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广西南宁市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2025 夏县一模）山西汾酒是中国清香型白酒的典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
2．（3分）（2024秋 上城区期末）下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．今天杭州市最高气温为108℃
C．任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目
D．一个三角形三个内角的和等于180°
3．（3分）（2022秋 霍邱县期中）若反比例函数y的图象在其所在的每一个象限内，y都是随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2
4．（3分）（2022 宁南县模拟）把抛物线y＝x2向右平移1个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x﹣1）2+5
C．y＝（x﹣1）2﹣5 D．y＝（x+1）2﹣5
5．（3分）（2025春 滨海新区期中）已知△ABC的面积为2，一边长为x，该边上的高为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝2x B．y＝4x C． D．
6．（3分）（2024秋 滨海新区期末）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝﹣1 B．x1+x2＝1 C．x1x2＝6 D．x1x2＝5
7．（3分）（2024秋 虹口区校级月考）在下列四个图形中，已知∠1＝∠2，则四个图中不一定有相似三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2024 龙岗区校级模拟）如图，某十字路口有交通信号灯，在东西方向上，红灯开启27秒后，紧接着绿灯开启30秒，再紧接着黄灯开启3秒，然后接着又是红灯开启27秒…按这样的规律循环下去，在不考虑其他因素的前提下，当一辆汽车沿东西方向随机行驶到该路口时，遇到绿灯开启的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2022秋 华蓥市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的周长为（　　）
A． B． C．3 D．18
10．（3分）（2024春 方正县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝4∠BCD，点E是斜边AB的中点．则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．54°
11．（3分）（2022秋 霞山区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k＜0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）（2024秋 慈溪市期中）如图，以第三象限内一点P为圆心，大于PO的长为半径作⊙P，分别交x轴于点A，B，交y轴于点C，D，记该圆面在第一，二，三，四象限内各部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，若|S1+S3﹣S2﹣S4|是一个定值，则（　　）
A．⊙P的半径是一个定值
B．|PF2﹣PE2|是一个定值
C．点P是一个定点
D．点P在一个确定的函数图象上
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）平面上一点到圆周的最短距离为3，该圆半径为5，则这一点到圆周上的最远距离为　 　 ．
14．（2分）（2025 五华县一模）如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝25°，则∠ACB的度数是 　 　 °．
15．（2分）（2023秋 西岗区期末）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是 　 　 （结果精确到0.1）．
16．（2分）（2024 桑植县一模）已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为 　 　 ．
17．（2分）（2024 普陀区二模）如图，已知反比例函数的图象上有A，B两点，连接AO，BO，且AO＝BO，C是y轴上的点，连接BC，且∠OCB＝135°，连接AC，交BO于点D，连接AB，若DO＝2BD，点C坐标（0，3），则△ABO面积为 　 　 ．
18．（2分）（2025 福田区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，D是BC的中点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连结BE，BE交AD于点G，交AC于点F，则tan∠E＝　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
19．（8分）（2023秋 临泽县校级月考）解方程x2﹣4x﹣192＝0．
20．（10分）（2024秋 鄞州区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1），O（0，0），B（1，﹣2）．
（1）画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△A2O2B2；
（3）画出将△AOB绕着点O逆时针旋转90°后的△A3O3B3，并求出点A走过的路径长是多少？（结果保留π）
21．（10分）（2025 九台区一模）为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 　 　 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽取到神话故事（A，B）的概率．
22．（10分）（2024 辽宁模拟）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n（n为正整数，且n≥2），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点M（x，y）在等腰直角三角形OAB边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．
若某函数的图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函数”．
（1）如图1，当n＝2时，一次函数y＝kx+t是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为 　 　 （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，函数的图象经过C（1，2），判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+2经过AB的中点，若该函数是“整点函数”，求a的取值范围；
（4）在（3）的条件下P（a+1，y1），Q（a+2，y2）是二次函数y＝ax2+bx+2图象上两点，若点P、Q之间的图象（包括点P、Q）的最高点与最低点纵坐标的差为3|a|，求a的值
23．（10分）（2024 东莞市校级模拟）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，MN为法线．
（1）如果入射角α＝30°，则∠DBF＝　 　 °；
（2）现在测得BF＝6dm，DF＝8dm．（参考数据：，，）
①求入射角α的度数；
②如果光线从空气射入水中的折射率n，求光斑移动的距离BC．
24．（12分）（2025 连云港模拟）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；
数学的表达
（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
25．（12分）（2024 秦淮区一模）数学概念
若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形ABCD的边AB为直径的⊙O与CD相切，切点P在边CD上，因此⊙O是四边形ABCD的径切圆．
初步理解
（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为1：2的矩形，其中，一定存在径切圆的是 　 　 （填序号）．
性质初探
（2）在图①中，连接AP，BP，求证∠APD＝∠ABP．
深入研究
（3）如图②，⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，判断AD与BC的位置关系并说明理由．
（4）在（3）中，若点O和点N恰好重合，AD＝a，BC＝b，直接写出⊙O和⊙M的半径长（用含a，b的代数式表示）．
广西南宁市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2025 夏县一模）山西汾酒是中国清香型白酒的典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同，
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
2．（3分）（2024秋 上城区期末）下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．今天杭州市最高气温为108℃
C．任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目
D．一个三角形三个内角的和等于180°
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、今天杭州市最高气温为108℃，是不可能事件，符合题意；
C、任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目，是随机事件，不符合题意；
D、一个三角形三个内角的和等于180°，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）（2022秋 霍邱县期中）若反比例函数y的图象在其所在的每一个象限内，y都是随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数的性质得出﹣k+2的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象在其所在的每一个象限内，y都是随x的增大而减小，
∴﹣k+2＞0，
解得：k＜2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（3分）（2022 宁南县模拟）把抛物线y＝x2向右平移1个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x﹣1）2+5
C．y＝（x﹣1）2﹣5 D．y＝（x+1）2﹣5
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”进而得出平移后的解析式．
【解答】解：∵将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
5．（3分）（2025春 滨海新区期中）已知△ABC的面积为2，一边长为x，该边上的高为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝2x B．y＝4x C． D．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式得出，进而得出答案．
【解答】解：有条件可知，
∴y与x之间的函数关系式为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根据实际问题抽象出函数解析式，解题的关键是根据已知得出．
6．（3分）（2024秋 滨海新区期末）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝﹣1 B．x1+x2＝1 C．x1x2＝6 D．x1x2＝5
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】A
【分析】直接利用根与系数的关系对各选项进行判断．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
7．（3分）（2024秋 虹口区校级月考）在下列四个图形中，已知∠1＝∠2，则四个图中不一定有相似三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【解答】解：A、
∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，不符合题意；
B、
∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，不符合题意；
C、
∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，不符合题意；
D、
由∠1＝∠2，不能证明△ABD和△ACD相似，不存在相似的三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．（3分）（2024 龙岗区校级模拟）如图，某十字路口有交通信号灯，在东西方向上，红灯开启27秒后，紧接着绿灯开启30秒，再紧接着黄灯开启3秒，然后接着又是红灯开启27秒…按这样的规律循环下去，在不考虑其他因素的前提下，当一辆汽车沿东西方向随机行驶到该路口时，遇到绿灯开启的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意，利用概率公式计算即可．
【解答】解：由题意得，当一辆汽车沿东西方向随机行驶到该路口时，遇到绿灯开启的概率是．
故选：D．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
9．（3分）（2022秋 华蓥市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的周长为（　　）
A． B． C．3 D．18
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】D
【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
∴正六边形的周长为18，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
10．（3分）（2024春 方正县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝4∠BCD，点E是斜边AB的中点．则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．54°
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据已知易得：∠BCD∠ACB＝18°，再根据垂直定义可得∠CDB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠B＝72°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝BE，从而可得∠B＝∠BCE＝72°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝4∠BCD，
∴∠BCD∠ACB＝18°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝72°，
∵点E是斜边AB的中点，
∴CE＝BEAB，
∴∠B＝∠BCE＝72°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝54°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
11．（3分）（2022秋 霞山区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k＜0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键．
12．（3分）（2024秋 慈溪市期中）如图，以第三象限内一点P为圆心，大于PO的长为半径作⊙P，分别交x轴于点A，B，交y轴于点C，D，记该圆面在第一，二，三，四象限内各部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，若|S1+S3﹣S2﹣S4|是一个定值，则（　　）
A．⊙P的半径是一个定值
B．|PF2﹣PE2|是一个定值
C．点P是一个定点
D．点P在一个确定的函数图象上
【考点】扇形面积的计算；函数的图象；勾股定理；圆周角定理．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】D
【分析】根据圆是轴对称图形，通过作辅助线JK∥AB，MN∥CD，把圆内除矩形HQIO外分为8个区域，得到各个区域内面积的等量关系，结合条件|S1+S3﹣S2﹣S4|是一个定值，得到4OE OF是一个定值，从而得到结果．
【解答】解：设矩形PFOE的面积为S，
作JK∥AB，使P到AB的距离与P到JK的距离相等，
作MN∥CD，使P到MN的距离与P到CD的距离相等，
∴矩形HQIO的面积为4S，
如图所示，圆内除矩形HQIO外分为8个区域，分别用①②……⑧表示，
∵圆是轴对称图形，直径是其对称轴，
∴S①＝S③，S④＝S⑧，S⑤＝S⑦，S②＝S⑥，
∴S1+S3﹣S2﹣S4
＝S①+（S④+S⑤+S⑥+4S）﹣（S②+S③）﹣（S⑦+S⑧）
＝S①+S④+S⑤+S⑥+4S﹣S②﹣S③﹣S⑦﹣S⑧
＝（S①﹣S③）+（S④﹣S⑧）+（S⑤﹣S⑦）+（S⑥﹣S②）+4S
＝4S，
∵|S1+S3﹣S2﹣S4|是一个定值，
∴4S是一个定值，
∴4OE OF是一个定值，
∴P点的横坐标和纵坐标的乘积是一个定值k，即y（k≠0），
∴点P在一个确定的函数图象上．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的性质，函数的图象与性质的应用，熟练利用圆的轴对称性是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）平面上一点到圆周的最短距离为3，该圆半径为5，则这一点到圆周上的最远距离为　13　 ．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】13
【分析】根据点到圆周最大距离是d+r，求解即可
【解答】解：∵平面上一点到圆周的最短距离为3，该圆半径为5，
∴这一点到圆心的距离为3+5＝8，
∴这一点到圆周上的最远距离为8+5＝13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了点和圆的位置关系、点圆最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2分）（2025 五华县一模）如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝25°，则∠ACB的度数是 　65　 °．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】65．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ABD＝90°，从而可得∠ADB＝65°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADB＝∠ACB＝65°，即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝25°，
∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝65°，
∴∠ADB＝∠ACB＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2分）（2023秋 西岗区期末）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是 　0.7　 （结果精确到0.1）．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】0.7．
【分析】利用频率估计概率求解即可
【解答】解：转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7，
故答案为：0.7．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
16．（2分）（2024 桑植县一模）已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为 　65π　 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】65π．
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，圆锥的底面半径5，
∴圆锥的底面周长＝10π，
∴圆锥的侧面积10π×13＝65π，
故答案为：65π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．（2分）（2024 普陀区二模）如图，已知反比例函数的图象上有A，B两点，连接AO，BO，且AO＝BO，C是y轴上的点，连接BC，且∠OCB＝135°，连接AC，交BO于点D，连接AB，若DO＝2BD，点C坐标（0，3），则△ABO面积为 　7.5　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】7.5．
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点A作AF⊥x轴于F，延长FA与EB的延长线交于M，过点D作DH⊥y轴于H，如图所示：设BE＝a，证明△BCE为等腰直角三角形得BE＝CE＝a，则点B（a，a+3），进而得点A（a+3，a），再求出直线AC的表达式为，再证明△ODH∽△OBE得DH，OH，则点D，将点D的坐标代入之中求出a＝1，进而得点B（1，4），点A（4，1），点M（4，4），由此即可求出△ABO的面积．
【解答】解：过点B作BE⊥y轴于E，过点A作AF⊥x轴于F，延长FA与EB的延长线交于M，过点D作DH⊥y轴于H，如图所示：
设BE＝a，
∵∠OCB＝135°，
∴∠BCE＝180°﹣∠OCB＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝a，
∵点C（0，3），
∴OE＝OC+CE＝a+3，
∴点B（a，a+3），
∵A，B两点在反比例函数的图象上，且AO＝BO，
∴根据反比例函数的对称性可知点A（a+3，a），
设直线AC的表达式为：y＝mx+n，
将点A（a+3，a），点C（0，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，
∴直线AC的表达式为：yx+3，
∵DO＝2BD，
∴DO：BO＝2：3，
∵DH⊥y轴，BE⊥y轴，
∴△ODH∽△OBE，
∴DH：BE＝OH：OE＝DO：BO，
即DH：a＝OH：（a+3）＝2：3，
∴DH，OH，
∴点D的坐标为D，
∵点D在直线AC上，
∴，
解得：a＝1，
∴点B（1，4），点A（4，1），
∴点M（4，4），
∴BE＝AF＝1，OE＝OF＝4，EM＝FM＝4，
∴BM＝AM＝4﹣1＝3，
∴S△OBE＝S△OAF4×1＝2，S△ABM3×3＝4.5，S矩形OEMF＝4×4＝16，
∴S△ABO＝S矩形OEMF﹣S△OBE﹣S△OAF﹣S△ABM＝16﹣2﹣2﹣4.5＝7.5．
故答案为：7.5．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，理解反比例函数图象上的点满足函数的表达式，熟练掌握反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式是解决问题的关键．
18．（2分）（2025 福田区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，D是BC的中点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连结BE，BE交AD于点G，交AC于点F，则tan∠E＝　　 ．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】过点E作EH⊥AC于点H，过点A作AT⊥BE于点T，可证△ACD≌△EHA（AAS），可得，再证△EHF∽△BCF，可得，CFAC＝AH，设CF＝AH＝x，在Rt△EHF中，运用勾股定理可得AE的长，根据等面积法S△AEF，可求出AT的值，在Rt△AET 中，可求出ET的值，再根据正切值的计算方法即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，过点A作AT⊥BE于点T，
∵将AD绕点A逆时针旋转90°至AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠C＝∠DAE＝∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝∠EAH+∠CAD＝90°，
∴∠AEH＝∠CAD，
∴△ACD≌△EHA（AAS），
∴AH＝CD，EH＝AC＝2BC，
∵点D是BC中点，
∴，
∴，
∴，CHAC，
∵EH⊥AC，
∴∠C＝90°，
∴EH∥BC，
∴△EHF∽△BCF，
∴2，
∴HF＝2CF，
∴，CFAC＝AH，
∴设CF＝AH＝x，则HF＝2x，EH＝AC＝4x，
∴AF＝3x，CD＝x，
在Rt△ACD中，ADx，
∴AEx，
在Rt△EHF中，EF2x，
∵S△AEF，
∴AT，
在Rt△AET中，ET，
∴tan∠AET．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形全等和相似是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分72分）
19．（8分）（2023秋 临泽县校级月考）解方程x2﹣4x﹣192＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝16，x2＝﹣12．
【分析】用因式分解法求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣192＝0，
将原方程进行因式分解得：（x﹣16）（x+12）＝0，
则x﹣16＝0或x+12＝0，
∴x1＝16，x2＝﹣12．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是对二次三项式进行正确的因式分解．
20．（10分）（2024秋 鄞州区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1），O（0，0），B（1，﹣2）．
（1）画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△A2O2B2；
（3）画出将△AOB绕着点O逆时针旋转90°后的△A3O3B3，并求出点A走过的路径长是多少？（结果保留π）
【考点】作图﹣位似变换；勾股定理；轨迹；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）作图见解析过程；
（3）作图见解析过程；．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点，顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质画出图形即可，由勾股定理得出，再由弧长公式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图1：△A1O1B1即为所求，
；
（2）解：如图，△A2O2B2即为所求；
；
（3）如图3，△A3O3B3即为所作，
，
由勾股定理和是：，
∴，
故点A走过的路径长是．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，轨迹，作图﹣平移变换，作图﹣旋转变换，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21．（10分）（2025 九台区一模）为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 　　 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽取到神话故事（A，B）的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人都抽取到神话故事的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（10分）（2024 辽宁模拟）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n（n为正整数，且n≥2），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点M（x，y）在等腰直角三角形OAB边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．
若某函数的图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函数”．
（1）如图1，当n＝2时，一次函数y＝kx+t是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为 　y＝﹣x+1（答案不唯一）　 （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，函数的图象经过C（1，2），判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+2经过AB的中点，若该函数是“整点函数”，求a的取值范围；
（4）在（3）的条件下P（a+1，y1），Q（a+2，y2）是二次函数y＝ax2+bx+2图象上两点，若点P、Q之间的图象（包括点P、Q）的最高点与最低点纵坐标的差为3|a|，求a的值
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x+1（答案不唯一）；
（2）该函数是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，理由见解析；
（3）a的取值范围为0＜a＜2或a＜0；
（4）a＝1．
【分析】（1）根据A（2，0），B（0，2），求得OB的中点坐标为（0，1），OA的中点坐标为（1，0），当一次函数y＝kx+t图象过（1，0），（0，1）时，其解析式为y＝﹣x+1，于是得到结论；
（2）把C（1，2）代入y得，m＝2，得到y，求得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当x＝2时，y＝1，于是得到结论；
（3）当n＝4时，A（4，0），B（0，4），得到AB的中点坐标为（2，2），求得y＝ax2﹣2a+2，当a＞0时，若a＜0，解不等式即可得到结论；
（4）求得抛物线的对称轴为直线x，①当a＜0时，则顶点（1，2﹣a）为最高点，Q为最低点，②当0＜a＜2时，a+1＞1，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当n＝2时，A（2，0），B（0，2），
∴OB的中点坐标为（0，1），OA的中点坐标为（1，0），
当一次函数y＝kx+t图象过（1，0），（0，1）时，其解析式为y＝﹣x+1，此时直线y＝﹣x+1与图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，
∴一次函数y＝﹣x+1是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，
故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）；
（2）该函数是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，
理由：把C（1，2）代入y得，m＝2，
∴y，
∵A（3，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
令x+3，
解得x1＝1，x2＝2，
当x＝2时，y＝1，
∴y与线段AB有两个交点，且都是整数，分别为（1，2），（2，1），
∴该函数是否为“整点函数”；
（3）当n＝4时，A（4，0），B（0，4），
∴AB的中点坐标为（2，2），
∵y＝ax2+bx+2经过AB的中点，
∴2＝4a+2b+2，
∴b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2a+2，
当a＞0时，∵抛物线的顶点为（1，2﹣a），
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∴0＜a＜2，
若a＜0，则抛物线与x轴正半轴的交点在点A的右侧，即当x＝4时，y＞0，
∴16a﹣8a+2＞0，a，
∴a＜0，
综上所述，a的取值范围为0＜a＜2或a＜0；
（4）∵抛物线的对称轴为直线x，
①当a＜0时，则顶点（1，2﹣a）为最高点，Q为最低点，
∴2﹣a﹣[a（a+2）2﹣2a（a+2）+2]＝﹣3a，
解得a＝1±（不合题意舍去），
②当0＜a＜2时，a+1＞1，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴最高点为Q，最低点为P，
∴a（a+2）2﹣2a（a+2）+2﹣[a（a+1）2﹣2a（a+1）+2]＝3a，
解得a1＝0（不合题意舍去），a2＝1，
综上所述，a＝1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，正确地理解“整点函数”是解题的关键．
23．（10分）（2024 东莞市校级模拟）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，MN为法线．
（1）如果入射角α＝30°，则∠DBF＝　30　 °；
（2）现在测得BF＝6dm，DF＝8dm．（参考数据：，，）
①求入射角α的度数；
②如果光线从空气射入水中的折射率n，求光斑移动的距离BC．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）30；（2）①53°；②．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠DBF＝30°即可；
（2）①根据平行线的性质得到∠BDN＝∠DBF＝∠PDM，根据正切的定义求出tan∠DBF，从而可得入射角；
②根据n，先求出，再作DH⊥AB，设 CH＝3x，CD＝5x，则 DH＝4x，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案．
【解答】（1）如图，MN∥BF，
∴∠DBF＝α＝30°，
故答案为：30．
（2）①由（1）可知：∠DBF＝α
∵BF＝6dm，DF＝8dm，
∴tan∠DBF，
∴∠DBF＝53°，
∴α＝53°．
②∵n，sinα，
∴，
设 CH＝3x，CD＝5x，则 DH＝4x，
∴4x＝6，
解得：x，
∴CH＝3，
∴BC＝DF﹣CH＝8（dm），
答：光斑移动的距离是dm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提．
24．（12分）（2025 连云港模拟）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；
数学的表达
（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）说明见解答；
（2）；
（3）；
（4）图见解答．
【分析】（1）连接BD，根据外角的性质，得到∠ADB＝∠DBP2+∠P2，即可解答．
（2）设点C（a，﹣a+5），求出AC，根据AC＝PC，列出等式，即可解答．
（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，证明△PDA∽△BDP，求出PO，即可解答．
（4）有三种作法，方法一：根据第（3）问，可知c2＝a b，则在图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∴∠P1＝∠ADB
∵∠ADB是△BDP2的外角，
∴∠ADB＝∠DBP2+∠P2，
∴∠ADB＞∠P2，
∴∠P1＞∠P2；
（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，
∵点C在直线l上，
设点C（a，﹣a+5），
∴，PC＝﹣a+5．
∵AC＝PC，
∴，
∴a2+4a﹣16＝0，
解得，（不合题意，舍去），
∴P点坐标为；
（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，如图，
∵PE是⊙C直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠E+∠EPA＝90°，
∵⊙C与x轴相切于点P，
∴PC⊥x轴，
∴∠APD+∠EPA＝90°，
∴∠E＝∠APD，
又∵∠E＝∠B，
∴∠APD＝∠B，
∵∠PDA＝∠BDP，
∴△PDA∽△BDP，
∴PD2＝DA DB，
∵A（0，2）、B（3，5），
∴，，
∴，即，
∴，
∴P点的坐标为；
（4）提供三种作法如下：
方法一：
根据第（3）问，可知c2＝a b，则在图中构造；
方法二：
思路如上，构造位似图形；
方法三：
DP2＝DA DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了垂径定理，作图，掌握垂径定理是解题的关键．
25．（12分）（2024 秦淮区一模）数学概念
若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形ABCD的边AB为直径的⊙O与CD相切，切点P在边CD上，因此⊙O是四边形ABCD的径切圆．
初步理解
（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为1：2的矩形，其中，一定存在径切圆的是 　③　 （填序号）．
性质初探
（2）在图①中，连接AP，BP，求证∠APD＝∠ABP．
深入研究
（3）如图②，⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，判断AD与BC的位置关系并说明理由．
（4）在（3）中，若点O和点N恰好重合，AD＝a，BC＝b，直接写出⊙O和⊙M的半径长（用含a，b的代数式表示）．
【考点】圆的综合题．
【专题】新定义；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）③；（2）证明见解析；（3）AD与BC的位置关系为：AD∥BC，理由见解析；（4）⊙M的半径长（a+b）；⊙O的半径长为．
【分析】（1）利用圆的切线的判定与性质和矩形的性质以及径切圆定义解答即可；
（2）连接OP，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的性质解答即可；
（3）连接AP，BP，DN，CN，OP，MN，设AP与DN交于点E，MN与OP交于点G，BP与CN交于点F，利用（2）的结论，圆周角定理，三角形的内角和定理得到∠ABP＝∠APD＝∠AND＝∠DCN，则AP∥CN，ND∥BP，进而得到四边形ENFP为矩形；再利用相似三角形的判定与性质和平行线的判定定理解答即可；
（4）利用（3）的结论和梯形的中位线的性质求得⊙M的半径长；利用圆的切线的性质定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质即可得出⊙O的半径长．
【解答】（1）解：相邻两边长为1：2的矩形，一定存在径切圆．理由：
∵矩形的相邻两边长为1：2，
∴矩形的长边的中点到对边的距离等于这边的一半，
∴以矩形的长边为直径的圆与对边相切，
∴相邻两边长为1：2的矩形，一定存在径切圆．
而①②不一定存在径切圆．
故答案为：③；
（2）证明：连接OP，如图，
∵⊙O与CD相切，
∴OP⊥CD，
∴∠OPD＝90°，
∴∠APO+∠APD＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠APO+∠BPO＝90°．
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠ABP，
∴∠APO+∠ABP＝90°，
∴∠APD＝∠ABP；
（3）解：AD与BC的位置关系为：AD∥BC，理由：
连接AP，BP，DN，CN，OP，MN，设AP与DN交于点E，MN与OP交于点G，BP与CN交于点F，如图，
由（2）知：∠APD＝∠ABP，∠APB＝90°，
设∠APD＝∠ABP＝m°，则∠AOP＝2m°．
同理可得：∠AND＝∠DCN，
设∠AND＝∠DCN＝n°，则∠NMD＝2n°．
∵⊙O与⊙M均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为P，N，
∴OP⊥CD，MN⊥AB，
∴∠OPM＝∠MNO＝90°，
∵∠PGM＝∠NGO，
∴∠AOP＝∠NMD，
∴2m＝2n，
∴m＝n，
∴∠ABP＝∠APD＝∠AND＝∠DCN，
∴AP∥CN，ND∥BP．
∴四边形ENFP为平行四边形，
∵∠APB＝90°，
∴四边形ENFP为矩形，
∴∠NEP＝∠NFP＝90°，NE＝FP，NF＝EP．
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
∵∠AND＝∠APD，∠AEN＝∠DEP，
∴△AEN∽△DEP，
∴．
同理：△NFB∽△PFC，
∴，
∴，
∵∠AED＝∠BFC＝90°，
∴△AED∽△CFB，
∴∠DAE＝∠FCB．
∵∠EAD+∠ADP+∠APD＝180°，
∴∠FCB+∠DCN+∠ADP＝180°，
∴∠ADP+∠BCP＝180°，
∴AD∥BC．
（4）解：点O和点N恰好重合，如图，
由（3）知：AD∥BC．
∵点O，M分别为AB，CD的中点，
∴MO为梯形ABCD的中位线，
∴OM（AD+BC）（a+b），
∴⊙M的半径长（a+b），
∵AB与⊙M相切于点N，点O和点N恰好重合，
∴MO⊥AB，
∵MO为梯形ABCD的中位线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAO＝∠OBC＝90°．
∵CD为⊙M的直径，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∵∠BOC+∠BCO＝90°，
∴∠AOD＝∠BCO，
∴△AOD∽△BCO，
∴，
∵OA＝OB，
∴OA2＝AD BC＝ab，
∴OA．
∴⊙O的半径长为．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，梯形的中位线，等腰三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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