资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 北林区校级期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．3x2＝12 B．
C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+y＝1
2．（3分）（2024秋 台州期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方变形正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝3 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝3
3．（3分）（2023春 新城区校级期末）一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
4．（3分）（2025春 龙胜县期中）在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量一组对角是否都为直角
B．测量三个内角是否都为直角
C．测量两条对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
5．（3分）（2022秋 长沙期中）2020年3月，长沙市明德天心中学为湘西州龙山县思源实验学校捐赠了价值2万元体育器材，充实该校体育教学设备．到今年（2022年3月11日）止捐赠体育器材累计价值达到8.72万元，设每年平均增长率为x，则x的值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
6．（3分）（2024 河南三模）若一元二次方程ax2+2x+2＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．且a≠0 B．a≤1 C．且a≠0 D．a＜1且a≠0
7．（3分）已知菱形的周长为20cm，两条对角线长的比为3：4，则菱形的面积为（　　）
A．48cm2 B．24cm2 C．12cm2 D．384cm2
8．（3分）（2025 青阳县模拟）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，P为AB的中点，D，E两点分别在AC边和BC边上，∠DPE＝90°，则（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2023秋 长垣市校级月考）关于x的方程x2﹣ax+3＝0一个根是1，则它的另一个根为 　 　 ．
10．（3分）（2024 永州一模）某校开展征文活动，学生只能从“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题中选择一个主题上交征文，那么两名学生恰好选中同一主题征文的概率是 　 　 ．
11．（3分）（2023春 泰山区期中）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2020年到2022年，我国快递业务量由833.6亿件增加到1105.8亿件，设我国从2020年到2022年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为 　 　 ．
12．（3分）（2024 渭南二模）如图，AC、BD为菱形ABCD的对角线，AC与BD相交于点O，点E为边AB上一点，连接OE，∠AOE＝∠AEO，若AC＝10，OD＝12，则BE的长为 　 　 ．
13．（3分）（2025春 潮南区校级期末）如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝5，则DF的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（5分）（2023秋 无为市校级月考）用适当的方法解下列方程．
（1）2x2﹣6x＝0；
（2）3x2+1＝4x．
15．（7分）（2024 昌平区二模）已知x2+x﹣2＝0，求代数式的值．
16．（8分）（2024 陕西模拟）西安市某中学从德、智、体、美、劳等维度出发，全方位、多层次拓展学生课外活动来丰富校园生活，开展了生物社、合唱社、创客社、艺术社四个社团活动（依次记为A，B，C，D）．若该校小红和小星两名同学各随机选择一个社团活动参加．
（1）小红选择“合唱社”社团活动的概率为 　 　 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法，求小红和小星选择同一个社团活动的概率．
17．（8分）（2024春 邗江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD中，DB＝4，AC＝6，则AE的长为 　 　 ．
18．（9分）（2024秋 芗城区校级期中）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率．
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
19．（12分）（2023秋 瓯海区期中）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AEAB，AFAC，D点为伞圈，DE＝DF．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示．（参考值：24.5）
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　 　 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
20．（12分）（2024 青白江区模拟）【初步感知】
（1）如图1，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边上一点，过点C作CF∥AB交射线DE于F，且DE＝EF，求AE与CE之间的数量关系；
【深入探究】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一点，射线BD绕点B逆时针旋转60°得到射线BE，射线BE与CA延长线交于E，点F为AB边上一点，线段CF与BD交于点M，若n，求CE，BC和BF之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当AEAC，F为AB中点时，将线段CF绕点C旋转得到线段CF′，线段CF′与射线BD交于点M′；若点F′到线段AC的距离为AC的长度，求的值．
广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 北林区校级期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．3x2＝12 B．
C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+y＝1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】A
【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可．
【解答】解：A、3x2＝12，是一元二次方程，符合题意；
B、，是分式方程，不符合题意；
C、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、2x2+y＝1，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
2．（3分）（2024秋 台州期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方变形正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝3 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝3
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（3分）（2023春 新城区校级期末）一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】概率公式；三角形三边关系；等腰三角形的判定．
【专题】概率及其应用；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，
∴共有4种等可能的结果，
∵以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6，共1种情况，
∴能构成等腰三角形的概率是，
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）（2025春 龙胜县期中）在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量一组对角是否都为直角
B．测量三个内角是否都为直角
C．测量两条对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【考点】矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据矩形的判定方法分别对各个选项分别判断即可．
【解答】解：A、一组对角都为直角的四边形不一定是矩形，故选项A不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形故选项C不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
5．（3分）（2022秋 长沙期中）2020年3月，长沙市明德天心中学为湘西州龙山县思源实验学校捐赠了价值2万元体育器材，充实该校体育教学设备．到今年（2022年3月11日）止捐赠体育器材累计价值达到8.72万元，设每年平均增长率为x，则x的值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
解得x＝﹣3.4（舍）或x＝0.4，
∴增长率为40%．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
6．（3分）（2024 河南三模）若一元二次方程ax2+2x+2＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．且a≠0 B．a≤1 C．且a≠0 D．a＜1且a≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由一元二次方程ax2+2x+2＝0有实数根，即可得判别式Δ≥0且a≠0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+2＝0有实数根，
∴a≠0且Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×2＝4﹣8a≥0，
解得：且a≠0，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
7．（3分）已知菱形的周长为20cm，两条对角线长的比为3：4，则菱形的面积为（　　）
A．48cm2 B．24cm2 C．12cm2 D．384cm2
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设菱形的对角线分别为3a cm、4a cm，由勾股定理求出a2，再根据菱形的面积3a×4a＝6a2，即可解决问题．
【解答】解：如图，
设菱形的对角线分别为AC＝3a cm、BD＝4a cm，
则OAa cm，OB＝2a cm，AC⊥BD，
∵菱形的周长为20cm，
∴AB＝5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2，
即（a）2+（2a）2＝52，
∴a2＝4（cm2），
∴菱形的面积3a×4a＝6a2＝6×4＝24（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理和菱形的性质是解题的关键．
8．（3分）（2025 青阳县模拟）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，P为AB的中点，D，E两点分别在AC边和BC边上，∠DPE＝90°，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H，则四边形CGPH是矩形，证△PEH∽△PDG，得出，再证PG是△ABC的中位线，得出AG＝CG＝PH，然后由平行线的性质得出∠APG＝∠ABC＝30°，最后由锐角三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：如图，过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H，
则四边形CGPH是矩形，∠PHE＝∠PGD＝90°，
∴PG∥BC，CG＝PH，∠GPH＝90°，
∴∠GPD+∠DPH＝90°，
∵∠HPE+∠DPH＝∠DPE＝90°，
∴∠HPE＝∠GPD，
∴△PEH∽△PDG，
∴，
∵P为AB的中点，PG∥BC，
∴PG是△ABC的中位线，∠APG＝∠ABC＝30°，
∴AG＝CG＝PH，
∴tan∠APG＝tan30°，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2023秋 长垣市校级月考）关于x的方程x2﹣ax+3＝0一个根是1，则它的另一个根为 　3　 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据方程解的定义把x＝1代入方程求出a的值，进而解方程即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣ax+3＝0一个根是1，
∴12﹣a+3＝0，
∴a＝4，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x＝3或x＝1，
∴方程的另一个根为3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
10．（3分）（2024 永州一模）某校开展征文活动，学生只能从“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题中选择一个主题上交征文，那么两名学生恰好选中同一主题征文的概率是 　　 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两名学生恰好选中同一主题征文的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两名学生恰好选中同一主题征文的结果有3种，
∴两名学生恰好选中同一主题征文的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
11．（3分）（2023春 泰山区期中）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2020年到2022年，我国快递业务量由833.6亿件增加到1105.8亿件，设我国从2020年到2022年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为 　833.6（1+x）2＝1105.8　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】833.6（1+x）2＝1105.8．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程833.6（1+x）2＝1105.8，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
833.6（1+x）2＝1105.8，
故答案为：833.6（1+x）2＝1105.8．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．（3分）（2024 渭南二模）如图，AC、BD为菱形ABCD的对角线，AC与BD相交于点O，点E为边AB上一点，连接OE，∠AOE＝∠AEO，若AC＝10，OD＝12，则BE的长为 　8　 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】8．
【分析】利用菱形的性质，得到OA、OB，利用勾股定理得到AB，利用等腰三角形性质得到AE＝OA，再根据BE＝AB﹣AE求解，即可解题．
【解答】解：∵AC、BD为菱形ABCD的对角线，AC＝10，OD＝12，
∴OB＝OD＝12，OA＝OC＝5，AO⊥BO，
∴，
∵∠AOE＝∠AEO，
∴AE＝OA＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
13．（3分）（2025春 潮南区校级期末）如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝5，则DF的长为 　5　 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；空间观念；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接DE，根据正方形性质，等腰三角形性质及三角形内角和定理求出∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∠EFB＝∠EBF＝22.5°，∠CEF＝22.5°，证明△ABE和△ADE全等得BE＝DE＝5，∠ABE＝∠AED＝67.5°，进而得DE＝EF＝5，∠DEF＝90°，然后在Rt△DEF中，由勾股定理即可得出DF的长．
【解答】解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝∠BCE＝45°，∠ABC＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB（180°﹣∠BAE）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EB＝EF＝5，
∴∠EFB＝∠EBF＝22.5°，
∵∠BCE是△CEF的外角，
∴∠BCE＝∠EFB+∠CEF，
∴∠CEF＝∠BCE﹣∠EFB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE＝5，∠ABE＝∠AED＝67.5°，
∴DE＝EF＝5，∠DEF＝180°﹣（∠AED+∠CEF）＝180°﹣（67.5°+22.5°）＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DF．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（5分）（2023秋 无为市校级月考）用适当的方法解下列方程．
（1）2x2﹣6x＝0；
（2）3x2+1＝4x．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）．
【分析】（1）提取公因式2x，进行分解因式，把一元二次方程化成两个一元一次方程，解方程即可；
（2）先把一元二次方程化成一般形式，求出判别式，然后利用一元二次方程的求根公式求出答案即可．
【解答】解：（1）2x2﹣6x＝0，
2x（x﹣3）＝0，
2x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）3x2+1＝4x，
3x2﹣4x+1＝0，
a＝3，b＝﹣4，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣4）2﹣4×3×1
＝16﹣12
＝4，
∴，
．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常用的解一元二次方程的方法．
15．（7分）（2024 昌平区二模）已知x2+x﹣2＝0，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】整体思想；分式；运算能力．
【答案】，1．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x2+x＝2，最后代入求出答案即可．
【解答】解：

，
∵x2+x﹣2＝0，
∴x2+x＝2，
∴原式1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（8分）（2024 陕西模拟）西安市某中学从德、智、体、美、劳等维度出发，全方位、多层次拓展学生课外活动来丰富校园生活，开展了生物社、合唱社、创客社、艺术社四个社团活动（依次记为A，B，C，D）．若该校小红和小星两名同学各随机选择一个社团活动参加．
（1）小红选择“合唱社”社团活动的概率为 　　 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法，求小红和小星选择同一个社团活动的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和小星选择同一个社团活动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小红选择“合唱社”社团活动的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和小星选择同一个社团活动的有4种结果，
∴P（小星和小红选择同一个社团）．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17．（8分）（2024春 邗江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD中，DB＝4，AC＝6，则AE的长为 　　 ．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据菱形性质得OCAC，AC⊥BD，则OC＝DE，再根据DE∥AC可判定四边形OCED为平行四边形，然后根据AC⊥BD即可得出结论；
（2）根据菱形及矩形的性质得CE＝OD＝2，∠ACE＝90°，然后在Rt△ACE中由勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OCAC，AC⊥BD，
∴DEAC，
∴OC＝DE，
又∵DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形；
（2）解：∵菱形ABCD中，DB＝4，AC＝6，
∴ODBD＝2，
∵四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝2，∠ACE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝2，
由勾股定理得：AE，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键．
18．（9分）（2024秋 芗城区校级期中）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率．
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）该商品连续两次下降的百分率为10%；
（2）每件商品应降价2元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件商品应降价m元，根据每天要想获得512元的利润，列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
根据题意，得40（1﹣x）2＝32.4，
解得x1＝0.1＝10%，
x2＝1.9＝190%（不合题意，舍去），
答：该商品连续两次下降的百分率为10%；
（2）设每件商品应降价m元，
根据题意，得（40﹣30﹣m）（48+8m）＝512，
解得m1＝m2＝2．
答：每件商品应降价2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
19．（12分）（2023秋 瓯海区期中）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AEAB，AFAC，D点为伞圈，DE＝DF．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示．（参考值：24.5）
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 　60　 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的应用．
【专题】图形的全等；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）15.5cm；
（3）60．
【分析】（1）利用SSS证明△ADE≌△ADF即可得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，求出AD的长，即可利用DD'＝AD'﹣AD求出答案；
（3）设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，进而可求出QG，即为问题的答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AEAB，AFAC，
∴AE＝AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠EAD＝∠FAD，
∴AP是∠BAC的角平分线；
（2）解：∵AD′＝50cm，AE＝20cm，
∴DE＝DE'＝30cm，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAD＝60°，
过点E作EG⊥AD于点G，如图，
在Rt△AEG中，
AG＝AE cos∠EAG＝20 cos60°＝10（cm），
EG＝AE sin∠EAG＝20 sin60°＝10（cm），
在Rt△DEG中，
由勾股定理，得DG24.5（cm），
∴AD＝AG+DG＝34.5（cm），
∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣34.5＝15.5（cm），
答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5cm；
（3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图，
在Rt△ABO中，
AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，
∴BO＝AB sin∠BAO＝60 sin60°＝30（cm），
∴NG＝BO＝30cm，
在Rt△BMN中，
BN＝150cm，∠BMN＝60°，
∴MN50（cm），
∴MG＝MN﹣NG＝503020（cm），
在Rt△QGM中，
QG＝MG tan60°＝20 60cm，
故答案为：60．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
20．（12分）（2024 青白江区模拟）【初步感知】
（1）如图1，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边上一点，过点C作CF∥AB交射线DE于F，且DE＝EF，求AE与CE之间的数量关系；
【深入探究】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一点，射线BD绕点B逆时针旋转60°得到射线BE，射线BE与CA延长线交于E，点F为AB边上一点，线段CF与BD交于点M，若n，求CE，BC和BF之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当AEAC，F为AB中点时，将线段CF绕点C旋转得到线段CF′，线段CF′与射线BD交于点M′；若点F′到线段AC的距离为AC的长度，求的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AE＝CE；
（2）CEBF+BC；
（3）．
【分析】（1）证明△ADE≌△CFE（AAS），从而得出结论；
（2）作CG∥AB交BD的延长线于G，证明△CMG∽△EMB，可得出CGBF，可证明△ABE≌△CBG，AE＝CGBF，进一步得出结果；
（3）作CG∥AB交BD的延长线于点G，作F′H⊥AC于H，作M′R⊥AC于R，连接BH，不妨设AB＝AC＝4，AE＝1，则CF′＝CF，由（2）知：CG＝AE＝1，根据得出CD，依次计算得出F′H，CH，DH的值，进而得出tan∠M′DR＝tan∠ADH，进而得出，设M′R＝5k，DR＝3k，进而表示出CR，根据CR+DR＝CD得，从而求得k值，进而得出M′R，CM′的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）AE＝CE，理由如下，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
∵∠ADE＝∠F，
∴DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）如图1，作CG//AB交BD的延长线于G，
∴△CMG∽△FMB，
∠ACG＝∠BAC，
∴，
∴CGBF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ACG＝60°，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝120°．
∴∠BCG＝∠BAE，
∵∠EBD＝60°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴∠EBD﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CGBF，
∵CE＝AE+AC，
∴CEBF+BC；
（3）如图2，
作CG∥AB交BD的延长线于点G，作F′H⊥AC于H，作M′R⊥AC于R，连接BH，
不妨设AB＝AC＝4，AE＝1，则CF′＝CF，
由（2）知：CG＝AE＝1，
∴，
∴CD，
∵F′HAC＝2，
∴CH2，
∴CHAC，DH＝CH﹣CD＝2，
∴BH⊥AC，
∴tan∠M′DR＝tan∠ADH，
∴，
设M′R＝5k，DR＝3k，
∵tan∠ACM′，
∴，
∴CR，
由CR+DR＝CD得，
，
∴k，
∴M′R＝5，
∵sin∠ACF′，
∴CM′，
∴，
∴．
【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑