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天津市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 鼓楼区校级期中）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0
C．a≠0 D．a为任意实数
2．（3分）（2023 兴宁区三模）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．中国探火CMEP
B．中国探月CLEP
C．中国行星探测MARS
D．中国火箭CHINAROCKET
3．（3分）（2021秋 萨尔图区校级期中）抛物线y＝（x+4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）
A．（4，﹣5），开口向上 B．（4，﹣5），开口向下
C．（﹣4，﹣5），开口向上 D．（﹣4，﹣5），开口向下
4．（3分）（2024 榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式可以是（　　）
A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
5．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝1
6．（3分）（2023秋 思明区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使点A与点B关于原点对称，那么这时点C的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（2，﹣1）
7．（3分）（2023春 包头期末）如图，在△ABC中，AB＝1.2，BC＝2.4，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
8．（3分）（2023秋 霍邱县期末）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.6（1+2x）
B．y＝2.6（1﹣x）2
C．y＝2.6（1+x）2
D．y＝2.6+2.6（1+x）+2.6（1+x）2
9．（3分）（2025春 白银期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，将△ABC绕着点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，若点B，C，A′在同一条直线上，则∠BCB′的度数为（　　）
A．106° B．104° C．102° D．100°
10．（3分）（2023秋 霍邱县月考）如图，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点E，AC交⊙O于点D，AD＝CD，∠A＝68°，则∠BOE的度数是（　　）
A．92° B．91° C．90° D．88°
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB＝4，则点B到x轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）（2023秋 沙依巴克区月考）某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（　　）
A．60元 B．50元
C．40元 D．40元或60元
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2024 湖北一模）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+2x1x2＝　 　 ．
14．（3分）（2023 九台区一模）关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝　 　 ．
15．（3分）（2023秋 嘉定区期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象的最高点的横坐标是 　 　 ．
16．（3分）（2023秋 南岗区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝20，弦AB＝16，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 　 　 ．
17．（3分）（2024秋 太和县月考）将函数y＝x2+x﹣2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+x﹣2|的图象．
（1）抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），则x2＝ 　 　 ；
（2）若该新函数图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 　 　 ．
18．（3分）（2023秋 新罗区校级期末）二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）与x轴的只有一个交点，则c＝　 　 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2025春 琅琊区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x＝7；
（2）解方程：3x（3x+1）＝6x+2．
20．（2022秋 二七区校级期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝　 　 时，方程有一个负整数解为﹣1．
21．（2023秋 如皋市校级月考）已知二次函数的图象经过点（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定该二次函数的解析式；
（2）判定点P（﹣2，3）是否在这个图象上，并说明理由；
22．（2023秋 黔东南州期中）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD内一点，△AED绕点A顺时针旋转到△AE′B的位置，点E的对应点是点E'，点D的对应点是点B．
（1）△AED绕点A顺时针旋转到△AE′B的位置，旋转角是多少度？
（2）若∠AED＝90°，∠EAD＝30°，求线段的长EE'．
23．（2023秋 大兴区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣5 0 3 4 3 m …
（1）直接写出m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当y＜3时，直接写出x的取值范围．
24．（2023秋 龙湖区校级月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，求水面下降多少米时，水面宽8米．
25．（2024春 宁海县期中）【三角形中位线定理】：如图1，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，．
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，求GF的长．
天津市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 鼓楼区校级期中）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0
C．a≠0 D．a为任意实数
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能能熟记当a≠0时方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程是解此题的关键．
2．（3分）（2023 兴宁区三模）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．中国探火CMEP
B．中国探月CLEP
C．中国行星探测MARS
D．中国火箭CHINAROCKET
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）（2021秋 萨尔图区校级期中）抛物线y＝（x+4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）
A．（4，﹣5），开口向上 B．（4，﹣5），开口向下
C．（﹣4，﹣5），开口向上 D．（﹣4，﹣5），开口向下
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点式，利用二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x+4）2﹣5，且a＝1＞0，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣4，﹣5），开口向上．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，根据“y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k）”可解题．
4．（3分）（2024 榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式可以是（　　）
A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（1，﹣1），抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），
∴顶点由（1，﹣1）到（2，3）需要先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
5．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝1
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】方程ax2+bx+c＝0的解是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数与方程的关系是解题关键．
6．（3分）（2023秋 思明区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使点A与点B关于原点对称，那么这时点C的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（2，﹣1）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】首先正确确定坐标轴的位置，原点的位置，再确定C点的坐标．
【解答】解：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置．
所以点C的坐标是（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题关键是根据题意确定原点的位置，然后写出点C的坐标．注意：两点关于原点对称，则两个点的坐标都是互为相反数．
7．（3分）（2023春 包头期末）如图，在△ABC中，AB＝1.2，BC＝2.4，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，由∠B＝60°可得△ABD是等边三角形，进而得出BD＝AB＝1.2即可求出CD．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝1.2，
∴CD＝BC﹣BD＝2.4﹣1.2＝1.2，
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
8．（3分）（2023秋 霍邱县期末）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.6（1+2x）
B．y＝2.6（1﹣x）2
C．y＝2.6（1+x）2
D．y＝2.6+2.6（1+x）+2.6（1+x）2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】利用合肥市2023年第三季度GDP总值＝合肥市2023年第一季度GDP总值×（1+平均每个季度GDP增长的百分率）2，即可找出y关于x的函数表达式．
【解答】解：根据题意得：y＝2.6（1+x）2．
故选：C．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式是解题的关键．
9．（3分）（2025春 白银期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，将△ABC绕着点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，若点B，C，A′在同一条直线上，则∠BCB′的度数为（　　）
A．106° B．104° C．102° D．100°
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据等边对等角，得到∠ACB的度数，再根据旋转的性质得到∠A′CB′＝∠ACB，进而得到答案即可；
【解答】解：∵将△ABC绕着点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠A′CB′＝∠ACB，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝80°，
∴∠BCB′＝180°﹣80°＝100°．
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
10．（3分）（2023秋 霍邱县月考）如图，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点E，AC交⊙O于点D，AD＝CD，∠A＝68°，则∠BOE的度数是（　　）
A．92° B．91° C．90° D．88°
【考点】圆周角定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】连接BD，CE，由BC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后由线段垂直平分线的性质，可得AB＝BC，继而求得∠ABC的度数，则可求得∠BCE的度数．
【解答】解：连接BD，CE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴BD⊥CD，
∵AD＝CD，
∴AB＝CB，
∵∠A＝∠ACB＝68°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝44°
∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝46°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝92°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的性质，等腰三角形的三线合一，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB＝4，则点B到x轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【解答】解：∵AB∥x轴，y＝﹣（x﹣h）2+5，
∴A、B关于对称轴直线x＝h对称，
∴yA＝yB，
∵AB＝4，
∴xA＝h﹣2，
∴yA＝﹣（h﹣2﹣h）2+5
＝﹣4+5
＝1，
∴yB＝yA＝1，
∴B到x轴的距离为1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答．
12．（3分）（2023秋 沙依巴克区月考）某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（　　）
A．60元 B．50元
C．40元 D．40元或60元
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：设每张床提高x个20元，获得利润为y元．根据题意，得
y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000
＝﹣200（x）2+11250
∵x取整数，
∴当x＝2或3时，y最大，
当x＝3时，每张床提高60元，床位的个数最小，
即投资少，为了投资少而获利大，
每个床收费应提高60元．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是理解题意找等量关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2024 湖北一模）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+2x1x2＝　﹣1　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，代入代数式，即可求解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2+2x1x2＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
14．（3分）（2023 九台区一模）关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝　　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，进而建立方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m，即x2﹣4x+1+2m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即16﹣4（1+2m）＝0，
解得：m．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
15．（3分）（2023秋 嘉定区期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象的最高点的横坐标是 　﹣1　 ．
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】化成函数顶点式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+1+m，
∴二次函数图象上的最高点的横坐标为：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．
16．（3分）（2023秋 南岗区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝20，弦AB＝16，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 　16　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】16
【分析】连接OA，根据垂径定理可得，由勾股定理将OM的长求出，即可求出DM的长．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，AB＝16，
∴，
∵⊙O的直径CD＝20，
∴OD＝OA＝10，
在Rt△OAM中，，
∴DM＝OD+OM＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，利用垂径定理得到是解题的关键．
17．（3分）（2024秋 太和县月考）将函数y＝x2+x﹣2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+x﹣2|的图象．
（1）抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），则x2＝ 　1　 ；
（2）若该新函数图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 　﹣1＜b或b　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）1；
（2）或b．
【分析】（1）令x2+x﹣2＝0，解一元二次方程即可；
（2）作出y＝|x2+x﹣2|的图象，根据b值的变化直线上线平移，结合图象求解．
【解答】解：（1）令x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：1；
（2）由（1）知，函数图象与x轴交点坐标为（﹣2，0），（1，0），
如图，直线经过（﹣2，0），
将（﹣2，0）代入，得0＝1+b，
解得b＝﹣1，
b增大，直线向上移动，当直线经过（1，0）时，如图，
将（1，0）代入，得，
解得，
∴满足题意．
直线向上移动，当直线与抛物线y＝﹣x2﹣x+2有1个交点时，如图，
令，
整理得，，
∴，
解得：，
∵b增大满足题意，
∴b，
综上所述，b的取值范围为或b，
故答案为：或b．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特点，解一元二次方程的方法，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点，解一元二次方程的方法，结合图象求解．
18．（3分）（2023秋 新罗区校级期末）二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）与x轴的只有一个交点，则c＝　　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】．
【分析】令y＝0，计算Δ＝0，即可求解．
【解答】解：令y＝0，则x2﹣x+c＝0，
依题意，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4c＝0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，正确进行计算是解题关键．
三．解答题（共7小题）
19．（2025春 琅琊区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x＝7；
（2）解方程：3x（3x+1）＝6x+2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用配方法解方程即可；
（2）把等号右边的项移到左边，再因式分解可求出方程的解．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝7，
∴（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2或x﹣2，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）∵3x（3x+1）＝6x+2，
∴3x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0，
∴（3x+1）（3x﹣2）＝0，
∴3x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和因式分解法解一元二次方程．
20．（2022秋 二七区校级期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝　﹣2　 时，方程有一个负整数解为﹣1．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k＜2且k≠1；
（2）﹣2．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）×1＞0，解之即可；
（2）将x＝﹣1代入方程求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）×1＞0且k﹣1≠0，
解得k＜2且k≠1；
（2）∵x＝﹣1是方程的解，
∴k﹣1+2+1＝0，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（2023秋 如皋市校级月考）已知二次函数的图象经过点（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定该二次函数的解析式；
（2）判定点P（﹣2，3）是否在这个图象上，并说明理由；
【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
【分析】（1）已知了二次函数图象上的三点坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）将P点坐标代入二次函数的解析式中进行验证，即可得到P点是否在此函数图象上的结论；
令抛物线解析式的y＝0，即可求得抛物线与x轴交点A、B的坐标，也就得到了AB的长；以AB为底，P点纵坐标的绝对值为高即可求得△PAB的面积．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c；
∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：
，
解得；
∴y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝﹣4+4+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定及图形面积的求法．
22．（2023秋 黔东南州期中）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD内一点，△AED绕点A顺时针旋转到△AE′B的位置，点E的对应点是点E'，点D的对应点是点B．
（1）△AED绕点A顺时针旋转到△AE′B的位置，旋转角是多少度？
（2）若∠AED＝90°，∠EAD＝30°，求线段的长EE'．
【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）90°；（2）．
【分析】（1）根据旋转方向旋转对应点可以求解；
（2）首先解直角三角形ADE求出AE，然后利用勾股定理即可求出EE'．
【解答】解：（1）∵△AED绕点A顺时针旋转到△AE′B的位置，点E的对应点是点E'，点D的对应点是点B．
∴旋转角为∠BAD，
而四边形ABCD为正方形，
∴旋转角为∠BAD＝90°；
（2）∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝2，
在△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴DEAD＝1，
∴AE，
∵△AED绕点A顺时针旋转到△AE′B的位置，点E的对应点是点E'，点D的对应点是点B．
∴∠EAE′＝90°，AE＝AE′，
∴EE′．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了正方形的性质及勾股定理，有一定的综合性．
23．（2023秋 大兴区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣5 0 3 4 3 m …
（1）直接写出m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当y＜3时，直接写出x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝0；
（2）y＝﹣（x﹣1）2+4；
（3）x的取值范围是x＜0或x＞2．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当x＝0和x＝2所对应的函数值相等，从而得到m的值；
（2）利用待定系数法即可求解；
（2）由抛物线开口向下，经过点（0，3）和（2，3），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，3）和（2，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1和x＝3所对应的函数值相等，
∴m＝0；
（2）由题意可知抛物线的顶点为（1，4），
设抛物线y＝a（x﹣1）2+4，
代入（0，3）得3＝a+4，
解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（3）∵抛物线开口向下，经过点（0，3）和（2，3），
∴当y＜3时，x的取值范围是x＜0或x＞2．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法、熟知二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023秋 龙湖区校级月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，求水面下降多少米时，水面宽8米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】当水面下降米时，水面宽为8米．
【分析】以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C 且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，设抛物线的解析式为y＝ax2+2，求出解析式即可求解．
【解答】解：如图，以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得AO＝BOAB＝3米，抛物线顶点C的坐标为（0，2），
可设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
把A（﹣3，0）代入得：9a+2＝0，解得a，
∴抛物线的解析式为yx2+2，
当x＝4时，y42+2，
∴当水面下降米时，水面宽为8米．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用．建立适当的坐标系是解决问题的关键．
25．（2024春 宁海县期中）【三角形中位线定理】：如图1，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，．
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，求GF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】【活动一】证明见解答；
【活动二】证明见解答；
【活动三】2．
【分析】【活动一】延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE（SAS），进而证明四边形BCFD为平行四边形，即可得证；
【活动二】根据三角形中位线定理即可得证；
【活动三】过点D向上作AG的平行线DP，连接EP，延长CD，过P作CD延长线的垂线，垂足为H，连接PF，证明△AEG≌△DEP（SAS），进而证明EF是GP的中垂线，利用勾股定理求出PF即可解答．
【解答】【活动一】证明：延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴CF∥AB，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DE∥BC，；
【活动二】证明：∵P是BD中点，M是AB中点，
∴MP∥，
∵P是BD中点，N是DC中点，
∴NP∥，
∵AD＝BC，
∴MP＝NP，
∴∠PMN＝∠PNM；
【活动三】解：如图，过点D向上作AG的平行线DP，连接EP，延长CD，过P作CD延长线的垂线，垂足为H，连接PF，
∵E是AD中点，AG∥DP，
∴AE＝ED，∠A＝∠PDE＝90°，AG＝DP，
∴△AEG≌△DEP（SAS），
∴GE＝PE，∠AEG＝∠PED，
∵∠GEF＝90°，
∴EF是GP的中垂线，
∴GF＝PF，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADH＝60°，∠HDP＝30°，
∵∠H＝90°，PD＝AG＝2，
∴PH，HD＝3，
∵DF＝2，
∴HF＝5，
∴PF2GF．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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