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广西南宁市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 威信县期末）如图中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024春 永寿县期末）一个三角形的两条边的长分别为5和7，若三角形的周长为偶数，则第三边的长可能是（　　）
A．12 B．14 C．2 D．4
3．（3分）（2022秋 龙文区校级月考）在直角坐标系中，点A，点B关于x轴对称，点A的坐标为（2，﹣8），则点B的坐标为（　　）
A．（2，8） B．（﹣2，﹣8） C．（﹣2，8） D．（2，﹣8）
4．（3分）（2023秋 安康期中）下列说法正确的是（　　）
A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形
B．两个全等三角形的面积不一定相等
C．周长相等的两个三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
5．（3分）（2025春 河源期末）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2024秋 镇平县期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，我们知道最省事的办法是带第③块去配，这样做的科学依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
7．（3分）（2024春 宿豫区期末）在三角形中，一定能把三角形面积平分的是（　　）
A．三角形的中线 B．三角形的高
C．三角形的角平分线 D．以上都对
8．（3分）（2024秋 鄂尔多斯期末）双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
9．（3分）（2024春 苍南县校级月考）用尺规作图作∠APB的平分线PQ，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
10．（3分）他的像是（　　）
A．A B．B C．C D．D
11．（3分）（2024秋 南阳月考）数学老师在黑板上展示了如下问题：
如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝50°，求∠BCD的度数．
解：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（@）
∴∠BCA＝∠DCA，∠BAC＝（◎）＝25°（全等三角形的〇相等）．
∵∠B＝30°，∠BAC＝25°，
∴∠BCA＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝125°，
∴∠BCD＝360°﹣2∠BCA＝（※）．
下列题目中引用的特殊符号所代表的内容，正确的是（　　）
A．@代表ASA B．◎代表∠DCA
C．〇代表对应边 D．※代表110°
12．（3分）（2024 即墨区一模）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．55°
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）（2025 鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝ 　 　 °．
14．（2分）（2022秋 南皮县校级月考）如图，为线段B上一点，AC⊥AB，DB⊥AD，△ACE≌△BED．则：
（1）线段CE与DE的位置关系为 　 　 ，大小关系为 　 　 ；
（2）AB 　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）AC+BD．
15．（2分）点A（4，﹣3）关于x轴的对称点的坐标是 　 　 ，关于y轴对称的点的坐标是 　 　 ．
16．（2分）（2022秋 如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠C＝30°，点D是BC边上的一个动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD＝AE，∠AED＝∠C．O为AC的中点，连接OE，则线段OE的最小值为 　 　 ．
17．（2分）（2024秋 小店区校级月考）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为12cm，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为，则底部边缘A处与E之间的距离AE为 　 　 ．
18．（2分）（2025春 榆树市校级期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，现有①∠1＝2∠2；②∠BOC＝3∠2；③∠BOC＝90°+∠2；④∠BOC＝90°+∠1，则以上结论正确的是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）
19．（9分）如图，AC，BD相交于点O，试说明：AC+BD（AB+BC+CD+DA）．
20．（8分）（2025春 清苑区期末）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：由①去分母，得10﹣2（2x﹣2）≥5（3﹣x）第一步
去括号，得10﹣4x+4≥15﹣5x第二步
移项，得﹣4x﹣5x≥15﹣10﹣4第三步
合并同类项，得﹣9x≥1第四步
系数化为1，得第五步
（1）任务一：以上解题过程中，第一步的依据是　 　 ；
（2）第　 　 步开始出现错误；
（3）任务二：解不等式①得　 　 ；解不等式②得　 　 ；
（4）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集：　 　 ．
21．（8分）（2020秋 萧山区校级月考）已知等腰△ABC中，∠A＝80°．
（1）求∠B的度数．
（2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
22．（8分）（2024春 兴庆区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB＝AD，请问∠C＝∠E吗？
解：∵∠1＝∠2（ 　 　 ），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC（等式性质），即 　 　 ＝ 　 　 ．
∴在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（ 　 　 ），
∴∠C＝∠E（ 　 　 ）．
23．（8分）（2022秋 江宁区校级月考）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
24．（10分）（2024春 莱芜区月考）阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　 ；如图2，∠O＝　 　 ；如图3，∠O＝　 　 ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　 ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　 　 ．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
25．（10分）（2023春 本溪县期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB；
（2）当AB＝AC时，求证：CD＝DE．
26．（11分）（2023春 上杭县期中）有一块四边形草地ABCD（如图），测得AB＝AD＝10m，CD＝2m，BC＝24m，∠A＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求四边形草地ABCD的面积．
广西南宁市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 威信县期末）如图中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2024春 永寿县期末）一个三角形的两条边的长分别为5和7，若三角形的周长为偶数，则第三边的长可能是（　　）
A．12 B．14 C．2 D．4
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为a厘米，根据三角形的三边关系知，7﹣5＜a＜7+5．
即2＜a＜12，
∴选项A，B，C不符合题意，
由于这个三角形的周长是偶数，
∵5+7+4＝16为偶数，
∴a＝4符合题意．
故选：D．
【点评】本题从边的方面考查三角形形成的条件，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
3．（3分）（2022秋 龙文区校级月考）在直角坐标系中，点A，点B关于x轴对称，点A的坐标为（2，﹣8），则点B的坐标为（　　）
A．（2，8） B．（﹣2，﹣8） C．（﹣2，8） D．（2，﹣8）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，即可求解．
【解答】解：点A，点B关于x轴对称，点A的坐标为（2，﹣8），
∴点B的坐标为（2，8），
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于x轴对称的点的坐标特点解决本题的关键．
4．（3分）（2023秋 安康期中）下列说法正确的是（　　）
A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形
B．两个全等三角形的面积不一定相等
C．周长相等的两个三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质；全等三角形的性质．
【专题】常规题型；推理能力．
【答案】A
【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确；
B、面积相等的三角形形状不一定相同，所以不一定完全重合，故本选项错误；
C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误；
D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的概念，熟记概念，从形状与大小两方面考虑两三角形是否能够完全重合是解题的关键．
5．（3分）（2025春 河源期末）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线，垂线段为BC边的高，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图，
．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
6．（3分）（2024秋 镇平县期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，我们知道最省事的办法是带第③块去配，这样做的科学依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】全等三角形的应用．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】由题意已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法进行分析即可．
【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角，第二块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块保留了原来三角形的两个角及夹边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法的实际应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
7．（3分）（2024春 宿豫区期末）在三角形中，一定能把三角形面积平分的是（　　）
A．三角形的中线 B．三角形的高
C．三角形的角平分线 D．以上都对
【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成两个面积相等部分．
【解答】解：根据等底等高的三角形面积相等可知，能把一个三角形分成两个面积相等部分是中线．
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是三角形的面积，关键明确等底同高的两个三角形的面积一定相等．
8．（3分）（2024秋 鄂尔多斯期末）双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：∵双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定，
∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
9．（3分）（2024春 苍南县校级月考）用尺规作图作∠APB的平分线PQ，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据尺规作图的过程即可得结论．
【解答】解：根据尺规作图的过程可知：
三边对应相等的三角形全等，
全等三角形的对应角相等．
故选：B．
【点评】本题考查了基本作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握用尺规作图作角的平分线的过程．
10．（3分）他的像是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【考点】镜面对称．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．
11．（3分）（2024秋 南阳月考）数学老师在黑板上展示了如下问题：
如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝50°，求∠BCD的度数．
解：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（@）
∴∠BCA＝∠DCA，∠BAC＝（◎）＝25°（全等三角形的〇相等）．
∵∠B＝30°，∠BAC＝25°，
∴∠BCA＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝125°，
∴∠BCD＝360°﹣2∠BCA＝（※）．
下列题目中引用的特殊符号所代表的内容，正确的是（　　）
A．@代表ASA B．◎代表∠DCA
C．〇代表对应边 D．※代表110°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可解答．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA＝∠DCA，∠BAC＝∠DAC＝25°（全等三角形的对应角相等）．
∵∠B＝30°，∠BAC＝25°，
∴∠BCA＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝125°，
∴∠BCD＝360°﹣2∠BCA＝360°﹣250°＝110°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，周角的定义，掌握全等三角形的性质是解本题的关键．
12．（3分）（2024 即墨区一模）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．55°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠ACB＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，得到∠ECB＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵点D为BC中点，ED⊥BC，
∴ED是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠B，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF，
∴∠FCD＝∠ECB+∠ECF＝55°，
∴∠F＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）（2025 鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝ 　108　 °．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】108．
【分析】根据∠1＝27°，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可．
【解答】解：如图，
∵∠1所对的边有3条，∠3所对的边有5条，
∴，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝108°，
故答案为：108．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，掌握以上性质是解题的关键．
14．（2分）（2022秋 南皮县校级月考）如图，为线段B上一点，AC⊥AB，DB⊥AD，△ACE≌△BED．则：
（1）线段CE与DE的位置关系为 　CE⊥DE　 ，大小关系为 　CE＝DE　 ；
（2）AB 　＝　 （填“＞”“＜”或“＝”）AC+BD．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）CE⊥DE，CE＝DE；
（2）＝．
【分析】（1）根据三角形全等的性质，由△ACE≌△BED得到∠ACE＝∠BED，再根据垂直的定义得到∠A＝90°，则∠ACE+∠AEC＝90°，利用平角定义得到∠BED+∠AEC＝90°，所以∠CED＝90°，然后根据垂直定义即可得到CE⊥DE；
（2）根据全等三角形的性质得AC＝BE，AE＝BD，所以AB＝AE+BE＝BD+AC．
【解答】解：（1）CE⊥DE，CE＝DE，理由如下：
∵△ACE≌△BED，
∴∠ACE＝∠BED，CE＝DE，
∵AC⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠BED+∠AEC＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥DE，
故答案为：CE⊥DE，CE＝DE；
（2）∵△ACE≌△BED，
∴AC＝BE，AE＝BD，
∴AB＝AE+BE＝BD+AC，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
15．（2分）点A（4，﹣3）关于x轴的对称点的坐标是 　（4，3）　 ，关于y轴对称的点的坐标是 　（﹣4，﹣3）　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（4，3），（﹣4，﹣3）．
【分析】根据在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：点A（4，﹣3）关于x轴的对称点的坐标是（4，3），关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣3）．
故答案为：（4，3），（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
16．（2分）（2022秋 如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠C＝30°，点D是BC边上的一个动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD＝AE，∠AED＝∠C．O为AC的中点，连接OE，则线段OE的最小值为 　2　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
【专题】推理填空题；图形的全等；推理能力．
【答案】2．
【分析】取AB中点G，连接DG，CG，由“SAS”可证△AFE≌△AGD，可得GD＝EF，则当GD⊥BC时，GD有最小值，利用含30度角的直角三角形可求解．
【解答】解：如图，取AB中点G，连接DG，CG，
∵AB＝AC＝8，点O是AC中点，点G是AB中点，
∴AG＝BG＝AO＝CO＝4，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AED＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD＝AE，AG＝AO，
在△ADG和△AEO中，
，
∴△ADG≌△AEO（SAS），
∴GD＝EO，
∴DG有最小值，EF也有最小值，
∴当GD⊥BC时，GD有最小值，
∵∠B＝30°，GD⊥BC，BG＝4，
∴GD＝2，
∴线段OE的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17．（2分）（2024秋 小店区校级月考）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为12cm，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为，则底部边缘A处与E之间的距离AE为 　7cm　 ．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】7cm．
【分析】由∠C＝∠AED＝90°，BC＝5cm，AC＝12cm，DE＝2cm，根据勾股定理得AD＝AB13cm，则AE7cm，于是得到问题的答案．
【解答】解：根据题意得BC＝5cm，AC＝12cm，DE＝2cm，
∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∴AD＝AB13（cm），
∴AE7（cm），
故答案为：7cm．
【点评】此题重点考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确地求出AB的长是解题的关键．
18．（2分）（2025春 榆树市校级期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，现有①∠1＝2∠2；②∠BOC＝3∠2；③∠BOC＝90°+∠2；④∠BOC＝90°+∠1，则以上结论正确的是 　①③　 ．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】①③．
【分析】①根据角平分线定义设∠OBC＝∠OBA＝α，∠ECA＝∠ECD＝β，进而得∠ABC＝2∠OBC＝2α，∠ACD＝2∠ECA＝2β，根据三角形外角性质得∠ACD＝∠ABC+∠1，∠ECD＝∠OBC+∠2，继而得2β＝2α+∠1，β＝α+∠2，由此得∠1＝2∠2，据此可对结论①进行判断；
③根据OC平分∠ACB得∠OCA＝∠OCB，∠ACB＝2∠OCA＝2∠OCB，再根据∠ACD+∠ACB＝180°得2∠OCA+2∠ECA＝180°，进而得∠OCE＝90°，继而得∠BOC＝90°+∠2，据此可对结论③进行判断；
②假设∠BOC＝3∠2，根据∠BOC＝90°+∠2得3∠2＝90°+∠2，由此得∠2＝45°，进而得∠1＝2∠2＝90°，但是根据已知条件无法判定∠1＝90°，据此可对结论②进行判断；
④根据∠1＝2∠2得∠2∠1，进而得∠BOC＝90°+∠2＝90°∠1，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵BO平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴设∠OBC＝∠OBA＝α，∠ECA＝∠ECD＝β，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2α，∠ACD＝2∠ECA＝2β，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠1，∠ECD＝∠OBC+∠2，
∴2β＝2α+∠1，β＝α+∠2，
∴2（α+∠2）＝2α+∠1，
∴∠1＝2∠2，
故结论①正确；
③∵OC平分∠ACB，
∴∠OCA＝∠OCB，
∴∠ACB＝2∠OCA＝2∠OCB，
∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝2∠ECA，
∴2∠OCA+2∠ECA＝180°，
∴∠OCA+∠ECA＝90°，
∴∠OCE＝∠OCA+∠ECA＝90°，
∵∠BOC是△OCE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，
故结论③正确；
②假设∠BOC＝3∠2，
∵∠BOC＝90°+∠2，
∴3∠2＝90°+∠2，
∴∠2＝45°，
∴∠1＝2∠2＝90°，
即当∠1＝90°时，∠BOC＝3∠2成立，
根据已知条件无法判定∠1＝90°，
∴∠BOC＝3∠2不正确；
故结论②不正确；
④∴∠1＝2∠2，
∴∠2∠1，
∴∠BOC＝90°+∠2＝90°∠1，
故结论④不正确，
综上所述：结论正确的是①③．
故答案为：①③．
【点评】此题最要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分）
19．（9分）如图，AC，BD相交于点O，试说明：AC+BD（AB+BC+CD+DA）．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据三角形的三边关系得到AO+BO＞AB，CO+BO＞BC，CO+DO＞CD，AO+DO＞DA，把四式子相加，并根据线段的和差化简即可证得结论．
【解答】解：在△AOB中，AO+BO＞AB①，
在△BOC中，CO+BO＞BC②，
在△COD中，CO+DO＞CD③，
在△AOD中，AO+DO＞DA④，
①+②+③+④得：2（AO+CO+BO+DO）＞AB+BC+CD+DA，
∴2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
∴AC+BD（AB+BC+CD+DA）．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．
20．（8分）（2025春 清苑区期末）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：由①去分母，得10﹣2（2x﹣2）≥5（3﹣x）第一步
去括号，得10﹣4x+4≥15﹣5x第二步
移项，得﹣4x﹣5x≥15﹣10﹣4第三步
合并同类项，得﹣9x≥1第四步
系数化为1，得第五步
（1）任务一：以上解题过程中，第一步的依据是　不等式的基本性质2　 ；
（2）第　三　 步开始出现错误；
（3）任务二：解不等式①得　x≥1　 ；解不等式②得　x＜3　 ；
（4）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集：　1≤x＜3　 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）不等式的基本性质2；
（2）三；
（3）x≥1；x＜3；
（4）1≤x＜3，
．
【分析】（1）根据不等式的基本性质，进行作答；
（2）根据移项需要变号可知第三步出错；
（3）按照解一元一次不等式的步骤求解即可；
（4）确定不等式组的解集，把解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）第一步的依据是：不等式的基本性质2；
故答案为：不等式的基本性质2；
（2）第三步移项出错，﹣5x移项没有改变符号；
故答案为：三；
（3），
10﹣2（2x﹣2）≥5（3﹣x），
10﹣4x+4≥15﹣5x，
﹣4x+5x≥15﹣10﹣4，
x≥1；
3x﹣5＜4，
3x＜9，
x＜3；
故答案为：x≥1；x＜3；
（4）1≤x＜3；把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集，正确进行计算是解题关键．
21．（8分）（2020秋 萧山区校级月考）已知等腰△ABC中，∠A＝80°．
（1）求∠B的度数．
（2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）∠B＝50°或20°或80°；
（2）当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【分析】（1）分三种情况，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）∠A是顶角，则∠B50°；
∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°．
故∠B＝50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当180﹣2x且180﹣2x≠x且x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
22．（8分）（2024春 兴庆区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB＝AD，请问∠C＝∠E吗？
解：∵∠1＝∠2（ 　已知　 ），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC（等式性质），即 　∠BAC　 ＝ 　∠DAE　 ．
∴在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（ 　ASA　 ），
∴∠C＝∠E（ 　全等三角形对应角相等　 ）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】已知；∠BAC，∠DAE；∠B＝∠D；AB＝AD；∠BAC＝∠DAE；ASA；全等三角形对应角相等．
【分析】根据∠1＝∠2，可得∠BAC＝∠DAE，可利用角边角证明△ABC≌△ADE，即可求证．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC（等式性质），即∠BAC＝∠DAE，
∴在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴∠C＝∠E（全等三角形对应角相等）．
故答案为：已知；∠BAC，∠DAE；∠B＝∠D；AB＝AD；∠BAC＝∠DAE；ASA；全等三角形对应角相等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是全等三角形判定定理的应用．
23．（8分）（2022秋 江宁区校级月考）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】作图见解析部分．
【分析】作出△ABC的内角平分线的交点，外角平分线的交点即可．
【解答】解：如图，点O1，O2，O3，O4即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（10分）（2024春 莱芜区月考）阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　120°　 ；如图2，∠O＝　30°　 ；如图3，∠O＝　60°　 ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　50°　 ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　90°∠A　 ．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）120°，30°，60°，50°；（2）90°∠A；（3）70°．
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；
（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解答】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB
（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣∠BAC）
（180°﹣60°）
＝60°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠OCD（∠ABC+∠A），
∵∠OCD＝∠OBC+∠O，
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC，
∠ABC∠A∠ABC，
∠A，
＝30°；
如图3，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD，
∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB
（∠EBC+∠BCD）
（∠A+∠ACB+∠BCD）
（∠A+180°）
（60°+180°）
＝120°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°；
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，
∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C，
∴∠O2BC+∠O2CB
（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣∠BAC）
（180°﹣60°）
＝80°，
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°，
∴∠BO2O1∠BO2C＝50°；
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝90°∠A．
故答案为：90°∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°，
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°，
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°，
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°，
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°，
∴α＝20°，β＝25°，
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．
25．（10分）（2023春 本溪县期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB；
（2）当AB＝AC时，求证：CD＝DE．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，根据角平分线的定义得到∠CBD＝∠DBE，求得∠EBD＝∠EDB；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质得到∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠ACB，求得∠ADE＝∠AED，得到CD＝BE，根据等腰三角形的性质得到结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠DBE，
∴∠EBD＝∠EDB；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
∵∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
∴CE＝DE．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形 的判定和性质定理是解题的关键．
26．（11分）（2023春 上杭县期中）有一块四边形草地ABCD（如图），测得AB＝AD＝10m，CD＝2m，BC＝24m，∠A＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求四边形草地ABCD的面积．
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）150°；
（2）m2．
【分析】（1）连接BD，可得△ABD是等边三角形，勾股定理的逆定理证明△DBC是直角三角形，且∠CBD＝90°，即可求解；
（2）过D作DE⊥AB于B，求得DE的长，进而根据四边形草地ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD即可求解．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB＝AD＝10m，∠A＝60°．
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝10m，∠ABD＝60°，
在△BCD中，BD＝10m，CD＝26m，BC＝24m，
∵BD2+BC2＝102+242＝262＝CD2，
∴△DBC是直角三角形，且∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝150°；
（2）过D作DE⊥AB于B，
∵AD＝BD，
∴（m），
∴（m），
∴四边形草地ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD（m2），
答：四边形草地ABCD的面积为m2．
【点评】本题考查了的等边三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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