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2025－2026学年九年级第一次月考数学试题（一）
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，10题，共30分）
1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A. В. C. D.
2.关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（ ）
A.3 B. C.9 D.
3.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
4.下列运算的结果为的是（ ）
A. B. C. D.
5.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，则根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
6.将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
7.若、、三点都在抛物线上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.函数和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ）
A.3步 B.6步 C.9步 D.12步
10.如图，在菱形中，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，6题，共18分）
11.写出一个以y轴为对称轴的抛物线解析式______．
12.计算的结果是______．
13.二次函数的图象开口向下，则______．
14.在以“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的校园科技节中，小明同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为______米．
15.我们约定：为函数的的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点称为“整交点”．若关联数为（为正整数）的函数图象与轴有两个整交点，则这个函数图象上整交点的坐标为______．
三、解答题（9题）
16.（6分）计算：．
17.（6分）解方程：
18.（6分）如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点．
（1）填空：直线是的______；
（2）求证：．
19.（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的两根，且，求的值．
20.（8分）为满足市场需求，某生活超市在中秋节前夕购进价格为3元／个的某品牌月饼，根据市场预测，该品牌月饼每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌月饼售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌月饼定价，使超市每天的销售利润达到800元．
21.（8分）国庆期间，北京举办“普天同庆 共筑中国梦”的游园活动．为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．已知水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
22.（10分）在一个三角点阵中，从上向下数，第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……我们知道前行的点数和公式为
（1）已知某三角点阵前行的点数和是210，求的值．
（2）若将三角点阵中各行的点数依次换为，探究前行的点数和规律：并判断这个三角点阵前行的点数和能否是495，若能，求出；若不能，请说明理由．
23.（11分）如图，两个等腰直角和中，．
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是______：位置关系是______．
（2）探究证明：把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点C在平面内转动一周，若，，当、、三点共线时，请直接写出AD的长．
24.（12分）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

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