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天津市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2023 泸县校级模拟）点A（﹣1，﹣2）关于坐标原点O对称的点A'的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（2，3） D．（1，2）
2．（3分）（2022秋 平城区校级月考）按照国际航天届的惯例，很多航天任务都会特别设计一枚图标，下列航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2024秋 榆中县期末）一元二次方程x2+x＝0的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣1
4．（3分）（2021秋 新市区校级期末）下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．对称轴是y轴
C．经过点（m+1，﹣m2+1）
D．有最小值
5．（3分）（2024秋 东川区期中）二次函数y＝2（x+1）2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（﹣1，0）
6．（3分）（2025 枣阳市一模）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB＝（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
7．（3分）（2024春 连江县期末）方程x2﹣4x＝﹣3经过配方后，得到的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝13 B．（x+2）2＝13 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
8．（3分）（2024秋 武胜县期末）抛物线的顶点是（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
9．（3分）（2024秋 杭州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是（　　）
A．80° B．120° C．140° D．160°
10．（3分）（2025 泗阳县校级一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．49（1﹣x）2＝36 B．49（1+x）2＝36
C．36（1﹣x）2＝49 D．36（1+x）2＝49
11．（3分）（2025 蓟州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）某商店销售某种商品所获得的利润y（元）与所卖的件数x（件）之间的关系满足：y＝﹣x2+100x﹣2000，则当0＜x≤45时的最大利润为（　　）
A．250 B．475 C．500 D．2000
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋 黔西南州期末）把抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为 　 　 ．
14．（3分）（2024 前郭县校级三模）若一元二次方程x2﹣4x+c＝0的根的判别式的值为8，则c＝　 　 ．
15．（3分）（2024秋 武进区校级月考）二次函数y＝﹣x2+6x+3，当x＞3时，y随x的增大而　 　 ．（填“增大”或“减小”）
16．（3分）（2024秋 长沙县期中）如图，A，B，C是⊙O上的三点，则∠ACB＝39°，则∠AOB＝ 　 　 度．
17．（3分）（2023 新洲区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．D是AB上的一点，将线段BD绕点B顺时针旋转30°得到线段BE，连接DE，P是DE的中点，连接CP．当CP取得最小值时，值为 　 　 ．
18．（3分）（2023秋 南开区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，点D是AB边上任意一点，点E是BC边上任意一点．若点F在AC边上，使FD+FE最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F，并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2024秋 登封市校级期中）学习完一元二次方程的解法后，于老师给同学们讲了下面的例题．
例：解方程x（x+1）（x+2）（x+3）+1＝0．
解：[x（x+3）][（x+1）（x+2）]+1＝0，
（x2+3x）（x2+3x+2）+1＝0，
（x2+3x）2+2（x2+3x）+1＝0，
（x2+3x+1）2＝0，x2+3x+1＝0，
∵Δ＝32﹣4×1×1＝5，∴，．
于老师对同学们说：“请你们根据上题的解题过程，求解下面的方程．”
（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝0．
20．（8分）（2023秋 金凤区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且．
（1）求k的值；
（2）求的值．
21．（10分）（2025 绍兴二模）尺规作图问题：
如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，以A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B，点C，连结OB，BC．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求证：AO垂直平分BC．
22．（10分）（2024 阿城区一模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝1，求此圆直径的长．
23．（10分）（2024秋 德城区期末）2024年暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动．
（1）据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6，7，8三个月的销售情况如下表．若每月的月销售增长率相同，求表格中的m值；
销售时间 6月 7月 8月
销售量（单位：副） 500 m 720
（2）强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量y（副）与销售单价x（元）之间的关系为y＝﹣2x+240（90≤x≤110），请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？
24．（10分）（2022 开州区校级开学）背景知识：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝BC，则：ABACBC．
（1）解决问题：
如图 （1），∠ACB＝90°，AC＝BC，MN是过点A的直线，过点B作BD⊥MN于点D，连接CD，现尝试探究线段DA、DC、BD之间的数量关系：过点C作CE⊥CD，与MN交于点E，易发现图中出现了一对全等三角形，即　 　 　 ≌　 　 ，由此可得线段DA、DC、BD之间的数量关系是：　 　 ；
（2）类比探究：
将图 （1）中的MN绕点A旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段DA、DC、BD之间的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：
将图 （1）中的MN绕点A旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若BD＝3，DC，则AD的长为　 　 　 （直接写结果）．
25．（10分）（2024 萨迦县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过点A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D是第二象限的抛物线上的一个动点，求使△BCD面积最大时点D的坐标；
（3）设点M为此抛物线的对称轴上的一点，求使△BCM为直角三角形的点M的坐标．
天津市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2023 泸县校级模拟）点A（﹣1，﹣2）关于坐标原点O对称的点A'的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（2，3） D．（1，2）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解即可．
【解答】解：点A（﹣1，﹣2）关于坐标原点O对称的点A'的坐标为：（1，2），
故选：D．
【点评】本题考查关于原点对称的点．熟练掌握：关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．
2．（3分）（2022秋 平城区校级月考）按照国际航天届的惯例，很多航天任务都会特别设计一枚图标，下列航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）（2024秋 榆中县期末）一元二次方程x2+x＝0的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0或x+1＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
4．（3分）（2021秋 新市区校级期末）下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．对称轴是y轴
C．经过点（m+1，﹣m2+1）
D．有最小值
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，a＝﹣1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y有最大值1，
∴选项A、B、D不符合题意；
∵当x＝m+1时，y＝﹣（m+1）2+2（m+1）＝﹣m2+1，
∴图象经过点（m+1，﹣m2+1），故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（3分）（2024秋 东川区期中）二次函数y＝2（x+1）2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（﹣1，0）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【答案】D
【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
6．（3分）（2025 枣阳市一模）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB＝（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴∠CDA∠AOB，
∵∠CDA＝25°，
∴∠AOB＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠CDA∠AOB．
7．（3分）（2024春 连江县期末）方程x2﹣4x＝﹣3经过配方后，得到的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝13 B．（x+2）2＝13 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】方程两边都加4，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x＝﹣3，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
8．（3分）（2024秋 武胜县期末）抛物线的顶点是（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：抛物线的顶点是（3，1），
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
9．（3分）（2024秋 杭州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是（　　）
A．80° B．120° C．140° D．160°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（3分）（2025 泗阳县校级一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．49（1﹣x）2＝36 B．49（1+x）2＝36
C．36（1﹣x）2＝49 D．36（1+x）2＝49
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设每月的平均增长率为x，根据“五月份的营业额为49万元”，即可得出方程．
【解答】解：根据题意可列方程为36（1+x）2＝49，
故选：D．
【点评】本题为增长率问题，熟练掌握增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）是关键．
11．（3分）（2025 蓟州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．
【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，CB＝CE，∠ABC＝∠AEC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝60°，
∴∠CAD＝∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝60°，
∴AB∥CD，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质及等腰三角形的性质．
12．（3分）某商店销售某种商品所获得的利润y（元）与所卖的件数x（件）之间的关系满足：y＝﹣x2+100x﹣2000，则当0＜x≤45时的最大利润为（　　）
A．250 B．475 C．500 D．2000
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】求出抛物线的对称轴，确定x＜50时，y随x的增大而增大，即可求解．
【解答】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为x50，
∵﹣1＜0，则抛物线开口向下，
当x＜50时，y随x的增大而增大，
则x＝45时，y取得最大值＝﹣452+100×45﹣2000＝475（元），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，最大利润的问题常利函数的增减性来解答，属于二次函数基本题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋 黔西南州期末）把抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为 　y＝2（x﹣2）2+4　 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】y＝2（x﹣2）2+4．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：把抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2+4．
故答案为：y＝2（x﹣2）2+4．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
14．（3分）（2024 前郭县校级三模）若一元二次方程x2﹣4x+c＝0的根的判别式的值为8，则c＝　2　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，列出关于c的方程，解方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+c＝0的根的判别式的值为8，
∴Δ＝b2﹣4ac＝8，
（﹣4）2﹣4c＝8，
16﹣4c＝8，
4c＝8，
c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
15．（3分）（2024秋 武进区校级月考）二次函数y＝﹣x2+6x+3，当x＞3时，y随x的增大而　减小　 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】减小．
【分析】根据二次函数的图象的性质，判断y值的变化．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x+3的二次函数开口向上，对称轴为：x3，
∴当x＞3时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（3分）（2024秋 长沙县期中）如图，A，B，C是⊙O上的三点，则∠ACB＝39°，则∠AOB＝ 　78　 度．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】78．
【分析】直接利用圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝39°，
∴∠AOB的度数是：2∠ACB＝78°．
故答案为：78．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，正确掌握相关定义是解题关键．
17．（3分）（2023 新洲区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．D是AB上的一点，将线段BD绕点B顺时针旋转30°得到线段BE，连接DE，P是DE的中点，连接CP．当CP取得最小值时，值为 　　 ．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】．
【分析】由旋转的性质可得BD＝BE，∠DBE＝30°，由等腰三角形的性质可得∠DBP＝∠EBP＝15°，BP⊥CE，可得点P在过点B且与BC成45°的射线BP上移动，当CP⊥BP时，CP有最小值，由直角三角形的性质可求CH＝DH，BHDHCH，即可求解．
【解答】解：如图，连接BP，
设BCa，
∵∠ACB＝90°，，
∴tan∠ABC，
∴∠ABC＝30°，AC＝a，
∴AB＝2AC＝2a，
∵将线段BD绕点B顺时针旋转30°得到线段BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝30°，
∵点P是DE的中点，
∴∠DBP＝∠EBP＝15°，BP⊥CE，
∴∠CBP＝45°，
∴点P在过点B且与BC成45°的射线BP上移动，
∴当CP⊥BP时，CP有最小值，
∵BP⊥CE，
∴点D在CP上，
过点D作PH⊥BC于H，
∵CP⊥BP，∠CBP＝45°，
∴∠CBP＝∠PCB＝45°，
∵DH⊥BC，
∴∠CDH＝∠DCH＝45°，
∴CH＝DH，
∵∠ABC＝30°，
∴BHDHCH，
∵AC∥DH，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转，锐角三角函数，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，确定点P的位置是解题的关键．
18．（3分）（2023秋 南开区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，点D是AB边上任意一点，点E是BC边上任意一点．若点F在AC边上，使FD+FE最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F，并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明） 　构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求　 ．
【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析，构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求．
【分析】利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，点F即为所求．
方法：构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求．
故答案为：构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2024秋 登封市校级期中）学习完一元二次方程的解法后，于老师给同学们讲了下面的例题．
例：解方程x（x+1）（x+2）（x+3）+1＝0．
解：[x（x+3）][（x+1）（x+2）]+1＝0，
（x2+3x）（x2+3x+2）+1＝0，
（x2+3x）2+2（x2+3x）+1＝0，
（x2+3x+1）2＝0，x2+3x+1＝0，
∵Δ＝32﹣4×1×1＝5，∴，．
于老师对同学们说：“请你们根据上题的解题过程，求解下面的方程．”
（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】，．
【分析】根据题中求解方法得到（x2+5x）2+10（x2+5x）+25＝0，即（x2+5x+5）2＝0，解方程x2+5x+5＝0即可求解．
【解答】解：原方程整理得（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1＝0，
（x2+5x）2+10（x2+5x）+25＝0，
（x2+5x+5）2＝0，
x2+5x+5＝0，
∵Δ＝52﹣4×1×5＝5，
∴，．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，理解题中求解方法是解答的关键．
20．（8分）（2023秋 金凤区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且．
（1）求k的值；
（2）求的值．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣11；
（2）66．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足Δ＝b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x1﹣x2＝115．即（x1+x2）＝115，即可得到关于k的方程，求出k的值．
（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而8＝（x1+x2）2﹣2x1x2+8即可求得式子的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
∵x1﹣x2＝115，
∴k2﹣6＝115，
解得k1＝11，k2＝﹣11，
当k1＝11时，Δ＝36﹣4k＝36﹣44＜0，
∴k1＝11不合题意
当k2＝﹣11时，Δ＝36﹣4k＝36+44＞0，
∴k2＝﹣11符合题意，
∴k的值为﹣11；
（2）∵x1+x2＝6，x1x2＝﹣11
∴8＝（x1+x2）2﹣2x1x2+8＝36+2×11+8＝66．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系把x1﹣x2＝115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键．
21．（10分）（2025 绍兴二模）尺规作图问题：
如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，以A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B，点C，连结OB，BC．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求证：AO垂直平分BC．
【考点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）见解答．
【分析】（1）连接AB，根据等边三角形的判定与性质计算即可；
（2）连接OC、AC，根据线段垂直平分线的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图，连接AB，
∵以A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B，点C，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
（2）证明：连接OC、AC，
∵以A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B，点C，
∴OB＝OC，AB＝AC，
∴AO垂直平分BC．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（10分）（2024 阿城区一模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝1，求此圆直径的长．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）90°；
（2）4．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，，得到BD是圆的直径，得到∠BAD＝90°；
（2）证明△ACD是等边三角形，求出∠BCF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出BD．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°；
（2）∵，
∴AC＝CD，
∵AC＝AD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠CAD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴∠FBC＝60°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝90°，
∴∠F＝90°，∠BCF＝30°，
∴BC＝2BF＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝4，
∴圆的直径长是4．
【点评】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
23．（10分）（2024秋 德城区期末）2024年暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动．
（1）据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6，7，8三个月的销售情况如下表．若每月的月销售增长率相同，求表格中的m值；
销售时间 6月 7月 8月
销售量（单位：副） 500 m 720
（2）强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量y（副）与销售单价x（元）之间的关系为y＝﹣2x+240（90≤x≤110），请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）m的值为600；
（2）该体育用品店的销售单价定为90元可使每天的销售利润最大．
【分析】（1）设每月的月销售增长率为x，可得：500（1+x）2＝720，解得x＝20，即可得m＝500×（1+20%）＝600；
（2）设每天的销售利润为W元，可得：W＝（x﹣40）（﹣2x+240）＝﹣2x2+320x﹣9600＝﹣2（x﹣80）2+3200，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每月的月销售增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴m＝500×（1+20%）＝600，
∴m的值为600；
（2）设每天的销售利润为W元，
根据题意得：W＝（x﹣40）（﹣2x+240）＝﹣2x2+320x﹣9600＝﹣2（x﹣80）2+3200，
∵﹣2＜0，90≤x≤110，且90﹣80＜110﹣80，
∴当x＝90时，W取最大值3000，
∴该体育用品店的销售单价定为90元可使每天的销售利润最大．
【点评】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
24．（10分）（2022 开州区校级开学）背景知识：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝BC，则：ABACBC．
（1）解决问题：
如图 （1），∠ACB＝90°，AC＝BC，MN是过点A的直线，过点B作BD⊥MN于点D，连接CD，现尝试探究线段DA、DC、BD之间的数量关系：过点C作CE⊥CD，与MN交于点E，易发现图中出现了一对全等三角形，即　 　△ACE　 ≌　△BCD　 ，由此可得线段DA、DC、BD之间的数量关系是：　AD+BDCD　 ；
（2）类比探究：
将图 （1）中的MN绕点A旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段DA、DC、BD之间的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：
将图 （1）中的MN绕点A旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若BD＝3，DC，则AD的长为　 　5　 （直接写结果）．
【考点】几何变换综合题．
【专题】综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）△ACE，△BCD，AD+BDDC；
（2）BD﹣ADDC；证明见解答；
（3）5．
【分析】（1）过点C作CE⊥CD，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△BCD，确定△ECD为等腰直角三角形即可．
（2）过点C作CE⊥CD于点C，判断出△ACE≌△BCD，确定△ECD为等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出△ACE≌△BCD，CE＝DC，得到△DCE为等腰直角三角形，得到AD＝BDDC，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1过点C作CE⊥CD，与MN交于点E，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCB，∠CED+∠CDE＝90°，
∵BD⊥MN，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDE+∠CDB＝90°，
∴∠CED＝∠CDB，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴CE＝DC，AE＝BD，
∵∠DCE＝90°，
∴DEDC，
∵DE＝AE+AD＝BD+AD，
∴AD+BDDC，
故答案为：△ACE，△BCD，AD+BDDC；
（2）BD﹣ADDC，理由：
如图（2）过点C作CE⊥CD，与MN交于点E，
同（1）的方法得，△ACE≌△BCD（AAS），
∴CE＝DC，AE＝BD，
∵∠BCE＝90°，
∴DEDC，
∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣AD，
∴BD﹣ADDC；
（3）如图（3）过点C作CE⊥CD，与MN交于点E，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∵BD⊥MN，
∴∠ADB＝90°＝∠ACB，
∵∠AOC＝∠DOB，
∴∠DAC＝∠CBD，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴CE＝DC，AE＝BD，
∵∠DCE＝90°，
∴DEDC，
∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，
∴AD﹣BDDC，
∵BD＝3，DC，
∴AD＝BDDC＝5，
故答案为：5．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
25．（10分）（2024 萨迦县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过点A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D是第二象限的抛物线上的一个动点，求使△BCD面积最大时点D的坐标；
（3）设点M为此抛物线的对称轴上的一点，求使△BCM为直角三角形的点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）；
（3）点M（﹣1，）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△BCD面积DH×OB（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）（x2+3x），即可求解；
（3）当∠BMC＝90°时，则4+t2+（3﹣t）2+1＝18，即可求解；当∠BCM＝90°或∠CBM＝90°时，同理可解．
【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知B（﹣3，0），
∴设 y＝a（x+3）（x﹣1）过点C（0，3），
∴3＝a（0+3）（0﹣1），
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由点B（﹣3，0）、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x+3，
过点D作DH∥y轴交BC于点H，
连接OD，设点D（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3），
则△BCD面积DH×OB（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）（x2+3x），
∴当时，S△BCD有最大值，则；
（3）设 M（﹣1，t），
由点B（﹣3，0）、C、M的坐标得，BC2＝18，BM2＝4+t2，CM2＝1+（t﹣3）2，
当∠BMC＝90°时，
则4+t2+（3﹣t）2+1＝18，
解得：t，即；
当∠BCM＝90°或∠CBM＝90°时，
同理可得：18+4+t2＝1+（t﹣3）2或4+t2＝1+（t﹣3）2+18，
解得：t＝﹣2或4，
即点M（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；
综上，点M（﹣1，）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
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