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湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 嘉定区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n）
2．（3分）（2022秋 平城区校级月考）按照国际航天届的惯例，很多航天任务都会特别设计一枚图标，下列航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2025 广州二模）如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
4．（3分）（2022秋 郾城区校级期中）若抛物线y＝2（x+m﹣1）2﹣3m+6的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1
5．（3分）（2024 榆阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OC、OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
6．（3分）（2024秋 青羊区校级期中）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则白球有（　　）个．
A．27 B．30 C．33 D．36
7．（3分）（2025 西安校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1﹣a的图象不经过第三象限，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．0＜a≤1 C． D．
8．（3分）（2024秋 西城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝3，CD＝8，那么直径AB的长为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
9．（3分）（2025 甘肃模拟）一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
10．（3分）（2024秋 静安区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示a+b的值，那么P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 亭湖区校级期中）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形、正四边形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为　 　 ．
12．（3分）（2024 雨花台区模拟）甲同学在5次数学考试中，得分如下：89，85，91，95，90．其得分的中位数是 　 　 ．
13．（3分）（2024秋 西城区校级月考）将抛物线y＝x2向 　 　 平移 　 　 个单位得到抛物线y＝（x﹣6）2．
14．（3分）（2020秋 泰兴市月考）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为 　 　 （结果保留π）．
15．（3分）（2024秋 市南区校级期中）如图，矩形ABCD中，∠BCD的角平分线交AD于点E，F是AB延长线上一点，满足BF＝AE，连接EF，CF．当∠EFC＝60°时，则 　 　 ．
16．（3分）（2025 涿州市一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2022春 东莞市校级期中）计算：﹣12020|2|．
18．（6分）（2023 余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
19．（6分）（2023春 资中县月考）如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB交直线
AC于点D．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求证：BD BP＝DA OA；
（3）若BD＝4PA，求cos∠OPA的值．
20．（8分）（2023 市中区二模）有史料记载，内江钟鼓楼始建于明洪武初年，天顺六年至万历年间，曾先后二毁两修，清光绪年间，又毁于火后复修．在没有高层建筑的时代，一直流传着“内江有座钟鼓楼，半截还在天里头”的说法．它位于内江城区中心，建筑规模极小，但历史内涵极为丰富，被称为内江“袖珍博物馆”，现已申报国家级重点文物保护单位；学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
21．（8分）（2022秋 天山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF//CD，∠B＝45°时，EC与BD之间有怎样的数量关系．
22．（9分）（2024秋 邓州市期中）聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，邓州市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金600万元，2023年比2021年投入资金多264万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个50万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
23．（9分）（2025 分宜县模拟）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是BC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且∠ABC＝∠E．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，，连接AD，求AD的长．
24．（10分）（2024 沭阳县校级一模）如图1，在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　 °；
（2）若AD＝BC，求sin∠DBC的值；
（3）如图2，过点C作CE∥AB，请仅用无刻度的直尺在射线CE上作点F，使得BF与⊙O相切（保留作图痕迹，不写作法）．
25．（10分）（2023 常州）如图，二次函数yx2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．
（1）b＝　 　 ；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 嘉定区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n）
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】设小长方形卡片的长为a，宽为b，结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），
L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），
∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影
＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）
＝4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝m，
∴4m+4n﹣4（a+2b）
＝4n．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
2．（3分）（2022秋 平城区校级月考）按照国际航天届的惯例，很多航天任务都会特别设计一枚图标，下列航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）（2025 广州二模）如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接AC，OC，OB，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H，设圆的半径是r，判定△OAC是等边三角形，由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠BOC＝∠AOC＝60°，求出∠BOH＝60°，得到∠OBH＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到OHr，求出BHr，由勾股定理得到r2，求出r＝4．
【解答】解：连接AC，OC，OB，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H，
设圆的半径是r，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC＝OC，ODOAr，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵C是弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠BOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OBH＝90°﹣60°＝30°，
∴OHOBr，
∴BHOHr，DH＝OD+OH＝r，
∵BH2+DH2＝BD2，
∴r2，
∴r＝4，
∴该圆的半径为4．
故选：A．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是判定△OAC是等边三角形，由勾股定理列出关于r的方程．
4．（3分）（2022秋 郾城区校级期中）若抛物线y＝2（x+m﹣1）2﹣3m+6的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1
【考点】二次函数的性质．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】求出函数的顶点坐标为（1﹣m，﹣3m+6），再由第二象限点的坐标特点得到：1﹣m＜0，﹣3m+6＞0即可求解．
【解答】解：∵y＝2（x+m﹣1）2﹣3m+6，
∴顶点为（1﹣m，﹣3m+6），
∵顶点在第二象限，
∴1﹣m＜0，﹣3m+6＞0，
∴1＜m＜2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合第二象限内点的坐标特点求解是关键．
5．（3分）（2024 榆阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OC、OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，OB＝OC＝OD，
∴∠BOD＝360°﹣2∠BCD＝150°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD，∠BOC＝2∠COD，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，多边形内角和，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的判定及性质是关键．
6．（3分）（2024秋 青羊区校级期中）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则白球有（　　）个．
A．27 B．30 C．33 D．36
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为0.1，由此根据概率计算公式建立方程求解即可．
【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在10%附近，估计摸到红球的概率为0.1，
∴红球有40×0.1＝4（个），
∴白球有40﹣4＝36（个）；
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．
7．（3分）（2025 西安校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1﹣a的图象不经过第三象限，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．0＜a≤1 C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质，结合二次函数y＝ax2﹣4ax+1﹣a的图象不经过第三象限，可得a＞0，且抛物线与y轴的交点的纵坐标为非负数，再进一步解答即可．
【解答】解：由条件可知a＞0，对称轴为直线x＝2且抛物线与y轴的交点的纵坐标为非负数，
∴1﹣a≥0，
∴a≤1，
综上：0＜a≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质．熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）（2024秋 西城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝3，CD＝8，那么直径AB的长为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，再根据勾股定理求出OD，再根据圆的性质求解即可．
【解答】解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CD＝8，
∴DE＝CECD＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD5，
∴AB＝2OD＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．
9．（3分）（2025 甘肃模拟）一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据判别式的值判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2+4x+5＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（3分）（2024秋 静安区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示a+b的值，那么P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），得P＝9a﹣3b+c＝0，对称轴为直线x1，根据抛物线开口向下，得a＜0，b＜0，所以Q＝a+b＜0，即可得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），
∴P＝9a﹣3b+c＝0，对称轴为直线x1．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵1，
∴b＝2a＜0，
∴Q＝a+b＜0，
∴P＞Q．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 亭湖区校级期中）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形、正四边形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为　12　 ．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOC＝90°，∠AOB＝120°，则∠BOC＝30°，然后计算即可得到n的值．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AC，AB分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC90°，∠AOB120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
12．（3分）（2024 雨花台区模拟）甲同学在5次数学考试中，得分如下：89，85，91，95，90．其得分的中位数是 　90　 ．
【考点】中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】90．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：题目中数据共有5个，
按从小到大排列为85，89，90，91，95，故中位数是按从小到大排列后第三个数，
故这组数据的中位数是90．
故答案为：90．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（3分）（2024秋 西城区校级月考）将抛物线y＝x2向 　右　 平移 　6　 个单位得到抛物线y＝（x﹣6）2．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】右；6．
【分析】依据题意，根据二次函数图象的平移规律，即可得到答案．
【解答】解：由题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，
∴将抛物线y＝x2向右平移6个单位长度得到抛物线y＝（x﹣6）2．
故答案为：右，6．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，熟记二次函数图象的平移规律是解决问题的关键．
14．（3分）（2020秋 泰兴市月考）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为 　3π　 （结果保留π）．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】3π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【解答】解：π×1×3＝3π．
答：则该圆锥侧面积为3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积．解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式．
15．（3分）（2024秋 市南区校级期中）如图，矩形ABCD中，∠BCD的角平分线交AD于点E，F是AB延长线上一点，满足BF＝AE，连接EF，CF．当∠EFC＝60°时，则 　　 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】设BF＝AE＝a，CD＝b，其中a＞0，b＞0依题意得△DCE是等腰直角三角形，则DE＝CD＝b，进而得BC＝AD＝AF＝a+b，由此可证明△BCF和△AFE全等，则CF＝FE，进而得△CEF是等边三角形，则CE＝EF，然后利用勾股定理求出，进而即可得出答案．
【解答】解：设BF＝AE＝a，CD＝b，其中a＞0，b＞0，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝b，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴AF＝BF+AB＝a+b，∠CBF＝∠A＝90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD＝b，
∴BC＝AD＝AE+DE＝a+b，
∴BC＝AF＝a+b，
在△BCF和△AFE中，
，
∴△BCF≌△AFE（SAS）
∴CF＝FE，
∵∠EFC＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE＝EF，
在Rt△DEF中，DE＝CD＝b，
由勾股定理得：CE，
在Rt△AEF中，AE＝a，AF＝a+b，EF＝CE，
由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，
∴，
整理得：b2﹣2ab＝2a2，
∴（b﹣a）2＝3a2，
∴b﹣a，
∴，或（不合题意，舍去），
∴AD＝a+b，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
16．（3分）（2025 涿州市一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　m≤5　 ．
【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】m≤5．
【分析】由完美点的概念可得：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由只有一个完美点可得判别式Δ＝16﹣4ac＝0，得方程根为2，从而求得a＝﹣1，c＝﹣4，所以函数y＝ax2+5x+cx2+5x，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【解答】解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴Δ＝16﹣4ac＝0，则4ac＝16，
∴方程根为x2，
∴a＝﹣1，c＝﹣4．
∴函数y＝ax2+5x+cx2+5x，该二次函数顶点坐标为（，1），
与y轴交点为（0，），根据对称规律，
点（5，）也是该二次函数图象上的点．
在x左侧，y随x的增大而增大；在x右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+5x的最小值为，最大值为1，则m≤5．
故答案为：m≤5．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2022春 东莞市校级期中）计算：﹣12020|2|．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣4+2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）（2023 余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；两条直线相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．
【答案】（1）所求二次函数表达式为，顶点为（﹣2，﹣1）；
（2）x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【分析】（1）设函数的交点式为y1＝a（x+1）（x+3），化为一般式，比较系数求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函数表达式可设为y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函数表达式为．
∵，
∴其图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
（2）直线y2与抛物线y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根据图象可知：x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
19．（6分）（2023春 资中县月考）如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB交直线
AC于点D．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求证：BD BP＝DA OA；
（3）若BD＝4PA，求cos∠OPA的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠POB＝∠POA．
在△POB与△POA中，
，
∴△POB≌△POA（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知∠DBO＝∠DAP＝90°，△POB≌△POA，
∴OB＝OA，BP＝AP，
∵∠BDO＝∠ADP，
∴△DBO∽△DAP，
∴，
∴BD AP＝DA OB；
∴BD BP＝DA OA；
（3）cos∠OPA．
【分析】（1）连接OB．利用SAS证明△POB≌△POA，根据全等三角形对应角相等得出∠PBO＝∠PAO＝90°，即直线PB是⊙O的切线；
（2）根据全等三角形的性质得到OB＝OA，BP＝AP，证明△DBO∽△DAP，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）由BD＝4PA，PA＝PB，得到DP＝5PA，求得sinD，设OA＝OB＝OC＝r，根据勾股定理得到BD2r，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠POB＝∠POA．
在△POB与△POA中，
，
∴△POB≌△POA（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知∠DBO＝∠DAP＝90°，△POB≌△POA，
∴OB＝OA，BP＝AP，
∵∠BDO＝∠ADP，
∴△DBO∽△DAP，
∴，
∴BD AP＝DA OB；
∴BD BP＝DA OA；
（3）解：∵BD＝4PA，PA＝PB，
∴DP＝5PA，
∴sinD，
设OA＝OB＝OC＝r，
∴OD＝5r，
∴BD2r，
∴AP＝BPAPr，
∴OPr，
∴cos∠OPA．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（8分）（2023 市中区二模）有史料记载，内江钟鼓楼始建于明洪武初年，天顺六年至万历年间，曾先后二毁两修，清光绪年间，又毁于火后复修．在没有高层建筑的时代，一直流传着“内江有座钟鼓楼，半截还在天里头”的说法．它位于内江城区中心，建筑规模极小，但历史内涵极为丰富，被称为内江“袖珍博物馆”，现已申报国家级重点文物保护单位；学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；运算能力；推理能力．
【答案】（1）200，7.2度；
（2）3360人；
（3）．
【分析】（1）根据“基本了解”的人数除以占比求得m点的值，根据360°乘以“不太了解”的占比即可求解；
（2）根据样本估计总体，由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，用12000×28%，即可求解；
（3）根据题意画出树状图，列出可能结果，进而根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况画树状图如图所示，
由上表可知，一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用画树状图法求概率；画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率＝所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是关键．
21．（8分）（2022秋 天山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF//CD，∠B＝45°时，EC与BD之间有怎样的数量关系．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）ECBD；理由见解答过程．
【分析】（1）根据旋转的性质可得CD＝CF，∠DCF＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠ECF，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠F＝90°，再根据全等三角形对应角相等可得∠BDC＝∠F，推导出△BDC是等腰直角三角形，进而得解．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS）；
（2）解：ECBD；理由如下：
∵EF∥CD，
∴∠F+∠DCF＝180°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠F＝90°，
∵△BDC≌△EFC，
∴∠BDC＝∠F＝90°，BC＝EC，
∵∠B＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BCBD，
∴ECBD．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，难点在于利用同角的余角相等求出相等的角．
22．（9分）（2024秋 邓州市期中）聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，邓州市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金600万元，2023年比2021年投入资金多264万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个50万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）该市改造小区投入资金的年平均增长率为20%；
（2）该市2024年最多可以改造17个小区．
【分析】（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2021年投入资金600万元，2023年比2021年投入资金多264万元．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该市在2024年可以改造y个小区，根据2023年小区改造的平均费用为每个50万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：600（1+x）2＝600+264，
解得：x1＝﹣2.2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），x2＝0.2＝20%，
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为20%；
（2）设该市2024年可以改造y个小区，
依题意得：50×（1+20%）y≤864×（1+20%），
解得：y≤17.28，
又∵y为整数，
∴y的最大值为17．
答：该市2024年最多可以改造17个小区．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（9分）（2025 分宜县模拟）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是BC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且∠ABC＝∠E．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，，连接AD，求AD的长．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）证明OD∥AC，可得∠ACB＝90°＝∠ODB，证明∠OAE＝90°，进一步可得结论；
（2）先求解，证明△AOE∽△CAB，可得，即，再进一步求解即可．
【解答】（1）证明：由题意可得：OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
由题意可得：∠ACB＝90°＝∠ODB，
∴∠B+∠BOD＝90°，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴AE⊥AB，而OA为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由题意可得：，
∴OA＝4，
∴，
∵∠OAE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠E，
∴△AOE∽△CAB，
∴，即，
解得，
∵OD⊥BC，
∴，
∴．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，熟练的证明切线与相似三角形是解本题的关键．
24．（10分）（2024 沭阳县校级一模）如图1，在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，则∠DBC＝　20　 °；
（2）若AD＝BC，求sin∠DBC的值；
（3）如图2，过点C作CE∥AB，请仅用无刻度的直尺在射线CE上作点F，使得BF与⊙O相切（保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；尺规作图；运算能力；推理能力．
【答案】（1）20；（2）；（3）作图见解析．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠ABC的度数，再利用圆周角定理解答即可；
（2）设BE与⊙O交于点E，连接AE，设AD＝BC＝a，CD＝x，则AB＝AC＝AD+CD＝a+x，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得x，a的关系式，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
（3）过点B作BF⊥AB，利用圆的切线的判定定理的知识即可画出图形．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C70°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝20°．
故答案为：20；
（2）设BE与⊙O交于点E，连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABE∽△BCD，
∴．
设AD＝BC＝a，CD＝x，则AB＝AC＝AD+CD＝a+x，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝ECBCa，
∴，
∴x2+ax0．
解得：xa（负数不合题意，舍去），
∴CDa．
∴sin∠DBC．
（3）连接BC，在射线CE上用无刻度的直尺截取CF＝CD，连接BF，则点F为所找的点．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，基本作图，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（10分）（2023 常州）如图，二次函数yx2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．
（1）b＝　﹣1　 ；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A（﹣2，0）代入yx2+bx﹣4即可求得b；
（2）设D（2t，5t），从而得出，求得t的值，从而求得点D坐标，设新抛物线设为：y（x﹣m）2，将点D坐标代入求得m的值，进一步得出结果；（3）作PV⊥CQ 于V，设P（t，），从而得出平移后的抛物线为：y（x﹣t）2+（），进而表示出Q的坐标，计算得出CV＝QV，从而得出PV＝CV＝QV，由此列出|t﹣1|，求得t的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
2b﹣4＝0，
∴b＝﹣1；
（2）∵tan∠AOD，
∴设D（2t，5t），
∴，
∴t1，t2＝4（舍去），
∴D（﹣1，），
∵yx﹣4（x﹣1）2，
∴新抛物线设为：y（x﹣m）2，
∴，
∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），
∴y（x+3）2，
∵在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
∴k≤﹣3；
（3）如图，
作PV⊥CQ 于V，
设P（t，），
∴平移后的抛物线为：y（x﹣t）2+（），
当x＝1时，y＝t2﹣2t，
∴Q（1，t2﹣2t），
∵0，
∴∠CPQ＝90°，
∵QV＝（t2﹣2t）﹣（）t，
CV＝（t﹣4）﹣（）t，
∴QV＝CV，
∴PV＝CV＝QV，
∴|t﹣1|，
∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），
当t＝3时，y32﹣3﹣4，
∴P（3，）或（﹣1，）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，平移的性质，等腰的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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