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河北省保定市名校联考 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.使| | ≤ 1 成立的一个必要不充分条件是( )
A. 1 ≤ ≤ 1 B. 0 < ≤ 1 C. ≤ 1 D. 1 < < 1
2 3 1.已知复数 满足 i = 2 + 2 i，则
2 =( )
A. 1+ 3 i B. 1 3 i C. 1 32 2 2 2 2 2 i D.
1
2+
3
2 i
3.圆 2 21： + = 1 与圆 2：( 3)2 + ( 4)2 = 9 的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
4.已知 sin( + ) = 12，则 cos
3
2 =( )
A. 1 B. 32 2 C.
3 1
2 D. 2
5.已知两条直线 1: ( + 3) + 4 + 3 5 = 0， 2: 2 + ( + 6) 8 = 0，且 1 ⊥ 2，则直线 1的一个方
向向量是
A. (1, 12 ) B. ( 1,
1
2 ) C. (1, 1) D. ( 1, 1)
6.若 ( )是 上的可导函数，且 lim 0 0 Δ = ，则 ′ =( )
Δ →0 3Δ 0
A. 13 B. 3 C.
1
3 D. 3
7.在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 60°， = 3， + = 3，则 的面积为
A. 3 34 B. 2 C. 3 D. 2
log1( + 1), 1 < < 0
8.已知函数 ( ) = 2 ，若关于 的方程 ( ) = ( ∈ )恰有三个不同的实数根 ， ，
2 + 2 , ≥ 0
，则 + + 的取值范围是( )
A. 1 3 32 , 1 B. 4 , 1 C. 4 , 2 D.
3
2 , 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .设 是等差数列 的前 项和，若 13 > 0， 7 < 1，则下列结论正确的是( )8
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A. 7 < 8 B. = 7 时， 最大
C. 使 > 0 的 的最大值为 13 D.数列 中的最小项为第 8 项
10.下列说法正确的是( )
A. = 1 + 1 与 = 1 2表示同一个函数
B.命题 : ∈ , 1 > 0，则 : ∈ ,

1 ≤ 0
2 5( ≤ 1)
C.已知函数 ( ) = ( > 1)在 上是增函数，则实数 的取值范围是[ 3, 1]
D. 1函数 = 1 + 1 2 的值域为 2 , + ∞
11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， , 分别为棱 1 1, 1 的中点，则( )
A.直线 π与直线 所成的角是3
B. π直线 与平面 1 1所成的角是6
C. π二面角 的平面角是3
D.平面 9截正方体所得的截面面积为8
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 = ( , 2)， = (6, + 1)，若 ， 方向相反，则 = ．
13.若关于 的一元二次不等式(1 ) 2 4 + 6 > 0 的解集是{ ∣ 3 < < 1}.那么若 2 + + 3 ≥ 0 的
解集为 .则实数 的取值范围是 ．
14.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积(矩形 )为 ，两边都留有宽为
的空白，顶部和底部都留有宽为 2 的空白.若 = 2cm， = 800cm2，则当 = 时，
才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { 3 ≤ < 4 }, = { 2 1 ≤ ≤ + 1 }．
(1)当 = 1 时，求 ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e 1．
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间与极值；
(2)求 ( )在[1, + ∞)上的最小值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 ， 5 = 25，且 2， 5， 14成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 + 是公比为 2 的等比数列，且 3 = 3，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
π
已知函数 ( ) = 2cos 2 4 ， ∈ ．
(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递减区间；
(2) ( ) π , π求函数 在区间 8 2 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值；
(3)求不等式 1 ≤ ( ) ≤ 1 的解集．
19.(本小题 17 分)
已知数列 ，其中 ∈ , ∈ ．
(1)若 = ∈ ，集合 = 1, 2, , , 表示集合 的非空子集个数.集合 的第 个非空子集中的
所有元素之和记为 = 1,2, , ，设 = =1 , =
+1
．
( )直接写出 1, 2, 3；
( )计算 的前 项相和 ；
(2)取 = 5，在数列 中至少有一项为负值，且
5
=1 > 0，将数列 各项依次放在正五边形各顶点上，
每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为 , , ，若中间项 < 0，则进行如下交换，将 , , 变换为 +
, , + ，直到正五边形各顶点上的数均为非负时变换终止.求证：对任何符合条件的 ，上述变换
终止只需进行有限多次．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13. 6 ≤ ≤ 6
14.20cm
；1152cm2
15.【详解】(1)当 = 1 时， = 1 ≤ ≤ 2 ，则 = < 1 或 > 2 ，
则 ∩ = 3 ≤ < 1 或 2 < < 4 ．
(2)若 ∩ = ，则 ，
当 = 时，2 1 > + 1，即 > 2；
当 ≠ 时， 3 ≤ 2 1 ≤ + 1 < 4，得 1 ≤ ≤ 2，
则实数 的取值范围为 ≥ 1 ．
16.【详解】(1)当 = 1 时， ( ) = e 1，∴ ′( ) = e 1，
当 < 0 时， ′( ) < 0，当 > 0 时， ′( ) > 0，
∴ ( )在( ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
所以当 = 0 时，函数 ( )有极小值 (0) = e0 0 1 = 0，无极大值．
综上： ( )的减区间是( ∞,0)，增区间是(0, + ∞)，极小值为 0，无极大值．
(2) ∵ ′( ) = e ，
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∴当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，所以 ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( )min = (1) = e 1；
当 > 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ln ，
(ⅰ)当 0 < ≤ e 时，则 ln ≤ 1，所以 ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( )min = (1) = e 1；
(ⅱ)当 > e 时，则 ln > 1，所以 ( )在 1, ln 上单调递减，在 ln , + ∞ 上单调递增，
则 ( )min = ln = ln 1；
综上：当 ≤ e 时， ( )在[1, + ∞)上的最小值为 e 1；
当 > e 时， ( )在[1, + ∞)上的最小值为 ln 1．
17.【详解】(1)因为 为等差数列，设公差为 ，
由 5 = 25
5×4
，得 5 1 + 2 = 25，①
由 2， 5， 14成等比数列得 25 = 2 14，
则 + 4 21 = 1 + 1 + 13 ，②
= 1 = 5 = 1
联立①②解得 1 = 2或
1 ，又因为 ≠ 0，则 1 = 2 , = 0
所以 = 1 + ( 1) = 2 1 ∈ N ．
综上， = 2 1 ∈ N ．
(2)由 = 2 1 知 1 = 1， 3 = 5，
又 + 为公比是 2 的等比数列， 3 = 3，
所以 3 + 3 = 1 + 1 × 4 = 5 + 3 = 8，即 1 + 1 = 2，
所以 + = 2 × 2 1 = 2 ， = 2 (2 1)， ∈ N
所以 = + + 1 2 3 1 2 3 + + = 2 + 2 + 2 + + 2 1 + 3 + 5 + + (2 1)
= 2× 1 2
(1+2 1) +1
1 2 2 = 2 2
2．
综上， +1 2 = 2 2 ．
18.【详解】(1) ( ) 2π 2π的最小正周期 = | | = 2 = π，
π π 5π
当 2 π ≤ 2 4 ≤ 2 π + π，即 π + 8 ≤ ≤ π + 8， ∈ Z 时， ( )单调递减，
∴ ( ) π 5π的单调递减区间是 π + 8 , π + 8 ， ∈ ．
(2) ∵ ∈ π , π8 2 ，则 2
π π 3π
4 ∈ 2 , 4 ，
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故 cos 2 π4 ∈
2
2 , 1 ，
∴ ( ) π πmax = 2，此时 2 4 = 0，即 = 8，
( )min = 1，此时 2
π = 3π π4 4，即 = 2．
(3) 1 ≤ 2cos 2 π ≤ 1 24 ，即 2 ≤ cos(2
π ) ≤ 24 2 ，
3π π π π π 3π
所以 2 π 4 ≤ 2 4 ≤ 2 π 4或 2 π + 4 ≤ 2 4 ≤ 2 π + 4， ∈ Z，
即 π π π π4 ≤ ≤ π或 π + 4 ≤ ≤ π + 2， ∈ Z，
π π π
所以不等式的解集为 4 + π, π ∪ 4 + π, π + 2 , ( ∈ Z)．
19.【详解】(1)( )由 1 = 1 = 1 ,则 1 = 1， 1 = 1，因此可得 =
1+1
1 = 2；1
由 2 = 1, 2 = 1,2 ,则 2 = 3， 2 =
3 = 6 = +1 2 =1 ，因此可得
2
2 = ；2 3
由 3 = 1,
+1 1
2, 3 = 1,2,3 ,则 2 = 7，
3 3
2 = =1 = 24，因此可得 3 = = 3；3
2 1故 1 = 2, 2 = 3 , 3 = 3；
( )由题意得集合 = 1,2, , ，所以 = 2 1，
解法 1：(利用子集构成特点)
由于集合 的每个元素在其子集中出现的次数均为2 1，
故 = (1 + 2 + + ) 2 1 = ( +1) 2 1 = ( +1) 2 4 2 ，
+1 4 2 4 1 1
所以 = = ( +1) 2 = ( +1) = 4 +1 ，
1 1 1 1 1 1 4
所以 = 4 1 2+ 2 3 + + +1 = +1．
解法 2：(利用递推关系)
将集合 拆分为集合 1,2, , 1 与 ，
集合 1,2, , 1 的所有非空集合中的元素之和的和为 1( ≥ 2)，
集合 的所有非空子集中的元素之和的和为 1与集合 1,2, , 1 的所有子集中的元素加上 的和，
集合 1,2, , 1 共有2 1个子集，
所以 = 1 + 1 1 1 + 2 = 2 1 + 2 ．

即 2 =
1 1 2+3+ +
2 1 + 2，易得
1 = ，累加得 12 2 2 2 = 2 ，
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= ( +1) , = ( +1)所以 2 4 4 2 ．
+1 4 2 4 1 1
所以 = = ( +1) 2 = ( +1) = 4 +1 ，
所以 = 4
1
1
1
2+
1 1 1 1 4
2 3 + + +1 = +1．
(2)由题意所述的变换5 =1 不变，且
5 5
=1 始终为整数，所以 =1 ≥ 1，
构造一个函数 1, 2, , , 2 2 2 2 23 4 5 = 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 1 + 5 2 ，
不妨对 5, 1, 2进行一次操作 1 < 0 ，此时五边形顶点上的数变为 1, 2 + 1, 3, 4, 5 + 1，
所以有 1, 2 + 1, 3, 4, 5 + 1 1, 2, 3, 4, 5
= 2 2
2 2 2
1 3 + 1 + 2 4 + 3 5 + 1 + 4 1 + 5 + 1 1 + 2
1 23 2 24 3 25 4 21 25 2
= 2 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ，
因为 1 < 0, 1 ∈ ，得 1 ≤ 1，又 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ≥ 1，
所以 2 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ≤ 2 1 ≤ 2，
则经过每一次变换，函数 1, 2, 3, 4, 5 的值至少减少 2，且 1, 2, 3, 4, 5 恒非负，
所以变换只能进行有限多次．
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