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广西南宁市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 巴彦县校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023 利州区二模）2023年《政府工作报告》提出，“义务教育优质均衡发展”．根据预算报告，支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×108 元 B．2.5×109元
C．2.5×1010元 D．0.25×108元
3．（3分）（2024春 梅列区校级月考）计算：x4÷x3的结果是（　　）
A．1 B．x C．x7 D．x12
4．（3分）（2023春 海口期末）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．65° B．75° C．95° D．105°
5．（3分）（2024秋 广东期中）如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中AB＝AC，BC是横梁，AD是竖梁．在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D，就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．等腰三角形“三线合一”
C．垂线段最短
D．等边对等角
6．（3分）买一千克土豆需要x元，买一千克白菜需要y元，则买6千克土豆、8千克白菜共需要（　　）
A．（6x+8y）元 B．48xy元 C．（8x+6y）元 D．14xy元
7．（3分）（2021秋 石家庄期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E．△EBC的周长是24cm，AC＝14cm，则BC的长为（　　）cm．
A．12 B．11 C．10 D．9
8．（3分）（2022春 银川校级期中）下列运算正确的是（　　）
A．x3+2x3＝3x6 B．（x3）3＝x6
C．x3 x3＝x9 D．x3÷x＝x2
9．（3分）（2024春 甘井子区期末）一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
10．（3分）（2022秋 建湖县期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，交BD于点E，若AB＝12，DE＝5，则△ABE的面积等于（　　）
A．30 B．60 C．24 D．48
11．（3分）（2022秋 安乡县期末）已知a＝98，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
12．（3分）（2024秋 含山县校级期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）（2023春 本溪县期末）若（a﹣2023）0＝1，则a的取值范围是 　 　 ．
14．（2分）（2023秋 宁阳县期中）如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.59米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 　 　 秒．
15．（2分）（2024 高青县校级一模）点P（﹣3，3）关于y轴对称的点P'的坐标是 　 　 ．
16．（2分）（2022秋 镇海区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连结BF，延长FE至点G，使FG＝FA．若△ABF的面积为6，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是 　 　 ．
17．（2分）（2024春 芝罘区期中）计算的结果等于 　 　 ．
18．（2分）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．如果∠1＝39°，那么∠AOC＝　 　 °．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）（2024 王益区开学）小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要几分钟？
20．（6分）（2024 甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
21．（10分）（2022秋 章丘区期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．
22．（10分）（2024春 中山区期末）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信．因此，端午节前，某校举行“传经典 乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据分析结果绘制了不完整的条形图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为 　 　 °；
（4）若该校共1500名学生，请你估计该校参加C项目的学生人数．
23．（10分）（2025春 碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BA的延长线上，过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点O，AB＝BE．
（1）求证：AO＝EO．
（2）若BD＝10，AB＝8，求OD的长．
24．（10分）（2025春 长春校级期末）“银发经济”已成为社会关注的热门话题．为满足老年人对助力车的需求，某商家获取如下信息：购进1辆甲品牌助力车和4辆乙品牌助力车共需2080元，购进2辆甲品牌助力车和3辆乙品牌助力车共需2160元．
（1）求甲、乙两种品牌助力车每辆的进货价格．
（2）若该商家准备购进甲、乙两种品牌助力车共50辆，且进货总费用不超过23000元，则至多可购进甲品牌助力车多少辆？
25．（10分）（2025春 宁明县期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的公式是　 　 （请选择正确的一个）．
A．a2+ab＝a（a+b）
B．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）请应用上面的公式完成下列各题：
①若4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值．
②计算：162﹣152+142﹣132+122﹣112+…+22﹣1．
26．（10分）（2023秋 金湾区期末）【综合运用】如图，△ABC中AB＝AC，△ABD和△ACE分别为等边三角形，BE与CD相交于点F，连AF并延长交BC于点G．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：G为BC的中点；
（3）已知∠BAC＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）．
广西南宁市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 巴彦县校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，
因此选项A不是轴对称图形，选项B，C，D是轴对称图形．
故选A．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形．
2．（3分）（2023 利州区二模）2023年《政府工作报告》提出，“义务教育优质均衡发展”．根据预算报告，支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×108 元 B．2.5×109元
C．2.5×1010元 D．0.25×108元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】数与式；数感．
【答案】C
【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【解答】解：250亿元＝25000000000元＝2.5×1010元．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3．（3分）（2024春 梅列区校级月考）计算：x4÷x3的结果是（　　）
A．1 B．x C．x7 D．x12
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．
【解答】解：x4÷x3＝x4﹣3＝x，
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．
4．（3分）（2023春 海口期末）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．65° B．75° C．95° D．105°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∠α＝60°+（90°﹣45°）＝105°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的有关计算，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
5．（3分）（2024秋 广东期中）如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中AB＝AC，BC是横梁，AD是竖梁．在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D，就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．等腰三角形“三线合一”
C．垂线段最短
D．等边对等角
【考点】等腰三角形的性质；垂线段最短；三角形的稳定性．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意可知，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
综上所述只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的稳定性，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
6．（3分）买一千克土豆需要x元，买一千克白菜需要y元，则买6千克土豆、8千克白菜共需要（　　）
A．（6x+8y）元 B．48xy元 C．（8x+6y）元 D．14xy元
【考点】列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】A
【分析】用6千克土豆的总价加上8千克白菜的总价列出式子即可．
【解答】解：买千克土豆、8千克白菜共需要（6x+8y）元．
故选：A．
【点评】此题考查列代数式，理解题意，找出题目蕴含的数量关系是关键．
7．（3分）（2021秋 石家庄期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E．△EBC的周长是24cm，AC＝14cm，则BC的长为（　　）cm．
A．12 B．11 C．10 D．9
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△EBC的周长是24cm，
∴BC+CE+EB＝24cm，
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝24cm，
∵AC＝14cm，
∴BC＝10cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（3分）（2022春 银川校级期中）下列运算正确的是（　　）
A．x3+2x3＝3x6 B．（x3）3＝x6
C．x3 x3＝x9 D．x3÷x＝x2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x3+2x3＝3x3，故A不符合题意；
B、（x3）3＝x9，故B不符合题意；
C、x3 x3＝x6，故C不符合题意；
D、x3÷x＝x2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．（3分）（2024春 甘井子区期末）一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程（n﹣2） 180°＝1260°，即可解得n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1260°，
解得n＝9，
则这个多边形是九边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°是解答本题的关键．
10．（3分）（2022秋 建湖县期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，交BD于点E，若AB＝12，DE＝5，则△ABE的面积等于（　　）
A．30 B．60 C．24 D．48
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得EF的值等于DE的值，再按照三角形的面积计算公式计算即可．
【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝5，
∴EF＝5，
∵AB＝12，
∴△ABE的面积为：12×5÷2＝30．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大．
11．（3分）（2022秋 安乡县期末）已知a＝98，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【考点】幂的乘方与积的乘方；有理数大小比较．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解答】解：∵a＝98＝316，b＝314，c＝275＝315，
∴a＞c＞b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、有理数的大小比较，正确利用幂的乘方运算法则变形是解题关键．
12．（3分）（2024秋 含山县校级期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类；三角形的外角性质．
【专题】整式；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得∠BA1C的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2，∠FA4A3的度数，找出规律即可求解．
【解答】解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴；
∵A1A2＝A1D，
∴；
同理得：，，…，
一般地，第n个等腰三角形的底角的度数是，
∴第2022个等腰三角形的底角度数是，
故选：D．
【点评】本题考查了图形类规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）（2023春 本溪县期末）若（a﹣2023）0＝1，则a的取值范围是 　a≠2023　 ．
【考点】零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】a≠2023．
【分析】根据a0＝1（a≠0）解答即可．
【解答】解：若（a﹣2023）0＝1，则a的取值范围是a≠2023；
故答案为：a≠2023．
【点评】本题考查了零指数幂的意义，熟知a0＝1（a≠0）是解题的关键．
14．（2分）（2023秋 宁阳县期中）如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.59米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 　26.36　 秒．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；含30度角的直角三角形．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】26.36秒．
【分析】此题利用查直角三角形的性质求得自动扶梯的长，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间可求．
【解答】解：∵30°锐角所对直角边等于斜边的一半，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h＝2×6.59＝13.18（米），
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为13.18÷0.5＝26.36（秒）．
故答案为：26.36秒．
【点评】解决此类题目的关键是要熟记30°锐角所对直角边等于斜边的一半．注意数学在实际生活中的运用．
15．（2分）（2024 高青县校级一模）点P（﹣3，3）关于y轴对称的点P'的坐标是 　（3，3）　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】（3，3）．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题．
【解答】解：点P（﹣3，3）关于y轴对称的点P'的坐标是（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
16．（2分）（2022秋 镇海区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连结BF，延长FE至点G，使FG＝FA．若△ABF的面积为6，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是 　　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】．
【分析】首先利用SAS证明△ACD≌△CBE，再证明△AFG是等边三角形，推出EG：GF＝2：5，可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠CBA＝60°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝60°，
∴∠AFG＝∠CAD+∠ACE＝60°，
∵FG＝FA，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF＝FG，
∵AF：EF＝5：3，
∴FG：EF＝5：3，
∴EG：FG＝2：5，
∴S△AEG：S△AFG＝2：5，
∵∠GAF＝∠CAB＝60°，
∴∠GAB＝∠FAC，
∵AG＝AF，AB＝AC，
∴△GAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABG＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠BEG，
∴∠BGE＝∠CAE＝60°，
∴∠AFG＝∠BGE＝60°，
∴AF∥BG，
∴S△AFG＝S△ABF＝6，
∴S△AEG6．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（2分）（2024春 芝罘区期中）计算的结果等于 　　 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】．
【分析】先将转化为，再逆用积的乘方运算法即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．
18．（2分）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．如果∠1＝39°，那么∠AOC＝　78　 °．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】78．
【分析】解法一：连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
解法二：连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定义可得结论．
【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）（2024 王益区开学）小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要几分钟？
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】需要202分钟．
【分析】先判断出谁的工作效率高，然后令其完成工作量的一半，求出此时需要的时间，再求出另一个人此时完成的数量，进而得出剩下的数量，再把剩下的数量分配完成，从而得解．
【解答】解：3×1+1＝4（分钟），4×1+1.5＝5.5（分钟），
3÷4，4÷5.5，
∵，
∴小李的工作效率高，
∵300÷2＝150（个），
∴小李作150个需要的时间为：150÷3×4＝200（分钟），
∵200÷5.5＝36…2，
∴小张200分钟做了：36×4+2＝146（个），
∴剩下的零件数为：300﹣150﹣146＝4（个）
∴剩下的4零件正好每人做2个，需要2分钟，
∴200+2＝202（分钟），
答：需要202分钟．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意，分步计算是解题的关键．
20．（6分）（2024 甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】2a+b，3．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入a＝2，b＝﹣1，求出答案即可．
【解答】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×2﹣1＝3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．
21．（10分）（2022秋 章丘区期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）画图见解答；．
【分析】（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''C，交x轴于点P，连接AP，此时AP+PC的值最小，利用勾股定理求出A''C的值即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
（3）如图，点P即为所求．
由勾股定理得A''C．
∴AP+PC的最小值为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．（10分）（2024春 中山区期末）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信．因此，端午节前，某校举行“传经典 乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据分析结果绘制了不完整的条形图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　25　 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为 　36　 °；
（4）若该校共1500名学生，请你估计该校参加C项目的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）25；（2）见详解；（3）36°；（4）225人．
【分析】（1）由B﹣划旱船人数50占总人数的50%可得抽取总人数，再根据A﹣包粽子的百分比计算m值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）根据所占百分比乘360计算即可；
（4）由学校共有学生人数乘参加C项目的学生人数的百分比计算即可．
【解答】解：（1）抽取的总人数：50÷50%＝100，
∴m＝25%×100＝25（人），
故答案为：25．
（2）补全条形图如下；
（3）°；
故答案为：36．
（4）（人）．
∴该校参加C项目的学生人数约为225人．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图；读懂题意，正确的找出各个主题活动所对应的数据图是解题的关键．
23．（10分）（2025春 碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BA的延长线上，过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点O，AB＝BE．
（1）求证：AO＝EO．
（2）若BD＝10，AB＝8，求OD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）OD的长为．
【分析】（1）由DE⊥BC于点E，∠BAC＝90°，得∠BED＝∠BAC＝∠OAD＝∠OEC＝90°，而EB＝AB，∠B＝∠B，可根据“ASA”证明△EBD≌△ABC，得∠D＝∠C，BD＝BC，推导出AD＝EC，再证明△AOD≌△EOC，则AO＝EO；
（2）由∠BED＝∠OAD＝90°，BD＝10，AB＝BE＝8，求得DE6，AD＝2，则AO＝EO＝6﹣OD，由勾股定理得22+（6﹣OD）2＝OD2，求得OD．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC于点E，
∴∠BED＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BED＝∠BAC，∠OAD＝∠OEC＝90°，
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（ASA），
∴∠D＝∠C，BD＝BC，
∴BD﹣AB＝BC﹣EB，
∴AD＝EC，
在△AOD和△EOC中，
，
∴△AOD≌△EOC（AAS），
∴AO＝EO．
（2）解：∵∠BED＝∠OAD＝90°，BD＝10，AB＝BE＝8，
∴DE6，AD＝BD﹣AB＝10﹣8＝2，
∴AO＝EO＝6﹣OD，
∵AD2+AO2＝OD2，
∴22+（6﹣OD）2＝OD2，
解得OD，
∴OD的长为．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△EBD≌△ABC是解题的关键．
24．（10分）（2025春 长春校级期末）“银发经济”已成为社会关注的热门话题．为满足老年人对助力车的需求，某商家获取如下信息：购进1辆甲品牌助力车和4辆乙品牌助力车共需2080元，购进2辆甲品牌助力车和3辆乙品牌助力车共需2160元．
（1）求甲、乙两种品牌助力车每辆的进货价格．
（2）若该商家准备购进甲、乙两种品牌助力车共50辆，且进货总费用不超过23000元，则至多可购进甲品牌助力车多少辆？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）甲品牌助力车每辆进货价格为 480 元，乙品牌助力车每辆进货价格为 400 元；
（2）至多可购进甲品牌助力车37辆．
【分析】（1）设甲品牌助力车每辆进货价格为 x元，乙品牌助力车每辆进货价格为y元．根据两次购买的费用关系建立方程组并求解；
（2）设购进甲品牌助力车a辆，则乙品牌助力车为（50﹣a）辆．结合总费用不超过23000元，建立不等式，求出甲品牌助力车的最大购买数量．
【解答】解：（1）设甲品牌助力车每辆进货价格为 x 元，乙品牌助力车每辆进货价格为y 元．
，
解得，
即甲品牌助力车每辆进货价格为 480 元，乙品牌助力车每辆进货价格为 400 元，
答：甲品牌助力车每辆进货价格为 480 元，乙品牌助力车每辆进货价格为 400 元；
（2）设购进甲品牌助力车a辆，则乙品牌助力车为（50﹣a）辆．
根据题意列一元一次不等式得，480a+400（50﹣a）≤23000，
480a+20000﹣400a≤23000，
80a≤3000，
，
由于a为整数，且最多可购进甲品牌助力车的数量，故取a＝37，
答：至多可购进甲品牌助力车37辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
25．（10分）（2025春 宁明县期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的公式是　B　 （请选择正确的一个）．
A．a2+ab＝a（a+b）
B．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）请应用上面的公式完成下列各题：
①若4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值．
②计算：162﹣152+142﹣132+122﹣112+…+22﹣1．
【考点】平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．
【专题】应用题．
【答案】（1）B；
（2）①4；②136．
【分析】（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；
（2）①利用平方差公式解答即可；
②利用平方差公式解答即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
∴有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，即（2a+b）（2a﹣b）＝24，而2a+b＝6，
∴2a﹣b＝24÷6＝4，
故答案为：4；
②162﹣152+142﹣132+122﹣112+ +22﹣1
＝（16+15） （16﹣15）+（14+13） （14﹣13）+ +（2+1） （2﹣1）
＝16+15+14+13+12+11+ +2+1＝136．
【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，熟知公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），灵活运用是解题的关键．
26．（10分）（2023秋 金湾区期末）【综合运用】如图，△ABC中AB＝AC，△ABD和△ACE分别为等边三角形，BE与CD相交于点F，连AF并延长交BC于点G．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：G为BC的中点；
（3）已知∠BAC＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，再由等边三角形的性质得∠ABD＝∠ACE＝60°，DB＝AB＝AC＝EC，则∠CBD＝∠BCE，然后证△ECB≌△DBC（SAS），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠BCD＝∠CBE，则BF＝CF，再证AG是BC的垂直平分线，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得∠ADB＝∠DAB＝∠EAC＝60°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABE＝∠AEB＝∠ADC＝∠ACD＝60°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，DB＝AB＝AC＝EC，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ACB，
即∠CBD＝∠BCE，
在△ECB和△DBC中，
，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
∴BE＝CD；
（2）证明：由（1）得△ECB≌△DBC，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴BF＝CF，
∵AB＝AC，
∴AG是BC的垂直平分线，
∴G为BC的中点；
（3）解：由（2）可知，AG是BC的垂直平分线，
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴，
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴∠ADB＝∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠EAB＝60+α，
∵DB＝AB＝AC＝EC，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADC＝∠ACD（180°﹣60°﹣α）＝60°，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝60°﹣（60°）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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