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湖北省武汉市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 舟山期末）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023秋 献县校级期中）如图是某兴趣小组微信群内进行测试的聊天截图，其中回答错误的人数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）（2022春 南岗区校级月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC的长是偶数，则△ABC的周长为 　 　 ．
4．（3分）（2025春 中原区校级月考）如图所示的折着凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，利用你所学的知识求出CB的长度是（　　）
A．36cm B．40cm C．35cm D．30cm
5．（3分）（2022秋 台山市校级期中）如图，把△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合，点C与点C'重合，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．OA＝OA' B．∠AOA'＝∠BOB'
C．OB＝OA D．△ABC≌△A'B'C'
6．（3分）（2025春 金凤区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（　　）
A．6cm B．6cm或8cm C．8cm D．5cm或9cm
7．（3分）（2021秋 方城县期中）如图，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2023秋 濮阳期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
9．（3分）（2023秋 钱塘区期末）如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可在槽内滑动，OA＝OC＝PC，若∠AOB＝60°，则∠P的度数为（　　）
A．15° B．20° C．30° D．45°
10．（3分）（2024秋 海曙区校级期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，BF是AC上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边三角形ADE，连结EF，则△AEF周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024 碑林区校级四模）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的边AB重合，按照如图的方式叠放在一起，连接EB交HI于点K，则∠BKH的大小为 　 　 ．
12．（3分）（2025春 冷水滩区校级月考）一个7边形的内角和是　 　 ．
13．（3分）（2024 息县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝24，D为斜边AB的中点，P是边AC上的一个动点，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，当直线A′P与AB垂直时，AP的长为 　 　 ．
14．（3分）（2024春 白银期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠B＝25°，则∠DAC＝　 　 °．
15．（3分）（2025春 双流区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE＝∠BDE，若DE＝DF，，BC＝4EC，则　 　 ．
16．（3分）（2020秋 江北区校级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，4），B（3，0），过点B作直线l∥y轴，点P是直线l上的一个动点，以AP为边作等腰Rt△APQ，∠PAQ＝90°（点A，P，Q呈逆时针排列），当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，AQ+BQ的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2022秋 思明区校级期中）如图，△ABC中，延长CB至点D，延长BC至点E，使DB＝BC＝CE＝AB＝AC，连接AD，AE．求∠DAE的度数．
18．（2022秋 鼓楼区校级月考）如图，AC∥DF，AB＝DE，∠D＝∠A．求证：BE＝CF．
19．（2023春 洋县校级期中）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD，E是AB上的一点．求证：CE＝DE．
20．（2024 宣化区一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm．求BD的长．
21．（2024 绿园区二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个△ABD，使S△ABD＝S△ABC，D为格点（点D不在点C处）；
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使AE⊥BC；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
22．（2023秋 思明区校级期中）如图1，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝AD＝EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．
（1）若∠BDA＝65°，求∠DAC的度数；
（2）如图2，延长BD，EC交于点M，
①证明：A，M，H在同一条直线上；
②若BC＝2CM，证明：BD＝HD．
23．（2023春 武侯区校级期末）【一线三等角模型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段；（除已知边AC＝BC外）
【模型运用】如图2，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°，连接CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；
【能力提升】如图3，在等边△DEF中，EF＝2，点A，点C分别为DE、DF边上的动点，AE＝2CD，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当点A从点E运动到点D，请在图3中作出点B的运动轨迹，并求出点B的运动路程．
24．（2024 周至县三模）【问题提出】
（1）如图1，在△AOB中，OA＝OB＝2，∠B＝45°，点C是AB上的动点，连接OC，则OC的最小值为 　 　 ；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF，若△CDF的面积为3，求△ABC的面积；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是张大爷承包的一片土地，OA和AC是两条小路（小路的宽度忽略不计），已知O处有一个休息亭，休息亭O到A的距离AO＝60m，且∠CAO＝∠ACB，AB＝AC＝100m，BC＝120m，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是四边形ABCD内一个动点，现要在△ADE区域内种植果树，并保证果园的面积是1050m2（即S△ADE＝1050m2），为使得果园灌溉和休息亭的饮水得到满足，计划在小路AC上修建一口水井F，并沿EF、OF铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度EF+OF要最小，请你求出EF+OF的最小值．
湖北省武汉市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 舟山期末）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2023秋 献县校级期中）如图是某兴趣小组微信群内进行测试的聊天截图，其中回答错误的人数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】三角形具有稳定性的特点，四边形不具有稳定性，根据此判断即可；
【解答】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，所以嘉嘉和明明回答正确，琪琪和亮亮回答错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形具有稳定性的特点，解题的关键是理解三角形的稳定性．
3．（3分）（2022春 南岗区校级月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC的长是偶数，则△ABC的周长为 　7或9　 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】7或9．
【分析】根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，AC﹣AB＜BC＜AC+AB，
∴1＜BC＜5，
∵BC的长是偶数，
∴BC＝2或BC＝4，
当BC＝2时，△ABC的周长为AC+AB+BC＝3+2+2＝7，
当BC＝4时，△ABC的周长为AC+AB+BC＝3+2+4＝9，
故答案为：7或9．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
4．（3分）（2025春 中原区校级月考）如图所示的折着凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，利用你所学的知识求出CB的长度是（　　）
A．36cm B．40cm C．35cm D．30cm
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】D
【分析】根据中点定义求出AO＝BO，DO＝CO，然后利用“边角边”证明△AOD与△BOC中全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】解：∵登腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，折叠凳宽度AD设计为30cm，
∴AO＝BO，DO＝CO，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB＝AD＝30cm，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．
5．（3分）（2022秋 台山市校级期中）如图，把△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合，点C与点C'重合，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．OA＝OA' B．∠AOA'＝∠BOB'
C．OB＝OA D．△ABC≌△A'B'C'
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转图形的性质逐项进行判断即可．
【解答】A．∵把△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，旋转后点A与点A'重合，
∴OA＝OA'，
故选项正确，不符合题意；
B．∵把△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合，
∴∠AOA'＝∠BOB'，
故选项正确，不符合题意；
C．根据图形旋转的性质和已知条件，没法证明OB＝OA，故选项错误，符合题意；
D．∵把△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合，点C与点C'重合，
∴△ABC≌△A'B'C'，
故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查图形旋转，掌握图形旋转及其性质是解题关键．
6．（3分）（2025春 金凤区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（　　）
A．6cm B．6cm或8cm C．8cm D．5cm或9cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12和9两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
①若AB+AD的长为12，则2x+x＝12，
解得x＝4，
∴等腰三角形的腰长为8cm，
②若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，
解得x＝3，
∴等腰三角形的腰长为6cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；由于等腰所具有的特殊性质，因此要进行分类讨论，要考虑全面各种情况的存在，不要漏解．
7．（3分）（2021秋 方城县期中）如图，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE，再结合等腰直角三角形的性质表示出AE，AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB90°＝45°，
∵EP⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴AP＝PE，
∴设AP＝PE＝x，
故AE＝ABx，
∴AP：AB＝x：x＝1：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．
8．（3分）（2023秋 濮阳期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（3分）（2023秋 钱塘区期末）如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可在槽内滑动，OA＝OC＝PC，若∠AOB＝60°，则∠P的度数为（　　）
A．15° B．20° C．30° D．45°
【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】设∠P＝x°，利用等腰三角形的性质可得∠P＝∠COP＝x°，再利用三角形的外角性质可得∠ACO＝2x°，然后再利用等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠OAC＝2x°，从而利用三角形的外角性质可得∠AOB＝3x°，进而可得3x＝60，最后进行计算即可解答．
【解答】解：设∠P＝x°，
∵CP＝CO，
∴∠P＝∠COP＝x°，
∵∠ACO是△COP的一个外角，
∴∠ACO＝∠P+∠COP＝2x°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝2x°，
∵∠AOB是△AOP的一个外角，
∴∠AOB＝∠P+∠OAC＝3x°，
∵∠AOB＝60°，
∴3x＝60，
解得：x＝20，
∴∠P的度数为20°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）（2024秋 海曙区校级期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，BF是AC上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边三角形ADE，连结EF，则△AEF周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】A
【分析】首先证明点E在射线CE上运动，其中∠ACE＝30°，作点A关于直线CE的对称点M，连接EM，FM，证明△AEF周长的最小值为3+MF，在求出MF即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BF是AC上的中线，
∴AF＝CF＝3，BF⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，
∴点E在射线CE上运动，其中∠ACE＝30°，
如图，作点A关于直线CE的对称点M，连接EM，FM，
则ME＝AE，CA＝CM，∠ACM＝2∠ACE＝60°，
∴△AEF周长＝AF+AE+EF＝3+ME+EF≥3+MF，
∴△AEF周长的最小值为3+MF，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC＝6，BF⊥AC，
∴MF3，
∴△AEF周长的最小值＝3+3．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是证明点E在射线CE上运动，其中∠ACE＝30°．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024 碑林区校级四模）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的边AB重合，按照如图的方式叠放在一起，连接EB交HI于点K，则∠BKH的大小为 　96°　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】96°．
【分析】根据正五边形的内角，可得∠I，∠BAI的值，根据正六边形，可得∠ABC的度数，根据正六边形的对角线，可得∠BAK的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：由正五边形内角，得∠I＝∠BAI108°，
由正六边形内角得，
∠ABC120°，
BE平分∠ABC，
∠ABK＝60°，
由四边形的内角和得，
∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK
＝360°﹣108°﹣108°﹣60°
＝84°，
∴∠BKH＝180°﹣84°＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式．
12．（3分）（2025春 冷水滩区校级月考）一个7边形的内角和是　900°　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】900°．
【分析】应用多边形内角和公式计算即可．
【解答】解：一个7边形的内角和是（7﹣2）×180°＝900°，
故答案为：900°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，关键是正确计算．
13．（3分）（2024 息县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝24，D为斜边AB的中点，P是边AC上的一个动点，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，当直线A′P与AB垂直时，AP的长为 　或　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】解直角三角形及其应用；展开与折叠；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】或．
【分析】根据题意分类讨论①A在AC下方、②A在AB上方 两种情况，即可求解．
【解答】解：①A在AC下方时，如图1：
延长AP交AB于点H，则AH⊥AB，AD＝AD，∠A＝∠A，
∵∠C＝90°，BC＝10，AC＝24，D为斜边AB的 中点，
∴AB26，
∴AD＝AD＝2AB＝13，cosA，sinA＝sinA′，
∴sinA'，
解得：DH＝5，
∴AH＝AD﹣DH＝8，
∴cosA，
解得：AP；
②A在AB上方时，如图2：
同理可得：DH＝5，
∴AH＝AD+DH＝18，
∴cosA，
解得：AP，
综上所述：AP或AP，
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），解直角三角形等知识点，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
14．（3分）（2024春 白银期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠B＝25°，则∠DAC＝　65　 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】65．
【分析】根据三线合一，得到AD⊥BC，AD平分∠BAC，进行求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣25°＝65°；
故答案为：65．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角的三线合一的性质．
15．（3分）（2025春 双流区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE＝∠BDE，若DE＝DF，，BC＝4EC，则　　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】在BE上截取GE＝AD，由SAS可判定△ADF≌△GED，由全等三角形的性质得∠A＝∠EGD，∠DFA＝∠EDG，由四边形的内角和及补角的性质、角的和差得∠BDG＝∠BGD，由等腰三角形的判定得BD＝BG，由，BC＝4EC结合线段和差，即可求解．
【解答】解：如图，在BE上截取GE＝AD，
∵∠GED+∠DEC＝180°，∠ADF+∠DEC＝180°，
∴∠ADF＝∠GED，
∵ED＝DF，
∴△ADF≌△GED（SAS），∠DEF＝∠DFE，
∴∠A＝∠EGD，∠DFA＝∠EDG，
∵∠BGD+∠EGD＝180°，
∴∠BGD+∠A＝180°，
∵∠BDE+∠ADE＝180°，∠AFE＝∠BDE，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，∠DFA+∠DFE＝∠EDG+∠B，
∴∠DFE＝∠BDG，
∴∠A+∠DEF＝180°，
∴∠BGD＝∠DEF，
∴∠BDG＝∠BGD，
∴BD＝BG，
∵ADBD，BC＝4EC，
∴BG＝BDAD，BE＝3EC，
∴，
∴BE＝BG+GE，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等，掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
16．（3分）（2020秋 江北区校级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，4），B（3，0），过点B作直线l∥y轴，点P是直线l上的一个动点，以AP为边作等腰Rt△APQ，∠PAQ＝90°（点A，P，Q呈逆时针排列），当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，AQ+BQ的最小值为 　　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】动点型；平移、旋转与对称；模型思想；应用意识．
【答案】．
【分析】如图，过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QH⊥y轴于H．利用全等三角形的性质证明OH＝8是定值，点Q在直线QH上运动，原点到直线QH的距离为8，作点A关于直线QH是对称点E，连接QE，QB，EB．根据QA+QB＝QE+QB≥EB，求出EB即可．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QH⊥y轴于H．
∵∠PFA＝∠AHQ＝∠PAQ＝90°，
∴∠AQH+∠HAQ＝90°，∠HAQ+∠PAF＝90°，
∴∠PAF＝∠AQH，
∵AQ＝AP，
∴△AHQ≌△PFA（AAS），
∴AH＝PF，
∵PB∥y轴，B（3，0），
∴AH＝PF＝OB＝3，
∵A（0，4），
∴OH＝OA+AH＝4+3＝7，
∴点Q在直线QH上运动，原点到直线QH的距离为7，
作点A关于直线QH是对称点E，连接QE，QB，EB．
∵QA+QB＝QE+QB≥EB，
在Rt△EOB中，∠EOB＝90°，OB＝3，OE＝10，
∴BE，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共8小题）
17．（2022秋 思明区校级期中）如图，△ABC中，延长CB至点D，延长BC至点E，使DB＝BC＝CE＝AB＝AC，连接AD，AE．求∠DAE的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】120°．
【分析】根据AB＝AC＝BC，可得△ABC是等边三角形，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D，∠E，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠DAB+∠D，
∴∠D＝30°，
同理可得∠E＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，能综合运用性质定理进行计算是解此题的关键．
18．（2022秋 鼓楼区校级月考）如图，AC∥DF，AB＝DE，∠D＝∠A．求证：BE＝CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】利用两直线平行，同位角相等得到∠ACB＝∠DFE，再利用角角边定理判定全等即可得到BC＝EF，同时减去公共部分EC即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF．
【点评】本题主要考查了三角形的全等的判定与性质，由AAS判定三角形全等是解题的关键．
19．（2023春 洋县校级期中）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD，E是AB上的一点．求证：CE＝DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】先利用HL判定Rt△ABC≌Rt△ABD，从而得到对应角相等，再利用SAS判定△CAE≌△DAE，从而得到CE＝DE．
【解答】证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
∴∠CAE＝∠DAE．
∵在△CAE和△DAE中，
，
∴△CAE≌△DAE（SAS），
∴CE＝DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、AAS、HL．AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（2024 宣化区一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm．求BD的长．
【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）BDcm．
【分析】（1）过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，由CE∥DA，可求证，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，可得AE＝AC，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【解答】（1）证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，
∵CE∥DA，
∴，∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴；
（2）解：∵AD是角平分线，
∴，
∵AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，
∴，
解得BDcm．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
21．（2024 绿园区二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个△ABD，使S△ABD＝S△ABC，D为格点（点D不在点C处）；
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使AE⊥BC；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）根据题意，使格点D到直线AB的距离等于4个小正方形边长即可．
（2）根据垂线的定义可得答案．
（3）结合角平分线的性质，取格点D，使AD＝AC＝5，再取CD的中点E，连接AE，与BC的交点即为点F．
【解答】解：（1）如图①，△ABD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②，点E即为所求．
（3）由勾股定理得，AC5，
如图③，取格点D，使AD＝AC＝5，再取CD的中点E，连接AE，交BC于点F，
可知AE为∠BAC的平分线，
则点F到AB和AC所在直线的距离相等，
则点F即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、垂线、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2023秋 思明区校级期中）如图1，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝AD＝EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．
（1）若∠BDA＝65°，求∠DAC的度数；
（2）如图2，延长BD，EC交于点M，
①证明：A，M，H在同一条直线上；
②若BC＝2CM，证明：BD＝HD．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角的和差定义求解即可；
（2）①如图2中，连接AH，AM，过点A作AT⊥BM于点T，AK⊥EM于点K．分别证明AM平分∠DAC，AH平分∠DAC即可；
②如图3中，取BC的中点O，连接OM．证明∠BDH＝∠DHB＝30°，可得结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AD，∴∠ABD＝ADB＝65°，∴∠BAD＝180﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：①如图2中，连接AH，AM，过点A作AT⊥BM于点T，AK⊥EM于点K．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∵AT⊥BD，AK⊥CE，
∴BD×ATCE×AK，
∴AT＝AK，
∴∠AMT＝∠AMK，
∴∠MAT＝∠MAK，
∵∠DAT＝∠BAT＝∠EAK＝∠CAK，
∴∠MAD＝∠MAC，
∴AM平分∠DAC，
∵∠TAK＝∠DAE＝90°，∠ATM＝∠AKM＝90°，
∴∠TMK＝90°，
∵∠CAF＝∠DAG，∠ACF＝∠ADG＝45°，AC＝AD，
∴△ACF≌△ADG（ASA），
∴AF＝AG，
∵AD＝AC，
∴DF＝CG，
∵∠FDH＝∠GCH，∠DHF＝∠CHG，
∴△DHF≌△CHG（AAS），
∴HF＝HG，
∵AH＝AH，AF＝AG，
∴△AHF≌△AHG（SSS），
∴∠HAF＝∠HAG，
∴AH平分∠DAC，
∵AM平分∠DAC，
∴A，H，M共线；
②如图3中，取BC的中点O，连接OM．
∵∠BMC＝90°，BO＝OC，
∴OM＝OB＝OC，
∵BC＝2CM，
∴CM＝OC＝OM，
∴△OCM是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，∠CBM＝30°，
同法可知∠MDE＝60°，
∵∠MDE＝∠DBH+∠DHB，
∴∠BDH＝∠DHB＝30°，
∴DB＝DH．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（2023春 武侯区校级期末）【一线三等角模型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段；（除已知边AC＝BC外）
【模型运用】如图2，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°，连接CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；
【能力提升】如图3，在等边△DEF中，EF＝2，点A，点C分别为DE、DF边上的动点，AE＝2CD，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当点A从点E运动到点D，请在图3中作出点B的运动轨迹，并求出点B的运动路程．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）AD＝CE，CD＝BE；
（2）见解析过程；
（3）点B的运动轨迹为FH的长，点B的运动路程为．
【分析】（1）证明△ACD≌△CBE即可得到结论；
（2）过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，证明△BDE≌△JFD≌KEF，得出DJ＝BE＝FK，证出四边形AJFP是平行四边形，则AJ＝PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB＝30°可得CF平分∠PCI，则FI＝FP，证出FP＝AJ，FK＝BE＝DJ，FI＝FK，得出AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝2BE；
（3）由“SAS”可证△ADC≌△CNB，可得BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得∠CFB＝30°，即点B在∠DFE的角平分线上移动，由等边三角形的性质可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°．
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE；
（2）证明：如图，过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，
∴∠BJK＝∠BAC＝∠BKJ＝∠ACB＝60°＝∠ABC，
∠CPI＝∠BAC＝∠B＝∠CIP＝60°＝∠ACB，
∴△BJK和△CPI是等边三角形，
∵∠DEF＝60°，DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
由（1）中结论可知，△BDE≌△JFD≌KEF，
∴DJ＝BE＝FK，
∵AB∥PI，FK∥AC，
∴四边形AJFP是平行四边形，
∴AJ＝PF，
∵∠FIK＝∠FKI＝60°，
∴FI＝FK，
∵△CPI为等边三角形，∠FCB＝30°，
∴∠FCI＝∠FCP＝30°，
∴CF平分∠PCI，
∵△CPI是等边三角形，
∴FI＝FP，
∵FP＝AJ，
FK＝BE＝DJ，FI＝FK，
∴AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝2BE；
方法2、
如图，过点F作FH∥AC，交BC于H，
∴∠FHB＝∠ACB＝60°＝∠ABC，
又∵DE＝EF，∠BDE＝∠FEH，
∴△BDE≌△HEF（AAS），
∴BE＝FH，BD＝EH，
∵∠FCB＝30°，∠FHE＝∠FCB+∠HFC，
∴∠FCB＝∠CFH＝30°，
∴FH＝HC，
∴CH＝BE，
∵AB＝BC，BD＝EH，
∴AD＝BE+CH＝2BE；
（3）解：如图3中，在CF上取一点N，使得FN＝DC，延长FB交DE于H，
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠D＝∠ACB＝60°，DA＝DF，CA＝CB，
∵AE＝2CD，CD＝FN，
∴DA＝CN，
∵∠ACN＝∠ACB+∠BCN＝∠D+∠CAD，
∴∠BCN＝∠DAC，
在△ADC和△CNB中，
，
∴△ADC≌△CNB（SAS），
∴BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，
∵NF＝CD，
∴NB＝NF，
∴∠NBF＝∠NFB，
∵∠BNC＝∠NBF+∠NFB＝60°，
∴∠NFB＝∠NBF＝30°，
∴∠CFB＝30°，
∴点B在∠DFE的角平分线上移动，
∴点B的运动轨迹为FH的长，
∵△DEF是等边三角形，∠CFB＝30°，
∴FH⊥DE，DH＝EH＝1，
∴FH，
∴点B的运动路程为．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造一线三等角模型，利用全等三角形解决问题．
24．（2024 周至县三模）【问题提出】
（1）如图1，在△AOB中，OA＝OB＝2，∠B＝45°，点C是AB上的动点，连接OC，则OC的最小值为 　2　 ；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF，若△CDF的面积为3，求△ABC的面积；
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是张大爷承包的一片土地，OA和AC是两条小路（小路的宽度忽略不计），已知O处有一个休息亭，休息亭O到A的距离AO＝60m，且∠CAO＝∠ACB，AB＝AC＝100m，BC＝120m，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是四边形ABCD内一个动点，现要在△ADE区域内种植果树，并保证果园的面积是1050m2（即S△ADE＝1050m2），为使得果园灌溉和休息亭的饮水得到满足，计划在小路AC上修建一口水井F，并沿EF、OF铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度EF+OF要最小，请你求出EF+OF的最小值．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）12；
（3）EF+OF的最小值为64m．
【分析】（1）先根据等边对等角得∠A＝45°，由三角形的内角和定理可得∠AOB＝90°，最后由勾股定理和垂线段最短可得OC的最小值是2；
（2）连接BD，先根据等高三角形面积的比等于对应底边的比，可得△BCD的面积＝6，最后由三角形的中线平分三角形的面积可解答；
（3）如图3，作辅助线构建矩形和全等三角形，先由勾股定理计算AH的长，根据三角形的三边关系可得EF+OF＝EF+QF≥QE，确定当Q、F、E三点共线时，EF+QF＝QE，计算EQ的长可得结论．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝2，∠B＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB4，
∵点C是AB上的动点，
∴当OC⊥AB时，OC的值最小，最小值是AB＝2，
故答案为：2；
（2）如图2，连接BD，
∵CE＝BC，点F是DE的中点，
∴CF是△BDE的中位线，
∴BD＝2CF，CF∥BD，
∴点C到BD的距离等于点D到CF的距离，即△CDF的边CF上的高和△BCD的边BD上的高相等，
∴S△BCD＝2S△CDF＝6，
∵点D是AC的中点，
∴BD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△BCD＝12；
（3）如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接OC，过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点Q，过点B作BN⊥AQ，交QA的延长线于点N，连接QE，QF，易得四边形BCQN，四边形ANBH和四边形AQCH均为矩形，
则BN＝CQ＝AH＝80m，AQ＝CH＝BH＝AN＝60m，
∵AB＝AC＝100m，BC＝120m，
∴BH＝CH＝60m，
∴AH80（m），
由∠BNA＝∠BAD＝∠AQC＝90°，
∴∠BAN+∠DAQ＝∠DAQ+∠ADQ＝90°，
∴∠BAN＝∠ADQ，
∴△DAQ∽△ABN，
∴，即，
∴DQ＝45m，
∴AD75（m），
∵AQ∥BC，
∴∠CAQ＝∠ACB，
∴∠CAO＝∠ACB＝∠CAQ，
在△ACO和△ACQ中，AQ＝AO＝60m，∠CAO＝∠CAQ，AC＝AC，
∴△ACO≌△ACQ（SAS），
∴点O和点Q关于AC对称，
∴OF＝QF，
∴EF+OF＝EF+QF≥QE，
∴当Q、F、E三点共线时，EF+QF＝QE，
设点E到AD的距离为h m，
则，
解得：h＝28，则点E在与AD距离为28m的直线（在四边形ABCD内部）上移动，
过点E作EG⊥AB，过点Q作QP⊥GE交GE的延长线于点P，交AD于点M，易得QP⊥AD，四边形AGPM是矩形，
∵∠BAD＝∠BGE＝90°
∴GE∥AD，则点G到AD的距离AG＝h＝28m，
∴PM＝AG＝28m，
∴当点E与点P重合时，QE取得最小值，QE＝QM+PM，此时EF+OF最小，
在△ADQ中，
∵
∴AQ DQ＝AD QM，即60×45＝75QM，
解得：QM＝36，
∴QP＝QM+PM＝36+28＝64（m），
即EF+OF的最小值为64m．
【点评】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，轴对称的性质，三角形的三边关系，三角形的面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和矩形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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