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湖南省长沙市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 汕头期末）以下各组线段为边，能成三角形的是（　　）
A．1cm，3cm，1cm B．1cm，3cm，2cm
C．4cm，4cm，8cm D．1cm，，2cm
2．（3分）（2024 游仙区模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2024春 渠县期末）正n边形的每个内角都是120°，则n的值为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（3分）（2022秋 绥阳县期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，x﹣2y）向右平移4个单位长度得到点B（2x﹣y，1），若点A与点B关于y轴对称，则y﹣x的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
5．（3分）（2023春 历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，则线段CD的长度为（　　）
A．3 B． C． D．2
6．（3分）（2024秋 海州区期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　）
A．花坛三条中线的交点
B．花坛三边的中垂线的交点
C．花坛三条高所在直线的交点
D．花坛三条角平分线的交点
7．（3分）（2023秋 民权县期末）如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．（3分）（2023秋 东港区校级期中）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在三角形ABC内部时，∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝180°+∠A
C．∠A＝∠1﹣∠2 D．∠1+∠2＝180°﹣∠A
9．（3分）（2024秋 青秀区校级月考）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2023 高州市校级二模）如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（　　）
A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 三河市期末）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 　 　 ．
12．（3分）（2023 未央区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为 　 　 ．
13．（3分）（2024春 宝山区期末）在△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，那么∠C＝　 　 ．
14．（3分）（2024秋 宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ 　 　 ．
15．（3分）（2023春 思明区校级期末）如图，点D和点E是△ABC中AB和AC边上的两点，将∠A沿DE翻折，使点A的对应点A′恰好落在射线BC上，A′D与EC相交于点F，若∠BDA′＝∠CEA′+2∠DA′B，∠B+∠DFC＝160°，则∠EDF的度数为 　 　 ．
16．（3分）（2024秋 赛罕区期末）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BD⊥EF；③AF平分∠CAD；④∠AFB＝45°．其中正确结论是 　 　 .（填序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2023秋 德清县月考）已知等腰三角形的三边长分别为7，2x﹣3，x，求这个等腰三角形的周长．
18．（6分）（2024秋 通辽期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，∠C＝∠F，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．
19．（8分）如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
20．（8分）（2021秋 都安县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．求证：△CDF≌△BDE．
21．（8分）（2023秋 呼和浩特期中）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ；
（2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系．
22．（10分）（2023秋 渭城区校级月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（1，﹣4），B（5，﹣3），C（4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）求出△A1B1C1的面积．
23．（12分）（2022秋 冠县期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
24．（14分）（2023秋 城厢区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补．
（1）点D到∠ABC两边的距离是否相等？如果相等，请说明理由．
（2）求证：AD＝CD．
湖南省长沙市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 汕头期末）以下各组线段为边，能成三角形的是（　　）
A．1cm，3cm，1cm B．1cm，3cm，2cm
C．4cm，4cm，8cm D．1cm，，2cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析判断即可．
【解答】解：A、1+1＜3，不能组成三角形，不符合题意；
B、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
C、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
D、，，能组成三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
2．（3分）（2024 游仙区模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，关键掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2024春 渠县期末）正n边形的每个内角都是120°，则n的值为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和的计算方法列方程求解即可．
【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝120°×6，
解得n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法是正确解答的关键．
4．（3分）（2022秋 绥阳县期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，x﹣2y）向右平移4个单位长度得到点B（2x﹣y，1），若点A与点B关于y轴对称，则y﹣x的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】A
【分析】根据点平移的规律，得出点A（﹣2，x﹣2y）向右平移4个单位长度后的坐标为（2，x﹣2y），再结合题意，列出方程组，解出x、y的值，然后代入代数式，计算即可得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，x﹣2y）向右平移4个单位长度后的坐标为（2，x﹣2y），
又∵点A（﹣2，x﹣2y）向右平移4个单位长度得到点B（2x﹣y，1），
可得：，
解得：，
∴y﹣x＝﹣1，
∴y﹣x的值是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了平移、解二元一次方程组，解本题的关键在正确求出x、y的值．
5．（3分）（2023春 历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，则线段CD的长度为（　　）
A．3 B． C． D．2
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据角平分线的性质可得DE＝CD，证得Rt△BDE≌Rt△BDC，得到BE＝BC＝8，进而得到AE＝2，设DE＝CD＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程求解即可得出CD的长，进而可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，
∴DE＝CD，
在Rt△BDE和Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
设DE＝CD＝x，则AD＝6﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即22+x2＝（6﹣x）2，
解得x，
即CD．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．
6．（3分）（2024秋 海州区期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　）
A．花坛三条中线的交点
B．花坛三边的中垂线的交点
C．花坛三条高所在直线的交点
D．花坛三条角平分线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．
【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，
∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．（3分）（2023秋 民权县期末）如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得到CD垂直平分AE，再根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DE，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠B＝∠EDB，进而得到BE＝DE＝3，据此可求出BC的长．
【解答】解：∵AC＝CE＝5，CD⊥AE，
∴AF＝EF，
∴CD是线段AE的垂直平分线，
∴AD＝DE＝3，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE+∠DAE＝∠CEA+∠DEA，
即：∠CAB＝∠AED，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠CED＝2∠B
又∵∠CED＝∠B+∠EDB，
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE＝3，
∴BC＝CE+BE＝5+3＝8，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
8．（3分）（2023秋 东港区校级期中）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在三角形ABC内部时，∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝180°+∠A
C．∠A＝∠1﹣∠2 D．∠1+∠2＝180°﹣∠A
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【专题】三角形；展开与折叠；运算能力．
【答案】A
【分析】设折叠后，点A落在点M处，利用折叠的性质，可得出∠ADE＝∠MDE，∠AED＝∠MED，结合平角等于180°，可得出∠1＝180°﹣2∠ADE，∠2＝180°﹣2∠AED，二者相加后，可得出∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），再结合∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，即可求出∠1+∠2＝2∠A．
【解答】解：设折叠后，点A落在点M处，如图所示.
由折叠的性质，可知：∠ADE＝∠MDE，∠AED＝∠MED，
∴∠1＝180°﹣∠ADE﹣∠MDE＝180°﹣2∠ADE，∠2＝180°﹣∠AED﹣∠MED＝180°﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），
又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），根据各角之间的关系，找出∠1+∠2＝2∠A是解题的关键．
9．（3分）（2024秋 青秀区校级月考）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【解答】解：A．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．
10．（3分）（2023 高州市校级二模）如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（　　）
A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】A
【分析】根据△ABC≌△DEF可得：∠B的对应角为∠DEF，∠BAC的对应角为∠D，∠C的对应角为∠F．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F，
∴∠C的对应角是∠F，
故选：A．
【点评】由全等的性质得出相等的边、角，根据平行线得到一对对应角相等，从而得到对应关系，找准对应关系式正确解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 三河市期末）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 　（1，2）　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1，2）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（3分）（2023 未央区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为 　36°　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】36°．
【分析】根据正五边形的性质得出AE＝DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE，∠E108°，
∴△AED是等腰三角形，
∴∠1＝∠ADE（180°﹣∠E）（180°﹣108°）＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
13．（3分）（2024春 宝山区期末）在△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，那么∠C＝　70°　 ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】70°．
【分析】根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用，是基础题，比较简单．
14．（3分）（2024秋 宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ 　﹣1　 ．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】﹣1
【分析】根据全等三角形的对应边相等得x＝6，y＝7，由此可得x﹣y的值．
【解答】解：∵一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，
又∵这两个三角形全等，
∴7和y是对应边，x和6是对应边，
根据全等三角形的对应边相等得：x＝6，y＝7，
∴x﹣y＝6﹣7＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．
15．（3分）（2023春 思明区校级期末）如图，点D和点E是△ABC中AB和AC边上的两点，将∠A沿DE翻折，使点A的对应点A′恰好落在射线BC上，A′D与EC相交于点F，若∠BDA′＝∠CEA′+2∠DA′B，∠B+∠DFC＝160°，则∠EDF的度数为 　40°　 ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】40°．
【分析】由翻折得出三组角相等，设未知数，∠A＝∠DA′E＝α，∠ADE＝∠EDA′＝β，再利用三角形外角知识和已知条件得出4β+α﹣∠DA′B＝160°，进一步得出∠CEA′+2∠DA′B+2β＝180，然后利用三角形内角和和外角知识得出2α+2β+∠CEA′＝180°，把两个式子组合在一起，得出β的值，就是∠EDF的度数．
【解答】解：由翻折可得：∠ADE＝∠EDA′，∠A＝∠DA′E，∠AED＝∠A′ED．
设∠A＝∠DA′E＝α，∠ADE＝∠EDA′＝β，
∴∠B＝∠ADA′﹣∠DA′B＝2β﹣∠DA′B，
∠DFC＝∠A+∠ADF＝2β+α，
∴∠B+∠DFC＝4β+α﹣∠DA′B，
∵∠B+∠DFC＝160°，
∴4β+α﹣∠DA′B＝160°，
∵∠BDA′＝∠CEA′+2∠DA′B，
∴180°﹣∠ADA′＝∠CEA′+2∠DA′B，
∴180°﹣2β＝∠CEA′+2∠DA′B，
∴∠CEA′+2∠DA′B+2β＝180°，
∵∠AED＝180°﹣β﹣α＝∠DEA′＝∠DEC+∠CEA′，
∠DEC＝∠A+∠ADE＝α+β，
∴180°﹣β﹣α＝α+β+∠CEA′，
∴2α+2β+∠CEA′＝180°，
∴∠CEA′+2∠DA′B+2β＝2α+2β+∠CEA′，
∴∠DA′B＝α，
∵4β+α﹣∠DA′B＝160°，
∴4β+α﹣α＝160°，
∴β＝40°，
∴∠EDF＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角等知识，有一定的难度．
16．（3分）（2024秋 赛罕区期末）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BD⊥EF；③AF平分∠CAD；④∠AFB＝45°．其中正确结论是 　①②④　 .（填序号）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】①依题意得AB＝AC，∠AD＝AE，证明∠BAD＝∠CAE，进而可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等，然后根据全等三角形的性质可以结论①进行判断；
②设BD与AC交于点H，根据∠BAC＝90°得∠ABD+∠AHB＝90°，再根据∠AHD＝∠CHF得∠ABD+∠CHF＝90°，然后根据△ABD和△ACE全等得∠ABD＝∠ACE，则∠ACE+∠CHF＝90°，进而得∠CFH＝90°，由此可对结论②进行判断；
③过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，则S△ABDBD AM，S△ACECE AN，再根据△ABD和△ACE全等得S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，进而得AM＝AN，由此得AF平分∠BFE，根据已知条件无法判定AF平分∠CAD，由此可对结论③进行判断；
④根据BD⊥EF，AF平分∠BFE得∠AFB∠BFE＝45°，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，∠AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
故结论①正确；
②设BD与AC交于点H，如图1所示：
在△ABH中，∠BAC＝90°，
∵∠ABD+∠AHB＝90°，
∵∠AHD＝∠CHF，
∴∠ABD+∠CHF＝90°，
由（1）可知：△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠CHF＝90°，
在△CHF中，∠CFH＝180°﹣（ACE+∠CHF）＝90°，
∴BD⊥EF，
故结论②正确；
③过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，如图2所示：
∴S△ABDBD AM，S△ACECE AN，
由（1）可知：△ABD≌△ACE，
∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，
∴AM＝AN，
∵AM⊥BD，AN⊥CE，
∴点A在∠BFE的平分线上，
∴AF平分∠BFE，
根据已知条件无法判定AF平分∠CAD，
故结论③不正确；
④由②可知：BD⊥EF，
∴∠BFE＝90°，
又∵AF平分∠BFE，
∴∠AFB∠BFE＝45°，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2023秋 德清县月考）已知等腰三角形的三边长分别为7，2x﹣3，x，求这个等腰三角形的周长．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】19或25．
【分析】根据等腰三角形的性质可分为三种情况讨论如下：∴①当7和2x﹣3是该等腰三角形的腰时，则7＝2x﹣3时，此时x＝5，此时等腰三角形的三边分别为7，7，5，符合构成三角形的条件，由此求出该三角形的周长即可；当x，2x﹣3位该等腰三角形的腰长时，则x＝2x﹣3时，此时x＝2，不符合构成三角形的条件；③当x和7是该三角形的腰时，则x＝7时，此时该等腰三角形三边分别为7，11，7，符合构成三角形的条件，由此求出该三角形的周长即可．
【解答】解：∵等腰三角形边长分别为7，2x﹣3，x，
∴有以下三种情况：
∴①当7和2x﹣3是该等腰三角形的腰时，则7＝2x﹣3时，
∴x＝5，
∴此时等腰三角形的三边分别为7，7，5，
∵5+7＞7，符合构成三角形的条件，
∵该三角形的周长为：：7+7+5＝19；
②当x，2x﹣3位该等腰三角形的腰长时，则x＝2x﹣3时，
∴x＝3，
此时该等腰三角形的三边分别为7，3，3，
∵3+3＜7，不符合构成三角形的条件；、
③当x和7是该三角形的腰时，则x＝7时，
∴2x﹣3＝11，
∴此时该等腰三角形的三边分别为7，11，7，
∵7+7＞11，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：7+7+11＝25．
综上所述：这个等腰三角形的周长为19或25．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
18．（6分）（2024秋 通辽期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，∠C＝∠F，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED（两直线平行，同位角相等），
∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌DEF（AAS）．
【分析】根据平行线性质得到∠CBA＝∠FED，再根据“AAS”即可证明三角形全等．
【解答】证明：∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED（两直线平行，同位角相等），
∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌DEF（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
19．（8分）如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】锐角；直角；钝角；内部；直角边AB重合；外部；内部，直角边重合；外部．
【分析】观察图形可得出∠B的特点，根据高AD的位置可得出答案，根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点即可总结出规律．
【解答】解：图（1）中∠B为锐角，图（2）∠B为直角，图（3）中∠B为钝角；
图（1）中BC边上的高AD在△ABC的内部；图（2）中BC边上的高AD与△ABC的直角边AB重合；图（3）中BC边上的高AD在△ABC的外部．
规律是：锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形直角边上的高与直角三角形的直角边重合；钝角三角形钝角边上的高在三角形的外部．
【点评】此题主要考查了三角形的高，熟练掌握锐角三角形、直角三角形的．钝角三角形的高是解答此题的关键．
20．（8分）（2021秋 都安县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．求证：△CDF≌△BDE．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论．
【解答】证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
21．（8分）（2023秋 呼和浩特期中）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ；
（2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1．
（2）90°∠A，
【分析】（1）根据三角形中线的性质，表示出C△BCD、C△ACD，即可解答．
（2）根据角平分线的性质，即可解答．
【解答】解：（1）∵CD是中线，
∴BD＝AD，
∵BC＝3，AC＝2，
∴C△BCD＝BC+BD+AD+3+AD+CD，C△ACD＝AD+CD+AC＝2+AD+CD，
∴C△BCD﹣C△ACD＝1，
故答案为：1．
（2）∵BE、CD是△ABC的角平分线，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠BOC＝90°∠A．
【点评】本题考查三角形角平分线、中线的性质，掌握三角形角平分线、中线的性质是解题的关键．
22．（10分）（2023秋 渭城区校级月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（1，﹣4），B（5，﹣3），C（4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）求出△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23．（12分）（2022秋 冠县期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）24°；
（2）70°或110°．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，分两种情况：再利用三角形内角和可得∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，
当P点在Q点右侧时，
∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝70°．
当P点在Q点左侧时，
∵∠BAP+∠CAQ+∠PAQ＝∠BAC，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC﹣40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝110°．
综上∠BAC＝70°或110°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
24．（14分）（2023秋 城厢区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补．
（1）点D到∠ABC两边的距离是否相等？如果相等，请说明理由．
（2）求证：AD＝CD．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由角平分的性质即可解决问题．
（2）在BC上截取BE＝AB，连接DE，由SAS证明ABD≌△EBD，得到∠A＝∠BED，AD＝DE，由补角的性质得到∠C＝∠DEC，因此DC＝DE，即可证明AD＝CD．
【解答】（1）解：点D到∠ABC两边的距离相等，理由：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）证明：在BC上截取BE＝AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠A＝∠BED，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE，
∴AD＝CD．
【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
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