资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
湖北省武汉市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一个一元二次方程的二次项是2x2，它经过配方整理得（x）2＝1，那么它的一次项和常数项分别是（　　）
A．x， B．2x， C．2x， D．x，
2．（3分）（2022秋 河北区期中）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2024春 通州区期末）一元二次方程x2+4x+5＝0经过配方变形为（x+2）2＝n，则n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．4 D．9
4．（3分）（2022秋 天门期中）已知抛物线y＝x2﹣4x﹣1，当0≤x＜3时，则（　　）
A．﹣5≤y≤﹣1 B．﹣4≤y≤﹣1 C．y＞﹣4 D．y＜﹣1
5．（3分）（2024春 新野县期末）某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔35元，而按定价的九折出售将赚40元，问这种商品的定价是多少．设定价为x元，则下列方程中正确的是（　　）
A．0.75x﹣40＝0.9x+35 B．0.75x+40＝0.9x+35
C．0.75x+35＝0.9x﹣40 D．0.75x﹣35＝0.9x+40
6．（3分）（2025 福州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　）
A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m
C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n
7．（3分）（2024秋 门头沟区期末）抛物线y＝x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3
8．（3分）（2024秋 香洲区校级期中）函数y＝ax﹣2（a＞0）与y＝ax2（a＞0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2024秋 江阳区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在同一半圆弧上，若∠ADC＝128°，则∠BAC的度数是（　　）
A．26° B．38° C．42° D．64°
10．（3分）（2024 湖南模拟）明明在解关于x的方程ax2﹣3x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1．则原方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有一个实数根是x＝﹣1
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 昆明校级一模）若点P（3，b）与点Q（a，﹣2）关于原点对称，则ab的值是　 　 ．
12．（3分）（2025 皇姑区校级三模）平面直角坐标系中，将一个点先向上平移n（n＞0）个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度．我们把这样的变换叫做点的ρ（n，θ）变换．例如，点A（2，0）按ρ（1，90°）变换后得到点B（﹣1，2）．若点M按ρ（2，105°）变换后得到点，则点M的坐标为　 　 ．
13．（3分）（2023 五莲县二模）关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0两个实数根x1、x2且x1 x2＞x1+x2﹣4，则m的取值范围是 　 　 ．
14．（3分）把一个圆形纸片至少对折　 　 次，才可以确定圆心．
15．（3分）（2022秋 云龙县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③abc＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
16．（3分）（2024春 丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0；
（3）x2﹣2x﹣6＝x﹣5．
18．（8分）（2022秋 夏津县期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，求⊙O的半径．
19．（8分）（2025 西湖区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0），点A（n﹣2，p），B（4，q），C（n，p）都在该二次函数的图象上．
（1）用含n的代数式表示m．
（2）当x＞2时，y随x的增大而减小，求n的值范围．
（3）若﹣3＜q＜p，求n的取值范围．
20．（8分）（2023秋 萧山区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）若等于，且CD＝AG，求∠G的度数．
21．（8分）（2024秋 樊城区期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣3，0），C（1，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）直接写出点C′的坐标；
（3）P，Q是△ABC内不重合的两点，旋转后的对应点为P′，Q′，判断线段P′Q′与线段PQ的关系．
22．（10分）（2023 福田区校级模拟）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，则d的取值范围是 　 　 ；
（3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的距离．
23．（10分）（2024秋 九台区期末）【感知】如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接BE、CD，易知△ADC≌△ABE．（不要求证明）
【探究】如图②，已知∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝2，AC＝AE，求BE的长．
【应用】如图③，AB＝4，BD＝8，∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ACD＝30°，则BC＝　 　 ．
24．（12分）（2024 新抚区模拟）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求的最大值；
（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值．
湖北省武汉市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一个一元二次方程的二次项是2x2，它经过配方整理得（x）2＝1，那么它的一次项和常数项分别是（　　）
A．x， B．2x， C．2x， D．x，
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】首先根据二次项是2x2，给方程的两边同时乘2；然后把方程化成一元二次方程的一般形式即可解答．
【解答】解：方程两边乘2，得2（x）2＝2，
2（x2+x）＝2，
2x2+2x2，
2x2+2x2＝0，
2x2+2x0，
∴它的一次项和常数项分别是2x，．
故选：C．
【点评】此题考查配方法解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．（3分）（2022秋 河北区期中）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）（2024春 通州区期末）一元二次方程x2+4x+5＝0经过配方变形为（x+2）2＝n，则n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．4 D．9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2+4x+5＝0，
x2+4x＝﹣5，
x2+4x+4＝﹣5+4，
（x+2）2＝﹣1，
∴n＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
4．（3分）（2022秋 天门期中）已知抛物线y＝x2﹣4x﹣1，当0≤x＜3时，则（　　）
A．﹣5≤y≤﹣1 B．﹣4≤y≤﹣1 C．y＞﹣4 D．y＜﹣1
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】A
【分析】利用配方法求出顶点坐标，结合函数图象即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣5），
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣5，
∴﹣5≤y≤﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用数形结合是解题的关键．
5．（3分）（2024春 新野县期末）某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔35元，而按定价的九折出售将赚40元，问这种商品的定价是多少．设定价为x元，则下列方程中正确的是（　　）
A．0.75x﹣40＝0.9x+35 B．0.75x+40＝0.9x+35
C．0.75x+35＝0.9x﹣40 D．0.75x﹣35＝0.9x+40
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：定价的七五折+35元＝定价的九折﹣40元，根据此等式列方程即可．
【解答】解：设定价为x元，根据题意得，0.75x+35＝0.9x﹣40，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
6．（3分）（2025 福州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　）
A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m
C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝c；二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（2，c），
∴该函数图象的对称轴为直线x1，
当c＞m时，该函数图象开口向上，n＞m，故选项A正确，选项B错误；
当c＜m时，该函数图象开口向下，n＜m，故选项C错误；
当c＜m时，2﹣1＝1，3﹣1＝2，则c＞n，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（3分）（2024秋 门头沟区期末）抛物线y＝x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+3．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8．（3分）（2024秋 香洲区校级期中）函数y＝ax﹣2（a＞0）与y＝ax2（a＞0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】A
【分析】根据 a＞0确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断．
【解答】解：∵a＞0时，一次函数y＝ax﹣2的图象经过一，三，四象限，二次函数y＝ax2的开口向上，
故选：A．
【点评】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．（3分）（2024秋 江阳区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在同一半圆弧上，若∠ADC＝128°，则∠BAC的度数是（　　）
A．26° B．38° C．42° D．64°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接BD，由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAC＝∠CDB，求出∠CDB＝38°，即可得到∠BAC的度数．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝128°﹣90°＝38°，
∴∠BAC＝∠CDB＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠ADB＝90°，∠BAC＝∠CDB．
10．（3分）（2024 湖南模拟）明明在解关于x的方程ax2﹣3x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1．则原方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有一个实数根是x＝﹣1
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题．
【解答】解：将x＝1代入方程得，
a﹣3+2＝0，
解得a＝1，
所以a的正确值为﹣1，
则原方程为﹣x2﹣3x+2＝0，
所以Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×2＝17＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 昆明校级一模）若点P（3，b）与点Q（a，﹣2）关于原点对称，则ab的值是　9　 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】9．
【分析】由题意知，3+a＝0，b﹣2＝0，可求a＝﹣3，b＝2，然后代值求解即可．
【解答】解：根据题意可知，3+a＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标，掌握关于原点对称的点坐标的特征是关键．
12．（3分）（2025 皇姑区校级三模）平面直角坐标系中，将一个点先向上平移n（n＞0）个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度．我们把这样的变换叫做点的ρ（n，θ）变换．例如，点A（2，0）按ρ（1，90°）变换后得到点B（﹣1，2）．若点M按ρ（2，105°）变换后得到点，则点M的坐标为　　 ．
【考点】勾股定理；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】．
【分析】根据题意，点M向上平移2个单位，得到点C，点C绕原点按逆时针方向旋转105°得到点，得出ON＝OC＝2，∠COE＝30°，据此求解即可．
【解答】解：作ND⊥x轴于点D，
根据题意，点M向上平移2个单位长度后得到点C，点C绕原点按逆时针方向旋转105°角度得到点，
∴，∠NOC＝105°，
∴，
∴∠COE＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
∴，
∴ME＝CM﹣CE＝1，
在直角三角形OCE中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，坐标与图形变化﹣平移，坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握平移与旋转的性质是解答本题的关键．
13．（3分）（2023 五莲县二模）关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0两个实数根x1、x2且x1 x2＞x1+x2﹣4，则m的取值范围是 　　 ．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据1根与系数的关系的关系可得x1+x21，，进而得到，解得m，由方程有两实数根可得Δ＝b2﹣4ac≥0，解得m，以此即可求解．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的实数根，
∴x1+x21，，
∵x1 x2＞x1+x2﹣4，
∴，
解得：m，
∵关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2 （3m﹣1）≥0，
解得：m，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式是解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）把一个圆形纸片至少对折　2　 次，才可以确定圆心．
【考点】垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】圆的直径都经过圆心，因此圆形纸片至少对折2次，才能确定圆心位置．
【解答】解：∵圆的直径都经过圆心，
∴把一个圆形纸片至少对折2次，才可以确定圆心，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了垂径定理，关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心．
15．（3分）（2022秋 云龙县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③abc＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是 　②④⑤　 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】②④⑤．
【分析】①根据x＝1对应的函数值即可判断①的正误；②根据抛物线与x轴交点情况可判断②的正误；③由对称轴的位置可判断ab的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，从而可判断③的正误；④根据x＝﹣2对应的函数值即可判断④的正误；⑤根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误．
【解答】解：①x＝1时，y＝a+b+c＜0，①错误，不符合题意；
②抛物线与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，②正确，符合题意；
③对称轴在y轴左侧，则ab＞0，而抛物线与y轴的交点为（0，1），所以c＞0，故abc＞0，③错误，不符合题意；
④由函数的对称性知，x＝﹣2和x＝0对称，故x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，④正确，符合题意；
⑤抛物线与y轴的交点为（0，1），所以c＝1，抛物线开口向下，所以a＜0，故c﹣a＞1，⑤正确，符合题意．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．（3分）（2024春 丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积是 　8　 ．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由B点坐标求得OB，再解Rt△OAB，求得OA，进而根据菱形的性质求得AC、BD，最后根据菱形的面积公式求得结果．
【解答】解：∵点B的坐标为（0，﹣2），
∴OB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ABO∠ABC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB tan60°＝2，
∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝4，
∴S菱形ABCDAC BD＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，解答本题的关键是解直角三角形求得对角线的长度．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0；
（3）x2﹣2x﹣6＝x﹣5．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）在方程两边都加上一次项系数一半的平方进行配方，据此进行求解即可；
（2）先将二次项系数化为1，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方进行配方，据此进行求解即可；
（3）先整理成一般式，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方进行配方，据此进行求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x﹣1＝0，
x2﹣8x+16＝1+16，
（x﹣4）2＝17，
则x﹣4，
所以；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣2x，
x2﹣2x+1，
（x﹣1）2，
则x﹣1，
所以；
（3）x2﹣2x﹣6＝x﹣5，
x2﹣3x﹣1＝0，
x2﹣3x，
（x）2，
则x，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
18．（8分）（2022秋 夏津县期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】⊙O的半径为5m．
【分析】根据垂径定理得EM⊥CD，求出CM＝DM＝4，在Rt△COM中，由勾股定理得OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵M是⊙O弦CD的中点，CD＝8m，
∴EM⊥CD，CM＝DMCD＝4m，
设⊙O的半径为x m，
在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2＝CM2+OM2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
即⊙O的半径为5m．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
19．（8分）（2025 西湖区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0），点A（n﹣2，p），B（4，q），C（n，p）都在该二次函数的图象上．
（1）用含n的代数式表示m．
（2）当x＞2时，y随x的增大而减小，求n的值范围．
（3）若﹣3＜q＜p，求n的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝n﹣1；
（2）1＜n≤3；
（3）3＜n＜4或n＞6．
【分析】（1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可；
（2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当x≥n﹣1时，y随x的增大而减小，又当x＞2时，y随x的增大而减小，则n﹣1≤2，即可求出n的值范围；
（3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，q的范围列出相应不等式，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵A（n﹣2，p），C（n，p）都在二次函数的图象上，
∴对称轴为直线，
又∵对称轴为直线，
∴m＝n﹣1；
（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）中，﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当x≥n﹣1时，y随x的增大而减小，
∵当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴n﹣1≤2，
∴n≤3；
∵m＝n﹣1，m＞0，
∴n﹣1＞0，
解得：n＞1，
∴1＜n≤3；
（3）此时对称轴在y轴右侧，令x＝0，则y＝﹣3，
令x＝4，则q＝﹣42+2m×4﹣3＞﹣3，解得：m＞2，则n﹣1＞2，解得：n＞3；
令x＝n，则p＝﹣n2+2mn﹣3＝﹣n2+2（n﹣1）n﹣3＝n2﹣2n﹣3，
∵q＝﹣16+8m﹣3＝8m﹣19＝8n﹣27，q＜p，
∴8n﹣27＜n2﹣2n﹣3，
整理得：n2﹣10n+24＞0，
令d＝n2﹣10n+24，再令d＝0，解得：n＝4或n＝6，
如图，二次函数d＝n2﹣10n+24开口向上，与横轴交于（4，0）和（6，0），
若d＞0，则n＜4或n＞6，
综上：n的取值范围是3＜n＜4或n＞6．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解．
20．（8分）（2023秋 萧山区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）若等于，且CD＝AG，求∠G的度数．
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）和∠ADC相等的角是∠G，证明见解析；
（2）∠G＝67.5°．
【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接OC，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出∠BOC＝45°，则∠AOC＝135°，结合圆周角定理，即可求解．
【解答】解：（1）和∠ADC相等的角是∠G．
证明如下：
∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD，
∴，
∴∠G＝∠ADC．
（2）连接OC，
∵AG＝CD，
∴，
∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．
21．（8分）（2024秋 樊城区期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣3，0），C（1，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）直接写出点C′的坐标；
（3）P，Q是△ABC内不重合的两点，旋转后的对应点为P′，Q′，判断线段P′Q′与线段PQ的关系．
【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）C′（﹣1，﹣2）；
（3）P′Q′＝PQ，线段P′Q′与线段PQ关于原点对称．
【分析】（1）三个顶点A（﹣2，5），B（﹣3，0），C（1，2）．绕原点O顺时针旋转180°得到A′（2，﹣5），B′（3，0），C′（﹣1，﹣2），首尾连接，即得△A′B′C′；
（2）C′（﹣1，﹣2）；
（3）设P（a，b），Q（m，n），则P′（﹣a，﹣b），Q′（﹣m，﹣n），勾股定理可证明P′Q′＝PQ．
【解答】解：（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C′，如图1即为所求；
（2）点C′的坐标为（﹣1，﹣2）；理由如下：
由图可知，点C′的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）P′Q′＝PQ．理由如下：
如图2，
设P（a，b），Q（m，n），则P′（﹣a，﹣b），Q′（﹣m，﹣n），
线段P′Q′与线段PQ关于原点对称，
∵，，
∴P′Q′＝PQ．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，勾股定理，熟练掌握中心对称，图象的坐标，勾股定理是解题的关键．
22．（10分）（2023 福田区校级模拟）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，则d的取值范围是 　0.3＜d＜1.7　 ；
（3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的距离．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+2.25；（2）d的取值范围为0.3＜d＜1.7；（3）光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令y＝1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y＞1.76时x的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为（1，2.25），A（0，1.25），
设第一象限内的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25，
将点A（0，1.25）代入物线解析式，
1.25＝a（0﹣1）2+2.25，
解得α＝﹣1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25；
（2）根据题意，令y＝1.76，
即﹣（x﹣1）2+2.25＝1.76，
解得x1＝0.3，x2＝1.7，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，
∴当0.3＜x＜1.7时，y＞1.76，
∴d的取值范围为0.3＜d＜1.7；
（3）作直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点E，F，过点E，作EG⊥PB，垂足为G，如图所示，
∵l∥PB，
设直线l的解析式为y＝﹣x+m，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得x2﹣3x+m﹣1.25＝0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ＝32﹣4×1×（m﹣1.25）＝0，
解得m＝3.5，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3.5，
令y＝0，则x＝3.5，
∴E（3.5，0），
∴BE＝4﹣3.5＝0.5，
即EB，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG＝45°，
∵∠EGB＝90°，
sin∠EBG，
∴EG，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点评】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
23．（10分）（2024秋 九台区期末）【感知】如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接BE、CD，易知△ADC≌△ABE．（不要求证明）
【探究】如图②，已知∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝2，AC＝AE，求BE的长．
【应用】如图③，AB＝4，BD＝8，∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ACD＝30°，则BC＝　8　 ．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】【探究】2；
【应用】8．
【分析】【探究】由等腰三角形的性质可求BH的长，由勾股定理可求HC的长，由“SAS”可证△ABE≌△AHC，即可求解；
【应用】通过证明△BAD∽△NAC，可求NC的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：【探究】如图②，过点A作AH⊥AB，且AH＝AB＝2，连接CH，BH，
∵AB＝AH＝2，AH⊥AB，
∴BH＝2，∠ABH＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠HBC＝90°，
∴HC2，
∵∠EAC＝90°＝∠BAH，
∴∠BAE＝∠CAH，
又∵AC＝AE，AB＝AH，
∴△ABE≌△AHC（SAS），
∴BE＝CH＝2；
【应用】如图③，过点B作BN⊥BC，过点A作AN⊥AB，交BN于点N，连接CN，
∴∠BAN＝∠CAD＝∠CBN＝90°，
∴∠BAD＝∠CAN，
∵∠ABC＝∠ACD＝30°，
∴ACAD，∠ABN＝60°，
∴∠ANB＝30°，
∴BN＝2AB＝8，ANAB，
∴，
∴△BAD∽△NAC，
∴，
∴NC＝8，
∴BC8，
故答案为：8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
24．（12分）（2024 新抚区模拟）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求的最大值；
（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）抛物线的解析式为y；（2）；
（3）m的值是﹣6或6．
【分析】（1）先求出B（4，0），C（0，﹣2），再运用待定系数法即可求得抛物线解析式，令y＝0，解方程即可求得点A的坐标；
（2）过点A作AE∥y轴交BC于E，过点D作DF∥y轴交BC于F，则AE，设D（t，t2t﹣2），则F（t，t﹣2），可得DFt2+2t，由AE∥DF，得△AEN∽△DFN，可得（t﹣2）2，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）当m时，点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是点Q，可得（m2m﹣2）﹣[（m+3）2（m+3）﹣2]m2，当m≤0时，点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是顶点，可得m2m﹣2﹣（）m2，当0＜m时，点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是顶点，可得[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（）m2，当m时，点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是点P，可得[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（m2m﹣2）m2，分别解方程并检验可得答案．
【解答】解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
∵抛物线经过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为yx2x﹣2，
当y＝0时，x2x﹣2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）如图1，过点A作AE∥y轴交BC于E，过点D作DF∥y轴交BC于F，
则E（﹣1，），
∴AE，
设D（t，t2t﹣2），则F（t，t﹣2），
∴DF＝（t﹣2）﹣（t2t﹣2）t2+2t，
∵AE∥y轴，DF∥y轴，
∴AE∥DF，
∴△AEN∽△DFN，
∴，
∵（t﹣2）2，
∴当t＝2时，的最大值为；
（3）∵yx2x﹣2（x）2，
∴该函数图象的对称轴是直线x，顶点坐标为（，），
当m时，m＜m+3，则y1＞y2，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是点Q，
∴（m2m﹣2）﹣[（m+3）2（m+3）﹣2]m2，
解得：m1＝﹣6，m2＝0 （舍去）；
当m≤0时，m+3≤3，则y1＞y2，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是顶点，
∴m2m﹣2﹣（）m2，
解得：m；
当0＜m时，3＜m+3，则y2＞y1，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是顶点，
∴[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（）m2，
解得：m（不符合题意，舍去）；
当m时，y2＞y1，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是点P，
∴[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（m2m﹣2）m2，
解得：m1＝0（舍去），m2＝6；
综上所述，m的值是﹣6或6．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑