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江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋 南宁期末）已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA长度可能是（　　）
A．2.5 B．4 C．5 D．7
2．（2分）（2024春 连江县期末）方程x2﹣4x＝﹣3经过配方后，得到的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝13 B．（x+2）2＝13 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
3．（2分）（2024春 两江新区期末）关于x的一元二次方程x2+5x﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．有两个不相等的实数根
4．（2分）（2023春 淮北期末）若一组数据2，3，x，5，7的众数为3，则这组数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．2、5 B．5、4 C．3、4 D．7、5
5．（2分）（2023 萧山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是弧AC的中点，AC，BD交于点E，若∠A＝20°，则∠AED的度数是（　　）
A．45° B．55° C．60° D．65°
6．（2分）（2025 大东区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的⊙O交BC于点D，将沿BD翻折恰好经过圆心O，若BE＝2AE，CD，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2010秋 嘉定区校级期末）已知f（x）＝x2﹣3，g（x）＝2x+5，当x＝﹣2，　 　 时，f（x）＝g（x）．
8．（2分）（2024秋 南昌县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的两根为m，n，则的值是 　 　 ．
9．（2分）（2025春 越城区期末）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为　 　 ．
10．（2分）（2025 天心区开学）圆锥的母线长为10cm，高为6cm，则该圆锥侧面面积为　 　 ．
11．（2分）（2022秋 鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD内接于圆O，且⊙O半径为1，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是 　 　 ．
12．（2分）（2024秋 松原校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE是四边形ABCD的外角，若∠ADE＝100°，则∠B的度数为　 　 ．
13．（2分）（2024 东海县二模）我们知道，除三角形外，其他的多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数是 　 　 °．
14．（2分）（2025 湖里区校级二模）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦AB长2m，拱高CD长3m，则该拱门的半径是 　 　 m．
15．（2分）（2024 温州二模）如图，O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O交边AC于点D，BD恰好为⊙O的切线，若∠ABD＝28°，则∠CBD＝　 　 度．
16．（2分）在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a4+b4+c4＝2c2（a2+b2），若∠A＝72°，则∠B＝　 　 ．
三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）
17．（8分）（2023秋 丰台区校级月考）解方程：
（1）x2﹣3＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
18．（8分）（2024 五华区校级模拟）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为 　 　 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
19．（8分）（2021秋 肥城市期末）甲、乙两名学生参加数学综合素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表：
学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩
甲 87 93 91 85
　 　
乙 89 96 91 80
　 　
（1）将表格中空缺的数据补充完整，根据表中信息判断哪个学生数学综合素质测试成绩更稳定？请说明理由，
（2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按4：3：2：1的比例折算，作为这次数学综合素质测试的总成绩，那么哪个学生数学综合素质测试总成绩更好？请说明理由．
20．（7分）某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关．当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元．以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵？
21．（7分）（2025 吉首市校级开学）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，弧AC与弧BD相等吗？为什么？
22．（8分）（2024秋 桂平市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求k的取值范围；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且，求k的值．
23．（8分）（2024 南通二模）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD．
（1）求证：∠COD＝2∠P；
（2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．
24．（8分）（2021秋 略阳县期末）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．求每个月盈利的增长率．
25．（6分）（2024秋 仓山区校级月考）如图，点A，D在⊙O上，连接OA、OB．
（1）尺规作图：过圆上一点D作⊙O切线l（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AO延长线交切线l于点B，交⊙O于点E，BE＝2，BD＝4，求AB长．
26．（10分）（2025 安次区校级二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2BC＝4，点M在BC边所在的直线上，CM＝4，PQ＝3，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．
（1）如图1，当点P与点M重合时，求线段CH的最小值和最大值；
（2）若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒（0≤t≤6）．
①如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及弧HQ的长．
②当半圆O与CD相切于点K时，直接写出∠HOQ的度数．
27．（10分）（2022春 思明区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F，求证：∠1＝∠2；
（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（3）在（2）问条件下，若∠A＝30°，⊙M的半径为2，求线段BC的长．
江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋 南宁期末）已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA长度可能是（　　）
A．2.5 B．4 C．5 D．7
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】D
【分析】点A到圆心的距离大于半径长时，点A在圆外，于是可选择．
【解答】解：∵点A在⊙O外，⊙O的半径为5，
∴OA＞5．
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的3种位置关系的判定．
2．（2分）（2024春 连江县期末）方程x2﹣4x＝﹣3经过配方后，得到的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝13 B．（x+2）2＝13 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】方程两边都加4，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x＝﹣3，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
3．（2分）（2024春 两江新区期末）关于x的一元二次方程x2+5x﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4a2+12＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵在方程x2+5x﹣8＝0中，Δ＝52﹣4×1×（﹣8）＝57＞0，
∴方程x2+5x﹣8＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．（2分）（2023春 淮北期末）若一组数据2，3，x，5，7的众数为3，则这组数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．2、5 B．5、4 C．3、4 D．7、5
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【专题】统计的应用；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据众数的定义可得x＝3，再根据中位数的定义和平均数的计算公式即可得．
【解答】解：∵一组数据2，3，x，5，7的众数为3，
∴x＝3，
∴这组数据从小到大排序为2，3，3，5，7，
∴这组数据的中位数是3，平均数是，
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数，熟记各定义和计算公式是解题关键．
5．（2分）（2023 萧山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是弧AC的中点，AC，BD交于点E，若∠A＝20°，则∠AED的度数是（　　）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据已知条件可得∠ABC的度数，由D为弧AC的中点，可得，即可得出∠ABD＝∠CDB∠ABC，再根据三角形外角定理∠AED＝∠A+∠ABD代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，
∵D为弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠CDB∠ABC35°，
∴∠AED＝∠A+∠ABD＝20°+35°＝55°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系进行求解是解决本题的关键．
6．（2分）（2025 大东区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的⊙O交BC于点D，将沿BD翻折恰好经过圆心O，若BE＝2AE，CD，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】连接ED，作半径OF⊥BD于H，由垂径定理得到BD＝2BH，由题意知：BD垂直平分OF，由sinB，求出∠B＝30°，由圆周角定理得到∠BDE＝90°，判定ED∥AC，推出BD：DC＝BE：AE，得到BD＝2DC，因此BH＝CD，由cosB，求出OB＝2，即可得到⊙O的半径长．
【解答】解：连接ED，作半径OF⊥BD于H，
∴BD＝2BH，
由题意知：BD垂直平分OF，
∴OHOFOB，
∵sinB，
∴∠B＝30°，
∵BE是圆的直径，
∴∠BDE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠BDE，
∴ED∥AC，
∴BD：DC＝BE：AE，
∵BE＝2AE，
∴BD＝2DC，
∴BH＝CD，
∵cosB＝cos30°，
∴OB＝2，
∴⊙O的半径长为2．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，折叠问题，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义求出∠B的度数，由平行线分线段成比例定理推出BD：DC＝BE：AE．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2010秋 嘉定区校级期末）已知f（x）＝x2﹣3，g（x）＝2x+5，当x＝﹣2，　4　 时，f（x）＝g（x）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据题意可以得到x2﹣3＝2x+5，然后解方程即可．
【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3，g（x）＝2x+5，
∴当f（x）＝g（x）时，x2﹣3＝2x+5，
解得x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：4．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
8．（2分）（2024秋 南昌县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的两根为m，n，则的值是 　　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】．
【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝4，mn，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于、两根之积等于是解题的关键．
9．（2分）（2025春 越城区期末）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为　100（1﹣x）2＝81　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】100（1﹣x）2＝81．
【分析】根据原价乘以降价百分率得出第一次降价后价格，进而表示出第二次降价后价格，即可得出等式．
【解答】解：根据题意可列方程为：
100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n＝b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
10．（2分）（2025 天心区开学）圆锥的母线长为10cm，高为6cm，则该圆锥侧面面积为　80πcm2　 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【答案】80πcm2．
【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，然后求出侧面积即可．
【解答】解：∵圆锥母线长为10cm，高为6cm，
∴圆锥底面半径为（cm），
∴圆锥侧面积为10×8π＝80π（cm2）．
故答案为：80πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算，熟练掌握侧面积的计算方法是解题关键．
11．（2分）（2022秋 鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD内接于圆O，且⊙O半径为1，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是 　　 ．
【考点】几何概率；正方形的性质；圆周角定理；正多边形和圆．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可求出正方形的边长，即可求出正方形的面积，再求出圆的面积，即可得．
【解答】解：∵正方形ABCD内接于圆O，且⊙O半径为1，
∴AO＝BO＝1，AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，，
∴，
圆O的面积为：S＝π，
∴随意抛出一粒石子在这个圆面上，石子落在正方形ABCD内概率是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概率掌握正方形的性质，勾股定理，几何概率并正确计算是关键．
12．（2分）（2024秋 松原校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE是四边形ABCD的外角，若∠ADE＝100°，则∠B的度数为　100°　 ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】100°．
【分析】根据圆内接四边形的性质定理即可直接得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝100°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADE＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角是解题的关键．
13．（2分）（2024 东海县二模）我们知道，除三角形外，其他的多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数是 　30　 °．
【考点】正多边形和圆；三角形的稳定性；三角形三边关系；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】30．
【分析】连接OC，OB，根据正五边形的性质得到∠BOC＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC（180°﹣60°）＝60°，根据切线的性质得到∠OCF＝90°，于是得到结论．
【解答】解：连接OC，OB，
∵五边形OABCD的正五边形，
∴AB＝BC＝CD，
∴，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC180°＝60°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC（180°﹣60°）＝60°，
∵点C作⊙O的切线EF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
14．（2分）（2025 湖里区校级二模）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦AB长2m，拱高CD长3m，则该拱门的半径是 　　 m．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】连接OA．设该拱门的半径OA＝OD＝r m，根据垂径定理求出AC，将OC用含r的代数式表示出来，在Rt△ACO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：如图，连接OA．
设该拱门的半径OA＝OD＝r m．
∵AB＝2m，
∴ACAB＝1m，
∵CD＝3m，
∴OC＝CD﹣OD＝（3﹣r）m，
在Rt△ACO中利用勾股定理，得AC2+OC2＝OA2，
∴1+（3﹣r）2＝r2，
∴r，
∴该拱门的半径是m．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握并灵活运用垂径定理和勾股定理是解题的关键．
15．（2分）（2024 温州二模）如图，O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O交边AC于点D，BD恰好为⊙O的切线，若∠ABD＝28°，则∠CBD＝　31　 度．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】31．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠BDO＝90°，求得∠BOD＝90°﹣28°＝62°，根据三角形外角的性质得到∠A＝∠ODA∠BOD，于是得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵BD为⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∵∠ABD＝28°，
∴∠BOD＝90°﹣28°＝62°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA∠BOD，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣31°＝59°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝59°﹣28°＝31°，
故答案为：31．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2分）在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a4+b4+c4＝2c2（a2+b2），若∠A＝72°，则∠B＝　63°　 ．
【考点】正弦定理与余弦定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】63°．
【分析】根据余弦定理可得，cos2C，将a4+b4+c4＝2c2（a2+b2）代入上式得到cosC，∠C＜180°﹣∠A＝108°，则∠C＝45°，则∠B＝180°﹣（∠A+∠C）．
【解答】解：∵cosC，
∴cos2C，
∵a4+b4+c4＝2c2（a2+b2），
∴cos2C，
∴cosC，
∵∠C＜180°﹣∠A＝108°，
∴cosC，即∠C＝45°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝180°﹣（72°+45°）＝63°．
故答案为：63°．
【点评】本题考查考查余弦定理的运用，考查化简的运算能力，属于中档题和易错题．
三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）
17．（8分）（2023秋 丰台区校级月考）解方程：
（1）x2﹣3＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1，x2；
（2）x1＝2，x2＝2．
【分析】（1）先移项得到x2＝3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣3＝0，
x2＝3，
x＝±，
所以x1，x2；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法．
18．（8分）（2024 五华区校级模拟）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为 　　 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，
∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
Mg Al Zn Cu
Mg （Mg，Mg） （Mg，Al） （Mg，Zn） （Mg，Cu）
Al （Al，Mg） （Al，Al） （Al，Zn） （Al，Cu）
Zn （Zn，Mg） （Zn，Al） （Zn，Zn） （Zn，Cu）
Cu （Cu，Mg） （Cu，Al） （Cu，Zn） （Cu，Cu）
共有16种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：（Mg，Mg），（Mg，Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9种，
∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（8分）（2021秋 肥城市期末）甲、乙两名学生参加数学综合素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表：
学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩
甲 87 93 91 85
　89　
乙 89 96 91 80
　89　
（1）将表格中空缺的数据补充完整，根据表中信息判断哪个学生数学综合素质测试成绩更稳定？请说明理由，
（2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按4：3：2：1的比例折算，作为这次数学综合素质测试的总成绩，那么哪个学生数学综合素质测试总成绩更好？请说明理由．
【考点】方差；加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）89，89，甲数学综合素质测试成绩更稳定，理由见解答；
（2）乙的成绩更好，理由见解答．
【分析】（1）根据平均数分别得出答案；
（2）根据加权成绩的概念计算得出答案．
【解答】解：（1）甲的平均成绩＝（87+93+91+85）÷4＝89；
乙的平均成绩（89+96+91+80）÷4＝89；
甲的方差S甲2[（87﹣89）2+（93﹣89）2+（91﹣89）2+（85﹣89）2]（16+4+4+16）＝10；
乙的方差S乙2[（89﹣89）2+（96﹣89）2+（91﹣89）2+（80﹣89）2]（0+49+4+81）＝33.5；
∵甲乙，S甲2＜S乙2，
∴甲数学综合素质测试成绩更稳定，
故答案为：89，89；
（2）若按4：3：2：1计分，则乙的成绩更好，
理由如下：
甲的分数87939185＝89.4（分）；
乙的分数89969180＝90.6（分）
故乙的成绩更好．
【点评】此题考查了平均数和加权平均数，用到的知识点是平均数和加权平均数，掌握它们的计算公式是本题的关键．
20．（7分）某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关．当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元．以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【答案】每盆应植4株或者5株．
【分析】根据题意可知：每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由此得出每盆盈利y＝（x+3）（3﹣0.5x），令y＝10进一步解方程求出即可．
【解答】解：如果每盆花苗（假设原来花盆中有3株）增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为3﹣0.5x元，
则每盆盈利y＝（x+3）（3﹣0.5x）；
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简整理得：x2﹣3x+2＝0．
解得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4（株），2+3＝5（株），
答：每盆应植4株或者5株．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的运用，找出数量关系每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利是解题关键．
21．（7分）（2025 吉首市校级开学）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，弧AC与弧BD相等吗？为什么？
【考点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】弧AC＝弧BD，理由见解析．
【分析】判定：Rt△CEO≌Rt△DFO（HL），推出∠COA＝∠DOB，即可证明弧AC与弧BD．
【解答】解：弧AC与弧BD相等，理由如下：
连接OC，OD，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OA﹣AE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEO＝∠DFO＝90°，
在Rt△CEO和Rt△DFO中，
，
∴Rt△CEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠COA＝∠DOB，
∴弧AC＝弧BD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆心角和弧的关系，关键是判定Rt△CEO≌Rt△DFO（HL），推出∠COA＝∠DOB．
22．（8分）（2024秋 桂平市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求k的取值范围；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k≤8；
（2）k＝5．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，可得出x1+x2＝6，x1 x2＝k+1，结合，可得出关于k的一元一次方程，解之可得出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（k+1）≥0，
解得：k≤8，
∴k的取值范围是k≤8；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝6，x1 x2＝k+1，
又∵，
∴，
∴62﹣2（k+1）＝24，
解得：k＝5．
答：k的值为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于k的一元一次方程．
23．（8分）（2024 南通二模）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD．
（1）求证：∠COD＝2∠P；
（2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）10，
【分析】（1）由PA与⊙O相切于点A，得PA⊥OA，则∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，由AE⊥PB于点E，得∠AEP＝90°，则∠P+∠PAE＝90°，所以∠OAD＝∠P，则∠COD＝2∠OAD＝2∠P；
（2）作OF⊥AD于点F，由PB是⊙O的切线，得PB⊥OB，可证明四边形OBEF是矩形，由⊙O的直径AC＝8，得OA＝OD＝OB＝FE＝4，而∠OAD＝∠P＝60°，则△AOD是等边三角形，所以∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，则AF＝DF＝2，求得AE＝6，OF＝2，由tan60°，求得PE＝2，即可由S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD求得S阴影＝10．
【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，
∵AE⊥PB，垂足为E，
∴∠AEP＝90°，
∴∠P+∠PAE＝90°，
∴∠OAD＝∠P，
∵∠COD＝2∠OAD，
∴∠COD＝2∠P．
（2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴PB⊥OB，
∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∵AC是⊙O的直径，且AC＝8，
∴OA＝OD＝OB＝FE＝4，
∵∠OAD＝∠P＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，
∴AF＝DFAD＝2，
∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF2，
∵tan60°，
∴PE＝2，
∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD6×24×210，
∴阴影部分的面积为10．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、圆周角定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（8分）（2021秋 略阳县期末）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．求每个月盈利的增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】每个月盈利的增长率为20%．
【分析】设从2月到4月，每月盈利的平均增长率为x，根据该商店2月份及4月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设从2月到4月每个月盈利的增长率为x，
根据题意可得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：从2月到4月，每个月盈利的增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（6分）（2024秋 仓山区校级月考）如图，点A，D在⊙O上，连接OA、OB．
（1）尺规作图：过圆上一点D作⊙O切线l（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AO延长线交切线l于点B，交⊙O于点E，BE＝2，BD＝4，求AB长．
【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）图见解析；
（2）8．
【分析】（1）连接OD，过点D作OD的垂线即可；
（2）连接DE，AD，证明△BDE∽△BAD，
【解答】解：（1）如图，直线l即为所求的直线；
（2）连接DE，AD，
∵OD是切线，
∴OD⊥BD，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠ODA＝90°﹣∠ODE，
∵∠ODA＝∠OAD，
∴∠BDE＝∠OAD，
∵∠DBE＝∠DBA，
∴△BDE∽△BAD，
∴，
∴BD2＝AB BE，
∴．
【点评】本题考查尺规作垂线，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
26．（10分）（2025 安次区校级二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2BC＝4，点M在BC边所在的直线上，CM＝4，PQ＝3，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．
（1）如图1，当点P与点M重合时，求线段CH的最小值和最大值；
（2）若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒（0≤t≤6）．
①如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及弧HQ的长．
②当半圆O与CD相切于点K时，直接写出∠HOQ的度数．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）CH的最小值为；CH的最大值为5；（2）①点O到CD的距离；弧HQ的长为；②∠HOQ的度数＝（）°．
【分析】（1）连接CO，CO交半圆于点H，则此时CH取得最小值，当点H与点Q重合时，CH取得最大值，利用勾股定理解答即可得出结论；
（2）①利用圆的切线的性质定理，平行四边形的性质，点的直线的距离的应用和直角三角形的边角关系定理解答即可；
②利用圆的切线的性质定理，全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质求得∠OCK＝∠OCP＝30°，利用直角三角形的边角关系定理求得CP，进而求得t值，则结论可求．
【解答】解：（1）连接CO，CO交半圆于点H，则此时CH取得最小值，如图，
∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，
∴OP⊥CP，
∵OM，CM＝4，
∴CO，
∴CH＝CO﹣OH，
∴CH的最小值为；
当点H与点Q重合时，CH取得最大值，如图，
∴CH5．
∴CH的最大值为5；
（2）①当PQ与D点在一条直线上时，
∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，
∴OP⊥CP，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝120°，DC＝AB＝4，
∴∠DCP＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴点O到CD的距离OD；
，∴CP＝CD cos60°＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2，
∵半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，
∴t＝2，
∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，
∴此时∠HOQ＝2×15°＝30°，
∴弧HQ的长；
②当半圆O与CD相切于点K时，连接OK，OC，如图，
∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，半圆O与CD相切于点K，
∴OP⊥CP，OK⊥CK，
在Rt△OCK和Rt△OCP中，
，
∴Rt△OCK≌Rt△OCP（HL），
∴∠OCK＝∠OCP，
由（2）①知：∠DCP＝60°，
∴∠OCK＝∠OCP＝30°，
∴CP，
∴PM＝CM﹣CP，
∴t，
∴∠HOQ的度数＝（）°．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
27．（10分）（2022春 思明区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F，求证：∠1＝∠2；
（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（3）在（2）问条件下，若∠A＝30°，⊙M的半径为2，求线段BC的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】作图题；几何综合题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）3．
【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出结论；
（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．
（3）先求出AB长，利用直角三角形30°所对直角边＝斜边的一半，即可得答案．
【解答】（1）证明：如图①，连接OF，
∵AC是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OF∥BC，
∴∠1＝∠OFB，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠2，
∴∠1＝∠2．
（2）解：如图②所示⊙M为所求．
①作∠ABC平分线交AC于F点，
②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，
即⊙M为所求．
证明：∵M在BF的垂直平分线上，
∴MF＝MB，
∴∠MBF＝∠MFB，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠MBF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠MFB，
∴MF∥BC，
∵∠C＝90°，
∴FM⊥AC，
∴⊙M与边AC相切．
（3）∵⊙M与AC相切，
∴∠AFM＝90°，
∴AM＝2FM＝4，
∴AB＝AM+BM＝4+2＝6，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC3．
【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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