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广西南宁市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024 湖北模拟）2024年3月1日上午7点，武汉市的气温为4℃，襄阳市的气温为3℃，十堰市的气温为2℃，神农架林区的气温为﹣2℃，此时这四个地方的气温最低的是（　　）
A．武汉市 B．襄阳市
C．十堰市 D．神农架林区
2．（3分）（2024 民权县三模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2025 西城区校级模拟）在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（　　）
A．9.5×1012千米 B．9.5×1013千米
C．3.99×1012千米 D．3.99×1013千米
4．（3分）（2024 建湖县二模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
5．（3分）（2021秋 中原区校级期末）已知点A（1，a）在一次函数y＝2x﹣5的图象上，则点A的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
6．（3分）（2023秋 河西区期中）以原点为中心，把点P（2，3）顺时针旋转90°，得到的点P′的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
7．（3分）（2024 和平区三模）若x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（3分）（2025春 丰都县期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝10cm，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．40cm2 B．80cm2 C．96cm2 D．160cm2
9．（3分）（2025 高邮市二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　）
A．16° B．18° C．20° D．36°
10．（3分）（2025春 湛江期中）抛物线y＝﹣3（x+4）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D．（﹣4，3）
11．（3分）（2023 泰山区校级三模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）（2023 历下区二模）二次函数y＝﹣x2+（b﹣1）x+b（b＞0，x＞0）分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C的坐标是（2，1）．若在线段PQ上存在A，B两点使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，则b的取值范围是（　　）
A．1≤b＜3或b＞3 B．或b＞3
C．b＞3 D．b≠3
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）（2025 金凤区校级三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
14．（2分）若关于x的整式x2+（m﹣1）x+9能用两数和（差）的平方公式进行因式分解，则m的值是 　 　 ．
15．（2分）（2022春 路桥区期末）某校为了解七年级学生的视力情况，随机抽取了该校200名七年级学生进行调查，整理样本数据得到表格：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果，估计该校800名七年级学生中，视力不低于4.8的有 　 　 人．
16．（2分）（2024 泗洪县三模）若把一个半径为5，圆心角为180°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　 　 ．
17．（2分）（2022秋 大荔县期末）用准确的文字语言描述“垂径定理”：垂直于弦的直径平分 　 　 ．
18．（2分）（2023春 道里区期末）已知：正方形ABCD，点E是BC边上的点，连接AE，点F是正方形ABCD边上的一点，连接DF，若AE＝DF＝13，正方形边长为12，则EF的长度是　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）（2024春 船山区校级月考）计算：．
20．（6分）（2023秋 富县期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣b2，根据这个规则求（x+2）△5＝0中x的值．
21．（10分）（2024 新吴区二模）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过A、B两点，且与DC相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，∠A＝α（0°＜α＜180°），当α＝　 　 时，（1）中所作的圆⊙O的半径最小，最小半径为 　 　 ．
22．（10分）（2024 和顺县一模）2023年11月28日在第28届三星杯世界围棋大师赛决赛中，山西籍棋手丁浩夺冠，成为中国首位“00后”围棋世界冠军．某校围棋社团在下属的两个围棋班组织了全员围棋比赛．为了解这两个班的比赛情况，学生会从两个班中各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分，单位：分），数据收集如下：
奋进班：61 77 79 82 83 86 88 90 90 94
飞跃班：74 80 81 83 85 86 92 92 92 94
【数据整理】将收集的数据整理成统计表（一）．
表（一）
分组 A组60≤x＜70 B组70≤x＜80 C组80≤x＜90 D组90≤x＜100
奋进班 1 2 4 3
飞跃班 0 1 5 4
【数据描述】将收集的结果绘制成扇形统计图及数据分析表（二）．
表（二）
班级 中位数/分 众数/分 平均数/分
奋进班 a 90 83
飞跃班 85.5 b 85.9
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中B组70≤x＜80所占的圆心角的度数为 　 　 °，若奋进班和飞跃班各有学生50名，估计两个班围棋成绩在D组90≤x＜100的学生总人数为 　 　 人．
（2）表（二）中a＝　 　 ，b＝　 　 ，结合以上数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的成绩较好．
（3）为了更好地推广围棋活动，该校决定从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市级围棋比赛，请用列表或画树状图的方法求正好选中甲、乙两名同学的概率．
23．（10分）圣诞节来临，秋林与一百均推出优惠活动：
①秋林全场购物每满1000元减300元现金（不足1000元的部分不减现金）；
②一百所有的商品均按8折销售．
佩奇在两家商场发现她看中的鞋子的单价相同，裙子的单价也相同，这两件商品的单价之和为4700元，且裙子的单价比鞋子的单价的5倍少100元．
（1）根据佩奇提供的信息，帮佩奇妈妈求出鞋子和裙子的单价．
（2）佩奇要购买这两件商品，请你帮她设计出最佳的购买方案，并求出她向妈妈要的购买费用．
（3）妈妈按（2）中的费用给了佩奇钱，可是半路佩奇的妈妈打电话告诉她还要给弟弟买一个一百元的玩具车，请你帮她设计出最佳的购买方案，并求出她需要向妈妈再要多少钱．
24．（10分）（2023 河北模拟）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝4，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使CD＝OA，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．
（1）若OD＝5，求点C与点O之间距离的最小值；
（2）当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧BC的长度．
25．（10分）（2022秋 海淀区校级期末）通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的．如图1，平行四边形ABCD可以看作是由△ABC绕AC的中点O旋转180°得到△CDA后组成．
小亮把△ABC以边AC所在直线为对称轴翻折得到△ADC，这两个三角形组成四边形ABCD（如图2），这也是一种特殊的四边形——筝形．请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．
（1）首先请你给出筝形的一种定义：　 　 ；
（2）通过观察、测量等探究，在边，角，对角线的关系方面写出两条对筝形性质的猜想（定义除外），并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝120°，求筝形ABCD的面积．
26．（10分）（2024秋 襄州区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+3图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 m 0 3 …
（1）m＝　 　 ；将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式为　 　 ；
（2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象；
（3）填空：
①当x＜n时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是　 　 ；
②直接写出原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为　 　 ．
广西南宁市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024 湖北模拟）2024年3月1日上午7点，武汉市的气温为4℃，襄阳市的气温为3℃，十堰市的气温为2℃，神农架林区的气温为﹣2℃，此时这四个地方的气温最低的是（　　）
A．武汉市 B．襄阳市
C．十堰市 D．神农架林区
【考点】有理数大小比较；正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据有理数的大小比较方法进行比较即可．
【解答】解：因为﹣2＜2＜3＜4，
所以气温最低的地区是神农架林区．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．（3分）（2024 民权县三模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念逐一判定即可．
【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）（2025 西城区校级模拟）在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（　　）
A．9.5×1012千米 B．9.5×1013千米
C．3.99×1012千米 D．3.99×1013千米
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012＝3.99×1013（千米）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）（2024 建湖县二模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
【考点】中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】当总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序，取中间的那个数就是这组数据的中位数．
而一组数a，2，4，1，6的中位数是4，所以前3个数是1，2，4，那么剩下的两个就是a，6，这样就知道a与4的大小关系．
【解答】解：根据题意，得
a，2，4，1，6的中位数是4，所以前3个数是1，2，4，那么剩下的两个就是a，6，
所以a可以是大于或大于4的任意一个数．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数的意义．如果总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序，取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话，按从小到大的顺序，取中间那两个数的平均数．
5．（3分）（2021秋 中原区校级期末）已知点A（1，a）在一次函数y＝2x﹣5的图象上，则点A的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值，进而可得出点A的坐标．
【解答】解：∵点A（1，a）在一次函数y＝2x﹣5的图象上，
∴a＝2×1﹣5＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
6．（3分）（2023秋 河西区期中）以原点为中心，把点P（2，3）顺时针旋转90°，得到的点P′的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，然后根据旋转的性质找出点P的对应位置，再写出坐标即可．
【解答】解：如图，点P（2，3）绕原点顺时针旋转90°后坐标变为（3，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，建立平面直角坐标系，利用数形结合的思想求解更简便．
7．（3分）（2024 和平区三模）若x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系即可得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，代入（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1求解即可．
【解答】解：原方程整理得x2﹣2x﹣4＝0，
∵x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，
∴（x1+1）（x2+1）
＝x1x2+（x1+x2）+1
＝﹣4+2+1
＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
8．（3分）（2025春 丰都县期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝10cm，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．40cm2 B．80cm2 C．96cm2 D．160cm2
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】B
【分析】由菱形的面积公式，即可计算．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16cm，BD＝10cm，
∴菱形ABCD的面积AC BD16×10＝80（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）．
9．（3分）（2025 高邮市二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　）
A．16° B．18° C．20° D．36°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OB，则OA＝OB，所以∠OBA＝∠A，由AB是⊙O内接正十边形的一条边，求得∠AOB＝36°，则2∠OBA+36°＝180°，求得∠OBA＝72°，由切线的性质得∠OBC＝90°，则∠1＝90°﹣∠OBA＝18°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB，则OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A，
∵AB是⊙O内接正十边形的一条边，
∴∠AOB360°＝36°，
∵∠OBA+∠A+∠AOB＝180°，
∴2∠OBA+36°＝180°，
∴∠OBA＝72°，
∵直线l经过点B且与⊙O相切，
∴l⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠OBA＝18°，
故选：B．
【点评】此题重点考查正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
10．（3分）（2025春 湛江期中）抛物线y＝﹣3（x+4）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D．（﹣4，3）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，根据已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由题意，∵y＝﹣3（x+4）2﹣3是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h得出是解题关键．
11．（3分）（2023 泰山区校级三模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“用绳子去量木条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺，
∴y﹣x＝5.4；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴x1．
∴所列方程组为．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（3分）（2023 历下区二模）二次函数y＝﹣x2+（b﹣1）x+b（b＞0，x＞0）分别交x轴、y轴于P，Q两点，点C的坐标是（2，1）．若在线段PQ上存在A，B两点使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，则b的取值范围是（　　）
A．1≤b＜3或b＞3 B．或b＞3
C．b＞3 D．b≠3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】分点C在线段PQ的下方、上方分别画出图形，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，则BQ或BP的长度要大于等于BC的长度即可．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+（b﹣1）x+b＝0（b＞0，x＞0），
解得x1＝﹣1，x2＝b，
∴P（b，0），
令x＝0，则y＝﹣x2+（b﹣1）x+b＝b，
∴Q（0，b），
∴直线PQ为y＝﹣x+b，
分两种情况讨论，如图，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，
则△BPH为等腰直角三角形，BP＝BH＞BC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC＝90°，AB＝BC，
将x＝2，y＝1代入y＝﹣x+b得：b＝3，
即b＞3，
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，
则BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过点H时，BQ＝BC，如图，
此时，﹣1+b＝0，
即b＝1，
即1≤b＜3，
综上，1≤b＜3或b＞3；
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，作出符合题意的图形，同时要注意数形结合、分类讨论思想的运用．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）（2025 金凤区校级三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x　 ．
【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．
【专题】二次根式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出5x﹣1≥0，再求出x的取值范围即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须5x﹣1≥0，
解得：x，
所以x的取值范围是x．
故答案为：x．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式有意义的条件得出5x﹣1≥0是解此题的关键．
14．（2分）若关于x的整式x2+（m﹣1）x+9能用两数和（差）的平方公式进行因式分解，则m的值是 　﹣5或7　 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣5或7．
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【解答】解：依题意，得（m﹣1）x＝±2×3x，
解得：m＝﹣5或7．
故答案为：﹣5或7．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
15．（2分）（2022春 路桥区期末）某校为了解七年级学生的视力情况，随机抽取了该校200名七年级学生进行调查，整理样本数据得到表格：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果，估计该校800名七年级学生中，视力不低于4.8的有 　480　 人．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】480．
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即可．
【解答】解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为800480（人），
故答案为：480．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，解答本题的关键要明确：一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
16．（2分）（2024 泗洪县三模）若把一个半径为5，圆心角为180°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　　 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】．
【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：扇形的弧长为：5π，
则圆锥的底面周长为5π，
∴圆锥的底面圆的半径为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
17．（2分）（2022秋 大荔县期末）用准确的文字语言描述“垂径定理”：垂直于弦的直径平分 　这条弦及其所对的两条弧　 ．
【考点】垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】这条弦及其所对的两条弧．
【分析】根据垂径定理的内容解答即可．
【解答】解：“垂径定理”的内容为：垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的两条弧．
故答案为：这条弦及其所对的两条弧．
【点评】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．
18．（2分）（2023春 道里区期末）已知：正方形ABCD，点E是BC边上的点，连接AE，点F是正方形ABCD边上的一点，连接DF，若AE＝DF＝13，正方形边长为12，则EF的长度是　或2　 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】或2．
【分析】分两种情况：当F在AB上时，根据勾股定理可得EF；当F在BC上时，由勾股定理可得EF＝2．
【解答】解：当F在AB上时，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为12，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝12，
∵AE＝DF＝13，
∴AF5，
BE5，
∴BF＝AB﹣AF＝12﹣5＝7，
在Rt△BEF中，
EF；
当F在BC上时，如图：
同理可得BE＝5，CF＝5，
∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝12﹣5﹣5＝2；
综上所述，EF的长度为或2；
故答案为：或2．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是熟练应用勾股定理求直角三角形的边长和分类思想的应用．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）（2024春 船山区校级月考）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
20．（6分）（2023秋 富县期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣b2，根据这个规则求（x+2）△5＝0中x的值．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝3，x2＝﹣7．
【分析】根据题意可得方程：（x+2）2﹣25＝0，再利用直接开平方法解方程即可
【解答】解：由题意得：（x+2）2﹣25＝0，
∴（x+2）2＝25，
∴x+2＝±5，
∴x+2＝5或x+2＝﹣5，
解得：x1＝3，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．（10分）（2024 新吴区二模）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过A、B两点，且与DC相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，∠A＝α（0°＜α＜180°），当α＝　45°或135°　 时，（1）中所作的圆⊙O的半径最小，最小半径为 　4　 ．
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；尺规作图；运算能力；推理能力．
【答案】45°或135°，4．
【分析】（1）作出线段AB和AF的垂直平分线交点是圆心O，即可作出圆O；
（2）连接OB，当∠DAB是锐角时，过D作DH⊥AB于H，求出BEAB＝4，由OB≥BE＝4，得到当O与E重合时，圆的半径最小，最小值是4，判定四边形DHEF是矩形，得到DH＝FE＝4，由sin∠DAH，求出∠DAH＝45°，当∠DAH是钝角时，同理可求∠ABC＝45°，得到∠DAB＝135°，于是得到答案．
【解答】解：（1）如图⊙O即为所求作的圆．
（2）连接OB，
当∠DAB是锐角时，过D作DH⊥AB于H，
由（1）知FE垂直平分AB，
∴BEAB（8+2）＝4，
∵OB≥BE＝4，
∴当O与E重合时，圆的半径最小，最小值是4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∵DH⊥AB，FE⊥AB，
∴四边形DHEF是矩形，
∴DH＝FE＝4，
∴sin∠DAH，
∴∠DAH＝45°，
当∠DAH是钝角时，
同理可求∠ABC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝135°，
∴当α＝45°或135°时，（1）中所作的圆⊙O的半径最小，最小半径为4．
故答案为：45°或135°，4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，关键是作出线段AB和AF的垂直平分线，明白当O与E重合时，圆的半径最小．
22．（10分）（2024 和顺县一模）2023年11月28日在第28届三星杯世界围棋大师赛决赛中，山西籍棋手丁浩夺冠，成为中国首位“00后”围棋世界冠军．某校围棋社团在下属的两个围棋班组织了全员围棋比赛．为了解这两个班的比赛情况，学生会从两个班中各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分，单位：分），数据收集如下：
奋进班：61 77 79 82 83 86 88 90 90 94
飞跃班：74 80 81 83 85 86 92 92 92 94
【数据整理】将收集的数据整理成统计表（一）．
表（一）
分组 A组60≤x＜70 B组70≤x＜80 C组80≤x＜90 D组90≤x＜100
奋进班 1 2 4 3
飞跃班 0 1 5 4
【数据描述】将收集的结果绘制成扇形统计图及数据分析表（二）．
表（二）
班级 中位数/分 众数/分 平均数/分
奋进班 a 90 83
飞跃班 85.5 b 85.9
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中B组70≤x＜80所占的圆心角的度数为 　54　 °，若奋进班和飞跃班各有学生50名，估计两个班围棋成绩在D组90≤x＜100的学生总人数为 　35　 人．
（2）表（二）中a＝　84.5　 ，b＝　92　 ，结合以上数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的成绩较好．
（3）为了更好地推广围棋活动，该校决定从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市级围棋比赛，请用列表或画树状图的方法求正好选中甲、乙两名同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）54，35；
（2）84.5，92；飞跃班的成绩较好．理由见解答；
（3）．
【分析】（1）将B组70≤x＜80的人数除以20，再乘以360°即可得到扇形统计图中B组70≤x＜80所占的圆心角的度数；分别用两个班围棋成绩在D组90≤x＜100的人数所占比乘以50，再相加即可估计两个班围棋成绩在D组90≤x＜100的学生总人数；
（2）根据中位数和众数的确定方法即可求出a，b的值；根据相关统计量的意义即可说明哪个班的成绩较好；
（3）用列表或画树状图的方法即可求出正好选中甲、乙两名同学的概率．
【解答】解：（1）∵B组70≤x＜80的人数为2+1＝3（人），360°＝54°，
∴扇形统计图中B组70≤x＜80所占的圆心角的度数为54°；
∵5050＝35（人），
∴估计两个班围棋成绩在D组90≤x＜100的学生总人数为35人，
故答案为：54，35；
（2）∵奋进班数据由小到大排列第5，第6个数据的平均数为（83+86）÷2＝84.5（分），
∴a＝84.5；
∵飞跃班数据中92出现3次，是出现最多的数据，
∴b＝92，
故答案为：84.5，92；
飞跃班的成绩较好．
理由：∵飞跃班的平均分，中位数，众数都分别高于奋进班，
∴飞跃班的成绩较好．
（3）画树状图如下：
一共有12中等可能的结果，其中正好选中甲、乙两名同学有2种可能的结果，
∴P（正好选中甲、乙两名同学）．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，平均数，众数，中位数，用样本估计总体，画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用数据，掌握用画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．（10分）圣诞节来临，秋林与一百均推出优惠活动：
①秋林全场购物每满1000元减300元现金（不足1000元的部分不减现金）；
②一百所有的商品均按8折销售．
佩奇在两家商场发现她看中的鞋子的单价相同，裙子的单价也相同，这两件商品的单价之和为4700元，且裙子的单价比鞋子的单价的5倍少100元．
（1）根据佩奇提供的信息，帮佩奇妈妈求出鞋子和裙子的单价．
（2）佩奇要购买这两件商品，请你帮她设计出最佳的购买方案，并求出她向妈妈要的购买费用．
（3）妈妈按（2）中的费用给了佩奇钱，可是半路佩奇的妈妈打电话告诉她还要给弟弟买一个一百元的玩具车，请你帮她设计出最佳的购买方案，并求出她需要向妈妈再要多少钱．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）鞋子的单价是800元，裙子的单价为3900元；
（2）最佳的购买方案是到秋林购买鞋子和裙子，她向妈妈要的购买费用为3500元；
（3）最佳的购买方案为到秋林购买裙子和玩具车，到一百购买鞋子，她不需要向妈妈再要钱．
【分析】（1）设鞋子的单价是x元，根据“这两件商品的单价之和为4700元“得：x+（5x﹣100）＝4700，可解得答案；
（2）分别求出到秋林购买鞋子和裙子，到一百购买鞋子和裙子，到秋林购买裙子，到一百购买鞋子所需的钱，再比较即可得到答案；
（3）求出到秋林购买裙子和玩具车，到一百购买鞋子所需的钱，即可得到答案．
【解答】解：（1）设鞋子的单价是x元，则裙子的单价为（5x﹣100）元，
根据题意得：x+（5x﹣100）＝4700，
解得x＝800，
∴5x﹣100＝5×800﹣100＝3900，
答：鞋子的单价是800元，裙子的单价为3900元；
（2）到秋林购买需4700﹣4×300＝3500（元），
到一百购买需4700×0.8＝3760（元），
到秋林购买裙子，到一百购买鞋子需3900﹣3×300+800×0.8＝3640（元），
∵3500＜3640＜3760，
∴最佳的购买方案是到秋林购买鞋子和裙子，她向妈妈要的购买费用为3500元；
（3）最佳的购买方案为到秋林购买裙子和玩具车，到一百购买鞋子，
一共需（3900+100）﹣4×300+800×0.8＝3440（元），
∵3440＜3500，
∴她不需要向妈妈再要钱．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列方程求出鞋子和裙子的单价及分类讨论思想的应用．
24．（10分）（2023 河北模拟）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝4，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使CD＝OA，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．
（1）若OD＝5，求点C与点O之间距离的最小值；
（2）当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧BC的长度．
【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，求出OC则可得出答案；
（2）连接OC，由切线的性质得出∠DOC＝45°，由弧长公式可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，
∵CD＝OA＝2，OD＝5，
∴OC＝3，
即点C与点O之间距离的最小值为3；
（2）如图②，连接OC，
∵OC＝OA，CD＝OA，
∴OC＝CD，
∴∠ODC＝∠COD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝45°，
∴劣弧的长度为；
【点评】本题考查了切线性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键．
25．（10分）（2022秋 海淀区校级期末）通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的．如图1，平行四边形ABCD可以看作是由△ABC绕AC的中点O旋转180°得到△CDA后组成．
小亮把△ABC以边AC所在直线为对称轴翻折得到△ADC，这两个三角形组成四边形ABCD（如图2），这也是一种特殊的四边形——筝形．请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．
（1）首先请你给出筝形的一种定义：　把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”　 ；
（2）通过观察、测量等探究，在边，角，对角线的关系方面写出两条对筝形性质的猜想（定义除外），并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝120°，求筝形ABCD的面积．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；
（2）①筝形的一条对角线平分一组对角；证明见解答；
②筝形的一组对角相等；证明见解答；
（3）16．
【分析】（1）根据折叠的性质得出答案；
（2）先判断出△ABC≌△ADC，即可得出结论；
（3）先求出AH，进而求出△ABC的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据折叠的性质得，AB＝AD，BC＝DC，
即把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
故答案为：把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；
（2）如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角；
②筝形的一组对角相等；
证明：①由折叠知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∠B＝∠D；
即筝形的一条对角线平分一组对角；
②由折叠知，△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D；
即筝形的一组对角相等；
（3）连接AC，由折叠得，△ABC≌△ADC，
∴S△ABC＝S△ADC，
过点A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
在Rt△AHB中，∠ABH＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BHAB＝2，
根据勾股定理得，AH2，
∴S△ABCBC AH8×28，
∴S筝形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝2S△ABC＝16．
答：筝形ABCD的面积为16．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出AH是解（3）的关键．
26．（10分）（2024秋 襄州区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+3图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 m 0 3 …
（1）m＝　﹣1　 ；将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式为　y＝（x﹣2）2﹣1　 ；
（2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象；
（3）填空：
①当x＜n时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是　n≤2　 ；
②直接写出原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为　y＝﹣x2+4x﹣3　 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）﹣1；y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）
（3）①n≤2；②y＝﹣x2+4x﹣3．
【分析】（1）求出当x＝2时的函数值即可求出m的值，再利用配方法把解析式化为顶点式即可；
（2）利用描点法画出对应的函数图象即可；
（3）①确定开口方向和对称轴，进而确定增减性即可得到答案；
②设P（m，n）为翻折后的函数图象上的一点，那么点（m，﹣n）为y＝x2﹣4x+3图象上的一点，把（m，﹣n）代入y＝x2﹣4x+3中求出m、n的函数关系式即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣4x+3中，当x＝2时，y＝﹣1，
∴m＝﹣1；
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
故答案为：﹣1；y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）如图所示，即为所求；
（3）①由条件可知当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵当x＜n时，y随x的增大而减小，
∴n≤2，
故答案为：n≤2；
②设P（m，n）为翻折后的函数图象上的一点，那么点（m，﹣n）为y＝x2﹣4x+3图象上的一点，
∴﹣n＝m2﹣4m+3，
∴n＝﹣m2+4m﹣3，
∴关于x轴对称的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+4x﹣3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，坐标与图形变化—轴对称等等，熟练掌握以上知识点是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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