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广西南宁市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 黄山期中）下列图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2022秋 东丽区期末）七边形内角和的度数为（　　）
A．360° B．900° C．1080° D．1260°
3．（3分）（2023秋 顺德区校级月考）在平面直角坐标系中，点P（6，﹣5）关于x轴对称的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）（2024春 盐湖区期末）如图，小明为估计池塘岸边A，B间的距离，在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝15m，OB＝10m，那么A，B间的距离可能是（　　）
A．30m B．25m C．20m D．5m
5．（3分）（2019秋 邻水县期末）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2 x3＝x6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．x6÷x2＝x3
6．（3分）如图，若∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是（　　）
A．AD平分∠BAC B．CE平分∠ACD
C．∠BCE∠ACB D．CE是∠ABC的平分线
7．（3分）（2024 香洲区校级一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（3分）（2023秋 丹阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．14
9．（3分）（2024春 南开区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠ACB＝25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠DFE的度数（　　）
A．135° B．120° C．115° D．100°
10．（3分）（2023秋 宛城区校级月考）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）6展开式的系数和是（　　）
A．32 B．64 C．88 D．128
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 滕州市一模）当分式的值为零时，x的值为 　 　 ．
12．（3分）（2022秋 陇西县校级月考）要使六边形的窗框不变形，至少要再钉上 　 　 根木条．
13．（3分）（2024 槐荫区二模）因式分解：m2﹣m＝　 　 ．
14．（3分）（2024秋 盐都区月考）如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则应该带第　 　 块区玻璃店．
15．（3分）（2023秋 甘德县校级期末）已知a2﹣b2＝16，a+b＝8，则a﹣b＝　 　 ．
16．（3分）（2024秋 门头沟区期末）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高线，且AD＝6，E是AB的中点，如果点P在AD上运动，那么BP+EP的最小值是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2024 罗湖区校级模拟）小深在对多项式[（2a+b）2﹣4a（a+b）﹣4b2]÷（﹣2b）“化简求值”的过程中，发现只需要知道字母 　 　 （填a或b）的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于3，请将这个多项式先化简，再求值．
18．（6分）（2024 南关区校级模拟）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+xy，其中y＝2．
19．（10分）（2024秋 兴宁区校级月考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A　 　 ；B　 　 ；C　 　 ．
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′．
（3）△ABC的面积为　 　 ．
20．（10分）（2023秋 辛集市期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 　 　 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ 　 　 ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
21．（10分）（2023秋 安宁市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE．
（1）证明：∠AEC＝2∠B．
（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．
22．（10分）（2024秋 鄂尔多斯月考）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系．
23．（10分）（2023春 义乌市校级月考）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3+1）（a+3﹣1）
＝（a+4）（a+2）
②求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2﹣1≥﹣1，
即a2+6a+8的最小值为﹣1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）分解因式：x2+8x﹣20；
（2）利用配方法求代数式﹣x2+12x+28的最大值．
24．（10分）（2024春 潮南区期末）如图1，平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4）且满足，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求△ABC的面积；
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（3）若AC交y轴于Q，而Q的坐标为（0，2），在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
广西南宁市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 黄山期中）下列图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（3分）（2022秋 东丽区期末）七边形内角和的度数为（　　）
A．360° B．900° C．1080° D．1260°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据n边形内角和的度数为（n﹣2）×180°即可得到答案．
【解答】解：七边形内角和的度数为（7﹣2）×180°＝900°．
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和，熟练掌握n边形内角和公式是解题的关键．
3．（3分）（2023秋 顺德区校级月考）在平面直角坐标系中，点P（6，﹣5）关于x轴对称的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（6，5），在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）是解题的关键．
4．（3分）（2024春 盐湖区期末）如图，小明为估计池塘岸边A，B间的距离，在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝15m，OB＝10m，那么A，B间的距离可能是（　　）
A．30m B．25m C．20m D．5m
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理得到5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可．
【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得15﹣10＜AB＜15+10，
即：5＜AB＜25，
则AB的值在5和25之间，
所以，A，B间的距离可能是20m．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．
5．（3分）（2019秋 邻水县期末）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2 x3＝x6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．x6÷x2＝x3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x2与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x2 x3＝x5，故B不符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故C符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）如图，若∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是（　　）
A．AD平分∠BAC B．CE平分∠ACD
C．∠BCE∠ACB D．CE是∠ABC的平分线
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的性质解答即可．
【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAD，
∴AD是△ABC的角平分线，正确；
B、∵∠BCE＝∠ACE，
∴CE是∠ACD的平分线，正确；
C、∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠BCE∠ACB，正确；
D、CE是∠ACD的平分线，错误．
故选：D．
【点评】主要考查了三角形的角平分线、中线和高的性质，关键是根据三角形的角平分线、中线和高的性质解答．
7．（3分）（2024 香洲区校级一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得CD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
8．（3分）（2023秋 丹阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．14
【考点】角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质推出DH＝DC＝2，由三角形面积公式即可求出△ABD的面积AB DH＝7．
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝2，
∵AB＝7，
∴△ABD的面积AB DH7×2＝7．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DH＝DC．
9．（3分）（2024春 南开区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠ACB＝25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠DFE的度数（　　）
A．135° B．120° C．115° D．100°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠FEA，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE．
【解答】解：∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，∠ACB＝25°，
∴∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠FEA，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣（25°+25°）＝130°，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝180°﹣∠FEC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠DFE的度数为115°．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．
10．（3分）（2023秋 宛城区校级月考）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）6展开式的系数和是（　　）
A．32 B．64 C．88 D．128
【考点】完全平方公式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；整式；运算能力．
【答案】B
【分析】由“杨辉三角”的规律可知，令a＝b＝1，代入（a+b）6计算可得所有项的系数和．
【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）6展开式中所有项的系数和为（1+1）6＝26＝64．
故选：B．
【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，需要知道取值代入即可求得．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 滕州市一模）当分式的值为零时，x的值为 　﹣2　 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x+2＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
12．（3分）（2022秋 陇西县校级月考）要使六边形的窗框不变形，至少要再钉上 　3　 根木条．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3．
【分析】三角形具有稳定性，由此即可解决问题．
【解答】解：∵三角形结构具有稳定性，
∴要使六边形的窗框不变形，需要构成三角形结构，
∴六边形可以构成四个三角形，需要3根木条．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性．
13．（3分）（2024 槐荫区二模）因式分解：m2﹣m＝　m（m﹣1）　 ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】m（m﹣1）．
【分析】结合多项式的特点，直接应用提取公因式法进行因式分解即可．
【解答】解：m2﹣m＝m（m﹣1）
故答案为：m（m﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，正确运用因式分解的方法是本题解题关键．
14．（3分）（2024秋 盐都区月考）如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则应该带第　①　 块区玻璃店．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】①．
【分析】由图可知，第①块中，有两角及其夹边可得出这块三角形与购买的三角形全等．
【解答】解：由图可知，
第①块中，可以得到这块碎裂的玻璃的两角及其夹边，即可确定这块三角形与购买的三角形全等，
故答案为：①．
【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两个三角形全等），学会将实际问题转化为数学问题是解题关键．
15．（3分）（2023秋 甘德县校级期末）已知a2﹣b2＝16，a+b＝8，则a﹣b＝　2　 ．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】依据平方差公式进行计算，即可得出结论．
【解答】解：∵a2﹣b2＝16，且a+b＝8，
∴（a+b）（a﹣b）＝16，
即8（a﹣b）＝16，
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
16．（3分）（2024秋 门头沟区期末）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高线，且AD＝6，E是AB的中点，如果点P在AD上运动，那么BP+EP的最小值是 　6　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】6．
【分析】先连接CE，再根据PB＝PC，将EP+PB转化为EP+CP，最后根据两点之间线段最短，求得CE的长，即为EP+PB的最小值．
【解答】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴EP+PB＝EP+CP≥CE，即BP+EP的最小值为CE的长，
∵等边△ABC中，E是AB边的中点，
∴AD＝CE＝6，
∴EP+BP的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2024 罗湖区校级模拟）小深在对多项式[（2a+b）2﹣4a（a+b）﹣4b2]÷（﹣2b）“化简求值”的过程中，发现只需要知道字母 　b　 （填a或b）的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于3，请将这个多项式先化简，再求值．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】b，．
【分析】先计算小括号，合并同类项，再计算除法，可得结论．
【解答】解：[（2a+b）2﹣4a（a+b）﹣4b2]÷（﹣2b）
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2﹣4ab﹣4b2）÷（﹣2b）
＝﹣3b2÷（﹣2b）
b，
∴只要知道b的值即可，
当b＝3时，上式．
故答案为：b，
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
18．（6分）（2024 南关区校级模拟）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+xy，其中y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣y2，﹣4．
【分析】根据平方差公式，单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+xy
＝x2﹣y2﹣x2﹣xy+xy
＝﹣y2，
当y＝2时，原式＝﹣22＝﹣4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，掌握平方差公式以及单项式乘多项式的法则是解题的关键．
19．（10分）（2024秋 兴宁区校级月考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A　（﹣2，4）　 ；B　（﹣5，2）　 ；C　（﹣4，5）　 ．
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′．
（3）△ABC的面积为　　 ．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】（1）（﹣2，4），（﹣5，2），（﹣4，5）；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）直接根据图中点的坐标写出即可；
（2）根据点关于x轴对称的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，依此作图即可；
（3）将图中△ABC分割成一个长方形减去三个三角形的面积即可得出答案．
【解答】解：（1）根据各点在平面直角坐标系中的位置可知：A（﹣2，4），B（﹣5，2），C（﹣4，5）；
故答案为：（﹣2，4），（﹣5，2），（﹣4，5）；
（2）点A（﹣2，4），B（﹣5，2），C（﹣4，5），关于x轴对称的点坐标为：
A′（﹣2，﹣4），B′（﹣5，﹣2），C′（﹣4，﹣5），
描点，连线，即得△A′B′C′；
（3）．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变换——轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点坐标特征是解题的关键．
20．（10分）（2023秋 辛集市期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ 　90　 ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】【类比探究】：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
【应用】（1）90；（2）5；
【拓展】12．
【分析】【类比探究】根据图形中各个部分面积之间的关系进行解答即可；
【应用】（1）由【类比探究】可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可；
（2）设a＝11﹣x，b＝x﹣8，则a+b＝3，ab＝（11﹣x）（x﹣8）＝2，计算a2+b2的值即可；
【拓展】设AE＝a，EC＝b，则a+b＝AE+CE＝AC＝7，由三角形面积的计算方法可得种花区域的面积为a2+b2＝25，所以种草区域的面积为ab，根据ab代入计算即可．
【解答】解：【类比探究】
图②，图中阴影部分图形的面积和为a2+b2，也可以表示为（a+b）2﹣2ab，因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
【应用】（1）∵a+b＝10，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90；
故答案为：90；
（2）设a＝11﹣x，b＝x﹣8，则a+b＝3，ab＝（11﹣x）（x﹣8）＝2，
∴（11﹣x）2+（x﹣8）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5；
【拓展】设AE＝a，EC＝b，则a+b＝AE+CE＝AC＝7，
种花区域的面积为a2b2，即为a2+b2＝25，
所以种草区域的面积为abab＝ab12．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
21．（10分）（2023秋 安宁市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE．
（1）证明：∠AEC＝2∠B．
（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）6．
【分析】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论；
（2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°，
由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°，
在Rt△ACE中，∠AEC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE＝6，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝6．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解线段垂直平分线是的点到线段两端的距离相等；直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
22．（10分）（2024秋 鄂尔多斯月考）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系．
【考点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AD＝AB+2BE．
【分析】（1）过点C作CF⊥AN于点F，由角平分线的性质定理可得出CF＝CE，再根据补角的性质可得出∠CBE＝∠CDF，即易证△CBE≌△CDF（AAS），得出BC＝DC；
（2）过点C作CF⊥AN于点F，分别证明△CAF≌△CAE（AAS），△CBE≌△CDF（AAS），得出AF＝AE，BE＝DF．再结合AD＝AF+DF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：过点C作CF⊥AN于点F，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°．
∴CF＝CE．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴BC＝DC；
（2）过点C作CF⊥AN于点F，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°．
∴CF＝CE，∠CAF＝∠CAE，
∴△CAF≌△CAE（AAS），
∴AF＝AE．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝∠ADC，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
∵AD＝AF+DF，AE＝AB+BE，
∴AD＝AB+2BE．
【点评】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，正确作出辅助线是解题关键．
23．（10分）（2023春 义乌市校级月考）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3+1）（a+3﹣1）
＝（a+4）（a+2）
②求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2﹣1≥﹣1，
即a2+6a+8的最小值为﹣1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）分解因式：x2+8x﹣20；
（2）利用配方法求代数式﹣x2+12x+28的最大值．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）（x+10）（x﹣2）；
（2）64．
【分析】（1）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，x2+8x﹣20＝（x+4）2﹣36，然后运用平方差公式计算即可；
（2）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，﹣x2+12x+28＝﹣（x﹣6）2+64，因为﹣（x﹣6）2≤0，所以﹣（x﹣6）2+64的最大值是8．
【解答】解：（1）x2+8x﹣20
＝x2+8x+16﹣36
＝（x+4）2﹣36
＝（x+4+6）（x+4﹣6）
＝（x+10）（x﹣2）；
（2）﹣x2+12x+28
＝﹣x2+12x﹣36+64
＝﹣（x﹣6）2+64，
因为﹣（x﹣6）2≤0，
所以﹣（x﹣6）2+64的最大值是64．
【点评】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照示例的配方法分解因式．
24．（10分）（2024春 潮南区期末）如图1，平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4）且满足，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求△ABC的面积；
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（3）若AC交y轴于Q，而Q的坐标为（0，2），在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）8；
（2）45°；
（3）P点坐标为（0，3）或（0，1）．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到AB、BC的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）作EH∥AC，根据平行线的性质、角平分线的定义计算即可；
（3）设点P的坐标为（0，b），用含b的代数式表示出PQ，根据三角形的面积公式表示出△ACP的面积相等，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵（a+2）20，（a+2）2≥0，0，
∴（a+2）2＝0，0，
解得，a＝﹣2，b＝2，
∴A（﹣2，0），C（2，4），
∴AB＝4，BC＝4，
∴△ABC的面积4×4＝8；
（2）过点E作EH∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EH，
∴∠AEH＝∠CAE，∠DEH＝∠BDE，
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠CAE+∠BDE，
∵BD∥AC，
∴∠CAB＝∠DBO，
∵∠BOD＝90°，
∴∠ODB+∠DBO＝90°，
∴∠ODB+∠CAB＝90°，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE∠CAB，∠EDB∠BDO，
∴∠CAE+∠BDE（∠CAB+∠BDO）＝45°，
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠CAE+∠BDE＝45°；
（3）存在，理由如下：设点P的坐标为（0，b），
∵Q的坐标为（0，2），
∴PQ＝|2﹣b|，
∴△ACP的面积＝△APQ的面积+△CPQ的面积
|2﹣b|×4|2﹣b|×4
＝4|2﹣b|，
当△ABC和△ACP的面积相等时，4|2﹣b|＝4，
解得，b＝3或1，
则点P的坐标为（0，1）或（0，3），
∴△ABC和△ACP的面积相等时，P点坐标为（0，3）或（0，1）．
【点评】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质，掌握平行线的性质定理、正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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