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江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列方程中，无论a为何值，总是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2﹣3x+9＝0 B．（a+1）x2﹣2x+1＝0
C．（a2+1）x2﹣x﹣6＝0 D．（2a﹣3）x2﹣x＝0
2．（2分）（2022秋 城关区校级期末）将方程x2﹣6x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2分）（2024 内蒙古二模）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
4．（2分）（2023秋 古冶区期末）设方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2＝（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
5．（2分）（2023秋 浙江月考）在数学课上，我们学习了内切圆的概念，小明拿出了一个直角三角形ABC，已知AB＝3，BC＝4．那么△ABC的内切圆的周长为（　　）
A．π B． C．2π D．4π
6．（2分）（2025 新都区模拟）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，半径为2，过点O作OG⊥AB于点G，给出下列结论：①圆心角∠AOB＝60°；②弦长AB＝2；③OG＝2；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为.其中正确的结论是（　　）
A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2025春 招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　 　 ．
8．（2分）（2023秋 靖江市期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是 　 　 ．
9．（2分）（2022秋 武侯区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（点E不与B，C重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，点G是点C关于直线BF的对称点，连接AG，DG，GF，则当GF取得最小值时，△AGD的面积是 　 　 ．
10．（2分）（2024春 汉阳区期末）为全面推进优良学风建设，某校准备评选先进班集体，现从A．“学习”，B．“纪律”，C．“卫生”，D．“凝聚力”四个方面进行考核打分，如图为四项得分所占权重，若某班四个方面的得分依次为94，96，100，94，则该班四项综合得分为 　 　 分．
11．（2分）（2024秋 绥棱县期末）如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝　 　 cm．
12．（2分）（2022秋 滨城区校级期末）林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示，已知AC和AB都与⊙O相切，∠BAC＝60°，AB＝0.6m，则这棵大树的直径为 　 　 ．
13．（2分）（2023 银川校级一模）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为 　 　 ．
14．（2分）（2023春 即墨区期中）如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为 　 　 cm2．
15．（2分）（2024春 海淀区校级期末）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 　 　 ．
16．（2分）（2024秋 高碑店市月考）在用公式法求解一元二次方程ax2+3x﹣2＝0时，其中一步的过程为．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）a的值为　 　 ．
（2）方程的两根之和为　 　 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（6分）（2023秋 岳池县月考）用适当的方法解一元二次方程：2x2+4x﹣1＝0．
18．（6分）（2024春 石景山区期末）选择适当的方法解方程：x2﹣8x﹣9＝0．
19．（8分）（2024秋 永丰县月考）当x＝　 　 时，多项式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．
20．（8分）（2025 泉港区一模）小张在网上销售两款机器人配件，对近6个月甲、乙配件的每个月份销量进行统计，并绘制成如图所示的月销量折线统计图．
（1）要评价这两款配件近6个月的月销量平均水平，应选择下列哪个统计量？试求出这个统计量．（统计量：A．中位数；B．众数；C．平均数；D．方差；E．极差．）
（2）已知销售甲配件每件获利80元，乙配件每件获利100元，结合（1）中统计量与折线统计图，请你对小张接下来的进货情况提出一条合理的建议．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝5cm，AB＝10cm，若点M从点B出发沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发沿AC边以1cm/s的速度向点C运动，设M，N分别从点B，A同时出发，运动的时间为t s．
（1）用含t的式子表示线段AM，AN的长．
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
22．（8分）已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF＝∠A．求证：EF是⊙O的切线．
23．（8分）（2024 房山区）已知：如图⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：①作⊙O的直径AB；
②作直径AB的垂直平分线MN交⊙O于点C，D；
③连接AC，BC，AD，BD．
所以四边形ACBD就是所求作的正方形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过点O．
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，
∴AC＝BC＝BD＝AD．（ 　 　 ）（填推理的依据）
∴四边形ACBD是菱形．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝　 　 °．（ 　 　 ）（填推理的依据）
∴菱形ACBD是正方形．
24．（8分）（2022秋 邻水县校级月考）学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加比赛？
25．（8分）（2025 滁州三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，点B是劣弧CD的中点．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若∠CAD＝60°，⊙O的半径为1，求弦CD的长．
26．（8分）（2024秋 蓬江区校级月考）材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ，x1 x2＝　 　 ．
②已知实数a，b满足：a2+4a﹣3＝0，b2+4b﹣3＝0（a≠b），则　 　 ．
（2）已知实数m、n、t满足：m2﹣4m＝11+t，n2﹣4n＝11+t，且0＜m＜n，求（m+1）（n+1）的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足3a2+19a+12＝0，12b2+19b+3＝0，且ab≠1，求的值．
27．（12分）（2024秋 丰台区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为3时，
①在点，P2（﹣1，0），P3（1，）中，⊙O的关联点是　 　 ；
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，直接写出点P的横坐标xp的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为3，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
江苏省南京市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）下列方程中，无论a为何值，总是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2﹣3x+9＝0 B．（a+1）x2﹣2x+1＝0
C．（a2+1）x2﹣x﹣6＝0 D．（2a﹣3）x2﹣x＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：A、当a＝0时，方程不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
B、当a+1＝0，即a＝﹣1时，方程不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、a2+1＞0，故不论a为何值，方程是关于x的一元二次方程，符合题意；
D、当2a﹣3＝0，即a时，方程不是关于x的一元二次方程，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（2分）（2022秋 城关区校级期末）将方程x2﹣6x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】配方法；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式整理后得（x﹣3）2＝8，即可求出a与b的值．
【解答】解：方程x2﹣6x+1＝0，
变形得：x2﹣6x＝﹣1，
配方得：x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，
则a＝﹣3，b＝8，
故a+b＝﹣3+8＝5，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2分）（2024 内蒙古二模）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】A
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】解：用一名身高178cm的队员换下场上身高197cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变，
所以他们的平均数变小，
由于数据的波动性变小，
所以数据的方差变小．
故选：A．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．
4．（2分）（2023秋 古冶区期末）设方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2＝（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系求解即可得到答案．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是知道，．
5．（2分）（2023秋 浙江月考）在数学课上，我们学习了内切圆的概念，小明拿出了一个直角三角形ABC，已知AB＝3，BC＝4．那么△ABC的内切圆的周长为（　　）
A．π B． C．2π D．4π
【考点】三角形的内切圆与内心．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，一是∠A＝90°，由AB＝3，BC＝4，求得AC，设⊙G与AB、BC、AC分别相切于点E、D、F，连接GE、GF，可证明四边形AEGF是正方形，则GE＝AE＝AF，由切线长定理得BE＝BD，CF＝CD，则AE+AF＝2AE＝AB+AC﹣BE﹣CF＝AB+AC﹣BC1，所以GE＝AE，则⊙G的周长为（1）π，没有可选答案；二是∠B＝90°，则AC5，设⊙K与AB、BC、AC分别相切于点I、H、J，同理可证明四边形BIKH是正方形，则BI＝BH＝KI，因为AI＝AJ，CH＝CJ，所以BI+BH＝2BI＝AB+BC﹣AI﹣CH＝AB+BC﹣AC＝2，则KI＝BI＝1，可求得⊙K的周长为2π，于是得到问题的答案．
【解答】解：当∠A＝90°时，如图1，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC，
设⊙G与AB、BC、AC分别相切于点E、D、F，连接GE、GF，
∵AB⊥GE，AC⊥GF，
∴∠AEG＝∠AFG＝90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵GE＝GF，
∴四边形AEGF是正方形，
∴GE＝AE＝AF，
∵BE＝BD，CF＝CD，
∴AE+AF＝2AE＝AB+AC﹣BE﹣CF＝AB+AC﹣（BD+CD）＝AB+AC﹣BC＝341，
∴GE＝AE，
∴⊙G的周长为2π＝（1）π，
没有可选答案；
当∠B＝90°时，如图2，则AC5，
设⊙K与AB、BC、AC分别相切于点I、H、J，
同理可证明四边形BIKH是正方形，则BI＝BH＝KI，
∵AI＝AJ，CH＝CJ，
∴BI+BH＝2BI＝AB+BC﹣AI﹣CH＝AB+BC﹣（AJ+CJ）＝AB+BC﹣AC＝3+4﹣5＝2，
∴KI＝BI＝1，
∴⊙K的周长为2×1×π＝2π，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6．（2分）（2025 新都区模拟）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，半径为2，过点O作OG⊥AB于点G，给出下列结论：①圆心角∠AOB＝60°；②弦长AB＝2；③OG＝2；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为.其中正确的结论是（　　）
A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④
【考点】正多边形和圆；弧长的计算；扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据多边形ABCDEF是正六边形，得到∠AOB60°，故①正确；根据等边三角形的性质得到AB＝OA＝2，故②正确；根据直角三角形的性质得到OGOA，故③错误；根据扇形和三角形的面积公式得到图中阴影部分的面积2π，故④正确；根据弧长公式得到的长π，故⑤错误．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB60°，故①正确；
∵AO＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，故②正确；
∵OG⊥AB，
∴∠AOG∠AOB＝30°，
∴OGOA，故③错误；
∴图中阴影部分的面积2π，故④正确；
∴的长π，故⑤错误，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，扇形的面积公式，正确地识别图形是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2025春 招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　x＝±2　 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】x＝±2．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵mx2+mx＝3x+12不含x的一次项，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3，
∴3x2+3x＝3x+12，
解得x＝±2，
故答案为：x＝±2．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
8．（2分）（2023秋 靖江市期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是 　9　 ．
【考点】极差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】9．
【分析】根据极差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的极差为98﹣89＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
9．（2分）（2022秋 武侯区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（点E不与B，C重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，点G是点C关于直线BF的对称点，连接AG，DG，GF，则当GF取得最小值时，△AGD的面积是 　8　 ．
【考点】点与圆的位置关系；轴对称的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；空间观念；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】由BF⊥AE，可知F点在以AB为直径的半圆上，连接CG，延长BF交CG于点M，再由点G是点C关于直线BF的对称点，可得CF＝FG，则当O、F、C三点共线时，CF取最小值，此时FG也取最小值；连接OC，取BE的中点N，可得ON∥AE，再由，求出BE＝22，AE2＝40﹣8，连接CG交BF的延长线于点M，可证明△ABF≌△BCM（AAS），则BF＝CM，由对称性可知，MG＝CM，可得CG＝2BF，过点G作GK⊥BC交于点K，由cos∠BAE，求出GK，则G点AD的距离为4，再求S△AGD＝8即可．
【解答】解：∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴F点在以AB为直径的半圆上，
连接CG，延长BF交CG于点M，
∵点G是点C关于直线BF的对称点，
∴CF＝FG，
当O、F、C三点共线时，CF取最小值，此时FG也取最小值，
连接OC，取BE的中点N，
∴ON∥AE，
∴，即，
∵BC＝4，
∴OB＝2，OF＝2，
∴OC＝2，
∴，
解得EN1，
∴BE＝22，
∴AE2＝40﹣8，
∵∠BFA＝90°，
∴BF，
连接CG交BF的延长线于点M，
∴∠BMC＝90°，
∵∠CBM＝∠BAE，AB＝BC，
∴△ABF≌△BCM（AAS），
∴BF＝CM，
由对称性可知，MG＝CM，
∴CG＝2BF，
过点G作GK⊥BC交于点K，
∵cos∠BAE，
∴GK，
∴G点AD的距离为4，
∴S△AGD4×（4）＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，点与圆的位置关系是解题的关键．
10．（2分）（2024春 汉阳区期末）为全面推进优良学风建设，某校准备评选先进班集体，现从A．“学习”，B．“纪律”，C．“卫生”，D．“凝聚力”四个方面进行考核打分，如图为四项得分所占权重，若某班四个方面的得分依次为94，96，100，94，则该班四项综合得分为 　96　 分．
【考点】加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】96．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：该班四项综合得分为94×35%+96×25%+100×25%+94×15%＝96（分），
故答案为：96．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
11．（2分）（2024秋 绥棱县期末）如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝　（8+5）　 cm．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（8+5）．
【分析】利用勾股定理求出BC，证明AD＝BD，求出AD，可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC8（cm），
∵CD平分∠ACD，
∴，
∴AD＝BDAB＝5（cm），
∴BC+AD＝（8+5）（cm）．
故答案为：（8+5）．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，角平分线的定义，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．（2分）（2022秋 滨城区校级期末）林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示，已知AC和AB都与⊙O相切，∠BAC＝60°，AB＝0.6m，则这棵大树的直径为 　m　 ．
【考点】切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】m．
【分析】连接OA、OB，由切线长定理得∠OAB∠BAC＝30°，由切线的性质得∠OBA＝90°，则OA＝2OB，再由AB2+OB2＝（2OB）2推导出OBAB，即可由2OBAB求出这棵大树的直径．
【解答】解：连接OA、OB，
∵AC和AB都与⊙O相切，∠BAC＝60°，
∴∠OAB＝∠OAC∠BAC＝30°，AB⊥OB，
∴∠OBA＝90°，
∴OA＝2OB，
∴AB2+OB2＝（2OB）2
∴OBAB，
∴2OBAB0.6（m），
∴这棵大树的直径为m，
故答案为：m．
【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13．（2分）（2023 银川校级一模）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为 　15cm　 ．
【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】15cm．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OC的长，再利用弧长公式计算出弧长CD的长，设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到弧CD＝2πr，计算即可．
【解答】过O作OE⊥AB于点E，
∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°
∴，
∴弧CD（cm），
设圆锥的底面圆的半径为r，则弧CD＝2πr，
∴30π＝2πr，
解得r＝15cm，
故答案为：15cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2分）（2023春 即墨区期中）如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为 　30　 cm2．
【考点】正方形的性质；平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；正多边形与圆；推理能力．
【答案】30．
【分析】由平移的性质可得A'E＝3cm，AE＝2cm，可求B'E＝5cm，DE＝6cm，即可求解．
【解答】解：如图，设AD与A'B'交于点E，
∵将边长为8cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移2cm，
∴A'E＝3cm，AE＝2cm，
∴B'E＝5cm，DE＝6cm，
∴阴影部分的面积＝5×6＝30（cm2），
故答案为：30．
【点评】本题考查了正方形的性质，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
15．（2分）（2024春 海淀区校级期末）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 　d≤1　 ．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意以及矩形的性质得OP过矩形ABCD各边的中点时，d最大，OP过矩形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．
【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小，
如图①：∵AB＝2，AD＝1，中心为O，
∴OE，OE⊥AB，
∵OP，
∴d＝PE＝1；
如图②：∵AB＝2，AD＝1，中心为O，
∴AE＝1，OE，OE⊥AB，
∴OA，
∵OP
∴d＝PA；
∴d的取值范围为d≤1．
故答案为：d≤1．
【点评】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
16．（2分）（2024秋 高碑店市月考）在用公式法求解一元二次方程ax2+3x﹣2＝0时，其中一步的过程为．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）a的值为　2　 ．
（2）方程的两根之和为　　 ．
【考点】根与系数的关系；二次根式的乘除法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）根据一元二次方程求根公式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，∵根据，
∴2a＝4．
∴a＝2，
故答案为：2．
（2）原方程为2x2+3x﹣2＝0
∵a＝2，b＝3
∴方程的两根之和为，
故答案为：．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一元二次方程的根与系数的关系是关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（6分）（2023秋 岳池县月考）用适当的方法解一元二次方程：2x2+4x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据等式的性质把二次项的系数化成1，然后把常数项移到等号右边，再在方程两边同时加1，进行解答即可．
【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程．
18．（6分）（2024春 石景山区期末）选择适当的方法解方程：x2﹣8x﹣9＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝9，x2＝﹣1．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x2﹣8x﹣9＝0，
（x﹣9）（x+1）＝0，
∴x﹣9＝0或x+1＝0，
∴x1＝9，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键．
19．（8分）（2024秋 永丰县月考）当x＝　﹣7或1　 时，多项式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；相反数．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣7或1．
【分析】根据相反数的性质得出关于x的方程，整理成一般式后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：根据题意，得：3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，
整理，得：x2+6x﹣7＝0，
则（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝1．
∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．
故答案为：﹣7或1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）（2025 泉港区一模）小张在网上销售两款机器人配件，对近6个月甲、乙配件的每个月份销量进行统计，并绘制成如图所示的月销量折线统计图．
（1）要评价这两款配件近6个月的月销量平均水平，应选择下列哪个统计量？试求出这个统计量．（统计量：A．中位数；B．众数；C．平均数；D．方差；E．极差．）
（2）已知销售甲配件每件获利80元，乙配件每件获利100元，结合（1）中统计量与折线统计图，请你对小张接下来的进货情况提出一条合理的建议．
【考点】折线统计图；加权平均数；中位数；众数；极差；方差；统计量的选择．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）选择C，甲＝80，乙＝60；
（2）多进甲商品，少进乙商品（答案不唯一）．
【分析】（1）要评价某店对甲、乙两类商品1﹣6月的月销量平均水平，即可选择这两类商品1﹣6月的月销量的平均值，然后利用求平均数的方法求解即可求得答案；
（2）根据平均数及折线统计图的变化趋势分析即可．
【解答】解：（1）选择这两类商品1﹣6的月销量的平均值，
即选择C，
甲（65+65+70+85+95+100）＝80，
乙（80+75+43+62+55+45）＝60；
（2）甲商品月销量的平均值大于乙商品，且由折线统计图可知甲商品的营业额持续稳定增长，潜力大．所以该店下月多进甲商品，少进乙商品（答案不唯一）．
【点评】本题考查了求平均数，折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＝5cm，AB＝10cm，若点M从点B出发沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发沿AC边以1cm/s的速度向点C运动，设M，N分别从点B，A同时出发，运动的时间为t s．
（1）用含t的式子表示线段AM，AN的长．
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
【考点】勾股定理；列代数式；等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AM＝（10﹣2t）cm，AN＝t cm；
（2）当t时，AMN是以MN为底的等腰三角形．
【分析】（1）根据已知点M、N的运动情况即可直接写出AN、AM的长；
（2）利用△AMN是以MN为底的等腰三角形得到：AM＝AN，建立方程即可解答
【解答】解：（1）∵AC＝5cm，AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝（10﹣2t）cm，AN＝t cm；
（2）当△AMN是以MN为底的等腰三角形时，AM＝AN，即t＝10﹣2×t，
∴t，
故当t时，AMN是以MN为底的等腰三角形．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
22．（8分）已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF＝∠A．求证：EF是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见解析过程．
【分析】由圆周角定理可得∠H＝∠A，∠HCB＝90°，由余角的性质可证HB⊥EF，即可求解．
【解答】证明：连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，
则∠H＝∠A，
∵HB是直径，
∴∠HCB＝90°，
∴∠H+∠CBH＝90°，
又∵∠A＝∠CBF，
∴∠CBF+∠CBH＝90°，
∴HB⊥EF，
又∵OB是半径，
∴EF是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（8分）（2024 房山区）已知：如图⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：①作⊙O的直径AB；
②作直径AB的垂直平分线MN交⊙O于点C，D；
③连接AC，BC，AD，BD．
所以四边形ACBD就是所求作的正方形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过点O．
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，
∴AC＝BC＝BD＝AD．（ 　相等的圆心角所对的弦相等　 ）（填推理的依据）
∴四边形ACBD是菱形．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝　90　 °．（ 　直径所对的圆周角是直角　 ）（填推理的依据）
∴菱形ACBD是正方形．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；正多边形和圆．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过点O．
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，
∴AC＝BC＝BD＝AD（相等的圆心角所对的弦相等），
∴四边形ACBD是菱形．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴菱形ACBD是正方形．
故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，90，直径所对的圆周角是直角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握正方形的判定方法．
24．（8分）（2022秋 邻水县校级月考）学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】有6个球队参加比赛．
【分析】利用比赛场次数＝参赛球队的数量×（参赛队伍的数量）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x＝6或x＝﹣5（不符合题意，舍去）．
答：有6个球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（8分）（2025 滁州三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，点B是劣弧CD的中点．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若∠CAD＝60°，⊙O的半径为1，求弦CD的长．
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据垂径定理可得答案；
（2）先求出∠OCE＝30°，再求出，最后根据勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵点B是劣弧CD的中点，AB是⊙O的直径，
∴CE＝ED，AB⊥CD，
∴AC＝AD；
（2）解：如图，连接OC，
∵AC＝AD，AE⊥CD，∠CAD＝60°，
∴，∠ACD＝60°，
∵AO＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠OCE＝30°，
∵CO＝1，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是求出∠OCE＝30°．
26．（8分）（2024秋 蓬江区校级月考）材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝　1.5　 ，x1 x2＝　﹣2.5　 ．
②已知实数a，b满足：a2+4a﹣3＝0，b2+4b﹣3＝0（a≠b），则　　 ．
（2）已知实数m、n、t满足：m2﹣4m＝11+t，n2﹣4n＝11+t，且0＜m＜n，求（m+1）（n+1）的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足3a2+19a+12＝0，12b2+19b+3＝0，且ab≠1，求的值．
【考点】根与系数的关系；数学常识；分式的化简求值；估算一元二次方程的近似解；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）①1.5；﹣2.5；②；
（2）5＜（m+1）（n+1）＜9；
（3）1．
【分析】（1）①根据根与系数的关系解答；
②根据题意，得到实数a，b是方程 x2+4x﹣3＝0 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，m，n是方程x2﹣4x﹣11﹣t＝0的解，进而得到（m+1）（n+1）＝mn+m+n+1＝﹣t﹣6，再根据根与系数 的关系和根的判别式求出t的范围，即可；
（3）先得出是方程3x2+19x+12＝0的解，得到3ab＝﹣19b﹣3，a＝4b，再整体代入，求解即可．
【解答】解：（1）①∵一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝1.5；x1 x2＝﹣2.5；
故答案为：1.5；﹣2.5；
②∵实数a，b满足：a2+4a﹣3＝0，b2+4b﹣3＝0（a≠b），
∴a，b是方程x2+4x﹣3＝0的解，
∴a+b＝﹣4，ab＝﹣3，
∴；
故答案为：；
（2）∵实数m、n、t满足：m2﹣4m＝11+t，n2﹣4n＝11+t
∴m，n是方程x2﹣4x﹣11﹣t＝0的解，
∴m+n＝4，mn＝﹣11﹣t，
∴（m+1）（n+1）＝mn+m+n+1＝﹣t﹣6
∵0＜m＜n，
∴Δ＝16﹣4×1×（﹣11﹣t）＞0，﹣11﹣t＞0，
∴﹣15＜t＜﹣11，
∴5＜﹣t﹣6＜9，
∴5＜（m+1）（n+1）＜9；
（3）∵3a2+19a+12＝0，12b2+19b+3＝0，
∴，
∵ab≠1，
∴，
∴是方程3x2+19x+12＝0的解，
∴，
∴3ab＝﹣19b﹣3，a＝4b，
∴1．
【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
27．（12分）（2024秋 丰台区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为3时，
①在点，P2（﹣1，0），P3（1，）中，⊙O的关联点是　P1、P3　 ；
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，直接写出点P的横坐标xp的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为3，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）①P1、P3；
②；
（2）．
【分析】（1）①利用两点间距离公式求出OP1、OP2、OP3，进而根据半径为3求出点P1、P2、P3与⊙O的最小距离即可判断求解；
②根据定义可得，当直线y＝﹣x上的点P到原点的距离在2到4之间时符合题意，利用两点间距离公式分别求出点P的横坐标即可求解；
（2）分四种情况画出图形解答即可求解．
【解答】解：（1）①∵点，
∴，，，
∴点P1与⊙O的最小距离为，点P2与⊙O的最小距离为3﹣1＝2，点P3与⊙O的最小距离为3﹣2＝1，
∴⊙O的关联点是P1、P3，
故答案为：P1、P3；
②根据定义可得，当直线y＝﹣x上的点P到原点的距离在2到4之间时符合题意，
∴设点P的坐标为P（x，﹣x），
当OP＝2时，由距离公式可得，，
解得：；
当OP＝4时，由距离公式可得，，
解得：；
故点P的横坐标的取值范围为：；
（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
令x＝0，得y＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
如图1，当圆过点A时，CA＝4，
∴点C坐标为C（﹣2，0），
如图2，当直线与小圆相切时，切点为D，则CD＝2，
又∵直线AB所在的函数解析式为y＝﹣x+2，
∴直线AB与x轴形成的夹角是45°，
∴Rt△ACD中，，
∴C点坐标为，
∴C点的横坐标的取值范围为；
如图3，当圆过点A时，AC＝2，
∴C点坐标为（4，0），
此时，不符合题意；
如图4，当圆过点B时，连接BC，此时BC＝4，
∴在Rt△OCB中，由勾股定理得，
∴C点坐标为，
显然，此时A不符合题意，
∴该种情况不存在，不合题意；
综上，圆心C的横坐标的取值范围为．
【点评】本题考查了两点间距离公式，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，一次函数的性质，解题的关键是正确地理解新定义，运用分类讨论思想解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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