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陕西省咸阳市 2026 届高三上学期第二次模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = ∣ 2 4 + 3 < 0 , = ∣2 3 > 0 ，则 ∩ =( )
A. 3, 3 B. 3, 32 2 C. 1,
3
2 D.
3
2 , 3
2.已知 ∈ ，则“ 2 3 + 2 ≤ 0 2 3”是“ 1 ≤ 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将函数 = sin 2 + 4 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍长度，再向右平移4个单位
长度，所得到的图像解析式是
A. = cos B. = sin C. = sin4 D. = cos4
4.若 0是方程 + = 2 的解，则 0属于区间( )
A. ( 2, 1) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (1,2)
5.设 = 2， = 3， = 0. 60.25 25 ，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >

6.函数 ( ) = cos(2 ) 2 1 ( 为自然函数的底数)的图像大致为( )
A. B.
C. D.
7 5.已知 cos = 5 ，sin =
10
10 ， , 均为锐角，则 =( )
A. 12 B.

6 C. 4 D. 3
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lg , 0 < ≤ 10
8.已知函数 = 1 + 6, > 10，若 , , 互不相等，且 = = ，则 的取值范围是( )2
A. 1,10 B. 5,6 C. 8,10 D. 10,12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 = sin + ( 其中 > 0, > 0, < 2 )的部分图象如图所示，则( )
A. = 2
B. = 2cos 2 6
C. 11 的图象关于点 12 , 0 中心对称
D. 5 在 6 ,

3 上的值域为 2, 3
10.已知 ， 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是( )
A. + 4 1 1 1 1 + ≥ 9 B. + + ≥ 6
C. 2 + 52 > 3 D.
1
2 +1 ≤ 2
11.已知函数 = 2 3 2 + 4sin cos ，则下列说法错误的是( )
A. 的最小正周期是 B. 的最大值是 2 2 1
C. 在 0, 2 上是增函数 D.直线 = 8是 图象的一条对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = 2ln 3 + 1 在点 0,0 处的切线方程为 ．
13 cos 2sin .若角 的终边在第二象限，则 + = ．
1 2 1 2
2 , ≥ 0
14.已知函数 ( ) = + 1 , < 0
，则 ( )的值域为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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sin 3 2 cos

2 tan 已知函数 = tan + sin ．
(1)化简 ；
(2)若 ∈ 2 ,
1
，且 tan = 2，求 + 6 的值．
16.(本小题 15 分)
3 1
已知函数 = 2 sin2
2 2 , ∈ ．
(1)求函数 = 的最小正周期和对称轴：
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)设 的内角 , , 的对边分别为 , , 且 = 3, = 0，若 sin = 2sin ，求 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 3 + 2 2 + + 1 在 = 1 处取得极值 0，其中 , ∈ ．
(1)求 , 的值；
(2)当 ∈ 1,2 时，方程 = 有两个不等实数根，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 2 + 1 + ln , ∈ ．
(1)若 在 = 1 处取得极值，求 的极值；
(2)若 在 1, 上的最小值为 2 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2 3
定义函数 = 1 + 2 3 + + 1

∈
．
(1)求曲线 = 在 = 2 处的切线斜率；
(2)若 2 ≥ 2 对任意 ∈ 恒成立，求 的取值范围；
(3)讨论函数 的零点个数，并判断 是否有最小值．若 有最小值 ﹐证明： > 1 ln2；若
没有最小值，说明理由．
(注： = 2.71828…是自然对数的底数)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 6
13.1
14. ∞, 2 ∪ 1, + ∞
sin 3 2 sin tan 15.【详解】(1)由 = cos sin ( tan )tan [ sin + ] = ( tan )sin = cos ；
(2) + 由 6 = cos( +

6 ) =
3
2 cos
1
2 sin ，
1
又 ∈ 2 , ，且 tan = 2，则 sin =
1
5 , cos =
2
5，
3 2 1 1 2 15+ 5
所以 + 6 = 2 × ( 5 ) 2 × 5 = 10 ．
16.【详解】(1) ( ) = 32 sin2
1+cos2
2
1
2 = sin(2

6 ) 1，
2 2
则最小正周期是 = = 2 = ；
2 令 6 = 2 + ∈

，解得： = 3 + 2 ∈ ，

所以函数 = 的对称轴为 = 3 + 2 ∈
(2)由于 ( ) = sin(2 6 ) 1；
+ 2 ≤ 2 ≤ 3 令2 6 2 + 2 ∈
5
，解得：3 + ≤ ≤ 6 + ∈ ；
( ) 5 所以 的单调递减区间为 3 + , 6 + ∈
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(3) ( ) = sin(2 6 ) 1 = 0，则 sin 2 6 = 1，
0 < < ，0 < 2 < 2 11 ，所以 6 < 2 6 < 6 ，
2 所以 6 = 2， =

3，因为 sin = 2sin ，由正弦定理得 = 2 ，①
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 2 = 23 +
2 = 3②，
由①②解得： = 1， = 2．
1所以 = 2 sin =
1 3 3
2 × 1 × 2 × 2 = 2
17.【详解】(1)由 = 3 + 2 2 + + 1 求导得 ′( ) = 3 2 + 4 + ，
1 = 0 1 + 2 + 1 = 0
依题意可知 ，即 3 4 + = 0 ，解得 = = 1， ′( 1) = 0
此时 = 3 + 2 2 + ， ′( ) = 3 2 + 4 + 1，
由 1′( ) = 3 2 + 4 + 1 = 3 + 1 + 1 = 0 得 = 1 或 = 3，
当 < 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )递增，
1
当 1 < < 3时， ′( ) < 0，函数 ( )递减，
故 = 1 时，函数取得极大值 ( 1) = 0，故 = = 1．
(2)由(1)得 ( ) = 3 + 2 2 + ， ′( ) = 3 2 + 4 + 1 = (3 + 1)( + 1)，
1令 ′( ) = 0，解得 = 3或 = 1，因 ∈ 1,2 ，
故当 1 < < 13时 ′( ) < 0，函数 ( )递减，当
1
3 < < 2 时 ′( ) > 0，函数 ( )递增，
= 1 1 4当 3时， ( )取得极小值，无极大值，所以 ( )min = 3 = 27，
所以在区间[ 1,2]上， ( )的最大值为 ( 1)或 (2)，而 ( 1) = 0, (2) = 8 + 8 + 2 = 18，
所以 ( )在区间[ 1,2]上的最大值为 18 4，最小值为 27，
作出函数 = ( )与直线 = 的图像，如图，
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4
由图知 27 < ≤ 0．
18.【详解】(1) ( ) = 2 (2 + 1) + ln ， ′( ) = 2 (2 + 1) + ， > 0．
因为 ( )在 = 1 处取得极值，所以 ′(1) = 2 (2 + 1) + = 0，则 = 1．
1 2 2 ( ) = 2 3 + ln ′( ) = 2 3 + = 3 +1 = (2 1)( 1)所以 ， ，
令 ′( ) = 0 得 = 12或 1，列表得
1 1 1 (1,(0,2 )
1
2 (2 , 1) + ∞)
′( )+ 0 0 +
( ) ↗ 极大值↘ 极小值↗
( ) ( 1 ) = 1 3 1 5所以 的极大值为 2 4 2 + ln 2 = 4 ln2，极小值为 (1) = 1 3 + ln1 = 2．
2
(2) ′( ) = 2 (2 + 1) + =
2 (2 +1) + = (2 1)( ) ．
①当 ≤ 1 时， ∈ [1, ], ′ > 0，所以 ( )在[1, ]上单调递增， ( )的最小值为 (1) = 2 ，满足题意；
②当 1 < < 时，令 ′ > 0，则 > 或 0 < < 12，所以 ( )在[1, ]上单调递减，在[ , ]上单调递增，
此时， ( )的最小值为 ( ) < (1) = 2 ，不满足题意；
③当 ≥ 时， ( )在[1, ]上单调递减， ( )的最小值为 < 1 = 2 ，不满足题意．
综上可知，实数 的取值范围时( ∞,1]．
19.【详解】(1)由 ′ = 1 + 2 + + 1 1，

可得 ′ 2 = 1 2 22 2 1 =
1 2
1 2 = 1 2 ，
所以曲线 = 在 = 2 处的切线斜率 1 2 ．
(2)若 2 2 ≥ 对任意 ∈ 恒成立，
2
2 1 +

所以 ≤ 2 2 = 对任意 ∈ 恒成立，
2
1 +
令 ( ) = 2 ，则 ′ =
4
2 ，
由 ′ < 0 解得 < 0，或 > 4；由 ′ > 0 解得 0 < < 4，
故 ( )在 ∞,0 上单调递减，在 0,4 上单调递增，在 4, + ∞ 上单调递减，
又 (0) = 1，且当 > 4 时， ( ) > 0，
故 ( )的最小值为 (0) = 1，
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故 ≤ 1，即 的取值范围是 ∞, 1 ．
(3) ′ 1 = 1 1 1 = ，
≠ 1 = 1 + 2 + + 1 1 = 1

=
1
当 时， ′ 1 +1 ，
2 3 1
因此当 为奇数时， = 1 + 2 3 + +

1 ，
1
此时 ′ = +1
, ≠ 1,
, = 1.
则 ′ < 0，所以 单调递减．
此时 0 = 1 > 0， 1 = 1 显然有唯一零点，无最小值．
2 3 1
当 ≥ 2 时， 2 = 1 2 +
2 22 3 + +
2 2
1
22 3 2 1
= 1 2 + 3 2 2 + + 1 2 < 0
2 3 1
且当 > 2 时， = 1 +

2 3 + + 1
2 1
= 1 + 33 2 + +

1 < 1 ，
由此可知此时 不存在最小值．
从而当 为奇数时， 有唯一零点，无最小值，
2 3 1
当 = 2 ∈ 时，即当 为偶数时， = 1 +
2 3 + 1 + ，
1
此时 ′ = +1
, ≠ 1, ,
, = 1.
由 ′ > 0，解得 > 1；由 ′ < 0，解得 < 1
则 在 ∞,1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增，
1 1 1 1 1
故 的最小值为 1 = 1 1 + 2 3 + + 2 1 + > 0，
即 ≥ 1 > 0，所以当 为偶数时， 没有零点．

设 = ln 1 + +1 > 0 ，
1 1 ′ = 1+ +1 2 = +1 2 > 0，
所以 在 0, + ∞ 上单调递增， > 0 = 0，即 ln 1 + > +1 > 0 ．
= 1令 可得 ln
+1 1
> +1，
当 = 2 ∈ 时
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1 1 1 1 1
1 2 1 = 1 2 + 3 4 + + 2 1 2
1 1 1 1 1 1
= 1 + 2+ 3 + + 2 2 2+ 4 + + 2
1 1 1 1 1
= 1 + 2+ 3 + + 2 1+ 2 + +
1 1 1
= + 1 + + 2 + 2
< ln +1 + ln +2 2 2 +1 + ln 2 1 = ln = ln2，
即 = 2 1 > 1 ln2．
从而当 为偶数时， 没有零点，存在最小值 > 1 ln2．
综上所述，当 为奇数时， 有唯一零点，无最小值；
当 为偶数时， 没有零点，存在最小值 > 1 ln2．
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