资源简介

江西省乐平中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = = log2( 1) ， = 2 6 ≤ 0 ，则 R ∩ =( )
A. ( 2,1] B. [ 2,1] C. [ 2,1) D. [1,3]
2.“ > ”是“ 2 > 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3 .将函数 = 2sin( 3 ) cos( 6 + )( ∈ )的图象向右平移4单位，所得图象对应的函数的最小值等于
( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 5
4 3 1.已知 sin = 3 , cos( ) = 3，且 0 < <
3π 3π
4 , 0 < < 4，则 sin =( )
A. 2 39 B.
5 3
9 C.
3 5 3 3
3 D. 9 或 3
5.已知定义在 R 上的函数 ( )满足 ( ) = ( )，且当 ∈ ( ∞,0]时， ( ) + ′( ) < 0 成立，若 =
(20.1) (20.1), = (ln2) (ln2), = (log 12 8 ) (log
1
2 8 )，则 , , 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.已知直线 = + 与曲线 ( ) = 2 + 2 + ln 相切于点 (1,4)，则 + + =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.若 ( ) = ln 12 1 + + 为奇函数，则 (1) =( )
A. 3 B. 2 C. ln3 D. ln2
8.已知定义在 R 的函数 = ( )对任意的 满足 ( + 1) = ( )，当 1 ≤ < 1， ( ) = 3，函数 ( ) =
log , > 0
1 , < 0，若函数 ( ) = ( ) ( )在[ 6, + ∞)上有 6 个零点，则实数 的取值范围是( )
A. 0, 1 1 17 ∪ (7, + ∞) B. 9 , 7 ∪ (7,9] C.
1
9 , 1 ∪ (1,9] D.
1
9 ,
1
7 ∪ [7,9)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0， > 0，且 + 2 = 2，则( )
第 1页，共 8页
A. 的最小值是 1 B. 2 + 2 4的最小值是5
C. 2 + 4 1 2的最小值是 4 D. + 的最小值是 5
10.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, < < 0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. = 3 B. ( )的周期 =
C. ( ) 13 图象关于点 12 , 0 对称 D. ( )

在区间 2 , 3 上递减
1
11 1, ≤ 0.已知函数 ( ) = 2 若关于 的方程 ( ) = 有 3 个实数解 1, 2, 3 1 < 2 < 3 ，则( )
( 2), > 0
A. 1 + 2 < 0
B. 1 < 1 + 2 + 3 < 2
C. 1 < < 11 2 3 2
D.关于 的方程 ( ) = ( )恰有 3 个实数解
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2cos
2 1
.化简： = ．
tan 4 sin
2
4+
13.定义：如果函数 = ( )在区间[ , ]上存在 0 ∈ ( , )
( ) ( )
满足 0 = ，则 0称是函数 = ( )在
区间[ , ]上的一个平衡点.已知 ( ) = 9 2 3 在[0,1]上存在平衡点，则实数 的取值范围是 ．
14.设函数 ( )是定义在整数集 Z 上的函数，且满足 (0) = 1, (1) = 0，对任意的 ， ∈ Z 都有 ( + ) +
2 2 2
( ) = 2 ( ) ( ) 1 +2 + +2023 +2024
2
，则 12 + 22 + + 20232 + 20242 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ∈ ，命题 : ∈ [1,2]， 2 ≥ ；命题 : 0 ∈ ， 20 + 2 0 ( 2) = 0．
(1)若 是真命题，求 的最大值；
第 2页，共 8页
(2)若 、 中有且只有一个是真命题，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin cos 3sin2 + 32 ．
(1) 若存在 ∈ [ 3 , 6 ]，使得 ( ) 成立，则求 的取值范围；
(2) 1将函数 ( )的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2，得到函数 ( )的图象，求函数 = ( ) +
1
2在区间[

2 ,

2 ]内的所有零点之和．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 1 2 ( ∈ R 且 ≠ 0)是偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)若 ( ) = ( ) 2 2 ，且对于 ∈ R，不等式
2 34 +
2 + 2 + 4 > 0 恒成立，求整数
的取值集合．
18.(本小题 17 分)
在 中，三个内角 , , 的对边分别为 , , .已知 2 + 2 + = 2．
(1)求角 ；
(2)将射线 绕点 旋转90 交线段 于点 ，已知 = 1．
( )若 = 3，求 ；
( )求 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
函数 ( ) = ln + 12
2 ( + 1) + 32 ( > 0)．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)当 = 1 时，若 1 + 2 = 0，求证： 1 + 2 ≥ 2；
2
(3) 1求证：对于任意 ∈ 都有 2ln( + 1) + =1 > ．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.( 5, 1)
14. 11012
15.【详解】(1)若 是真命题，即 ≤ 2恒成立， ∈ [1,2]时， 2的最小值为 1，所以 ≤ 1，
即 的最大值为 1．
(2)若 是真命题， = (2 )2 + 4( 2) ≥ 0，解得 ≤ 2 或 ≥ 1，
若 是假命题， = (2 )2 + 4( 2) < 0，解得 2 < < 1，
由已知 、 一真一假，
2 < < 1若 真 假，则 ≤ 1 2 < < 1,
若 真 假，则 ≤ 2 或 ≥ 1 1 < ,
> 1
综上： 2 < < 1 或 > 1
16.【详解】(1) ( ) = 1 32 sin2 + 2 cos2 = sin(2 +

3 )，若存在 ∈ [ 3 , 6 ]，使得 ( ) 成立，则只需
max( )
2
即可，∵ 3 6，∴ 3 2 + 3 3，∴当 2 + 3 = 2，即 = 12时， ( )有最大值 1，
∴ 1，
(2) ∵ ( ) 1将函数 的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2，得到函数 ( )的图象，
第 4页，共 8页
∴ ( ) = sin(4 + 3 )，
∵ ( ) + 12 = 0，
∴ sin(4 + ) = 13 2，
∵ sin(4 + 1 5 7 3 ) = 2在[ 2 , 2 ]上有 4 个零点 1, 2, 3, 4，4 + 3 ∈ [ 3 , 3 ]，
4 1+

3+4

2+3 4 3+
+4 +
根据对称性有 2 =
3 4 3 3
2， 2 = 2，

∴ 1 + 2 + 3 + 4 = 6
17.【详解】(1) ∵ 1函数 ( ) = 2 + 2 ( ∈ R 且 ≠ 0)是偶函数，
∴ ( ) = ( ) 1 1，即2 + 2
= 2 + 1 1 1 2 ，即 1 2 2 = 0，
∴ = 1；
(2)由(1) 2 知， ( ) = ( ) = 2 2
1
2 ，定义域为 R，
因为 = 2 , = 12 都是增函数，
所以函数 ( )在 R 上单调递增，
1
因为 ( ) = 2 2 = ( )，所以函数 ( )为奇函数，
∈ R 2 3对于 ， 4 +
2 + 2 + 4 > 0 恒成立，
即 2 34 >
2 + 2 + 4 = 2 2 4 ，
∴ 2 34 >
2 2 4 对于 ∈ R 恒成立，
2
∵对于 ∈ R， = 2 34 =
1
2 1 ≥ 1，
∴ 2 2 4 < 1，
即 2 2 3 < 0，解得 1 < < 3，
又 为整数，∴ = 0 或 = 1 或 = 2，
∴ 的取值集合为 0,1,2 ．
18.【详解】(1)因为 2 + 2 + = 2，
第 5页，共 8页
2+ 2 2
由余弦定理得：cos = 2 =
1
2，
2π因为 为三角形内角，所以 = 3 ；
(2)( )由∠ = 2π3和 ⊥ ，可知∠ =
2π
3
π π
2 = 6，
因为 = 3，在 中，由余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 cos∠
= 1 + 3 2 × 1 × 3 × 32 = 1，
所以 = π，所以∠ = ∠ = 6，
2π π
因为∠ = 3 ，所以∠ = 6，所以 = = 3；
( ) 2π解法 1：由∠ = 3和 ⊥ ，可知∠ =
2π
3
π
2 =
π
6，
因为 = + ，
1
所以2 sin∠ =
1
2 sin∠ +
1
2 sin∠ ，
2π
又因为 = 1，所以 sin 3 = sin
π
2 + sin
π 3 1
6，即 2 = + 2 ，
3 1 1
又 2 = + 2 ≥ 2 2 = 2 ，
当且仅当 = 1 4 3 2 32 ，即 = 3 , = 3 时，等号成立，
8
所以 ≥ 3，
所以 =
1
2 sin∠ ≥
1 8 3 2 3
2 × 3 × 2 = 3 ，
所以 2 3的面积的最小值为 3 ．
2π
解法 2：由∠ = 3 和 ⊥ ∠ =
2π π = π，可知 3 2 6，
因为 = 1 π，∠ = 2 + ∠ ，所以 sin∠ = cos
因为∠ = 2π π 3 13 ，所以 sin = sin 3 = 2 cos 2 sin ，
在 中，由正弦定理得：sin∠ = sin ，
第 6页，共 8页
= sin∠ = 1×cos 1所以 sin 3 = ，
2 cos
1
2sin
3 12 2tan
在 1中， = tan ，
1
所以 = 2 sin
1 3
= 2 × tan 3 tan
π
因为 ∈ 0, 3 ，所以 tan ∈ 0, 3 ，
tan = 3 2 3所以当 2 时， 的面积的最小值为 3 ．
19.【详解】(1)函数 ( )的定义域是(0, + ∞)．
2 ( +1) +
由已知得， ′( ) = + 1 = =
( 1)( )
．
①当 0 < < 1 时，
当 0 < < 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
当 < < 1 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0, ( )单调递增．
②当 = 1 时，
当 > 0 时， ′( ) ≥ 0, ( )单调递增．
③当 > 1 时，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
当 1 < < 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0, ( )单调递增．
综上，①当 0 < < 1 时，函数 ( )单调递增区间为(0, )，(1, + ∞)，单调递减区间为( , 1)；
②当 = 1 时，函数 ( )单调递增区间为(0, + ∞)，无单调递减区间；
③当 > 1 时，函数 ( )单调递增区间为(0,1)，( , + ∞)，单调递减区间为(1, )．
(2)当 = 1 时， ( ) = ln + 1 2 32 2 + 2．
由(1)知，函数 ( )在(0, + ∞)单调递增且 (1) = 0；
第 7页，共 8页
令 ( ) = ( ) + (2 ) = ln + 12
2 2 + 32 + ln(2 ) +
1
2 (2 )
2 2(2 ) + 32
= ln (2 ) + 2 2 + 1 = ln 1 ( 1)2 + ( 1)2，
令 ( ) = ln + 1( > 0), ′( ) = 1 1 = 1 ，
令 ′( ) > 0，解得 0 < < 1；令 ′( ) < 0，解得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，所以 ln ≤ 1，
令( 1)2 = ∈ [0,1)，则 1 ∈ (0,1]，则 ln(1 ) ≤ (1 ) 1 = ，
故 ln(1 ) + ≤ 0，
所以 ( ) = ( ) + (2 ) ≤ 0 恒成立，
不妨设 0 < 1 < 1 < 2，则 1 + 2 1 ≤ 0，
所以 1 ≥ 2 1 ，所以 2 ≥ 2 1 ，
因为 2 1 > 1, 2 > 1，而 ( )在(0, + ∞)单调递增，
所以 2 ≥ 2 1，所以 1 + 2 ≥ 2．
(3)由(2)知， > 1 时， ( ) = ln + 12
2 2 + 32 > (1) = 0，
即 2ln + 2 4 + 3 = 2ln + ( 2)2 1 > 0，
故 2ln + ( 2)2 > 1 在 > 1 时恒成立，
2
所以 2ln 2 + (2 2)2 = 2ln 2+ 01 1 1 > 1，
2 2
2ln 3+ 32 2 2 = 2ln
3 1
2 + 2 > 1，
2 2
2ln 4 4 4 23+ 3 2 = 2ln 3 + 3 > 1，
……，
2 2
2ln +1 +1 +1 1 + 2 = 2ln + > 1，
2
相加得 2ln( + 1) + 1 =1 > ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑