡市校级期中）已知直角三角形两直角边为6与8，则它斜边上的中线长为 　 　 ．
12．（2分）（2024 香洲区二模）如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，CD＝AC＝2，连接AD，则AD的长为 　 　 ．
13．（2分）（2025春 遵义期末）在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）到y轴的距离是 　 　 ．
14．（2分）（2024 余姚市校级四模）等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以C为圆心，BC为半径作圆弧与△ABC的边交于点D．则∠BDC＝　 　 ．
15．（2分）（2024秋 岢岚县期中）如图，若△A′B′C′是由△ABC绕一定点按顺时针方向旋转而得，点A、B、C、A′、B′、C′都在方格纸的格点上，则旋转的角度为 　 　 ．
16．（2分）（2023秋 佳木斯期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，若PQ＝2，则BP的长为 　 　 ．
17．（2分）（2025春 海州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB．点E、F分别在边AC、BC上，∠EDF＝120°，当AD＝6，BD＝4时，则△ADE与△BDF的面积之和S为 　 　 ．
18．（2分）（2023秋 市南区校级月考）一直角三角形的一条直角边长为12cm，斜边长为13cm，则此三角形的面积为 　 　 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2024春 青秀区校级月考）解方程．
（1）2（x﹣1）2＝8；
（2）（y+1）3+27＝0．
20．如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF．
21．（2024春 振兴区校级期中）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明∠AED＝∠C．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠DFE（ 　 　 ）
∴AB∥EF（ 　 　 ），
∴∠3＝∠ADE（ 　 　 ）
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠B＝ 　 　 （等量代换），
∴DE∥BC（ 　 　 ）
∴∠C＝∠AED（ 　 　 ）
22．（2023秋 鼓楼区校级期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC关于直线m对称△A1B1C1；
（2）在直线m上作一点P，使得AP+CP的值最小；
（3）求△ABC的面积．
23．（2022秋 亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为点E，BD平分∠ABC．若∠ADB＝48°，求∠A的度数．
24．（2024春 大冶市期末）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？
25．（2024秋 莱州市期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE＝AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACB≌△DEF；
（2）若∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，求∠FCA的度数．
26．（2023春 抚州期中）如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝CN，请画出∠BAC的角平分线.
（2）如图②，△ABC和△ACD均为等边三角形，点E是AB的中点，请画出线段BC的垂直平分线．
27．（2025春 珠海期中）如图1，是我国汉代的赵爽用来证明“勾股定理”的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 　 　 和 　 　 ；
（2）若ab＝8，大正方形的边长c＝5，则小正方形的边长为 　 　 ；
[知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（3）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　 　 ；
（4）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2024春 潼南区期中）在，，0.3，，，，0，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，，
在，，0.3，，，，0，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）这些数中，无理数有，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1），共4个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2分）（2023秋 保亭县校级期中）如图，已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，且∠C＝70°，∠ABD＝30°，则∠BAD的度数是（　　）
A．80° B．60° C．30° D．不能确定
【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角性质得∠D＝∠C＝70°，然后在△ABD中由三角形内角和定理可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，
∴∠D＝∠C＝70°，
在△ABD中，∠D＝70°，∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝80°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
3．（2分）（2024春 安次区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC﹣BC＝3cm，AB＝7cm，则Rt△ABC的面积为（　　）
A．40cm2 B．30cm2 C．20cm2 D．10cm2
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2＝AB2＝100，再由AC﹣BC＝3cm，可得2AC BC＝40，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝7cm，
∴AC2+BC2＝AB2＝49，
∵AC﹣BC＝3cm，
∴（AC﹣BC）2＝9，即AC2+BC2﹣2AC BC＝9，
∴2AC BC＝49﹣9＝40，
∴，
即Rt△ABC的面积是10cm2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式变形求值，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
4．（2分）（2024秋 长子县期末）如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　）
A． B．3 C． D．4
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】直接根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【解答】解：∵每个小正方形的边长为1，
∴“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为：，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
5．（2分）（2023秋 濮阳期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．（2分）（2024秋 卧龙区期中）三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是（　　）
A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD
B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意可得BD＝CD，再利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，即可得解．
【解答】解：由题意可得：BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
综上所述，只有选项B推断∠BAD＝∠CAD，正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握．
7．（2分）（2022秋 天山区校级期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D．PC＝10，则PD的长度是（　　）
A．2.5 B．4 C．6 D．5
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
在Rt△PCE中，PEPC10＝5（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝5，
故选：D．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
8．（2分）（2022秋 西青区校级期末）如图，等边三角形ABC的边长为2，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1．若D为线段BC1上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】过B点作直线l垂直AA1，连接CA1交BC1于点E，C，A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝4．
【解答】解：连接CA1交BC1于点E，过B点作直线l垂直AA1，
∵直线l⊥AB，且△ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∴A，B，A1共线，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，
∴∠CBC1＝60°，
∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，
∴BD⊥CA1，CD＝DA1，
∴C，A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝4，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．（2分）（2024春 张店区校级月考）小王利用电脑设计了一个程序：当输入实数x时，输出的数比x的平方小1，若输入，则输出的数是 　17　 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】17．
【分析】根据题意列出等式，设输入的数为x，输出的数为y，则y＝x2﹣1，将代入即可．
【解答】解：设输入的数为x，输出的数为y，则y＝x2﹣1，
将代入得：．
故答案为：17．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键．
10．（2分）（2023秋 白银区期末）若直角三角形的三边长分别为6，8，x，则x的值是 　10或2　 ．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；分类讨论；运算能力．
【答案】10或2．
【分析】无法确定5与x的大小，就需要讨论（1）x＞8，则边长为x的边为斜边，根据勾股定理解x的值即可；（2）x＜8，则边长为8的边是斜边，根据勾股定理解x的值即可．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若6，8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
，62+82＝x2，所以x＝10，
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
62+x2＝82，所以x＝2，
所以第三边的长为10或2．
故答案为：10或2．
【点评】本题考查了分类讨论思想，考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中运用分类讨论思想是解题的关键．
11．（2分）（2020秋 桐乡市校级期中）已知直角三角形两直角边为6与8，则它斜边上的中线长为 　5　 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】由勾股定理求出直角三角形斜边的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可计算．
【解答】解：∵直角三角形两直角边为6与8，
∴直角三角形斜边的长10，
∴直角三角形斜边上的中线长为10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．（2分）（2024 香洲区二模）如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，CD＝AC＝2，连接AD，则AD的长为 　　 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据等边三角形的性质及三角形的外角定理分别求出AB＝2，BD＝4，∠D＝∠CAD＝30°，进而得∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，然后在Rt△ABD中由勾股定理可得AD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，CD＝AC＝2，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
∴∠D＝∠CAD，BD＝BC+CD＝4，
∵∠ACB＝∠D+∠CAD＝60°，
∴∠D＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+30°＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝4，
由勾股定理得：AD．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，勾股定理是解决问题的关键．
13．（2分）（2025春 遵义期末）在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）到y轴的距离是 　3　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据点的坐标的几何意义即可得解．
【解答】解：根据点的坐标的几何意义可知：
点（3，﹣5）到y轴的距离为横坐标的绝对值即为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离是关键．
14．（2分）（2024 余姚市校级四模）等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以C为圆心，BC为半径作圆弧与△ABC的边交于点D．则∠BDC＝　54°或72°　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】54°或72°．
【分析】当⊙C与AB交于D时，由等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠ABC＝72°，当⊙C与AC交于D时，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到∠BDC＝∠CBD（180°﹣72°）＝54°，于是得到∠BDC＝54°或72°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，
如图①，当⊙C与AB交于D时，
∵CD＝CB，
∴∠BDC＝∠ABC＝72°，
如图②，当⊙C与AC交于D时，
∵CD＝BC，
∴∠BDC＝∠CBD（180°﹣72°）＝54°，
∴∠BDC＝54°或72°．
故答案为：54°或72°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
15．（2分）（2024秋 岢岚县期中）如图，若△A′B′C′是由△ABC绕一定点按顺时针方向旋转而得，点A、B、C、A′、B′、C′都在方格纸的格点上，则旋转的角度为 　90°　 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】90°．
【分析】先利用对应点连线段的垂直平分线的交点确定旋转中心O，再连接OA，OA′，则∠AOA′即为旋转角，结合网格图，即可知旋转角度数
【解答】解：△A′B′C′是由△ABC绕一定点按顺时针方向旋转而得，如图，连接CC′，AA′，CC′，AA′的垂直平分线分别为直线m，直线n，交于点O，则点O为旋转中心，连接OA，OA′，则∠AOA′即为旋转角，
由图可知：∠AOA′＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是正确的寻找到旋转中心．
16．（2分）（2023秋 佳木斯期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，若PQ＝2，则BP的长为 　4　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质即可得到．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．（2分）（2025春 海州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB．点E、F分别在边AC、BC上，∠EDF＝120°，当AD＝6，BD＝4时，则△ADE与△BDF的面积之和S为 　　 ．
【考点】角平分线的性质；旋转的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】．
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，可先证明△DME≌△DNF（AAS），推出S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△ADM绕点D顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝AD＝6，DB＝4，过点B作BH⊥DT于点H，解直角三角形求出BH，可得结论．
【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．
∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，∠DMC＝∠DNC＝∠DME＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
在△DME和△DNF中，
，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴S△DME＝S△DNF，
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△ADM绕点D顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝AD＝6，DB＝4，
过点B作BH⊥DT于点H，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形，把△ADM绕点D顺时针旋转120°得到△DNT，再解直角三角形是做题的关键．
18．（2分）（2023秋 市南区校级月考）一直角三角形的一条直角边长为12cm，斜边长为13cm，则此三角形的面积为 　30　 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】30．
【分析】先根据一个直角三角形的一条直角边长和斜边长，利用勾股定理计算出另一直角边长，然后即可求出此三角形面积．
【解答】解；∵一个直角三角形的一条直角边长为5cm，斜边长为13cm，
∴由勾股定理得另一直角边长12（cm），
则S△5×12＝30（cm2）．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了勾股定理、三角形面积的计算；由勾股定理计算出另一直角边长是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
19．（2024春 青秀区校级月考）解方程．
（1）2（x﹣1）2＝8；
（2）（y+1）3+27＝0．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）y＝﹣4．
【分析】（1）两边直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先移项，再开立方即可得到方程的解．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝8，
（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2．
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（y+1）3+27＝0，
（y+1）3＝﹣27，
y+1＝﹣3，
解得：y＝﹣4．
【点评】此题主要考查了运用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根性质是关键．
20．如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】证明△ACB≌△FDE（AAS），得∠B＝∠F，再根据平行线的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵BD＝CF，
∴BD+CD＝CF+CD，
∴BC＝FD，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠FDE，
在△ACB和△FDE中，
，
∴△ACB≌△FDE（AAS），
∴∠B＝∠F，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACB≌△FDE．
21．（2024春 振兴区校级期中）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明∠AED＝∠C．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠DFE（ 　同角的补角相等　 ）
∴AB∥EF（ 　内错角相等，两直线平行　 ），
∴∠3＝∠ADE（ 　两直线平行，内错角相等　 ）
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠B＝ 　∠ADE　 （等量代换），
∴DE∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　 ）
∴∠C＝∠AED（ 　两直线平行，同位角相等　 ）
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】同角的补角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠ADE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
【分析】根据同角的补角相等可得AB∥EF，∠3＝∠ADE，根据∠B＝∠ADE，可得DE∥BC，有平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠AED（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同角的补角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠ADE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和平行线的性质是解题的关键．
22．（2023秋 鼓楼区校级期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC关于直线m对称△A1B1C1；
（2）在直线m上作一点P，使得AP+CP的值最小；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接AC1，交直线m于点P，则点P即为所求．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，连接AC1，交直线m于点P，连接CP，
此时AP+CP＝AP+C1P＝AC1，为最小值，
则点P即为所求．
（3）△ABC的面积为10﹣3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23．（2022秋 亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为点E，BD平分∠ABC．若∠ADB＝48°，求∠A的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】108°．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC，根据线段垂直平分线的性质得出DB＝DC，进而可得∠DBC＝∠C＝∠ABD，然后求出∠ABD，再利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠ABD＝48°，
∴∠ABD＝24°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣24°﹣48°＝108°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，解题关键是利用垂直平分线的性质得出等腰三角形，导出角之间的关系．
24．（2024春 大冶市期末）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，
∴x2＝62+（x﹣2）2，
解得：x＝10，
答：绳索AD的长度是10m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
25．（2024秋 莱州市期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE＝AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACB≌△DEF；
（2）若∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，求∠FCA的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂直定义、平行线的性质求出∠FDE＝90°＝∠BAC，∠CBA＝∠F，利用AAS即可证明△ACB≌△DEF；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CB，∠BAC＝90°，
∴∠FDE＝90°＝∠BAC，
∵EF∥AB，
∴∠CBA＝∠F，
在△ACB和△DEF中，
，
∴△ACB≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△DEF，
∴∠FCA＝∠FED，
∵∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，
∴∠F＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵∠FDE＝90°，
∴∠FED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠FCA＝30°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
26．（2023春 抚州期中）如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝CN，请画出∠BAC的角平分线.
（2）如图②，△ABC和△ACD均为等边三角形，点E是AB的中点，请画出线段BC的垂直平分线．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】图形见解答．
【分析】（1）连接CM和BN，它们相交于点G，利用三角形全等可证明GB＝GC，然后利用AB＝AC，GB＝GC可判断直线AG垂直平分BC，根据等腰三角形三线合一可得AD是∠BAC的角平分线；
（2）连接BD、CE交于点O，根据菱形的性质和等边三角形的性质可判断O点为△ABC边AB，AC上高的交点，所以AF垂直平分BC．
【解答】解：（1）如图①，∠BAC的角平分线；
（2）如图②，线段BC的垂直平分线．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质．
27．（2025春 珠海期中）如图1，是我国汉代的赵爽用来证明“勾股定理”的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 　（b﹣a）2　 和 　c2﹣2ab　 ；
（2）若ab＝8，大正方形的边长c＝5，则小正方形的边长为 　3　 ；
[知识迁移]通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（3）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2　 ；
（4）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【考点】勾股定理的证明；认识立体图形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）根据（1）的结果，即可得出答案；
（3）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（4）代入（3）中的等式求出即可．
【解答】解：（1）方法一：∵小正方形的边长为b﹣a，
∴小正方形的面积为（b﹣a）2，
方法二：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab；
故答案为：（b﹣a）2，c2﹣2ab；
（2）由（1）得（b﹣a）2＝c2﹣2ab＝52﹣2×8＝9，
∴b﹣a＝3，
∴小正方形的边长为 为3，
故答案为：3；
（3）方法一：正方体体积为（a+b）3，方法二：正方体体积＝a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（4）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b），
∴43＝a3+b3+3×2×4，
解得：a3+b3＝40．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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