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湖南省长沙市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 巢湖市期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023秋 武汉期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则AD：BD＝（　　）
A．3：1 B．3：2 C．4：1 D．2：1
3．（3分）（2023春 湛江期末）一个正多边形的每个外角都等于45°，那么它是（　　）
A．正十二边形 B．正十边形
C．正八边形 D．正六边形
4．（3分）（2025春 宿松县期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠5＝∠B，④∠B+∠BAD＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中任选一个条件，能够直接得到AB∥CD的条件有几个？（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（3分）（2024秋 黄埔区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3
6．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝4cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　）
A．4cm B．5cm C．13cm D．无法确定
7．（3分）（2023秋 新城区校级期中）如图，在△ABD和△ACD中，AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，若∠PAQ＝30°，AD＝2，则△ABC的周长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）（2024春 长清区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；
②当BD＝CE时，AE＝4
③当△ADE为等腰三角形时，∠BDA＝2∠B或
④当点D为BC的中点时，DE＝4.8．其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）（2025春 惠安县期末）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，AD＝8，BE＝5，则AE的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．（3分）（2022春 桦南县校级月考）在直线l上依次摆着几个正方形（如图），已知斜放的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放的四个正方形的面积分别是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 绥化期中）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 　 　 ．
12．（3分）对称现象无处不在．请你观察如图三个图案，它们体现了中华民族的传统文化，其中可以看成是轴对称图形的有 　 　 个．
13．（3分）（2025春 卢龙县期末）如图，BP、CP分别是△ABC 的内角、外角平分线，若∠P＝40°，则∠A＝　 　 ．
14．（3分）（2024 临夏州）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 　 　 ．
15．（3分）（2024春 覃塘区期末）若2 8x＝27，则x的值为 　 　 ．
16．（3分）（2023秋 江都区期末）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC，射线AE在AC上方，∠EAC＝60°，点M为边AB上一动点，点D是AC中点，将△AMD沿着AE翻折得△ANF，连接CM、DN，则CM+DN最小值为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2023春 忠县期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）（2025春 南靖县期中）已知：关于x、y的二元一次方程组
（1）求5x+y的值．
（2）若方程组的解x、y满足﹣3＜x﹣y＜1，且m为整数，求m的值．
19．（6分）（2023秋 西青区校级期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）（2024秋 宁津县校级期中）计算：
（1）﹣（a2b）3+2a2b （﹣3a2b）2+30；
（2）化简求值（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中．
21．（8分）（2025 温州模拟）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE．
（1）求证：∠ADC＝∠BCE．
（2）若∠A＝50°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数．
22．（9分）（2025 天府新区校级模拟）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
（1）求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
（2）如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
23．（9分）（2024秋 武进区校级期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D使DE∥BC．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
24．（10分）在下列方格中有25个汉字，如果汉字“地”用B4表示，那么按这种表示方法“要”、“中”分别可以用什么表示？D4、E3分别表示什么字？小明用这种方法写了下面一句话：C4A2E1B5C3，D3A4E5D2．
你知道小明说了什么吗？请你破译．
A B C D E
1 中 工 国 主 真
2 学 是 以 它 这
3 的 从 趣 我 经
4 喜 地 数 上 了
5 一 有 要 人 欢
25．（10分）（2024春 建邺区期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
（1）小明先取物距u＝1.5f，然后画出光路图（如图①），其中AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC∥光轴，折射光线CA′经过焦点C′，A′B′为AB所成的像．根据光路图①可知，当u＝1.5f时，物体经凸透镜折射后成 　 　 （填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
（2）小明又取物距 u＝2f．
①当u＝2f时，v＝　 　 （用含有f的代数式表示）；
②当u＝2f时，物体经凸透镜折射后成 　 　 （填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释；
（3）实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当u＞f时，请解答下列问题：
①请直接写出v与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图象；
②试说明：u+v≥4f．
湖南省长沙市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 巢湖市期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是不轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，理解轴对称定义是关键．
2．（3分）（2023秋 武汉期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则AD：BD＝（　　）
A．3：1 B．3：2 C．4：1 D．2：1
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先求出∠BCD＝30°，设BD＝x，在Rt△BCD中根据∠BCD＝30°，得BC＝2BD＝2a，再利用勾股定理得CD，然后在RtACD中根据∠A＝30°，得AC＝2CD，再由勾股定理求出AD＝3a，进而可得AD：BD的值．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD是高，
∴△BCD和△ACD均为直角三角形，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
设BD＝x，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝a，
∴BC＝2BD＝2a，
由勾股定理得：CD，
在RtACD中，CD，∠A＝30°，
∴AC＝2CD，
由勾股定理得：AD3a，
∴AD：BD＝3a：a＝3：1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
3．（3分）（2023春 湛江期末）一个正多边形的每个外角都等于45°，那么它是（　　）
A．正十二边形 B．正十边形
C．正八边形 D．正六边形
【考点】多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正多边形的外角和为360°，且每个都等于45°可得边数为360÷45＝8，据此可得出答案．
【解答】解：∵正多边形的外角和为360°，
又∵正多边形的每个都等于45°，
∴正多边形的边数为：360÷45＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形的外角，理解正多边形的外角和等于360°，每个外角都相等是解答此题的关键．
4．（3分）（2025春 宿松县期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠5＝∠B，④∠B+∠BAD＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中任选一个条件，能够直接得到AB∥CD的条件有几个？（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故①不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故②符合题意；
∵∠5＝∠B，
∴AB∥CD，
故③符合题意；
∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
故④不符合题意；
∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
故⑤符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5．（3分）（2024秋 黄埔区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3 a2＝a5，故此选项符合题意；
B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故此选项不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝4cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　）
A．4cm B．5cm C．13cm D．无法确定
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴AD＝DB，
∴△ACD的周长﹣△BCD的周长
＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）
＝AC﹣BC
＝5（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．（3分）（2023秋 新城区校级期中）如图，在△ABD和△ACD中，AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，若∠PAQ＝30°，AD＝2，则△ABC的周长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由垂直平分线得到AB＝AD＝AC＝2，由等腰三角形的性质求得∠BAC＝60°，证得△ABC为等边三角形，即可求得答案．
【解答】解：∵AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，
∴AB＝AD＝AC＝2，
∴∠BAP＝∠DAP∠BAD，∠CAQ＝∠DAQ∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝2（∠DAP+∠DAQ）＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴△ABC的周长为＝AB+BC+AC＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活应用相关知识是解决问题的关键．
8．（3分）（2024春 长清区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；
②当BD＝CE时，AE＝4
③当△ADE为等腰三角形时，∠BDA＝2∠B或
④当点D为BC的中点时，DE＝4.8．其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】①根据等腰三角形性质得∠B＝∠C，在根据∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝∠B得∠BAD＝∠EDC，进而得∠BAD+∠B＝∠EDC+∠C，据此可对结论结论①进行判断；
②证明△BAD和△EDC全等得CD＝AB＝10，BD＝CE，则BD＝BC﹣CD＝6，进而BD＝CE＝6，由此可求出AE＝AC﹣CE＝4，据此可对结论结论②进行判断；
③根据∠ADE＝∠B＝∠C，∠AED＞∠C得∠AED＞∠ADE，因此当△ADE为等腰三角形时有以下两种情况：（ⅰ）当AE＝DE时，则∠EAD＝∠ADE＝∠B，进而得∠DEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠B，再由结论①正确得∠BDA＝∠DEC＝2∠B，（ⅱ）当AD＝ED时，则∠DEA＝∠DAE（180°﹣∠ADE）＝90°∠B，进而得∠DEC＝180°﹣∠DEA＝90°∠B，再由结论①正确得∠BDA＝∠DEC＝90°∠B，据此可对结论结论③进行判断；
④当点D为BC的中点时，则AD⊥BC，BD＝CD＝1/2BC＝8，∠DEC＝∠BDA＝90°，由勾股定理求出AD＝6，再由三角形的面积公式求出DE，即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴∠BAD+∠B＝∠EDC+∠C，
∵∠BAD+∠B+∠BDA＝180°，∠EDC+∠C+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠BDA，
故结论①正确；
②由①可知：∠B＝∠C，∠BAD＝∠EDC，
在△BAD和△EDC中，
，
∴△BAD≌△EDC（AAS），
∴CD＝AB＝10，BD＝CE，
∴BD＝BC﹣CD＝16﹣10＝6，
∴BD＝CE＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4，
故结论②正确；
③∵∠ADE＝∠B＝∠C，∠AED＞∠C，
∴∠AED＞∠ADE，
∴AD＞AE，
∴当△ADE为等腰三角形时，有以下两种情况：
（ⅰ）当AE＝DE时，如图1所示：
则∠EAD＝∠ADE＝∠B，
∴∠DEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠B，
由结论①正确得：∠DEC＝∠BDA，
∴∠BDA＝2∠B，
（ⅱ）当AD＝ED时，如图2所示：
则∠DEA＝∠DAE（180°﹣∠ADE）（180°﹣∠B）＝90°∠B，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA＝180°﹣（90°∠B）＝90°∠B，
∴∠BDA＝90°∠B，
综上所述：当△ADE为等腰三角形时，∠BDA＝2∠B或90°∠B，
故结论③正确；
④当点D为BC的中点时，如图3所示：
∵在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，
∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝8，
∴∠DEC＝∠BDA＝90°，
即DE⊥AC，
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝8，
由勾股定理得：AD6，
由三角形的面积公式得：S△ACDAC DE2AD CD，
∴DE4.8，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
9．（3分）（2025春 惠安县期末）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，AD＝8，BE＝5，则AE的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】由△ABC≌△DEF得AB＝DE，进而可得AE＝BD，利用线段的和差即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AD＝8，BE＝5，
∴AB＝DE，
∴AB﹣BE＝DE﹣BE，
∴AE＝BD，
∴AE+BD＝3，
∴AE＝1.5．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等．
10．（3分）（2022春 桦南县校级月考）在直线l上依次摆着几个正方形（如图），已知斜放的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放的四个正方形的面积分别是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】证明△ABC≌△BED，推出S1+S2＝1，同理可得到S3+S4的值，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD．
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（SAS），
∴BC＝DE．
∵S2＝DE2，DE＝BC，
∴S2＝BC2．
∵S1＝AC2，S2＝BC2，AC2+BC2＝AB2，AB2＝1，
∴S1+S2＝1．
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 绥化期中）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 　三角形具有稳定性　 ．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】三角形具有稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
12．（3分）对称现象无处不在．请你观察如图三个图案，它们体现了中华民族的传统文化，其中可以看成是轴对称图形的有 　3　 个．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】3．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析解答即可．
【解答】解：图中的3个图形都是轴对称图形．
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
13．（3分）（2025春 卢龙县期末）如图，BP、CP分别是△ABC 的内角、外角平分线，若∠P＝40°，则∠A＝　80°　 ．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】80°．
【分析】根据角平分线的定义得∠PCB∠ABC，∠PCD∠ACD，
再根据三角形外角性质得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，所以（∠A+∠ABC）∠ABC+∠P，然后整理可得∠A＝2∠P，据此即可得解．
【解答】解：如图，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠PCB∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠A＝2∠P，
∵∠P＝40°，
∴∠A＝80°，
故答案为：80°．
【点评】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
14．（3分）（2024 临夏州）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 　（1，4）　 ．
【考点】全等三角形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的全等；推理能力．
【答案】（1，4）．
【分析】根据点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，得到△BAD≌△ABC，得到AD＝BC，BD＝AC，画出图形，利用数形结合的思想求解即可．
【解答】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD 与△ABC 全等，
∴△BAD≌△ABC，
∴AD＝BC，BD＝AC，如图所示：
由图可知：D（1，4）；
故答案为：（1，4）．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的性质．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
15．（3分）（2024春 覃塘区期末）若2 8x＝27，则x的值为 　2　 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用幂的乘方及同底数幂乘法法则即可求得答案．
【解答】解：∵2 8x＝27，
∴2 （23）x＝27，
则2 23x＝27，
即23x+1＝27，
那么3x+1＝7，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查幂的乘方及同底数幂乘法，将原式进行正确的变形是解题的关键．
16．（3分）（2023秋 江都区期末）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC，射线AE在AC上方，∠EAC＝60°，点M为边AB上一动点，点D是AC中点，将△AMD沿着AE翻折得△ANF，连接CM、DN，则CM+DN最小值为 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接FM，CF，作FW⊥CA，交CA的延长线于点W，可证得△AFM≌△ADN，从而FM＝DN，从而得出CM+DN＝CM+FM≥CF，当点C、M、F共线时，CM+FM最小，最小值是CF的长，可求得AC＝2，进而得出AF＝AD＝1，∠FAW＝60°，从而求得AW，FW，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
连接FM，CF，作FW⊥CA，交CA的延长线于点W，
∵△AMD沿着AE翻折得△ANF，
∴AF＝AD，∠FAN＝∠DAM，AN＝AM，
∴∠FAN+∠NAM＝∠DAM+∠NAM，
∴∠FAM＝∠NAD，
∴△AFM≌△ADN（SAS），
∴FM＝DN，
∴CM+DN＝CM+FM≥CF，
∴当点C、M、F共线时，CM+FM最小，最小值是CF的长，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC，
∴∠FAN＝∠BAC＝30°，ACBC＝2，
∵点D是AC的中点，
∴AF＝AD＝CD＝1，
∵∠FAE＝∠CAE＝60°，
∴∠FAC＝120°，
∴∠FAW＝60°，
∴AW，FW，
∴CW＝AC+AW，
∴CF，
∴CM+DN的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是利用三角形全等转化线段DN．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2023春 忠县期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）先计算算术平方根、绝对值和平方，再计算加减；
（2）先计算零次幂、算术平方根、绝对值和立方根，再计算加减．
【解答】解：（1）
1﹣3+4
；
（2）
＝8﹣2﹣3﹣1
＝2．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．（6分）（2025春 南靖县期中）已知：关于x、y的二元一次方程组
（1）求5x+y的值．
（2）若方程组的解x、y满足﹣3＜x﹣y＜1，且m为整数，求m的值．
【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）7；
（2）1．
【分析】（1）利用加减消元法求得x、y的值，代入5x+y计算即可；
（2）依据方程组的解x、y满足﹣3＜x+y＜1，即可得到m的取值范围，再根据m为整数，即可得出m的值．
【解答】解：（1）①+②得：4x＝6﹣2m，
解得x，
把x代入①得：y，
∴5x+y＝57；
（2）∵方程组的解x、y满足﹣3＜x﹣y＜1，
∴﹣31，
解得m，
又∵m为整数，
∴m的值为1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的应用以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
19．（6分）（2023秋 西青区校级期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；点的坐标；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）A1（2，2），B1（3，﹣2），C1（1，0）．
（3）3．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A1（2，2），B1（3，﹣2），C1（1，0）．
（3）△ABC的面积为3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（8分）（2024秋 宁津县校级期中）计算：
（1）﹣（a2b）3+2a2b （﹣3a2b）2+30；
（2）化简求值（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中．
【考点】整式的混合运算—化简求值；零指数幂．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）17a6b3+1；
（2）12xy+10y2，．
【分析】（1）先算积的乘方和零指数幂，再算单项式乘单项式即可；
（2）先用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a6b3+2a2b 9a4b2+1
＝﹣a6b3+18a6b3+1
＝17a6b3+1；
（2）原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x，y时，
原式＝12（）+10×（）2
＝﹣2
．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．
21．（8分）（2025 温州模拟）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE．
（1）求证：∠ADC＝∠BCE．
（2）若∠A＝50°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠CDE的度数是35°．
【分析】（1）由AD∥BE，得∠A＝∠B，而AC＝BE，AD＝BC，即可根据“SAS”证明△ADC≌△BCE，则∠ADC＝∠BCE；
（2）由∠A＝50°，∠ADC＝30°，求得∠BCD＝∠A+∠ADC＝80°，由全等三角形的性质得CD＝EC，∠ADC＝∠BCE＝30°，则∠CDE＝∠CED，∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝110°，由2∠CDE+110°＝180°，求得∠CDE＝35°．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BCE．
（2）解：∵∠A＝50°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝∠A+∠ADC＝80°，
由（1）得△ADC≌△BCE，
∴CD＝EC，∠ADC＝∠BCE＝30°，
∴∠CDE＝∠CED，∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝110°，
∵∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°，
∴2∠CDE+110°＝180°，
∴∠CDE＝35°，
∴∠CDE的度数是35°．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明△ADC≌△BCE是解题的关键．
22．（9分）（2025 天府新区校级模拟）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
（1）求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
（2）如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元；
（2）学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾．
【分析】（1）设毛巾的单价是x元，扫把簸箕套装的单价是y元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校应购进m套扫把簸箕套装，则购进3m条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入3m中，即可求出购进毛巾的数量．
【解答】解：（1）设毛巾的单价是x元，扫把簸箕套装的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元；
（2）设学校应购进m套扫把簸箕套装，则购进3m条毛巾，
按方案1购买时，，
解得：m＝50，
∴3m＝3×50＝150（条）；
按方案2购买时，，
∵该不等式组无解，
∴不能按方案2购买．
答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（9分）（2024秋 武进区校级期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D使DE∥BC．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）35°．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得：∠ABE＝∠EBC，然后利用平行线的性质可得∠DEB＝∠EBC，从而可得∠ABE＝∠DEB，进而可得DB＝DE，即可解答；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ADE，再根据平行线的性质得出∠ABC，然后根据角平分线的定义得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△DEB是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝65°，∠AED＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBC∠ABC＝35°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质和判定，三角形内角和定理等，平行线的性质是求角的度数的常用方法．
24．（10分）在下列方格中有25个汉字，如果汉字“地”用B4表示，那么按这种表示方法“要”、“中”分别可以用什么表示？D4、E3分别表示什么字？小明用这种方法写了下面一句话：C4A2E1B5C3，D3A4E5D2．
你知道小明说了什么吗？请你破译．
A B C D E
1 中 工 国 主 真
2 学 是 以 它 这
3 的 从 趣 我 经
4 喜 地 数 上 了
5 一 有 要 人 欢
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】C5、A1，“上”、“经”，“数学真有趣，我喜欢它”．
【分析】由“地”用B4表示可知，数对中第一个字母表示列，第二个数字表示行；根据题意知：字母与数字交叉的点，就是代表的汉字，据此进一步解答．
【解答】解：“要”、“中”分别可以用C5、A1表示，D4、E3分别表示“上”、“经”．
C4A2E1B5C3，D3A4E5D2分别表示数学真有趣，我喜欢它，
同理可知：小明说的是“数学真有趣，我喜欢它”．
【点评】本题考查物体位置的确定，掌握题中表示物体位置的方法是解题的关键．
25．（10分）（2024春 建邺区期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
（1）小明先取物距u＝1.5f，然后画出光路图（如图①），其中AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC∥光轴，折射光线CA′经过焦点C′，A′B′为AB所成的像．根据光路图①可知，当u＝1.5f时，物体经凸透镜折射后成 　放大　 （填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
（2）小明又取物距 u＝2f．
①当u＝2f时，v＝　2f　 （用含有f的代数式表示）；
②当u＝2f时，物体经凸透镜折射后成 　等大　 （填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释；
（3）实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当u＞f时，请解答下列问题：
①请直接写出v与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图象；
②试说明：u+v≥4f．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）放大；
（2）①2f；
②等大，理由见解析；
（3），图象见解析；
②理由见解析．
【分析】（1）根据图象直接回答；
（2）①把u＝2f代入即可得到结论；
②根据题意画出光路图，由u＝2f，v＝2f，得到u＝v，即BO＝B′O，根据全等三角形的判定和性质定理得到AB＝A'B'；于是得到u＝2f时，呈等大的像；
（3）①列表：描点、连线画出图象即可；
②由 得到，求出，于是得到结论．
【解答】解：（1）当u＝1.5f时，物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像；
故答案为：放大；
（2）①∵，
∴，
∴v＝2f，
故答案为：2f；
②等大；
如图，
理由：∵u＝2f，v＝2f，
∴u＝v，即BO＝B′O，
∵AB⊥BB′，A'B'⊥BB'；
∴∠ABO＝∠A'B'O＝90°，
∵∠AOB＝∠A'OB'，
∴△AOB≌△A'OB'（AAS），
∴AB＝A'B'；
∴u＝2f时，呈等大的像；
（3），
列表：
u … f f 2f 3f 4f …
v … 4f 3f 2f f f …
描点、连线：
如图③所示，
②理由：由 得：，
∴，
∴，
∴u+v≥4f．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，凸透镜成像，正确地画出光路图和函数的图象是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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