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八年级上学期数学专题01 分式96道计算题强化练习
题型一、分式加法计算
1．计算：
(1)
(2)
2．化简：．
3．计算：
(1).
(2).
4．计算：；
5．计算：．
6．计算：；
7．计算：
(1)；
(2)．
8．计算：．
题型二、分式减法计算
9．计算：．
10．计算：
(1)；
(2)．
11．计算：
(1)；
(2)．
12．化简：
13．计算：
(1)；
(2)．
14．计算：
(1)
(2)
15．化简：
(1)
(2)
16．计算：
(1)；
(2)
题型三、分式乘法计算
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．计算
(1)
(2)
(3)
(4)．
21．计算．
(1)
(2)．
22．计算：
23．化简：．
24．化简：．
题型四、分式除法计算
25．计算下列各题：
(1)
(2)
26．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
27．化简：．
28．计算：
29．计算：
30．计算：．
31．计算：．
32．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型五、分式乘方计算
33．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
34．计算：
(1)；
(2)．
35．计算：．
36．计算：
(1)
(2)
37．计算：
38．计算：
(1)；
(2)．
39．计算：
40．化简
(1)；
(2)．
题型六、分式混合计算
41．计算：．
42．计算．
43．化简：．
44．计算：
(1)；
(2)．
45．化简
46．化简：．
47．化简：．
48．计算
(1)
(2)
(3)
题型七、分式化简求值
49．先化简，再求值：，其中．
50．先化简，再求值：，其中
51．先化简，再求值：，其中．
52．先化简：，再从，，0，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值．
53．先化简，再求值：，其中．
54．先化简：，再从中选择一个适合的数代入求值．
55．化简并求值：，其中x满足的整数
56．下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
(1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____；
(2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值．
题型八、分式方程的解法
57．解方程：
(1)；
(2)．
58．解方程．
59．解方程：．
60．解分式方程：
(1)
(2)
61．解方程：
(1)；
(2)．
62．解方程：
(1)
(2)
63．解方程：
(1)；
(2)．
64．解方程：
(1)
(2)
题型九、根据分式方程解的情况求值
65．若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围．
66．若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围．
67．若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？
68．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．
69．已知不等式的最小整数的解是关于x的分式方程的解，求m的值．
70．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围．
71．已知关于x的分式方程．
(1)若方程的解为，求m的值；
(2)若方程的解为正数，求出m的取值范围．
72．若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．
题型十、分式方程增根问题
73．关于x的分式方程：，若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
74．若关于x的分式方程有增根，求a的值．
75．当为何值时，关于的方程会产生增根？
76．（1）当x为何值时，分式与互为相反数？
（2）若关于x的分式方程有增根，求k的值．
77．分式方程有增根，求m的值．
78．若关于的分式方程有增根，求的值．
79．若分式方程有增根，求m的值．
80．若关于的分式方程有增根，求的值．
题型十一、分式方程无解问题
81．已知关于x的分式方程．
(1)当时，解分式方程；
(2)若这个分式方程无解，求m的值．
82．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
83．已知关于的方程：
(1)当为何值时，原方程无解；
(2)当为何值时，原方程的解为负数．
84．给定关于x的分式方程，求：
(1)m为何值时，这个方程的解为？
(2)m为何值时，这个方程无解？
85．已知关于的分式方程．
(1)若这个方程无解，求的值；
(2)若这个方程的解是非负数，求的值．
86．关于x的方程
(1)若，则解这个分式方程；
(2)若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
87．已知：，．
(1)求与的和；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程无解，实数，求的值．
88．已知关于的方程．
(1)当，时求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解．
题型十二、分式与分式方程的新定义计算
89．定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如．
(1)化简：．
(2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由．
90．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”．
(1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号）
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________；
(3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数．
91．综合与实践
问题情境
如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”．
初步验证
（1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）．
①；②；③；④．
（2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
探究应用
（3）当时，求的最小值．
92．我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
(1)下列分式中，属于“假分式”的是： （填序号）：
① ② ③ ④
(2)假分式可化为带分式形式 ；
(3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，写出过程．
(4)先化简分式，并求取什么整数时该分式的值为整数．
93．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
94．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
95．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
96．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母）
A： B：
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值．
1．（2025·北京朝阳·二模）解分式方程：．
2．（2025·北京大兴·二模）已知，求代数式的值．
3．（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值．
4．（2025·北京西城·一模）已知，求代数式的值．
5．（24-25·北京·一模）已知，求代数式的值．
6．已知，求的值．
7．（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”．
(1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由；
(2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A，
则，
所以，整理得，
所以，．
请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”．
8．（23-24·北京平谷·二模）阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
(3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
专题01 分式96道计算题强化练习（12大题型）
题型一、分式加法计算
1．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则成为解题的关键．
（1）直接按照同分母分式加减运算法则求解即可；
（2）先通分、然后按照同分母分式加减运算法则计算，最后约分即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
2．化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算，先化为同分母，进而根据同分母的分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：
．
3．计算：
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答．
（2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．计算：；
【答案】1
【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．根据分式的加减运算法则即可计算．
【详解】解：
．
5．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，平方差公式等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
先把分母转化为同分母，再根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
6．计算：；
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减，根据同分母分式的加法法则计算即可得出答案．
【详解】解：原式．
7．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式的加法法则进行计算即可；
（2）根据同分母分式的加法法则进行计算即可；
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
，
8．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
题型二、分式减法计算
9．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
通分化为同分母的分式减法计算即可．
【详解】解：原式．
．
．
10．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据分式的加减法的运算法则计算即可．
（2）根据分式的加减法的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
11．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，熟知分式的加减计算法则是解题的关键．
（1）先通分，再把分子合并同类项后分解因式，再约分即可得到答案；
（2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．化简：
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的加减法，先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，即可求解．
【详解】解：
．
13．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查异分母分式的加减法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）先通分，再按照同分母分式减法计算即可；
（2）先通分，再按照同分母分式加法计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
14．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的加减法．
（1）分母不变，分子相减即可．
（2）先通分，然后再进行加法运算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
15．化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序．
（1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可；
（2）先通分化为同分母的分式加减解题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
16．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则求解即可；
（1）先通分，再计算求解即可；
（2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型三、分式乘法计算
17．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
18．计算：．
【答案】
【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
19．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得．
【详解】解：
．
20．计算
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约分的进行约分即可．
（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
＝；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
21．计算．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的乘法．
（1）原式约分即可得到结果；
（2）原式变形后约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
22．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案．
【详解】解：
．
23．化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法，正确运用法则是关键．直接根据分式的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
24．化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法．
先因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式．
题型四、分式除法计算
25．计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的除法运算．
（1）先将除法转化为乘法，再计算即可；
（2）先将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
26．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
（1）根据分式除法运算法则计算即可；
（2）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可；
（3）根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可；
（4）根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
27．化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式除法的运算法则是解题的关键；
先把除法转化为乘法，同时分解因式，再约分化简即可.
【详解】解：
28．计算：
【答案】
【分析】本题考查了分式的除法运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：
．
29．计算：
【答案】
【分析】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握约分，灵活进行因式分解是解题的关键．先把各个分式的分子、分母因式分解，根据分式的除法法则、约分法则计算即可．
【详解】解：原式
．
30．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．把分式中的分子、分母因式分解，再把除法变成乘法计算即可．
【详解】解：
．
31．计算：．
【答案】
【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据分式的乘除法的运算法则计算即可．
【详解】解：原式，
，
32．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则以及积的乘方，本题属于基础题型．
（1）根据分式的乘法法则计算即可求出答案．
（2）根据分式的除法法则计算即可求出答案．
（3）根据分式的乘法法则计算即可求出答案．
（4）根据分式的除法法则计算即可求出答案．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式
．
题型五、分式乘方计算
33．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键；
（1）先计算分式的乘方，再计算乘法即可；
（2）先把除法转化为乘法，同时分解因式，然后计算乘法即可；
（3）根据异分母分式的运算法则计算即可；
（4）先计算分式的除法，再计算分式的减法即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
.
34．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键．
（1）分别算出乘方，再算乘除即可；
（2）根据分式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
35．计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘方，负整数指数幂，先根据负整数指数幂，分式的乘方法则进行运算，然后由分式的乘除法即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
36．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算乘方，再运算分式的乘法，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
37．计算：
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的除法、乘方运算．
先计算负整数指数幂和分式的乘方，再将除法化为乘法求解．
【详解】解：
．
38．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（）先计算分式乘方运算，再计算分式乘法运算即可得到结果；
（）先利用分式除法法则变形，约分后再计算分式乘法运算即可得到结果；
本题考查了分式的乘除运算，分式乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
39．计算：
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果．
【详解】解：
．
40．化简
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式运算，根据分式运算法则进行计算即可．
（1）先根据乘方运算法则进行计算，然后根据分式乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据负整数指数幂运算法则和分式运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型六、分式混合计算
41．计算：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的，除法变乘法，约分化简即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式
．
42．计算．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式加减运算法则计算括号里面的，然后再根据分式除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
43．化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
44．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查分式的混合运算，熟练掌握运算性质是解题的关键：
（1）根据异分母分式加减法法则计算即可；
（2）先计算小括号，再计算除法即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
45．化简
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，先把第一个分式约分化简，并把括号内通分，然后再次通分即可．
【详解】解：
46．化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
【详解】解：
．
47．化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则，从而完成求解．
根据异分母分式的减法先化简括号里的，再根据分式的除法化简．
【详解】解：
．
48．计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了分式的混合运算．
（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先通分，再根据平方差公式计算，最后计算同分母分式减法即可；
（3）先将括号里的分式通分，根据平方差公式和完全平方公式化简，再计算乘法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
．
题型七、分式化简求值
49．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先把分式的分子分母因式分解，再计算，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
50．先化简，再求值：，其中
【答案】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
51．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
52．先化简：，再从，，0，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值．
【答案】，当时，则原式；当时，则原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵分式要有有意义，
∴，
∴且，
当时，则原式；当时，则原式．
53．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
54．先化简：，再从中选择一个适合的数代入求值．
【答案】；当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用分式的乘除法法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．选取代入化简后的代数式即要求解．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
∴当时，原式．
55．化简并求值：，其中x满足的整数
【答案】，当时，原式；当时，原式．
【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，再从找到满足题意的x的值代入计算即可．
【详解】解：
；
∵x满足的整数，
∴x的值为，
∵当分式无意义，
∴当时，原式；当时，原式．
56．下面是一位同学化简代数式的解答过程：
解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
(1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____；
(2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值．
【答案】(1)二；去括号没有变号
(2)；当时，原式的值为（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的化简求值，
（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可；
解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
【详解】（1）解：在第二步出现错误，错误的原因是去括号没有变号，
故答案为：二；去括号没有变号；
（2）
，
∵（为整数），且、、，
当时，原式；
当时，原式．
题型八、分式方程的解法
57．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解．
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：，
方程两边都乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
，
方程两边都乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
58．解方程．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
方程两边同时乘以最简公分分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，当时，，
是分式方程的解．
59．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得；
检验：当时，．
原方程的解为．
60．解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
（1）先给方程两边乘以公分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可；
（2）先给方程两边乘以公分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】（1）解：
方程的两边同乘以，
得：
整理得：；解得：
经检验是方程的增根．
所以原分式方程无解．
（2）解：
方程两边同乘以，得：
，解得
经检验是原分式方程的根．
61．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后要检验。
（1）先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验；
（2）先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验，注意增根的情况。
【详解】（1）解 ：
方程两边同乘，得，
解这个整式方程，得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘，得，
解这个整式方程，得．
检验：当时，．
所以，是原分式方程的增根．
所以，原分式方程无解．
62．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的求解，根据分式方程的解题流程按步骤求解并将求解出的值代回验算是解决本题的关键．
先将分式方程通过去分母的方法化为一元一次方程求解，再将求解的值代回原分式方程验证即可．
【详解】（1）解：，
∴去分母得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴经检验是原分式方程的根；
（2）解：，
去分母得：，
∴，
∴，
解得：，
∴经检验是原方程的增根，
∴原方程无解．
63．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（）按照解分式方程的步骤解答即可；
（）按照解分式方程的步骤解答即可；
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程无解；
（2）解：方程两边乘以，得，
整理得，，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
64．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：，
所以是分式方程的解；
（2）解：，
方程整理得：，
去分母得：，
移项、合并同类得：，
检验：把代入得：，
所以是分式方程的解．
题型九、根据分式方程解的情况求值
65．若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式；利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得，，
解得，，
由题意得，，
解得，，
，
，
且．
66．若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解、求不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先解分式方程得出，根据题意得出且，则有且，即可求出a的取值范围．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
关于y的分式方程的解为非负数，
且，
且，
解得：且，
a的取值范围为且．
67．若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？
【答案】且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵x的值非负，
∴，
∴且．
68．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．
【答案】m的取值范围为：且．
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数．根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：∵，
去分母得：，
解得：，
因为方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴m的取值范围为：且．
69．已知不等式的最小整数的解是关于x的分式方程的解，求m的值．
【答案】2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分式方程的解．先求出一元一次不等式的解集，可得该不等式的最小整数解为，再把代入，即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
所以该不等式的最小整数解为．
因为是分式方程的解，
所以，
所以．
70．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键．
原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可．
【详解】解：去分母，得，解得：．
原式的解为正数，得且，
且．
71．已知关于x的分式方程．
(1)若方程的解为，求m的值；
(2)若方程的解为正数，求出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】本题考查了分式方程的解：使分式两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解不等式．
（1）先化为整式方程得到，再把代入得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可；
（2）先把整式方程整理得到，再利用方程的解为正数得到，解得，由于分母不为零，则，解得，于是得到m的取值范围为且．
【详解】（1），
去分母得，，
把代入得，
解得；
（2）把整理得，
∵，
∴，解得，
又∵，即，
∴，
解得，
∴m的取值范围为且．
72．若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数，确定出a的范围即可．
【详解】解：
去分母得：，
即，
解得：，
关于的分式方程的解为非负数，
且，
解得：且．
题型十、分式方程增根问题
73．关于x的分式方程：，若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】的值为或
【分析】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，增根的概念是解题的关键．
先根据解分式方程的方法求解，再根据分式方程有增根求出的值，代入求解即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，，
∵关于的分式方程会产生增根，即，
∴，
当时，，
解得，；
当时，，
解得，；
综上所述，的值为或．
74．若关于x的分式方程有增根，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程；求出分式方程的解及增根，再把增根代入所求的解中即可求出a的值．
【详解】解：方程两边同乘，得：，
解得：；
由，得，此即分式方程的增根，
则，
所以．
75．当为何值时，关于的方程会产生增根？
【答案】
【分析】本题考查了分式方程增根问题，①化分式方程为整式方程，求出表示的代数式；②把增根代入的代数式，即可求得相关字母的值．
【详解】解：方程两边同乘以得：，
解得：，
将代入上式，得，
答：当时，方程产生增根．
76．（1）当x为何值时，分式与互为相反数？
（2）若关于x的分式方程有增根，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的关键．
（1）根据分式与互为相反数，列出方程，解方程即可；
（2）先解分式方程求出，再根据分式方程有增根，可得，然后把代入中进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵分式与互为相反数，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴当时，分式与互为相反数；
（2），
，
解得：，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，
把代入中得：
，
∴．
77．分式方程有增根，求m的值．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：
去分母得：，
即，
由分式方程有增根，得到，
解得：或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：，
则的值是6或0．
当时，原方程为，此时无解，
∴．
78．若关于的分式方程有增根，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出．
【详解】解：
去分母得，，
移项，合并同类项得，，
∵有增根，
∴该方程无解，即，
解得：，
∴
∴．
79．若分式方程有增根，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
将代入，得，
解得．
80．若关于的分式方程有增根，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得．
题型十一、分式方程无解问题
81．已知关于x的分式方程．
(1)当时，解分式方程；
(2)若这个分式方程无解，求m的值．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
对于（1），代入数值求出解即可；
对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可．
【详解】（1）解：把代入分式方程，得
，
去分母，得，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为；
（2）解：去分母，得．
整理，得．
当，即时，方程无解，则原分式方程无解；
当时，由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程，得，
解得．
综上所述，m的值为1或．
82．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答．
【详解】（1）解：去分母，得．
由分式方程有增根，得．
．
把代入，得．
解得．
的值为．
（2）解：去分母，得．
①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解．
②将上式整理，得．
当，即时，分式方程无解．
综上，若分式方程无解，的值为或．
83．已知关于的方程：
(1)当为何值时，原方程无解；
(2)当为何值时，原方程的解为负数．
【答案】(1)当或或时，原方程无解．
(2)当且时，原方程的解为负数．
【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值、解不等式，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为，据此进行解答；
（2）通过解分式方程得到的值，然后根据已知条件列出关于的不等式，通过解不等式可以求得的值．
【详解】（1）解：方程两边同乘以得：

解得：，
原方程无解，
或或
当或或时，原方程无解．
（2）解：原方程的解为负数
且
当且且时，原方程的解为负数．
当且时，原方程的解为负数．
84．给定关于x的分式方程，求：
(1)m为何值时，这个方程的解为？
(2)m为何值时，这个方程无解？
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答．
（2）无解即为分母为0的情况，进行列式代入数值，进行计算即可．
【详解】（1）解：
∴
∵
∴
解得
（2）解：∵，且该方程无解
∴或者原分式方程的分母为0，即
∴
把代入，得
∴
综上：或，方程无解．
85．已知关于的分式方程．
(1)若这个方程无解，求的值；
(2)若这个方程的解是非负数，求的值．
【答案】(1)3或
(2)且
【分析】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
（1）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．
【详解】（1），
两边都乘以，得
，
∴，
当时，分式方程无解，此时．
当时，分式方程无解，此时即．
综上可知，若这个方程无解，的值为3或；
（2）∵，
∴，
由题意，得
且，
解得且．
86．关于x的方程
(1)若，则解这个分式方程；
(2)若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）把代入方程得出，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都横得出，整理得出，分为两种情况：①，②，再求出即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
方程两边都乘，得，
整理得：，
①当时，分式方程无解，解得：，
②要使分式方程有增根（此时方程无解），，
即，
所以，
解得：，
所以当或时，分式方程无解．
87．已知：，．
(1)求与的和；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程无解，实数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的解法及方程无解的涵义，透彻理解方程解存在的意义是解题的关键．
（1）通过通分、合同同类项，得出结果；
（2）根据题意列方程，通分移项、合并同类项，解得答案；
（3）根据题意列方程求出关于x的方程，由于方程无解，即，解得答案．
【详解】（1）解：
故．
（2）若，
则，
解方程得：．
检验：当时，
．
（3），
去分母整理得：；
无解，，
，
解得： （舍去）．
检验：当时，
．
故．
88．已知关于的方程．
(1)当，时求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解．
【答案】(1)
(2)当或3或9时原方程无解．
【分析】本题主要考查解分式方程．
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可．
【详解】（1）解：当，时，分式方程为，
去分母得：，
解得：，
经经验是原方程的解；
（2）解：当时，分式方程为，
去分母得：，
整理得，，
（1）当整式方程无解时，，，
（2）当分式方程产生增根时，增根为或，
①当时，，，
②当时，，，
综上所述，当或3或9时原方程无解．
题型十二、分式与分式方程的新定义计算
89．定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如．
(1)化简：．
(2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由．
【答案】(1)
(2)不能为0，理由见解析
【分析】本题侧重考查了分式的混合运算，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．
（1）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可；
（2）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式．
；
（2）解：不能为0，理由如下：
原式．
结果不会等于0．
90．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”．
(1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号）
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________；
(3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．
（1）根据“和谐分式”的定义对各式变形即可得；
（2）由原式，再整理可得；
（3）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案．
【详解】（1）解：①，是和谐分式；
②不是分式，不是和谐分式；
③，是和谐分式；
④，是和谐分式.
故答案为：①③④；
（2）解：，
故答案为：，；
（3）解：
，
∴当或时，分式的值为整数，
此时或或1或，
又∵分式有意义时、1、、，
∴．
91．综合与实践
问题情境
如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”．
初步验证
（1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）．
①；②；③；④．
（2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
探究应用
（3）当时，求的最小值．
【答案】（1）①③④；（2）；（3）的最小值为．
【分析】本题考查分式的约分和化简求值，掌握分式的基本性质是解题关键．
（1）根据“优美分式”的定义进行变形解答；
（2）将变形为，进而求解即可；
（3）首先将变形为，然后求出，进而求解即可．
【详解】（1）①，故①是“优美分式”；
②不是分式，故②不是“优美分式”；
③，故③是“优美分式”；
④，故④是“优美分式”；
综上所述，属于“优美分式”的是①③④；
（2）
；
（3）
∵
∴
∴
∵在分母上，
∴当取得最大值时，有最小值
∴当时，
∴的最小值为．
92．我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
(1)下列分式中，属于“假分式”的是： （填序号）：
① ② ③ ④
(2)假分式可化为带分式形式 ；
(3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，写出过程．
(4)先化简分式，并求取什么整数时该分式的值为整数．
【答案】(1)①③
(2)
(3)，过程见解析
(4)；取时该分式的值为整数
【分析】本题主要考查了分式的混合运算：
（1）根据“假分式”的定义，逐项判断即可求解；
（2）根据材料中假分式化带分式的方法解答，即可求解；
（3）根据材料中假分式化带分式的方法解答，即可求解；
（4）先化简原式分式，再把所得结果化为带分式，可得的值为整数，即可求解．
【详解】（1）解：①是假分式；
②不是假分式；
③是假分式；
④是真分式；
属于“假分式”的是：①③；
故答案为：①③
（2）解：；
故答案为：
（3）解：
；
（4）解：
，
∵该分式的值为整数，
∴的值为整数，
即3是的倍数，
∴取，
∵原分式的分母不能为0，
∴x的值为，
即取时该分式的值为整数．
93．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
(2)不存在，理由如下
【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；
（2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答．
本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下：
∵，
解得：，
∵，
∴
解得：，
检验：是原分式方程的解
一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
（2）解：不存在，理由如下：
∵
∴
∵
∴
解得
当时，即时，方程有意义
假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”
∴
则
解得
此时与相矛盾
∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程”
94．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析
(2)或3
【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键，
（1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答．
（2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答．
【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下：
解得
解得
经检验，是方程的解
∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；
∴方程与是“相似方程”．
（2）解：
∵x，y，m均为整数
∴
∴
∵m为正整数
∴或3
95．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
【答案】且
【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵关于x的方程的解为非负数，
∴，
∴ ，
∵，即，解得，
∴m的取值范围为：且．
【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键．
96．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母）
A： B：
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)A
(2)
(3)1．
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案；
（2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案；
（3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当时，分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
（2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”，
，
解得，
，
解得．
（3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
当时，解得，
将化简得，
，
解得，
关于x的方程，x有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（舍去）或（舍去），
，
．
1．（2025·北京朝阳·二模）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是关键．
根据分式的性质，去分母，去括号，移项、合并同类项，检验根的方法求解即可．
【详解】解：，
等式两边同时乘以，去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
经检验是原方程的解．
∴原方程的解是．
2．（2025·北京大兴·二模）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，解题的关键在于利用已知条件进行整体代入．先把代数式化简为，再把整理为，整体代入即可求出．
【详解】解：
原式
3．（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值．
【答案】7
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键．
先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案．
【详解】解：原式
∵，
∴．
∴原式．
4．（2025·北京西城·一模）已知，求代数式的值．
【答案】，．
【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值．由已知得到，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整体代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
5．（24-25·北京·一模）已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】该题考查了分式化简求值，根据题意得出，再将代数式化简后代入求值即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
6．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算括号内的分式减法，然后计算分式的除法，由此即可得．
【详解】解：由得：，
．
7．（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”．
(1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由；
(2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A，
则，
所以，整理得，
所以，．
请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”．
【答案】(1)分式是分式的“和美分式”，见解析
(2)
【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可；
（2）仿照题干方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下：
∵
，
∴，
∴分式是分式的“和美分式”；
（2）设的“和美分式”为A，
则，
整理得，
∴
，
∴的“和美分式”为．
8．（23-24·北京平谷·二模）阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
(3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】(1)
(2)①；②的值为或
(3)的值为
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴的值为．

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