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天津市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 嘉兴期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3.5cm B．6cm，13cm，8cm
C．5cm，9cm，4cm D．11cm，5cm，5cm
2．（3分）（2022秋 舟山期末）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2023秋 徐闻县期中）下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正六边形 B．正方形
C．五边形 D．等腰三角形
4．（3分）（2024秋 徐水区期末）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
5．（3分）（2024秋 淮安期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠α＝（　　）
A．50° B．58° C．72° D．无法确定
6．（3分）（2024秋 科右前旗期中）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B． C．8 D．12
7．（3分）（2023秋 三门县月考）下列语句中，正确的是（　　）
A．三角形的外角和大于它的内角和
B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C．三角形的内角小于它的外角
D．三角形的外角和是180°
8．（3分）（2023春 沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．4
9．（3分）（2024秋 江阳区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
10．（3分）（2024春 双峰县期末）已知一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．十边形 C．九边形 D．七边形
11．（3分）（2024秋 越秀区校级期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，要判断△ABD≌△ACD，若要根据“SAS”还要添加条件是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．BC＝CD D．AD⊥BC
12．（3分）（2025春 法库县期中）如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，过P作PQ⊥OB，若PQ＝7cm，则点P到OA的距离为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2023秋 碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（3a﹣8，﹣3）在y轴上，且点A和点B（0，b）关于x轴对称，则代数式ab的值为 　 　 ．
14．（3分）（2022秋 大石桥市期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为 　 　 ．
15．（3分）（2023秋 仁化县期中）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α＝　 　 ．
16．（3分）（2024春 安次区期末）如图所示：将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 　 　 ．
17．（3分）（2025春 河北区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为 　 　 ．
18．（3分）（2024春 萧县期末）如图是∠α与∠β在5×5的网格上的位置，则∠α+∠β＝　 　 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2024春 靖江市校级月考）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
20．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，且CE＝BF．求证：AD是∠BAC的平分线．
21．（2024春 黄石期末）如图，△ABC在平面直角坐标系中，且A（2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，﹣3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 　 　 ．
（2）在y轴上求点P，使得PC+PB的值最小，求P点坐标．
22．（2024春 新郑市期末）如图1是安全用电的标识图案，其中蕴含着几何知识．
如图2，点B，D，C，F在同一条直线上，且DC＝BF，AB＝ED，AB∥ED．（1）请判断AC与EF的关系，并说明理由；
（同学们，两线段的关系要从两方面思考：数量关系和位置关系）
（2）若∠B＝25°，∠E＝75°，求∠ACB的度数．
23．（2023春 丰泽区期末）在△ABC在中，∠B＝∠C，点D在边BC上．
（1）如图①，点E在线段AC上，若∠ADE＝∠AED，证明：∠BAD＝2∠CDE；
（2）如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比．
24．（2025春 祁东县期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠ABC的大小．
（2）若△ABC的面积为30，BD＝5，求AF的长．
25．（2024秋 南岸区校级月考）如图，在直角坐标系中点A（1，0），．以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．
（1）如果在第二象限内有一点，试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC的面积相等时m的值．
（2）是否在坐标轴上存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
天津市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 嘉兴期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3.5cm B．6cm，13cm，8cm
C．5cm，9cm，4cm D．11cm，5cm，5cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐一判断即可求解．
【解答】解：A、∵1+2＝3＜3.5，∴1cm，2cm，3.5cm不能组成三角形，该选项不合题意；
B、∵6+8＞13，∴6cm，13cm，8cm能组成三角形，该选项符合题意；
C、∵5+4＝9，∴5cm，9cm，4cm不能组成三角形，该选项不合题意；
D、∵5+5＜11，∴11cm，5cm，5cm不能组成三角形，该选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键．
2．（3分）（2022秋 舟山期末）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2023秋 徐闻县期中）下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正六边形 B．正方形
C．五边形 D．等腰三角形
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：因为三角形具有稳定性，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
4．（3分）（2024秋 徐水区期末）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可．
【解答】解：对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）；
故选：C．
【点评】本题考查坐标与轴对称，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是关键．
5．（3分）（2024秋 淮安期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠α＝（　　）
A．50° B．58° C．72° D．无法确定
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【解答】解：由图象和全等三角形的对应角相等得：∠α＝50°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
6．（3分）（2024秋 科右前旗期中）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B． C．8 D．12
【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形得出△BDE、△CDE的面积，即可得出△BCE的面积，再根据三角形中线的性质即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵点D为边BC的中点，△ABC的面积为16，
∴8，
∵点E为边AD的中点，
∴4，4，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝4+4＝8，
∵点F为边CE的中点，
∴4，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
7．（3分）（2023秋 三门县月考）下列语句中，正确的是（　　）
A．三角形的外角和大于它的内角和
B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C．三角形的内角小于它的外角
D．三角形的外角和是180°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和及外角性质逐项进行判断即可．
【解答】解：三角形的外角和为360°，内角和为180°，那么三角形的外角和大于它的内角和，则A符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，则B不符合题意；
若三角形的一个内角为100°，则它对应的外角为80°，此时该内角大于其外角，则C不符合题意；
三角形的外角和为360°，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角与外角，熟练掌握三角形的内角和及外角性质是解题的关键．
8．（3分）（2023春 沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．4
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到边OA的距离即等于PD的长．
【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质定理，结合图形熟练掌握定理，本题较简单．
9．（3分）（2024秋 江阳区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法可判断画出得三角形与书上完全一样．
【解答】解：三角形被墨迹污染了一部分，但是该三角形有两个角和它们所夹的边没有影响，
所以他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10．（3分）（2024春 双峰县期末）已知一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．十边形 C．九边形 D．七边形
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程（n﹣2） 180°＝1440°，即可解得n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1440°，
解得n＝10，
则这个多边形是十边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°是解答本题的关键．
11．（3分）（2024秋 越秀区校级期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，要判断△ABD≌△ACD，若要根据“SAS”还要添加条件是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．BC＝CD D．AD⊥BC
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴判定△ABD≌△ACD，要根据“SAS”还要添加条件AB＝AC．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握SAS．
12．（3分）（2025春 法库县期中）如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，过P作PQ⊥OB，若PQ＝7cm，则点P到OA的距离为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】过P作PH⊥OA于H，由角平分线的性质推出PH＝PQ＝7cm，即可得到答案．
【解答】解：过P作PH⊥OA于H，
∵OC平分∠AOB，PQ⊥OB，
∴PH＝PQ＝7cm，
∴点P到OA的距离为7cm．
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2023秋 碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（3a﹣8，﹣3）在y轴上，且点A和点B（0，b）关于x轴对称，则代数式ab的值为 　8　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0可得a的值，根据关于x轴对称的点的坐标特点可得b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵点A（3a﹣8，﹣3）在y轴上，
∴3a﹣8＝0，
解得a；
∵点A和点B（0，b）关于x轴对称，
∴b＝3，
∴ab8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了点的坐标以及关于x轴对称的点的坐标，掌握y轴上的点的特征以及关于x轴对称的点的坐标特点是解答本题的关键．
14．（3分）（2022秋 大石桥市期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为 　9　 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；应用意识．
【答案】9．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长为17，
∴BC+CN+BN＝17，
∴BC+CN+AN＝BC+AC＝17，
∴AC＝17﹣BC＝17﹣8＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）（2023秋 仁化县期中）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α＝　15°　 ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题；三角形；应用意识．
【答案】15°．
【分析】利用外角与内角的关系得结论．
【解答】解：因为60°＝45°+∠a，
∴∠a＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的推论，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
16．（3分）（2024春 安次区期末）如图所示：将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 　75°　 ．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】75°．
【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵∠2+60°+45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
17．（3分）（2025春 河北区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为 　15　 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，先求出AB＝10，设DE＝a，根据角平分线性质得DE＝CD＝a，根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD得，由此解得a＝3，进而即可得出△ABD的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB10，
设DE＝a，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝a，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴AC BCAC CDAB DE，
∴，
解得：a＝3，
∴DE＝CD＝a＝3，
∴S△ABDAB DE15．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
18．（3分）（2024春 萧县期末）如图是∠α与∠β在5×5的网格上的位置，则∠α+∠β＝　45°　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°．
【分析】由“SAS”可证△EFH≌△BAG，△ABG≌△CAN，可得AC＝AB，∠CAN＝∠ABG，可求∠CAB＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，取格点A，连接AC，AB，
∵AG＝FH＝1，BG＝EH＝3，∠AGB＝∠EHF＝90°，
∴△EFH≌△BAG（SAS），
∴∠ABG＝∠FEH＝∠β，
同理可证：△ABG≌△CAN，
∴AC＝AB，∠CAN＝∠ABG，
∵∠ABG+∠GAB＝90°，
∴∠CAN+∠GAB＝90°＝∠CAB，
又∵AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠α+∠β＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．（2024春 靖江市校级月考）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】多边形边数为8，内角和为1080°．
【分析】由多边形的每一个内角与它相邻的外角和等于180°，列方程求解可得内角度数，从而求得外角度数，再利用多边形的外角和等于360°进行计算即可．
【解答】解：设内角为x，则外角为，根据题意得：
，
解得：x＝135°，
∴，
即这个多边形的每个外角为45°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷45°＝8，
∴多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．
【点评】本题考查多边形边数和内角和的关系，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角、边数的关系是解题的关键．
20．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，且CE＝BF．求证：AD是∠BAC的平分线．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据AAS先证明△BDF≌△CDE，得出DE＝DF，根据角平分线的性质定理的逆定理可得出AD是∠BAC的平分线．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴DE＝DF，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△BDF≌△CDE．
21．（2024春 黄石期末）如图，△ABC在平面直角坐标系中，且A（2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，﹣3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 　（﹣2，4）　 ．
（2）在y轴上求点P，使得PC+PB的值最小，求P点坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】作图题；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；（﹣2，4）；
（2）P（0，﹣2）．
【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）连接BC1交y轴于点 P，连接PC，根据轴对称的性质得出PC＝PC1，求出PC+PB＝PC1+PB，根据两点间距离最短，得出PC1+PB最小，即PC+PB的值最小，P为所求的点，求出直线BC1解析式为：y＝﹣x﹣2，求出P（0，﹣2）．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求作的三角形，点A1（﹣2，4）；
故答案为：（﹣2，4）；
（2）连接BC1交y轴于点 P，连接PC，
根据轴对称可知，PC＝PC1，
∴PC+PB＝PC1+PB，
∵垂线段最短，
∴此时PC1+PB最小，即PC+PB的值最小，P为所求的点，
设BC1的解析式为y＝kx+b，把点B（﹣3，1），C1（1，﹣3）代入得：
，
解得 ，
∴直线BC1解析式为：y＝﹣x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【点评】本题主要考查了作图—轴对称变换，关于x轴、y轴对称点的坐标，轴对称—最短线路问题，熟练掌握轴对称的性质，作出对应点的位置．
22．（2024春 新郑市期末）如图1是安全用电的标识图案，其中蕴含着几何知识．
如图2，点B，D，C，F在同一条直线上，且DC＝BF，AB＝ED，AB∥ED．（1）请判断AC与EF的关系，并说明理由；
（同学们，两线段的关系要从两方面思考：数量关系和位置关系）
（2）若∠B＝25°，∠E＝75°，求∠ACB的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】常规题型；几何直观．
【答案】（1）AC∥EF且AC＝EF；（2）80°．
【分析】（1）根据题干条件证△ABC≌△EDF（SAS）即可；
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和可直接求出．
【解答】解：（1）AC＝EF，AC∥EF．理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∵DC＝BF，
∴DC+CF＝BF+CF，即DF＝BC
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）．
∴AC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥EF且AC＝EF．
（2）由（1）中△ABC≌△EDF可得∠A＝∠E＝75°，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠B＝25°，
∴∠ACB＝80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．（2023春 丰泽区期末）在△ABC在中，∠B＝∠C，点D在边BC上．
（1）如图①，点E在线段AC上，若∠ADE＝∠AED，证明：∠BAD＝2∠CDE；
（2）如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】（1）过程见详解；（2）．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC，∠DAC＝180°﹣∠ADE﹣∠AED，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED＝∠C+∠CDE，从而可以得到结论成立．
（2）如图2中，延长QF交AC于K．设∠P＝x，∠BFQ＝y．构建方程组解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠B＝∠C，
∴在△ABC中，∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC
＝180°﹣2∠C﹣（180°﹣2∠AED）
＝180°﹣2∠C﹣180°+2∠AED
＝﹣2∠C+2（∠CDE+∠C）
＝2∠CDE；
（2）解：如图2中，延长QF交AC于K．设∠P＝x，∠BFQ＝y．
∵AH⊥QK，∠HAQ＝∠HAK，
∴∠QAH+∠AQH＝90°，∠HAK+∠AKQ＝90°，
∴∠AQK＝∠AKQ，
∴2∠2＝∠KFC+∠C＝y+2∠1，
∴∠2﹣∠1y，
∵∠1+x＝∠2+y，
∴xy+y，
∴2x＝3y，
∴2∠P＝3∠BFQ．
∴∠P与∠BFQ的度数之比为：．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
24．（2025春 祁东县期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠ABC的大小．
（2）若△ABC的面积为30，BD＝5，求AF的长．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）42°；
（2）6．
【分析】（1）由三角形的外角性质得到∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝21°，由角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABE＝42°；
（2）由三角形的中线等于得到BC＝2BD＝10，由三角形的面积公式得到△ABC的面积BC AF＝30，求出AF＝6．
【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝46°，∠BAD＝25°，
∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝46°﹣25°＝21°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×21°＝42°；
（2）∵AD为中线，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵AF⊥BC，
∴△ABC的面积BC AF＝30，
∴AF＝6．
【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线和高，关键由三角形的外角性质得到∠ABE＝∠BED﹣∠BAD．
25．（2024秋 南岸区校级月考）如图，在直角坐标系中点A（1，0），．以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．
（1）如果在第二象限内有一点，试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC的面积相等时m的值．
（2）是否在坐标轴上存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）；；
（2）（﹣1，0）或（3，0）或或或或．
【分析】（1）先求出，则由勾股定理可得，再求出，进而得到，根据S四边形ABPO＝S△ABP+S△AOP＝S△BOP+S△BOA可得，再解方程即可得到答案；
（2）分点P在x轴和在y轴上两种情况，再讨论三边中有两边相等，进行分类求解即可．
【解答】解：（1）∵A（1，0），，
∴，
∴，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AC，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴AC2+22＝4AC2，
∴或（舍去），
∴；
∵S四边形ABPO＝S△ABP+S△AOP＝S△BOP+S△BOA，
∴，
∴；
当时，则，
解得；
（2）当点Q在x轴上时，若QB＝AB，
∵OB⊥AQ，
∴OQ＝OA＝1，
∴点Q的坐标为（﹣1，0），
若AQ＝AB＝2，则点Q的坐标为（﹣1，0）或（3，0）；
若QB＝QA，设Q（q，0），则，
解得q＝﹣1，
∴点Q的坐标为（﹣1，0），
综上所述，当点Q在x轴上时，点Q的坐标为（﹣1，0）或（3，0）；
当点Q在y轴上时，若BQ＝AB＝2，则点Q的坐标为或；
若BQ＝AQ，设Q（0，s），则，
解得，
∴点Q的坐标为；
若AB＝AQ，
∵OA⊥BQ，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上所述，当点Q在y轴上时，点Q的坐标为或或或；
综上所述，当点Q在坐标轴上时，点Q的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或或或或．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义与性质，含30度角的直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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