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2025—2026学年上阶段性评价1
年级：九年级 科目：数学
(时间: 100分钟, 满分: 120 分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是()
且k≠0 且k≠0
2 矩形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角
3.观察下面的表格，一元二次方程. 的一个近似解是 ()
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A. 0.11 B. 1.6· C. 1.7 D. 1.8
4.一元二次方程 配方后可化为()
5.依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是 ()
6.某新能源企业2024年第一季度生产钠离子电池的成本是400万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第二季度比第一季度下降了86万元，第三季度比第二季度下降了58万元，设该企业每个季度相比上季度生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为()
A. x(1-x)=256 B.(1-x) =256 C.400(1-x) =256
7. 如图, 四边形ABCD 的对角线AC⊥BD于点O, 点E, F, G, H分别为边AB, BC,CD和AD的中点, 顺次连接EF, FG, GH和HE得到四边形EFCH. 若四边形ABCD的面积为60，则四边形EFGH 的面积等于 ()
A. 30 B. 40 C. 60 D. 120
8.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包、则该群一共有()
A. 9人 B. 10人 C. 11人 12人
9. 如图, 正方形ABCD的边长为6, 点E, F 是边 AB, CD上的点, 将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A 的对应点为点4'，连结DG，若折痕 则GF的长为()
A.53 B. 103
10. 如图1, 矩形ABCD中, 点E为BC的中点, 点P沿BC从点B运动到点C, 设B,P两点间的距离为x，PA-PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为().
A.4 B. 5 C. 6 D.
二.填空题(每小题3分，共15分)
11.已知一元二次方程 的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC的周长为 .
12.若a为方程 的解，则 的值为 .
13. 已知α、β是方程 的两个实数根，则 的值是 .
14. 如图,在正方形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O, E为BC上一点,(CE=5,F为DE的中点, 若△CEF 的周长为18, 则OF的长为 .
15.定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的 的钝角三角形叫做“半钝三角形”.如图,在矩形ABCD 中 , E为对角线AC的中点，F 是射线 CD 上一动点.若△CEF 是“半钝三角形”，且∠ECF 不是其最小的内角，则CF的长为 .
三.解答题(本大题共8小题，共75分)
16.(10分)解方程:
:; :8分) 如图, 矩形ABCD中, AB(1)求作正方形EFGH, 使得点E, G分别落在边AD, BC上, 点 F, H落在BD上;
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2) 若AB=2, AD=4, 则(1) 中所作的正方形 EFGH的边长为
18.(8分)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根大于3，求m的取值范围.
19.(9分)如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D为AB中点, 过点D作 交BC 于点E, 过点A作AF∥BE, 交ED的延长线于点F, 连接AE, BF.
(1)判断四边形AEBF的形状，并说明理由.
(2) 当Rt△ABC满足条件 时, 四边形AEBF 是正方形.
20.(9分)在长方形ABCD中, AB=5cm, BC=6cm, 点P从点A 开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边 BC 向终点C以2cm/s的速度移动.如果 P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点 C时，两点停止运动.设运动时间为t秒(t0).
(1) 当t为何值时, PQ的长度等于5cm
(2)是否存在t的值，使得五边形 APQCD的面积等于： 若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
21.(10分)喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”--校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”。活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件.根据以下素材，探索完成任务.
背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件.
素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件.
问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润；
任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价；
任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于 55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现 若能，求出销售价：若不能，请说明理由. (利润率=利成海×100%)
22.(10分)【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP 的数量关系；
(1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题，得出AE与EP的数量关系是 .
(2)【实践探究】思辩小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，在 中，AE=EP,∠AEP=90°.连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辩小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点 (点E，B不重合)，在 中， 连接DP，当正方形边长.AB=5时，请你直接写出. 周长的最小值.
23.(11分)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形 与正方形ABCD的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形 可绕点O旋转.
【问题发现】
(1) 连接EF, 则线段AE, CF, EF之间的数量关系是
【类比迁移】
(2)如图2，点O为矩形ABCD的中心，矩形 的边 与边AB相交点E，C O与边BC相交于点F，连接EF，延长 交AD于点P,连接EP,AC,矩形 可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明.
【拓展应用】
(3) 如图3, 在 中， 直角 的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F， 可绕点D旋转.当AE=1时，请直接写出线段BF的长.

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