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玉溪一中2025—2026学年上学期高二期中考
数学试题评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B C D A B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ACD ABC AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：在直三棱柱中，，
又，，，平面，
平面，
，
平面，又平面，
，
又，故，
，
而侧面为正方形，
，
，即三棱锥的体积为；
证明：如图，取中点，连接，，设，
点是的中点，点时的中点，
，
，
、、、四点共面，
由可得平面，
平面，又平面，
，
，且这两个角都是锐角，
，
，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
．
16．（15分）
解：由正弦定理得，C.
又由，得．
因为，所以，所以，
因为，所以．
由余弦定理，，，
解得：舍去或．
由题意，
，
，
，
．
17．（15分）
证明：因为，，
所以在中，由余弦定理：
，即，
因为，所以，，
因为是等腰三角形，所以，
在中，由余弦定理：
，即，
在中，
，所以，
因为，，，
所以，因为，所以，
因为四边形是菱形，所以，
又因为，且，，
所以．
解：令
在平面内，过点作的垂线，垂足为，
因为，，
所以，
又因为四边形是菱形，所以，所以，
所以，均为等边三角形，
以点为坐标原点，，及过点平行于的直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
由，
为的一个法向量，
设的法向量为，
，．
则即
令，可得，
因为
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
18．（17分）
解：设圆的万程为，
则解得
则圆的方程为．
由可知，圆的圆心坐标为，半径为．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，解得，故直线的方程为．
若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，，，
则，整理得．
又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，，．
，
则，整理得，得或舍去故直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．
19．（17分）
解：设，设，则，且，，
两式相减得：，
可知，即，
设椭圆的方程：，
已知椭圆过点，则，
所以椭圆的标准方程：；
如图所示，椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，
设，线段的中点，
则，由题意知 ，
两式作差，变形可得：，即，又，
解得，因为线段的中点在椭圆的内部，所以，解得或，
综上可知，的取值范围为：；
如图所示，已知得，不妨设，
所以直线的方程为：其中，
与椭圆方程联立，消去得，
由根与系数关系得，所以，
故，
同理可得：，，
所以，解得，
所以直线的斜率为.绝密★启用前
玉溪一中2025—2026学年上学期高二期中考
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是
A． B．
C． D．
2．已知向量，满足，，且，则
A． B． C． D．
3．设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为
A． B． C． D．
4．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为
A． B． C． D．
5．已知菱形，，将沿对角线折起，使以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知圆：，直线：，若与圆交于，两点，设坐标原点为，则的最大值为
A． B． C． D．
7．设是椭圆：的上顶点，点在上，则的最大值为
A． B． C． D．
8．三棱锥中，，，，，点是面内的动点不含边界，，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于
C．当最小时， D．当最大时，
10．已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和，和分别与交于、和、，则
A．的离心率为
B．存在直线，使得
C．为定值
D．若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，则变为圆
11．已知定义在上的函数满足，当时，下列结论正确的是
A． B．
C．是偶函数 D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，则 ．
13．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点的平面与侧棱，，分别交于点，，，若四边形为菱形，则 ．
14．已知为坐标原点，点，，为椭圆上三个不同的点依次逆时针排列若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知为棱上的点，证明：．
16．（15分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且
（1）求
（2）若，，为的中点，求．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且，，．
（1）求证：平面
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（17分）
已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程．
（2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程．
（3）已知直线与圆交于，异于点两点，若直线，的斜率之积为，试问直线是否经过定点若经过，求出该定点坐标若不经过，请说明理由．
19．（17分）
已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点点在第一象限，是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围；
（3）若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率．

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