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湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023 莱芜区二模）某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2025 环翠区一模）已知一个水分子的质量约为3×10﹣23克，请用科学记数法表示0.6千克的水中所含水分子的个数（　　）
A．200×1023 B．0.2×1023 C．2×1025 D．2×1022
3．（3分）（2022秋 长春期末）如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠BEF的大小为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．（3分）（2025 南海区二模）下列计算正确的是（　　）
A．（3x）2＝3x2 B．3x+3y＝6xy
C．2x﹣5x＝﹣3x D．（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣x2﹣4
5．（3分）（2021秋 荆州月考）下列关于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的说法，正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣3
B．当x＞3时，y随x的增大而减少
C．顶点坐标是（3，4）
D．当x＝3时有最小值﹣4
6．（3分）（2024 东莞市一模）如图，在⊙O中，OD⊥AB，半径OD＝10，OC＝6，则弦AB＝（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
7．（3分）（2024秋 铜梁区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝1，点E是AD边上一点，连接BE，BE＝DE，将△BDE绕点B逆时针旋转120°得到△BD′E′，E′恰好落在直线BC上，连接CD′，则CD′的长为（　　）
A． B． C． D．3
8．（3分）（2023秋 海珠区校级期中）抛物线的开口方向是（　　）
A．向上 B．向右 C．向下 D．向左
9．（3分）（2025 江口县模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若BC＝OC＝6，则AC＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
10．（3分）（2024 同安区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1过四个点（0，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 金寨县期末）学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为1.92米，方差分别为，，则身高较整齐的球队为 　 　 队（填“甲”或“乙”）．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以A为圆心，9为半径画圆，则点B与⊙A的位置关系是 　 　 ．
13．（3分）（2024秋 富县月考）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的∠ABC＝　 　 ．
14．（3分）（2022秋 合川区校级期末）已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 　 　 ．
15．（3分）（2025 宿豫区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，且∠BAC＝56°，若点D是⊙O上的一个动点（不与点A、C重合），则∠ADC的度数为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）（2021春 平潭县校级月考）计算：
（﹣1）2|﹣3|+2+（﹣1）．
17．（6分）（2024 南关区校级模拟）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+xy，其中y＝2．
18．（6分）（2022秋 梁平区期末）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
19．（9分）（2023秋 东昌府区期末）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督、社区服务四个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取部分学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下不完整的统计图．
（1）求扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数；
（2）求选择交通监督的学生人数，并补全统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择社区服务的学生人数．
20．（9分）（2022秋 杭州月考）已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．
（1）如果经过点（1，2），请写出这个抛物线的解析式．
（2）如果顶点在y轴上时，求k的值．
21．（9分）如图，有一面积为150m2的矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成．
（1）若篱笆的总长为35m，则养鸡场的长与宽各为多少？
（2）在（1）的条件下，若墙的长度为18m，则养鸡场的长与宽分别为多少？
22．（10分）（2023 肥西县一模）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．
23．（10分）（2025 兰州模拟）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线y＝x2﹣ex+2是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线y＝mx2+nx﹣m+n（m，n为常数，且m≠0）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m＜0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点（2，s），（k，t），当s＜t时，求k的取值范围．
24．（10分）（2023 平顶山模拟）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引 的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为AB2＝AC AD，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段AD的位置有两种情况，即AD过圆心O和AD不过圆心O．
如图2，当AD经过圆心O时，小明同学进行了如下推理：连接OB，易得∠ABC＝∠ADB，又∠A＝∠A，所以△ABC∽△ADB，可得对应边成比例，进而可知，当AD经过圆心O时，得AB2＝AC AD．当AD不经过圆心O时，请补全下列推理过程．
（1）已知：如图3，AB为⊙O的切线，B为切点，AD与⊙O相交于C，D两点，连接BC，BD．
求证：AB2＝AC AD．
证明：　 　 ．
（2）解决问题：如图4，已知AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，连接AD，若CD＝3
，CA＝3，请直接写出AD的长．
湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023 莱芜区二模）某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）（2025 环翠区一模）已知一个水分子的质量约为3×10﹣23克，请用科学记数法表示0.6千克的水中所含水分子的个数（　　）
A．200×1023 B．0.2×1023 C．2×1025 D．2×1022
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意进行列式计算即可．
【解答】解：0.6＝600克，
600÷（3×10﹣23）＝2×1025．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．（3分）（2022秋 长春期末）如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠BEF的大小为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FGB＝155°，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，∠GFD＝180°﹣∠FGB＝180°﹣155°＝25°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝2×25°＝50°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFD＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
4．（3分）（2025 南海区二模）下列计算正确的是（　　）
A．（3x）2＝3x2 B．3x+3y＝6xy
C．2x﹣5x＝﹣3x D．（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣x2﹣4
【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用平方差公式，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：（3x）2＝9x2，则A不符合题意，
3x+3y无法合并，则B不符合题意，
2x﹣5x＝﹣3x，则C符合题意，
（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣x2﹣4x﹣4，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2021秋 荆州月考）下列关于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的说法，正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣3
B．当x＞3时，y随x的增大而减少
C．顶点坐标是（3，4）
D．当x＝3时有最小值﹣4
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称轴可判定A，根据函数的顶点可判定C与D，利用函数的增减性可判定B．
【解答】解：由二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2﹣4可知对称轴是直线 x＝3，故选项A错误，不符合题意；
由二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2﹣4可知开口向下，对称轴是直线 x＝3，当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项B正确，符合题意；
由二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2﹣4可知顶点坐标为（3，﹣4），故选项C错误，不符合题意；
由二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2﹣4可知开口向下，当 x＝3 时有最大值﹣4，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
6．（3分）（2024 东莞市一模）如图，在⊙O中，OD⊥AB，半径OD＝10，OC＝6，则弦AB＝（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】如图，连接OA．利用勾股定理求出AC，再利用垂径定理求解．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OD⊥AB，
∴AC＝CB，
在Rt△ACO中，AC8，
∴AB＝2AC＝16．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．（3分）（2024秋 铜梁区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝1，点E是AD边上一点，连接BE，BE＝DE，将△BDE绕点B逆时针旋转120°得到△BD′E′，E′恰好落在直线BC上，连接CD′，则CD′的长为（　　）
A． B． C． D．3
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】几何图形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得∠EBE'＝120°＝∠DBD'，BD＝BD'，由直角三角形的性质可求BD＝2AB＝2，AD，由AAS可证△ABD≌△HD'B，可得D'H＝AB＝1，BH＝AD，由勾股定理可求解．
【解答】解：过点D'作D'H⊥直线BC于H，
∵BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，
∵将△BDE绕点B逆时针旋转120°得到△BD′E′，
∴∠EBE'＝120°＝∠DBD'，BD＝BD'，
∴∠EBD＝∠DBC＝30°，
∴∠D'BH＝30°＝∠ADB，
∴BD＝2AB＝2，AD，
又∵∠H＝∠A＝90°，BD＝BD'，
∴△ABD≌△HD'B（AAS），
∴D'H＝AB＝1，BH＝AD，
∴CH＝2，
∵D'C2＝D'H2+CH2，
∴D'C，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（3分）（2023秋 海珠区校级期中）抛物线的开口方向是（　　）
A．向上 B．向右 C．向下 D．向左
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】依据题意，根据抛物线解析式中a＜0即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线的a0，
∴抛物线开口向下．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
9．（3分）（2025 江口县模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若BC＝OC＝6，则AC＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】证明△OBC是等边三角形，得到∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，进而求得∠ABC＝30°，根据含30度直角三角形的性质即可求出AC．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠A＝90°，
∵BC＝OC＝6，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，
∴∠ABC＝30°，
∴ACBC＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，根据切线的性质得到∠ABO＝90°是解决问题的关键．
10．（3分）（2024 同安区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1过四个点（0，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】依据题意，可得抛物线的对称轴是直线x1，又当x＝0时，y＝﹣1，从而y1＝﹣1，且当x＝1+1＝2时，y＝﹣1，故y2＝﹣1，然后分a＞0和a＜0两种情形讨论，结合y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解．
【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x1．
又当x＝0时，y＝﹣1，
∴y1＝﹣1，且当x＝1+1＝2时，y＝﹣1．
∴y2＝﹣1．
①若a＞0，
则当x＞1时，y随x的增大而增大．
∵3＜4，
∴y3＜y4．
∵y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，
又y1＝y2＝﹣1＜0，
∴y3≤0，y4＞0．
∴．
∴a．
②若a＜0，
则当x＞1时，y随x的增大而减小．
∵2＜3＜4，
∴y1＝y2＝﹣1＞y3＞y4．
∴y1，y2，y3，y4四个数中没有一个大于0，不合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 金寨县期末）学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为1.92米，方差分别为，，则身高较整齐的球队为 　甲　 队（填“甲”或“乙”）．
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】甲．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∴身高较整齐的球队为甲队，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以A为圆心，9为半径画圆，则点B与⊙A的位置关系是 　点B在圆外　 ．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】点B在圆外．
【分析】比较AB和半径即可解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵r＝9＜AB，
∴点B在⊙A外，
故答案为：点B在圆外．
【点评】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，掌握如何判断点与圆的位置关系是解题关键．
13．（3分）（2024秋 富县月考）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的∠ABC＝　132°　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】132°．
【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．
【解答】解：∵正五边形内角和为180°×（5﹣2）＝540°，
正六边形内角和为180°×（6﹣2）＝720°，
∴正五边形每个内角度数为108°，正六边形每个内角度数为120°，
∴∠ABC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，
故答案为：132°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键．
14．（3分）（2022秋 合川区校级期末）已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 　﹣5　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】整体思想；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，再把7+6a﹣2a2变形为7﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣6＝0的根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴7+6a﹣2a2＝7﹣2（a2﹣3a）＝7﹣2×6＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（3分）（2025 宿豫区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，且∠BAC＝56°，若点D是⊙O上的一个动点（不与点A、C重合），则∠ADC的度数为 　34°或146°　 ．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【答案】34°或146°．
【分析】依题意有以下两种情况：①当点D在AB的上方时，连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，进而得∠B＝34°，再根据圆周角定理得∠ADC＝∠B＝34°；②当点D在AB的下方时，连接BC，同①得∠B＝34°，根据圆周角定理得∠ADC＝∠B＝34°，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点D是⊙O上的一个动点（不与点A、C重合），
∴有以下两种情况：
①当点D在优弧上时，连接BC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝56°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝34°，
根据圆周角定理得：∠ADC＝∠B＝34°；
②当点D在劣弧上时，连接BC，如图2所示：
同①得：∠B＝34°，
由圆内接四边形的性质可知，∠ADC＝180°﹣∠B＝146°；
综上所述：∠ADC的度数为34°或146°．
故答案为：34°或146°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理定理，熟练掌握圆周角定理定理是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）（2021春 平潭县校级月考）计算：
（﹣1）2|﹣3|+2+（﹣1）．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】利用乘方运算，算术平方根，绝对值的定义计算即可．
【解答】解：（﹣1）2|﹣3|+2+（﹣1）
＝1+4﹣3+2﹣1
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方运算，算术平方根，绝对值的定义．
17．（6分）（2024 南关区校级模拟）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+xy，其中y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣y2，﹣4．
【分析】根据平方差公式，单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+xy
＝x2﹣y2﹣x2﹣xy+xy
＝﹣y2，
当y＝2时，原式＝﹣22＝﹣4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，掌握平方差公式以及单项式乘多项式的法则是解题的关键．
18．（6分）（2022秋 梁平区期末）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
19．（9分）（2023秋 东昌府区期末）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督、社区服务四个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取部分学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下不完整的统计图．
（1）求扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数；
（2）求选择交通监督的学生人数，并补全统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择社区服务的学生人数．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）162°；
（2）30人，补全图形见解析；
（3）该校选择社区服务的学生人数为750人．
【分析】（1）先由条形统计图的社区服务的人数除以扇形统计图中社区服务的百分比，得出总人数，再由条形统计图得出文明宣传的人数，除以总人数得出文明宣传的百分比，然后乘以360°即可求出扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数；
（2）用学生总人数减去文明宣传、环境保护、社区服务三个志愿者队伍的学生人数即可得出交通监督志愿者队伍的学生人数，进而补全条形统计图；
（3）用2500乘以样本中社区服务的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵总人数：60÷30%＝200（人），
∴，
答：扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数为162°；
（2）交通监督人数为：200﹣90﹣20﹣60＝30（人），
补全条形统计图如图：
（3）2500×30%＝750（人），
答：估计该校选择社区服务的学生人数为750人．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
20．（9分）（2022秋 杭州月考）已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．
（1）如果经过点（1，2），请写出这个抛物线的解析式．
（2）如果顶点在y轴上时，求k的值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+6x﹣5；
（2）0．
【分析】（1）把点（1，2）代入y＝x2﹣2kx+3k+4得出2＝1﹣2k+3k+4，求出k即可；
（2）根据函数的顶点在y轴上得出顶点的横坐标是0得出0，再求出k即可．
【解答】解：（1）把点（1，2）代入y＝x2﹣2kx+3k+4得：2＝1﹣2k+3k+4，
解得：k＝﹣3，
所以y＝x2﹣2×（﹣3）x+3×（﹣3）+4＝x2+6x﹣5，
即这个抛物线的解析式是y＝x2+6x﹣5；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4的顶点在y轴上，
∴0，
解得：k＝0．
【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
21．（9分）如图，有一面积为150m2的矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成．
（1）若篱笆的总长为35m，则养鸡场的长与宽各为多少？
（2）在（1）的条件下，若墙的长度为18m，则养鸡场的长与宽分别为多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）当x＝7.5时，鸡场的宽为7.5m，长为20m，
当x＝10时，鸡场宽为10m长为15m；
（2）当x＝10时，鸡场宽为10m长为15m．
【分析】（1）设鸡场垂直于墙的宽度为xm，则根据矩形的面积为150m2列出方程并解答；
（2）由题意可得出答案．
【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的宽度为xm，
则x（35﹣2x）＝150，
整理得：2x2﹣35x+150＝0，
解得x＝7.5，x＝10，
则当x＝7.5时，鸡场的宽为7.5m，长为20m，
当x＝10时，鸡场宽为10m长为15m；
（2）若墙的长度为18m，
∴当x＝10时，鸡场宽为10m长为15m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）（2023 肥西县一模）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理．
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）5．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质即可证明OD∥BE，由DE⊥BE，可得OD⊥DE，进而可得DE是⊙O的切线；
（2）连接AC，根据圆周角定理和垂径定理证明四边形FDEC是矩形，再利用勾股定理即可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠FCE＝90°，
又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝4．
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中（r﹣2）2+42＝r2，
∴r＝5．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．（10分）（2025 兰州模拟）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线y＝x2﹣ex+2是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线y＝mx2+nx﹣m+n（m，n为常数，且m≠0）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m＜0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点（2，s），（k，t），当s＜t时，求k的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；新定义；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把（﹣1，0）代入y＝x2﹣ex+2，即可求解；
（2）①证明：当x＝﹣1时，y＝mx2+nx﹣m+n，得y＝m﹣n﹣m+n＝0，即可求解；
②，其顶点坐标为．因为m＜0，当顶点在最低位置时，设y′n2+n﹣m，函数y′在对称轴处取得最小值，即n2m，则抛物线的表达式为：y＝mx2+nx﹣m+n＝m（x+1）2，即可求解．
【解答】（1）解：抛物线y＝x2﹣ex+2是“定点抛物线”，
把（﹣1，0）代入y＝x2﹣ex+2，得1+e+2＝0，
解得e＝﹣3，
所以抛物线的表达式为y＝x2+3x+2；
（2）①证明：当x＝﹣1时，y＝mx2+nx﹣m+n，得y＝m﹣n﹣m+n＝0，
∴该抛物线为“定点抛物线”；
②解：，
其顶点坐标为．
因为m＜0，
当顶点在最低位置时，
设y′n2+n﹣m，
函数y′在对称轴处取得最小值，即n2m，
则抛物线的表达式为：y＝mx2+nx﹣m+n＝m（x+1）2，
该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点（2，s），关于对称轴的对称点为（﹣4，0），
故当s＜t时，﹣4＜k＜2．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值得确定、新定义，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
24．（10分）（2023 平顶山模拟）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引 的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为AB2＝AC AD，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段AD的位置有两种情况，即AD过圆心O和AD不过圆心O．
如图2，当AD经过圆心O时，小明同学进行了如下推理：连接OB，易得∠ABC＝∠ADB，又∠A＝∠A，所以△ABC∽△ADB，可得对应边成比例，进而可知，当AD经过圆心O时，得AB2＝AC AD．当AD不经过圆心O时，请补全下列推理过程．
（1）已知：如图3，AB为⊙O的切线，B为切点，AD与⊙O相交于C，D两点，连接BC，BD．
求证：AB2＝AC AD．
证明：　见解析　 ．
（2）解决问题：如图4，已知AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，连接AD，若CD＝3
，CA＝3，请直接写出AD的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AD．
【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE，由圆周角定理可得∠BCE＝90°，根据三角形内角和定理得∠E+∠CBE＝90°，由切线的性质得∠ABE＝90°，即∠ABC+∠CBE＝90°，进而可得∠E＝∠ABC，再根据圆周角定理可得∠E＝∠D，于是得到∠D＝∠ABC，以此可证明△ABC∽△ADB，利用相似三角形的性质即可得到证明；
（2）连接BD、OD，易证明△CAD∽△CDB，利用相似三角形的性质可得，进而得到CB＝6，，于是得AB＝3，设ADa，则AB＝2a，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程求出a的值，进而求出AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠E+∠CBE＝90°，
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABE＝90°，即∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠E＝∠ABC，
∵，
∴∠E＝∠D，
∴∠D＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴AB2＝AC AD；
（2）解：如图，连接BD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠ODB＝90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠CDO＝90°，即∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B＝∠CDA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDB，
∴，即，
∴CB＝6，，
∴AB＝CB﹣CA＝6﹣3＝3，
设ADa，则AB＝2a，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴，
解得：，a2（不合题意，舍去），
∴ADa．
【点评】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题关键是根据题干所给条件，证明三角形相似，利用相似三角形的性质解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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