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江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）（2024春 镇平县月考）如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千米/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（　　）
A．50＜v＜70 B．50＜v≤70 C．50≤v≤70 D．50≤x＜70
2．（4分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的一元二次方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形（非等边三角形）
B．直角三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
3．（4分）（2023秋 宜兴市期中）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③反比例函数上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（4分）（2024 岳麓区校级模拟）下列4个图片是长沙市生态环境局网站上的4个信息查询指引标识，在这些图标中，文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）（2024秋 三门县期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）（2025 武都区校级模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．24 B．12 C．10 D．6
7．（4分）（2025 新都区模拟）下列说法中，错误的是（　　）
A．平行四边形的两组对边分别相等
B．菱形的两条对角线相等
C．正方形的四条边都相等
D．矩形的四个角都相等
8．（4分）（2024秋 科左后旗期末）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，如果∠A＝80°，那么∠BOC的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．（4分）如图，直线y＝x+b和y＝ax+3的交点为P，则关于x的不等式x+b＞ax+3的解集为 　 　 ．
10．（4分）（2024春 秦安县期中）若分式方程有增根，则m＝　 　 ．
11．（4分）（2024春 钢城区期末）计算：　 　 ．
12．（4分）（2024春 襄都区月考）在地面投掷正方体骰子100次，若“3点”朝上的次数为20次，则“3点”朝上的频率是 　 　 ．
13．（4分）将方程x2﹣12x﹣13＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，其中m，n是常数，则m+n＝　 　 ．
三．解答题（共5小题，满分48分）
14．（9分）（2025春 鲤城区校级期末） 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示），共分为四组：
A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：
67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：
82，83，86．
20名同学对《哪叶2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题；
（1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
15．（9分）（2023春 泉港区期末）如图，正方形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（4，3）．
（1）试求出点B的坐标；
（2）在y轴的正半轴上取点P，使得OP＝OB．若经过点P的直线：y＝kx+b的图象与正方形ABCD的边AD有公共点，试求出k的取值范围．
16．（9分）（2024 宁明县一模）近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识，某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩（设为x）进行整理分析，结果如下：
【收集数据】
八（2）班抽取的测试成绩为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班抽取的测试成绩中，90≤x＜95的成绩为：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
八（2）班 1 1 3 4 6
八（3）班 1 2 3 5 4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）八（2）班成绩的众数为 　 　 ，八（3）班成绩的中位数为 　 　 ；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数；
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
17．（9分）（2022春 无为市期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
18．（12分）（2025 朝阳区校级三模）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各4000件的任务．甲快递站前期先派送了500件后，乙快递站才开始派送，且甲、乙两家快递站的派送速度相同．甲快递站经过a小时后共派送快递2500件，由于人员变化，接下来派送速度变慢，结果10小时完成派送任务．乙快递站8小时完成派送任务．在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的关系如图所示．（1）乙快递站每小时派送 　 　 件，a的值为 　 　 ；
（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式；
（3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）（2024春 武都区期末）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为64cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 　 　 cm．
20．（4分）（2024 陵川县二模）计算的结果是 　 　 ．
21．（4分）（2024春 新城区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6，将△ABC沿中位线DE剪开后，把得到的两部分拼成一个平行四边形，所得到的较大的平行四边形的周长是 　 　 ．
22．（4分）（2025春 惠来县校级月考）函数的自变量x取值范围是　 　 ．
23．（4分）（2024 淅川县二模）若式子，则实数x的值是 　 　 ．
五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
24．（10分）（2024 西安校级模拟）某单肩包的背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，背带长度（单层部分与双层部分长度的和，调节扣长度忽略不计）可通过调节扣调节．设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm，已知y是x的一次函数．当双层部分长度为15cm时，单层部分的长度为75cm；当双层部分长度为20cm时，单层部分的长度为65cm．
（1）求出y与x的函数表达式；
（2）当单层部分与双层部分的长度相等时，求背带的长度．
25．（10分）（2025春 新城区校级月考）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件B型丝绸的进价为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
26．（10分）（2024 静安区二模）解不等式组，并写出它的整数解．
江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）（2024春 镇平县月考）如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千米/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（　　）
A．50＜v＜70 B．50＜v≤70 C．50≤v≤70 D．50≤x＜70
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据标志的意义，得出不等式组即可解答．
【解答】解：由图1得v≥50，由图2得v≤70，
∴50≤v≤70，
故选：C．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，正确理解图示的含义是解题的关键，
2．（4分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的一元二次方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形（非等边三角形）
B．直角三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，结合根的判别式以及二次项系数非0，即可得出△ABC是腰和底不等的等腰三角形，此题得解．
【解答】解：∵关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[2（b﹣a）]2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，且c﹣b≠0，
整理得：（a﹣b）（a﹣c）＝0，
解得：a＝b或a＝c，
∵a，b，c是△ABC的三条边长，c≠b，
∴△ABC是腰和底不等的等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的判定，根据根的判别式得出a＝b或a＝c（且b≠c）是解题的关键．
3．（4分）（2023秋 宜兴市期中）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③反比例函数上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；勾股定理；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】由“倍增点”的定义得2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，即可判断①；可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），由“倍增点”的定义得2（x+1）＝x+2+0，解方程，即可判断②；可设双曲线上的“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断③；设B（x，y），由“倍增点”的定义得2（x+1）＝y+0，由勾股定理得，即可判断④．
【解答】解：由题意得：
2（1+3）＝8+0，
2（1﹣2）＝﹣2+0，
∴点Q1（3，8），Q2（﹣2﹣2）都是点P1的“倍增点”，
∴①正确；
可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），
∴2（x+1）＝x+2+0，
∴x＝0，
∴A（0，2），
∴②错误；
可设双曲线上的“倍增点”为，
∴，
解得：，
∴，
∴“倍增点”有，1个，
∴③错误；
设B（x，y），
∴2（x+1）＝y+0，
∴y＝2（x+1），
∴
，
当时，P1B的最小值为，
∴④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义，一次函数图象和反比例函数图象上的点的坐标，二次函数的最值，勾股定理等，理解新定义，能根据新定义得到相应的方程或关系式是解题的关键．
4．（4分）（2024 岳麓区校级模拟）下列4个图片是长沙市生态环境局网站上的4个信息查询指引标识，在这些图标中，文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．（4分）（2024秋 三门县期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】D
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为3＞0，﹣1＜0，所以点P（3，﹣1）在第四象限．
【解答】解：∵3＞0，﹣1＜0，
∴点P（3，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查平面直角坐标系中已知点的坐标确定点的位置，比较简单．牢记四个象限的点的坐标的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．（4分）（2025 武都区校级模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．24 B．12 C．10 D．6
【考点】中点四边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EFAC＝4，GHAC，
∴EF＝GH，同理EH＝FGBD＝3，
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积是EH HG＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．
7．（4分）（2025 新都区模拟）下列说法中，错误的是（　　）
A．平行四边形的两组对边分别相等
B．菱形的两条对角线相等
C．正方形的四条边都相等
D．矩形的四个角都相等
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质即可对选项A进行判断；根据菱形的性质即可对选项B进行判断；根据正方形的性质即可对选项C进行判断；根据矩形的性质即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形的两组对边分别相等，
∴选项A正确，不符合题意；
∵菱形的两条对角线互相垂直平分，不相等，
∴选项B错误，符合题意；
∵正方形的四条边都相等，
∴选项C正确，不符合题意；
∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的四个角都相等，
∴选项D正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的性质，熟练掌握正方形，平行四边形，菱形，矩形的性质是解决问题的关键．
8．（4分）（2024秋 科左后旗期末）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，如果∠A＝80°，那么∠BOC的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，根据角平分线的判定得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，
∵OE＝OF，OG＝OF，OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∴∠OBC+∠OCB100°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，熟记到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．（4分）如图，直线y＝x+b和y＝ax+3的交点为P，则关于x的不等式x+b＞ax+3的解集为 　x＞1　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】x＞1．
【分析】可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标得到结果．
【解答】】解：由图知：当直线y＝x+b的图象在直线y＝ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立；
由于两直线的交点横坐标为：x＝1，
∴当x＞1时，x+b＞ax+3；
故答案为：x＞1．
【点评】本题是两条直线的交点问题，考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
10．（4分）（2024春 秦安县期中）若分式方程有增根，则m＝　　 ．
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x的值，得到增根，然后把分式方程转化为整式方程，再将增根代入整式方程，解关于m的方程即可．
【解答】解：分式方程最简公分母为x﹣1，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1，即增根为x＝1，
分式方程去分母得：mx＝x+3m，
把x＝1代入mx＝x+3m得：m＝1+3m，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．（4分）（2024春 钢城区期末）计算：　5　 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5．
【分析】利用|a|化简．
【解答】解：|﹣5|＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用|a|是解决问题的关键．
12．（4分）（2024春 襄都区月考）在地面投掷正方体骰子100次，若“3点”朝上的次数为20次，则“3点”朝上的频率是 　　 ．
【考点】频数与频率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据随机事件概率大小的求法求解即可．
【解答】解：投掷正方体骰子100次，“3点”朝上的次数为20次，
所以“3点”朝上的频率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
13．（4分）将方程x2﹣12x﹣13＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，其中m，n是常数，则m+n＝　55　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】55．
【分析】先移项，再配方，变形后求出m、n的值，再代入求出即可．
【解答】解：x2﹣12x﹣13＝0，
移项得：x2﹣12x＝13，
配方得：x2﹣12x+36＝13+36，
即（x﹣6）2＝49，
解得：m＝6，n＝49，
所以m+n＝6+49＝55，
故答案为：55．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
三．解答题（共5小题，满分48分）
14．（9分）（2025春 鲤城区校级期末） 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示），共分为四组：
A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：
67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：
82，83，86．
20名同学对《哪叶2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题；
（1）上述图表中的a＝　98　 ，b＝　93　 ，m＝　10　 ；
（2）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
【考点】方差；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）98，93，10．
（2）450人．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值；（2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解．
【解答】解：（1）10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
98出现最多，则a＝98，
根据统计表可得男生满分的有10×50%＝5人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，86．
则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100，
则b93，
评分分数为A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，都不为0，
∴评分分数为A和B的人数都是1人，
∴m%100%＝10%，即m＝10，
故答案为：98，93，10．
（2）400500×50%＝450（人），
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人．
【点评】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．（9分）（2023春 泉港区期末）如图，正方形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（4，3）．
（1）试求出点B的坐标；
（2）在y轴的正半轴上取点P，使得OP＝OB．若经过点P的直线：y＝kx+b的图象与正方形ABCD的边AD有公共点，试求出k的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）（1，0）；
（2）．
【分析】（1）根据正方形的性质得出BC＝CD，根据点D的坐标得出OC＝4，CD＝3，从而得出OB的长，即可求出点B的坐标；
（2）先求出点A、P的坐标，然后利用待定系数法求出直线AP、直线DP的解析式，即可确定k的取值范围．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OC＝4，CD＝3，
∴BC＝3，
∴OB＝OC﹣BC＝4﹣3＝1，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝90°，
∵点D的坐标为（4，3），
∴CD＝3，
∴AB＝3，
由（1）知OB＝1，
∴点A的坐标为（1，3），
∵OP＝OB，点P在y轴的正半轴上，OB＝1，
∴点P的坐标为（0，1），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
设直线DP的解析式为y＝k1x+b，
∴，
解得，
∵经过点P的直线：y＝kx+b的图象与正方形ABCD的边AD有公共点，
∴．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，正方形的性质，熟练利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
16．（9分）（2024 宁明县一模）近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识，某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩（设为x）进行整理分析，结果如下：
【收集数据】
八（2）班抽取的测试成绩为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班抽取的测试成绩中，90≤x＜95的成绩为：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
八（2）班 1 1 3 4 6
八（3）班 1 2 3 5 4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）八（2）班成绩的众数为 　100　 ，八（3）班成绩的中位数为 　91　 ；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数；
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
【考点】方差；用样本估计总体；频数（率）分布表；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；运算能力．
【答案】（1）100，91；
（2）480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
（3）八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好．
【分析】（1）根据众数，中位数的概念，计算方法即可求解；
（2）先计算出样本中成绩在92分及其以上的百分比，再根据样本百分比估算总体的方法即可求解；
（3）计算出八（2）班的平均分，方差，再与八（3）的平均分，方差进行比较，由此即可求解．
【解答】解：（1）八（2）班15名学生的测试成绩出现次数最多的是100，出现了2次，
∴八（2）班成绩的众数为100，
∵八（3）班成绩的中位数是第8位同学的成绩，第8位同学的成绩在90≤x＜95阶段（成绩从小到大排列）的第二名同学，即90，91，92，93，94，
∴八（3）班成绩的中位数是91，
故答案为：100，91；
（2）八（2）班成绩在92分及其以上的人数有9人，八（3）班成绩在92分及其以上的人数有3+4＝7（人），
∴成绩在92分及其以上的人数有9+7＝16（人），
∴（人），
∴480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
（3）八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下：
八（2）班学生竞赛成绩的平均分为：
（分），
八（2）班学生竞赛成绩的方差为：
（94﹣92）2+（87﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（92﹣92）2+（99﹣92）2+（95﹣92）2+（100﹣92）2]≈41，
∵八（2）班的平均分为92分，方差是41，八（3）班的平均分为90分，方差是50.2，
∴八（2）班学生竞赛成绩的平均分高于八（3）班的平均分，八（2）班学生竞赛成绩的方差低于八（3）班的方差，
∴八（2）班学生竞赛成绩更好，八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好；
综上所述，八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好．
【点评】本题主要考查调查与统计中相关概念及计算，掌握众数的概念，中位数的计算，样本百分比估算总体的数量，运用平均分，方差作决策等知识是解题的关键．
17．（9分）（2022春 无为市期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】17米．
【分析】根据勾股定理得出BC，进而利用勾股定理得出DC即可．
【解答】解：由题意可知，∠B＝90°，
∵AB＝20，AC＝25，
∴BC（米），
∵AD＝12，
∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米），
∴DC（米），
即小鸟到地面C点的距离为17米．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出BC解答．
18．（12分）（2025 朝阳区校级三模）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各4000件的任务．甲快递站前期先派送了500件后，乙快递站才开始派送，且甲、乙两家快递站的派送速度相同．甲快递站经过a小时后共派送快递2500件，由于人员变化，接下来派送速度变慢，结果10小时完成派送任务．乙快递站8小时完成派送任务．在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的关系如图所示．（1）乙快递站每小时派送 　500　 件，a的值为 　4　 ；
（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式；
（3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察图象进行计算即可求解；
（2）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0，k、b为常数），利用待定系数法即可求解；
（3）令x＝8，即可求出y＝3500，再进行计算即可．
【解答】解：（1）由图象可知，4000÷8＝500（件），
∵甲、乙两家快递站的派送速度相同，
∴，
故答案为：500；4．
（2）甲快递站派送速度变慢后，设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0，k、b为常数），
由图象可知，该函数图象经过点（4，2500），（10，4000），
则，
解得，
∴y关于x的函数解析式为：y＝250x+1500．
（3）当x＝8时，y＝250×8+1500＝3500，
4000﹣3500＝500（件），
答：当乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有500件．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，正确掌握函数图象的信息是解题的关键．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）（2024春 武都区期末）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为64cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 　2　 cm．
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
【解答】解：由题意可得每个方块的体积为64÷8＝8（cm3），
则其边长为，
故答案为：2．
【点评】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．
20．（4分）（2024 陵川县二模）计算的结果是 　　 ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
21．（4分）（2024春 新城区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6，将△ABC沿中位线DE剪开后，把得到的两部分拼成一个平行四边形，所得到的较大的平行四边形的周长是 　24　 ．
【考点】图形的剪拼；含30度角的直角三角形；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】24．
【分析】首先在Rt△ABC中求出AC＝12，AB＝6，再根据中位线定理求出DE，BD，找出剪开后相等的线段，把相等的线段拼在一起，因此有两种拼接方法，分别画出拼接后的图形，然后再求出周长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6，
∴AC＝2BC＝12，
由勾股定理得：AB6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE，AD＝BD＝3，∠ADE＝∠BDE＝90°，
（1）依题意有两种情况：
①当点A与点C重合，△ADE的斜边AE与CE重合时，DD'＝2DE＝6，BD＝CD′＝3，
∴所拼成的平行四边形的周长为：12+6；
②当点A与点B重合，△ADE的直角边AD与BD重合时，EE'＝2DE＝6，CE＝BE'＝6，
∴所拼成的平行四边形的周长为：24．
∴所得到的较大的平行四边形的周长是24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质，图形的拼接变换，解答此题的关键是找出剪开后的两个图形的相等线段，把相等线段拼接在一起得到平行四边形．
22．（4分）（2025春 惠来县校级月考）函数的自变量x取值范围是　x≠﹣1　 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x≠﹣1．
【分析】根据分母不为0可得：x+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（4分）（2024 淅川县二模）若式子，则实数x的值是 　﹣3　 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】由分式的分子为0，分母不为0，求解即可．
【解答】解：若分式的值为0，需满足x2﹣9＝0且x﹣3≠0．
∵x2﹣9＝0的解为x＝±3，x﹣3≠0的解为x≠3，
∴x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式值为0，掌握分式值为0的条件是解决本题的关键．
五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
24．（10分）（2024 西安校级模拟）某单肩包的背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，背带长度（单层部分与双层部分长度的和，调节扣长度忽略不计）可通过调节扣调节．设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm，已知y是x的一次函数．当双层部分长度为15cm时，单层部分的长度为75cm；当双层部分长度为20cm时，单层部分的长度为65cm．
（1）求出y与x的函数表达式；
（2）当单层部分与双层部分的长度相等时，求背带的长度．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣2x+45；
（2）70cm．
【分析】（1）根据y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后把（15，75），（20，65）代入解析式求解即可；
（2）根据单层部分长度与双层部分长度相等时得出y＝2x，代入（1）中解析式求解即可．
【解答】解：（1）由题意设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣2x+105；
（2）当x＝y﹣x即y＝2x时，2x＝﹣2x+105
解得x＝35，
此时y＝﹣35+105＝70（cm），
答：背带长度为70cm．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，利用一次函数的性质解决实际问题是解题的关键．
25．（10分）（2025春 新城区校级月考）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件B型丝绸的进价为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）一件B型丝绸的进价为400元；
（2）①m的取值范围为16≤m≤25；
②销售这批丝绸的最大利润为12500．
【分析】（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，利用购进数量＝进货总价÷进货单价，结合用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）①根据“购进A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围；
②设销售这批丝绸的总利润为w元，利用总利润＝每件A型丝绸的销售利润×购进A型丝绸的数量+每件B型丝绸的销售利润×购进B型丝绸的数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
根据题意得：，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是所列方程的解，且符合题意，
∴x+100＝400+100＝500（元）．
答：一件B型丝绸的进价为400元；
（2）①根据题意得：，
解得：16≤m≤25．
答：m的取值范围为16≤m≤25；
②设销售这批丝绸的总利润为w元，则w＝（800﹣500）m+（600﹣400）（50﹣m），
即w＝100m+10000，
∵100＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为100×25+10000＝12500（元）．
答：销售这批丝绸的最大利润为12500．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；②根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
26．（10分）（2024 静安区二模）解不等式组，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】不等式组的整数解为：0，1，2，3．
【分析】求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集，从公共解集中找到整数解即可．
【解答】解：．
解不等式①得：﹣x≥﹣3，
x≤3．
解不等式②得：8x+9＞﹣x，
9x＞﹣9，
x＞﹣1．
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3．
∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．
【点评】本题考查求不等式组的整数解．得到不等式组的解集是解决本题的关键．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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