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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C A C D ABD BC
题号 11
答案 AB
1．C
【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角.
【详解】由于直线的倾斜角为，则直线的斜率，
再由，可得.
故选：C
2．B
【详解】由题意得：
∴
∴的虚部是1
故选B
3．A
【分析】根据圆心距与半径的关系可判断.
【详解】圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆.
圆，表示以为圆心，半径等于3的圆.
两圆的圆心距，
，故两个圆相内切.
故选：A.
4．B
【解析】由已知两直线平行得出满足的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由题意，，即，
∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立．
∴的最小值是9．
故选：B．
【点睛】本题考查两直线平行的条件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时，注意其条件：一正二定三相等，其中定值有时需要凑配，“1”的代换是常用方法．
5．C
【分析】根据的几何意义，结合圆的性质求解出对应最大值.
【详解】解：，
上式表示圆上的点到点的距离，
因为圆，圆心，半径．
显然．
故选：C．
6．A
【分析】由题意可知，圆心角，过圆心作直线的垂线，交点为C，那么是直角三角形，即可求出答案.
【详解】由圆，其圆心为，半径为，
过圆心作直线的垂线，交点为C，那么是直角三角形，其中，
，，
又圆心到直线的距离为，
解得.
故选：A.
7．C
【分析】配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知，而的最小值为C点到的距离，由此可得结论．
【详解】由题意圆的标准方程为，∴圆心为，半径为．
又，
到直线的距离为，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形面积用表示出来，而的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解．
8．D
【分析】利用割线定理得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可.
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：
连接，交圆分别点，易证△∽△
则，
因为，故，，
所以，
又，
所以，
解得.
故选：D.
【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键.
9．ABD
【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的模的计算公式结合二次函数的性质即可判断B；根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断C；根据复数的几何意义得出复数的轨迹即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，
当时，取得最小值，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由，得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
故是圆上的点到原点距离，其最大值为，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【分析】利用直线垂直求出的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得的范围，选项D错误.
【详解】A.由两直线垂直得，，解得或，
“或”是“”的必要不充分条件，选项A错误.
B.由得，，直线斜率，
∵，∴，即，
∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确.
C.到点距离为的点在圆上，
由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交，
∵圆心距，
∴，
∴，即的取值范围是，选项C正确.
D.由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示，
当直线过点时，，
当直线过点和点时，，
当直线与半圆相切于点时，
由圆心到直线的距离为得，解得或（舍），
所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或.
选项D错误.
故选：BC.
11．AB
【分析】依题意可设直线的方程为，当时，得到，从而根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求出的值，进而根据斜率与倾斜角的关系即可求出来判断A；当直线的斜率为时，先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出，进而即可求出来判断B；当时，设，依题意可得，，，四点共圆，且以为直径，再根据圆与圆的关系即可得到直线的方程，从而即可得到点的轨迹方程，再根据即可求出点的坐标，进而即可求出的外接圆半径来判断C；当时，结合选项C有，根据正切函数的定义即可求出，从而求出，，进而根据等面积法即可求出来判断D．
【详解】依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，
对于选项A，由，，
则当时，，所以，
所以，即，解得，
则，所以，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为，
则 ，则，所以，故B正确；
对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径，
则该圆的方程为，即，
联立，整理得直线的方程为，
又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为，
又当时，即，解得，
所以，即的外接圆半径为，故C错误；

对于选项D，结合选项C有，则当时，有，
又，则，
所以，所以，
又，即，
得，故D错误．

故选：AB．
12．或2x-y=0
13．/0.25
【分析】先将两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为，再求出公共弦所在的直线恒过定点，然后结合二次函数值域的求法求解即可.
【详解】由圆与圆，
将两圆的方程相减可得，
即公共弦所在的直线方程为，
又可变形为，
令，即，
则公共弦所在的直线恒过定点，即，
又点P在直线上，则，
则，
即mn的最大值为.
故答案为：.
14．
【分析】设，则，作出图示，确定点E的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求得轨迹方程上的点到直线的距离的最小值，即求得的最小值，即得答案.
【详解】由题意，设，则，则M为的中点，则,
又，作,则 ,
又,故,
即E点在圆上运动，圆心为,到直线的距离为，
则点到直线的最短距离为，
即的最小值，也即的最小值为，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数加法和乘法结合复数概念计算即可；
（2）利用复数除法结合复数概念求得，再由复数模长公式计算即可.
【详解】（1），
若为实数，则，即，
所以，
（2），
若为纯虚数，则，解得，
所以，.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可；
（2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】（1）由题意可设点，
因为，则的中点在直线上，
可得，解得，
所以点B的坐标为.
（2）设关于直线的对称点为，
则，解得，即
所以反射光线所在的直线方程为，可得.
17．(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；
(2)．
【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求.
【详解】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得．
（ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是．
（ⅱ）设，，由根与系数的关系得
所以．
即直线的斜率之和为定值．
（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点．
因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，
连接，则，
所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，
同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即．
18．（1）或；（2）；（3）存在；定点时，定值为或定点时，定值为.
【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断为圆的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.
（2）由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆的方程；
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，，根据切线长定理及两点间距离公式表示出，代入并结合圆M的方程，化简即可求得，进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程，解方程即可确定的值，即可得定点坐标及的值.
【详解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
∴圆心到切线的距离为，解得，
∴直线方程为
综上切线的方程为或.
（2）点到直线的距离为，
∵圆被直线截得的弦长为8，∴，
∴圆的方程为.
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，
∵点在圆上，
∴，则
∵为圆的切线，
∴，∴，
，
∴
即
整理得
若使对任意，恒成立，则，
∴，代入得，
化简整理得，解得或，
∴或
∴存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.
【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.
19．（1）；（2）；（3）定值为：.
【分析】（1）由为圆上的点即可得；
（2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解；
（3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．
【详解】解：（1）∵为圆上，
所以
∴
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代入得，
所以
令，则，
当，即时面积取得最大值
（3）设直线和直线的斜率之积为
设，，则
①，
因为，为圆上，所以，
化简得
整理得②
因为，所以
从而，又因为为曲线的动点
所以展开得
将①代入得
化简得
将②代入得
，整理得
，
因为所以从而
又所以2025-2026江苏省邗江中学高二上学期10月检测
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．16
5．已知圆，则的最大值为（ ）
A．4 B．13 C． D．
6．若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知PA，PB是圆C:的两条切线(A，B是切点)，其中P是直线上的动点，那么四边形PACB的面积的最小值为
A． B． C． D．
8．已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．的最小值为2
C． D．的最大值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
D．设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
11．已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（ ）
A．当时，
B．当直线的斜率为时，的面积为
C．当时，的外接圆半径为
D．当时，
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
13．已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点Р在直线上（，），则mn的最大值是 .
14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知i为虚数单位，复数，.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求.
16．已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为．
(1)求点B的坐标；
(2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
17．已知圆．若直线与圆交于两点，
（1）求的取值范围；
（2）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值．
18．已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；
（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
19．已知，为上三点.
（1）求的值；
（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；
（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由2025-2026江苏省邗江中学高二上学期10月检测
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角.
【详解】由于直线的倾斜角为，则直线的斜率，
再由，可得.
故选：C
2．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】B
【详解】由题意得：
∴
∴的虚部是1
故选B
3．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】A
【分析】根据圆心距与半径的关系可判断.
【详解】圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆.
圆，表示以为圆心，半径等于3的圆.
两圆的圆心距，
，故两个圆相内切.
故选：A.
4．已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．16
【答案】B
【解析】由已知两直线平行得出满足的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由题意，，即，
∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立．
∴的最小值是9．
故选：B．
【点睛】本题考查两直线平行的条件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时，注意其条件：一正二定三相等，其中定值有时需要凑配，“1”的代换是常用方法．
5．已知圆，则的最大值为（ ）
A．4 B．13 C． D．
【答案】C
【分析】根据的几何意义，结合圆的性质求解出对应最大值.
【详解】解：，
上式表示圆上的点到点的距离，
因为圆，圆心，半径．
显然．
故选：C．
6．若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知，圆心角，过圆心作直线的垂线，交点为C，那么是直角三角形，即可求出答案.
【详解】由圆，其圆心为，半径为，
过圆心作直线的垂线，交点为C，那么是直角三角形，其中，
，，
又圆心到直线的距离为，
解得.
故选：A.
7．已知PA，PB是圆C:的两条切线(A，B是切点)，其中P是直线上的动点，那么四边形PACB的面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知，而的最小值为C点到的距离，由此可得结论．
【详解】由题意圆的标准方程为，∴圆心为，半径为．
又，
到直线的距离为，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形面积用表示出来，而的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解．
8．已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用割线定理得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可.
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：
连接，交圆分别点，易证△∽△
则，
因为，故，，
所以，
又，
所以，
解得.
故选：D.
【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．的最小值为2
C． D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的模的计算公式结合二次函数的性质即可判断B；根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断C；根据复数的几何意义得出复数的轨迹即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，
当时，取得最小值，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由，得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
故是圆上的点到原点距离，其最大值为，故D正确.
故选：ABD
10．下列说法正确的是（ ）
A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
D．设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
【答案】BC
【分析】利用直线垂直求出的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得的范围，选项D错误.
【详解】A.由两直线垂直得，，解得或，
“或”是“”的必要不充分条件，选项A错误.
B.由得，，直线斜率，
∵，∴，即，
∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确.
C.到点距离为的点在圆上，
由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交，
∵圆心距，
∴，
∴，即的取值范围是，选项C正确.
D.由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示，
当直线过点时，，
当直线过点和点时，，
当直线与半圆相切于点时，
由圆心到直线的距离为得，解得或（舍），
所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或.
选项D错误.
故选：BC.
11．已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（ ）
A．当时，
B．当直线的斜率为时，的面积为
C．当时，的外接圆半径为
D．当时，
【答案】AB
【分析】依题意可设直线的方程为，当时，得到，从而根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求出的值，进而根据斜率与倾斜角的关系即可求出来判断A；当直线的斜率为时，先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出，进而即可求出来判断B；当时，设，依题意可得，，，四点共圆，且以为直径，再根据圆与圆的关系即可得到直线的方程，从而即可得到点的轨迹方程，再根据即可求出点的坐标，进而即可求出的外接圆半径来判断C；当时，结合选项C有，根据正切函数的定义即可求出，从而求出，，进而根据等面积法即可求出来判断D．
【详解】依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，
对于选项A，由，，
则当时，，所以，
所以，即，解得，
则，所以，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为，
则 ，则，所以，故B正确；
对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径，
则该圆的方程为，即，
联立，整理得直线的方程为，
又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为，
又当时，即，解得，
所以，即的外接圆半径为，故C错误；

对于选项D，结合选项C有，则当时，有，
又，则，
所以，所以，
又，即，
得，故D错误．

故选：AB．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】或2x-y=0
13．已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点Р在直线上（，），则mn的最大值是 .
【答案】/0.25
【分析】先将两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为，再求出公共弦所在的直线恒过定点，然后结合二次函数值域的求法求解即可.
【详解】由圆与圆，
将两圆的方程相减可得，
即公共弦所在的直线方程为，
又可变形为，
令，即，
则公共弦所在的直线恒过定点，即，
又点P在直线上，则，
则，
即mn的最大值为.
故答案为：.
14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，则，作出图示，确定点E的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求得轨迹方程上的点到直线的距离的最小值，即求得的最小值，即得答案.
【详解】由题意，设，则，则M为的中点，则,
又，作,则 ,
又,故,
即E点在圆上运动，圆心为,到直线的距离为，
则点到直线的最短距离为，
即的最小值，也即的最小值为，
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知i为虚数单位，复数，.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数加法和乘法结合复数概念计算即可；
（2）利用复数除法结合复数概念求得，再由复数模长公式计算即可.
【详解】（1），
若为实数，则，即，
所以，
（2），
若为纯虚数，则，解得，
所以，.
16．已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为．
(1)求点B的坐标；
(2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可；
（2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】（1）由题意可设点，
因为，则的中点在直线上，
可得，解得，
所以点B的坐标为.
（2）设关于直线的对称点为，
则，解得，即
所以反射光线所在的直线方程为，可得.
17．已知圆．
(1)若直线与圆交于两点，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值．
(2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值．
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；
(2)．
【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求.
【详解】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得．
（ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是．
（ⅱ）设，，由根与系数的关系得
所以．
即直线的斜率之和为定值．
（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点．
因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，
连接，则，
所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，
同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即．
18．已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；
（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）；（3）存在；定点时，定值为或定点时，定值为.
【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断为圆的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.
（2）由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆的方程；
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，，根据切线长定理及两点间距离公式表示出，代入并结合圆M的方程，化简即可求得，进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程，解方程即可确定的值，即可得定点坐标及的值.
【详解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
∴圆心到切线的距离为，解得，
∴直线方程为
综上切线的方程为或.
（2）点到直线的距离为，
∵圆被直线截得的弦长为8，∴，
∴圆的方程为.
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，
∵点在圆上，
∴，则
∵为圆的切线，
∴，∴，
，
∴
即
整理得
若使对任意，恒成立，则，
∴，代入得，
化简整理得，解得或，
∴或
∴存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.
【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.
19．已知，为上三点.
（1）求的值；
（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；
（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）定值为：.
【分析】（1）由为圆上的点即可得；
（2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解；
（3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．
【详解】解：（1）∵为圆上，
所以
∴
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代入得，
所以
令，则，
当，即时面积取得最大值
（3）设直线和直线的斜率之积为
设，，则
①，
因为，为圆上，所以，
化简得
整理得②
因为，所以
从而，又因为为曲线的动点
所以展开得
将①代入得
化简得
将②代入得
，整理得
，
因为所以从而
又所以

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