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2025-2026学年上学期九年级第一次延时限时训练数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．一元二次方程的根是（ ）．
A． B． C． D．
2．抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后所得的抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）．
A． B．且 C． D．且
5．已知二次函数，可知一定正确的是（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．当时，随的增大而增大 D．其最小值为1
6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是___________．
8．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是___________．
9．二次函数，其中，则的取值范围是___________．
10．若，则的值为___________．
11．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，假设邀请个队参赛，可列方程___________．
12．二次函数的图象如图所示，若线段在轴上，且长为个单位长度，以为边作等边三角形，使点落在该函数位于轴右侧的图象上，则点的坐标为___________．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解方程：
（1）解方程：． （2）．
14．如图是一元二次方程，在时的求根公式的推导过程．
（1）回答横线上符号所代表的内容．
①代表___________；②代表___________；
③代表___________；
（2）用配方法解方程．
15．“马家柚”是江西省上饶市广丰区的特色水果，今年柚子成熟，农业合作社以原价每千克20元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民的厚爱，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克元．求平均每次降价的百分率．
16．已知：二次函数中的和满足下表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 3 0 0 8 …
（1）可求得的值为___________．
（2）求出这个二次函数的解析式．
（3）当时，则的取值范围为___________．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴上，经过两点的抛物线交轴于另一点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的抛物线上找出点，使．
（2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求顶点的坐标．
（2）求的面积．
19．随着南昌成为新晋“网红”旅游城市，滕王阁已成为必去的经典景点，其纪念品很受游客喜爱，每个纪念币的进价为10元，某商家经过市场调查发现，每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价/元 … 12 13 14 …
每天销售数量/件 … 36 34 32 …
（1）求与之间的函数关系式及的取值范围；
（2）若商家每天销售这种纪念币获利192元，则销售单价为多少元？
20．已知是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）当时，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，将边长为4的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．
（1）当两个三角形重叠部分的面积为3时，求移动的距离．
（2）当移动的距离是何值时，重叠部分是菱形？
22．一小球从斜坡上的点处抛出，球在空中的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点的坐标为（4，8），
解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）在斜坡上的点处有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？
六、（本大题共1小题，共12分）
23．如图，抛物线经过两点，．并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点是轴上一动点，分别连接、，求的最小值．
（3）若点是抛物线上一动点，问：在对称轴上是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

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