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湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 巴彦县校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2024春 苏州期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．打开电视机，正在播放广告
B．下雨天，每个人都打着雨伞
C．若x＞y，则﹣2x＞﹣2y
D．若实数a≠0，则|a|＞0
3．（3分）下列说法中，错误的是（　　）
A．在y＝3x﹣1中，y+1与x成正比例关系
B．在y中，y与x成正比例关系
C．在y＝2（x+1）中，y与x+1成正比例关系
D．在y＝x+3中，y与x成正比例关系
4．（3分）如图，三个四边形是正方形，则x的值为（　　）
A．30 B．39 C．40 D．41
5．（3分）（2023 长岭县模拟）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．2x＞2y D．
6．（3分）（2024秋 孝南区期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
7．（3分）（2024 毕节市三模）甲、乙、丙、丁四个同学进行跳远测试，每人跳远5次，平均成绩都是2.02米，方差分别是S甲2＝0.15，S乙2＝0.22，S丙2＝0.25，S丁2＝0.36，在本次跳远测试中，四个人里面成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（3分）（2024秋 梁平区期末）已知⊙O的半径为2cm，，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
9．（3分）（2025 碑林区校级模拟）如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．45°
10．（3分）（2024秋 北京校级期中）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 曹县期中）若分式无意义，则x的取值为 　 　 ．
12．（3分）（2024 二道区校级模拟）若关于x的方程x2﹣mx＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　 ．
13．（3分）（2024 榕江县校级二模）已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则a2b+ab2+3ab的值是 　 　 ．
14．（3分）（2024秋 泗阳县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且的长是长的2倍，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，则∠CBD的度数为 　 　 ．
15．（3分）（2025 福田区三模）如图，摩天轮⊙P最高处A离地面l的距离是42米，最低处B离地面l的距离是2米．摩天轮旋转一周需12分钟．若游客从B处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离地面l的距离32米以上的时间有 　 　 分钟．
16．（3分）（2023春 白银期中）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）绕原点O逆时针旋转90°得到点A′，则AA′＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2022秋 横山区期中）计算：．
18．（6分）（2024春 二道区校级期中）先化简，再求值：，其中x＝3．
19．（8分）（2025 兴庆区三模）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为　 　 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．（8分）（2023 内黄县二模）在平面直角坐标系xOy中，过第一象限内点A作AB∥y轴与x轴交于点B，作AC⊥y轴于点C，OB＝OC，反比例函数，x＞0）的图象经过点A，四边形ABOC的面积为16．
（1）如图，则点A的坐标为 　 　 ，k＝　 　 ；
（2）反比例函数的图象上有点P（3，a），y轴正半轴上有点Q（0，b），且BQ⊥PC，求CQ的长．
21．（10分）（2024 钟祥市模拟）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（1≤x≤20，且x为整数）
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了6a盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润＝（售价﹣成本价）×销售量】
22．（10分）（2025 山阳县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点H为BC的中点，连接OH，点D为⊙O上一点，连接CD，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，CD平分∠ACE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若cosA，DE，求CE的长．
23．（12分）（2024 辽阳三模）【问题初探】
（1）如图1，动点A在半径为2的⊙O上，若OB＝3，求AB的最小值．
由于OA和OB都是定长，当点A，B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在OB上时对应的就是AB最小的情形．请按照霖霖的思路完成求AB最小值的解题过程．
【类比分析】
（2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形ABCD边CD和AD上的两个动点，且CE＝DF，连接AE和BF交于点G，连接DG．求DG的最小值．
霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测∠AGB始终都是直角，于是联想到了“90°圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形ABCD内以AB为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解．请按照霖霖的思路完成求DG最小值的解题过程．
【学以致用】
（3）如图3，是两块等腰直角三角板，∠C＝∠DEF＝90°，CA＝CB，ED＝EF＝4．当点D和E同时在边AC和AB上滑动时，点F也随之移动．若连接AF，则AF的最大值是 　 　 ．
24．（12分）（2024 海珠区一模）已知一次函数y＝kx+1的图象经过点B（1，3），与x轴相交于点D，与y轴相交于点E，点C（2，0），记∠DEO＝α．
（1）求k的值；
（2）点A在直线y＝kx+1上，且在点B的下方，以AB为直径的⊙F与线段CD有交点，求⊙F的面积的取值范围．
（3）在（2）的条件下，将线段AB绕点A按逆时针旋转2α得到线段AB′，再将线段AB′绕点B′按顺时针旋转2α得到线段B′A′，再将线段B′A′绕点A′按逆时针旋转2α得到线段A′B″，若抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、A′、B″四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差．
湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 巴彦县校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，
因此选项A不是轴对称图形，选项B，C，D是轴对称图形．
故选A．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形．
2．（3分）（2024春 苏州期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．打开电视机，正在播放广告
B．下雨天，每个人都打着雨伞
C．若x＞y，则﹣2x＞﹣2y
D．若实数a≠0，则|a|＞0
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播放广告”是随机事件，不符合题意；
B、“下雨天，每个人都打着雨伞”是必然事件，不符合题意；
C、“若x＞y，则﹣2x＞﹣2y”是不可能事件，不符合题意；
D、“若实数a≠0，则|a|＞0”是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）下列说法中，错误的是（　　）
A．在y＝3x﹣1中，y+1与x成正比例关系
B．在y中，y与x成正比例关系
C．在y＝2（x+1）中，y与x+1成正比例关系
D．在y＝x+3中，y与x成正比例关系
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
【解答】解：A、∵y＝3x﹣1，
∴y+1＝3x，
∴y+1与x成正比例，故本选项正确，不合题意．
B、∵y，
∴y与x成正比例，故本选项正确，不合题意；
C、∵y＝2（x+1），
∴y与x+1成正比例，故本选项正确，不合题意；
D、∵y＝x+3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
4．（3分）如图，三个四边形是正方形，则x的值为（　　）
A．30 B．39 C．40 D．41
【考点】多边形内角与外角；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，正方形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，过点BCDEF分别作AA′的平行线，MN，PQ，ST，XY，JK，
∵AA′∥MN，
∴∠ABM＝∠A′AB＝30°，
∴∠MBC＝90°﹣30°＝60°，
同理，∠BCQ＝60°，∠DCQ＝124°﹣60°＝64°，
∴∠SDE＝90°﹣64°＝26°，∠FEY＝75°﹣26°＝49°，
∴∠JFG＝90°﹣49°＝41°，
即∠FGG′＝41°，
也就是x＝41．
故选：D．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，正方形的性质，掌握正方形的性质，平行线的性质是正确解答的关键．
5．（3分）（2023 长岭县模拟）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．2x＞2y D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＜y，
∴x﹣2＜y﹣2，故本选项符合题意；
B．∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
C．∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项不符合题意；
D．∵x＜y，
∴，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向该变．
6．（3分）（2024秋 孝南区期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质逐项分析判断如下：
A、在中，当x＝﹣1时，y＝﹣3，∴图象经过点（﹣1，﹣3），原说法错误，故此选项不符合题意；
B、在中，k＝3＞0，∴反比例函数图象位于第一、三象限，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、在中，当x＜0时，y随x的增大而减小，原说法正确，故此选项符合题意；
D、在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质．熟练掌握该知识点是关键．
7．（3分）（2024 毕节市三模）甲、乙、丙、丁四个同学进行跳远测试，每人跳远5次，平均成绩都是2.02米，方差分别是S甲2＝0.15，S乙2＝0.22，S丙2＝0.25，S丁2＝0.36，在本次跳远测试中，四个人里面成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.15，S乙2＝0.22，S丙2＝0.25，S丁2＝0.36，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴在本次跳远测试中，四个人里面成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8．（3分）（2024秋 梁平区期末）已知⊙O的半径为2cm，，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案．
【解答】解：由题意可知：2，
∴⊙O的半径＞OP，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．
9．（3分）（2025 碑林区校级模拟）如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．45°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出l⊥b，由三角形外角的性质得到∠2＝∠1﹣∠3＝30°．
【解答】解：∵直线a∥b，直线l⊥a，
∴l⊥b，
∴∠3＝90°，
∵∠1＝120°，
∴∠2＝∠1﹣∠3＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出l⊥b，由三角形外角的性质即可求出∠2的度数．
10．（3分）（2024秋 北京校级期中）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【解答】解：由题意可得：2x+2y＝10，S＝xy，
∴y＝5﹣x，S＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选A．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 曹县期中）若分式无意义，则x的取值为 　　 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据分式无意义的条件，即可求解．
【解答】解：由题可知当分母为零时，无意义，
即6﹣4x＝0，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分式的分母等于0是解题的关键．
12．（3分）（2024 二道区校级模拟）若关于x的方程x2﹣mx＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m≠0　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m≠0．
【分析】根据根的判别式求出Δ＝（﹣m）2＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣m）2＞0，
解得：m≠0，
故答案为：m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
13．（3分）（2024 榕江县校级二模）已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则a2b+ab2+3ab的值是 　0　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝1，ab＝﹣3，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴a2b+ab2+3ab
＝ab（a+b+3）
＝﹣2×（﹣3+3）
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
14．（3分）（2024秋 泗阳县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且的长是长的2倍，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，则∠CBD的度数为 　105°　 ．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】105°．
【分析】分别求出∠ABC，∠ABD，可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵的长是长的2倍，
∴∠ABC＝2∠CAB，
∴∠CAB＝30°，∠ABC＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ABD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）（2025 福田区三模）如图，摩天轮⊙P最高处A离地面l的距离是42米，最低处B离地面l的距离是2米．摩天轮旋转一周需12分钟．若游客从B处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离地面l的距离32米以上的时间有 　4　 分钟．
【考点】弧长的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂径定理，直角三角形的边角关系求出∠QPM＝∠QPN＝60°，进而得到当点B转到距离地面32米时所转过的角度即可．
【解答】解：如图，当点B到达点M或点N时，距离地面为32米，连接MN交AC于点Q，连接PM，PN，由题意得AB＝42﹣2＝40（米），
∴半径为20米，即PA＝PB＝PM＝PN＝20米，
∴AQ＝42﹣32＝10（米），
在Rt△PQM 中，PM＝20米，PQ＝20﹣10﹣10（米），
∵cos∠QPM，
∴∠QPM＝60°，
同理可得∠QPN＝60°，
当点B转到点M时，转过的角度为180°﹣60°＝120°，
当点B转到点N时，转过的角度为180°+60°＝240°，
∴该游客在离地面l的距离32米以上的时间为12128﹣4＝4（分钟），
故答案为：4．
【点评】本题考查垂径定理．直角三角形的边角关系，掌握垂径定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16．（3分）（2023春 白银期中）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）绕原点O逆时针旋转90°得到点A′，则AA′＝　　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】利用图象法解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知A′（2，1）．
则AA′，
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2022秋 横山区期中）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的性质化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣36
＝3﹣1﹣32
＝2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（6分）（2024春 二道区校级期中）先化简，再求值：，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
，
当x＝3时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）（2025 兴庆区三模）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为　18　 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝　5　 ，b＝　3.5　 ，c＝　3　 ；
（3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数；众数；概率公式．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）①18．
②见解答．
（2）5；3.5；3．
（3）．
【分析】（1）①用360°乘以扇形统计图中1分的百分比可得答案．
②求出第1小组得分为4分的人数，补全第1小组得分条形统计图即可．
（2）根据众数、中位数、平均数的定义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）＝18°．
故答案为：18．
②第1小组得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人）．
补全第1小组得分条形统计图如图所示．
（2）由条形统计图可得，a＝5，
由扇形统计图可得，b＝1×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）+2×30%+3×15%+4×10%+5×40%＝3.5，
将第3小组的20人的得分按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的分数为3分，3分，
∴c＝（3+3）÷2＝3．
故答案为：5；3.5；3．
（3）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、加权平均数、中位数、众数的定义、概率公式是解答本题的关键．
20．（8分）（2023 内黄县二模）在平面直角坐标系xOy中，过第一象限内点A作AB∥y轴与x轴交于点B，作AC⊥y轴于点C，OB＝OC，反比例函数，x＞0）的图象经过点A，四边形ABOC的面积为16．
（1）如图，则点A的坐标为 　（4，4）　 ，k＝　16　 ；
（2）反比例函数的图象上有点P（3，a），y轴正半轴上有点Q（0，b），且BQ⊥PC，求CQ的长．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（4，4），16；
（2）5．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AC＝AB，∠ACO＝∠ABO＝90°，求得点A的坐标为（4，4），于是得到结论；
（2）把P（3，a）代入反比例函数的解析式，得到P（3，），延长PC交x轴于E，根据全等三角形到现在得到OQ＝OE，得到点C（0，4），P（3，），设直线CP的解析式为y＝kx+b，解方程组得到直线CP的解析式为yx+4，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABOC是正方形，
∴AC＝AB，∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵四边形ABOC的面积为16，
∴AC＝AB＝4，
∴点A的坐标为（4，4），
∵反比例函数，x＞0）的图象经过点A，
∴k＝4×4＝16；
故答案为：（4，4），16；
（2）∵反比例函数的图象上有点P（3，a），
∴P（3，），
延长PC交x轴于E，
∵∠COE＝∠QOE＝90°，BQ⊥PC，∠OCE＝∠QCP，
∴∠COE＝∠BQO，
∵OC＝OB，
∴△COE≌△BOQ（AAS），
∴OQ＝OE，
∴点C（0，4），P（3，），
设直线CP的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
直线CP的解析式为yx+4，
当y＝0时，x＝﹣9，
∴E（﹣9，0），
∴OQ＝OE＝9，
∴CQ＝OQ﹣OC＝9﹣4＝5．
【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S|k|．
21．（10分）（2024 钟祥市模拟）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（1≤x≤20，且x为整数）
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了6a盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润＝（售价﹣成本价）×销售量】
【考点】一次函数的应用；二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）p＝﹣2x+80；
（2）第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）5．
【分析】1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）设日销售利润为w元，根据销售利润＝售价﹣成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据题意得：当天售价为元，销售量为78+6a，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：
，
解得：，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元，依题意得：
；
∵，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）当天售价为元，销售量为（78+6a）盏，
根据题意得：（30﹣a﹣20）（78+6a）﹣450＝90，
即a2+3a﹣40＝0，
解得：a＝5或a＝﹣8（不合题意，舍去），
∴a的值为5．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用及一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，根据数量关系列出函数解析式是关键．
22．（10分）（2025 山阳县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点H为BC的中点，连接OH，点D为⊙O上一点，连接CD，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，CD平分∠ACE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若cosA，DE，求CE的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）根据角平分线的定义，等边对等角可证，OD∥BE，结合切线的判定方法即可求解；
（2）根据题意可证四边形ODEH为矩形，则OH＝DE，OD＝HE，由，得到，OD＝5，由此即可求解．
【解答】（1）证明：△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，CD平分∠ACE．如图，连接OD，
∴∠OCD＝∠DCE，OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠DCE，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
∵点O是AC中点，H为BC的中点，
∴OH∥AB，
∴OH⊥BC，
∵OD⊥DE，DE⊥BE，
∴四边形ODEH为矩形，
∴OH＝DE，OD＝HE，
∵，
∴，
∵AB∥OH，
∴∠A＝∠COH，
∴，
∵，
∴OC＝5，
在直角三角形OCH中，由勾股定理得：，OD＝5，
∴HE＝OD＝5，
∴CE＝HE﹣CH＝5﹣2＝3．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，掌握切线的判定和性质，解直角三角形的计算是关键．
23．（12分）（2024 辽阳三模）【问题初探】
（1）如图1，动点A在半径为2的⊙O上，若OB＝3，求AB的最小值．
由于OA和OB都是定长，当点A，B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在OB上时对应的就是AB最小的情形．请按照霖霖的思路完成求AB最小值的解题过程．
【类比分析】
（2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形ABCD边CD和AD上的两个动点，且CE＝DF，连接AE和BF交于点G，连接DG．求DG的最小值．
霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测∠AGB始终都是直角，于是联想到了“90°圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形ABCD内以AB为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解．请按照霖霖的思路完成求DG最小值的解题过程．
【学以致用】
（3）如图3，是两块等腰直角三角板，∠C＝∠DEF＝90°，CA＝CB，ED＝EF＝4．当点D和E同时在边AC和AB上滑动时，点F也随之移动．若连接AF，则AF的最大值是 　　 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）．
【分析】（1）连接OA和AB，OB﹣OA≤AB，则当O、A、B三点共线时，则AB最小＝OB﹣OA＝1；
（2）先证明△ADE≌△BAF，推导出∠BGA＝90°，取AB中点O，连接OG和OD，根据勾股定理求得，由OG+GD≥OD，得到当O，G，D三点共线时，DG取得最小值，因此；
（3）作△ADE的外接圆⊙O，连接OA，OD，OE，OF，由圆周角定理得∠EOD＝2∠EAD＝90°，可得∠ODF＝∠ODE+∠EDF＝90°，解直角三角形得到，，在Rt△ODF中，由勾股定理得，由OA+AF≥OF，得，当点A，O，F三点共线时，AF取得最大值，故．
【解答】解：（1）如图，连接OA和AB，
则OB﹣OA≤AB，
∴当O、A、B三点共线时，AB取得最小值，
∴AB最小＝OB﹣OA＝3﹣2＝1；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠ADE＝90°＝∠BAF，
∵CE＝DF，
∴CD﹣CE＝AD﹣DF，
即DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠EAD＝∠FBA，
∴∠FBA+∠BAG＝∠EAD+∠BAG＝∠BAF＝90°，
∴∠BGA＝90°，
如图，取AB中点O，连接OG和OD，
则，
∴，
∵OG+GD≥OD，
即DG≥OD﹣OG，
当O，G，D三点共线时，DG取得最小值，
∴；
（3）如图，作△ADE的外接圆⊙O，连接OA，OD，OE，OF，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠EAD＝45°，
同理∠EDF＝45°，
∴∠EOD＝2∠EAD＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝45°，
∴∠ODF＝∠ODE+∠EDF＝90°，
在Rt△ODE中，，
∴，
同理在Rt△DEF中，，
在Rt△ODF中，由勾股定理得，
∵OA+OF≥AF，
即，
当点A，O，F三点共线时，AF取得最大值，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的综合应用，主要考查利用三角形三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
24．（12分）（2024 海珠区一模）已知一次函数y＝kx+1的图象经过点B（1，3），与x轴相交于点D，与y轴相交于点E，点C（2，0），记∠DEO＝α．
（1）求k的值；
（2）点A在直线y＝kx+1上，且在点B的下方，以AB为直径的⊙F与线段CD有交点，求⊙F的面积的取值范围．
（3）在（2）的条件下，将线段AB绕点A按逆时针旋转2α得到线段AB′，再将线段AB′绕点B′按顺时针旋转2α得到线段B′A′，再将线段B′A′绕点A′按逆时针旋转2α得到线段A′B″，若抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、A′、B″四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差．
【考点】二次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k＝2；
（2）（405﹣180） π≤S≤5π；
（3）．
【分析】（1）将点B坐标代入y＝kx+1，进而求得k的值；
（2）F（m，2m+1），当⊙F与CD相切时，设切点为G，此时m取最小值，根据FG2＝FB2得出2m+1）2＝（m﹣1）2+（2m+1﹣3）2，从而求得M的值；当⊙F过点C时，m取最大值，此时根据FC2＝FB2列出（m﹣1）2+（2m+1﹣3）2＝（m﹣2）2+（2m+1）2，求得m的值，进一步得出结果；
（3）可推出点B′与点B关于AF对称，点B″与点B关于直线B′G对称，从而可设抛物线的解析式为：y＝a[x﹣（2n﹣1）]2+k，将点B和点A坐标代入可得，求得k的值，根据0≤m≤7﹣3可求得n的范围：﹣1≤n≤13﹣6，进一步得出结果．
【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝kx+1，
3＝k+1，
∴k＝2；
（2）F（m，2m+1），
当⊙F与CD相切时，设切点为G，
则FG＝FB，即：FG2＝FB2，
∴（2m+1）2＝（m﹣1）2+（2m+1﹣3）2，
∴m1＝7﹣3，m2＝7+3（舍去），
∴FG＝2m+1＝15﹣6，
此时S＝π （15﹣6）2＝（405﹣180） π，
当FC＝FB时，即：FC2＝FB2，
∴（m﹣1）2+（2m+1﹣3）2＝（m﹣2）2+（2m+1）2，
∴m＝0，
∴FC2＝22+12＝5，
此时S＝5π，
∴（405﹣180） π≤S≤5π；
（3）如图，
设A（n，2n+1），
作DF∥OE，交BB′于F，作B′G∥OE，
∴∠BAF＝∠DEO，
∵∠BAB′＝2∠DEO，
∴∠BAB′＝2∠BDF，
∵AB′＝AB，
∴B′F＝BF，AF⊥BB′，
∴点B′与点B关于AF对称，
∴B′（2n﹣1，3），
同理可得，点B″与点B关于直线B′G对称，
∴可设抛物线的解析式为：y＝a[x﹣（2n﹣1）]2+k，
将点B和点A坐标代入可得，
，
∴k，
由（2）知：0≤m≤7﹣3，
∵n＝2m﹣1，
∴﹣1≤n≤13﹣6，
∴当n＝13﹣6时，顶点的纵坐标取最大值，当n＝﹣1时，顶点纵坐标取最小值，
∵（14﹣6），
∴该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差为：．
【点评】本题考查了圆与直线位置关系，二次函数及其图象的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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