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山东省济南市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．0没有平方根
C．的平方根是±2 D．（﹣1）2的平方根是﹣1
2．（4分）（2024春 潍坊期末）已知点A（﹣1，﹣5）和点B（﹣2，m），且AB⊥y轴，则B点坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
3．（4分）（2025春 东宝区校级月考）我们发现：，，，，一般地，对于正整数a，b，如果满足，那么称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对．下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a2﹣a＝380；④若（x，y）是完美方根数对，则x、y满足y＝x2﹣x．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（4分）（2024春 仓山区期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y＝kx+b（k≠0）．在我的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，m＝（x2﹣x1）（y2﹣y1），当k＞0时，m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＝0 D．m＜0
5．（4分）（2025春 天河区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）
A．若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90°
B．若∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则∠B＝90°
C．若a2＝（b+c）（b﹣c），则∠C＝90°
D．若∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°
6．（4分）（2025春 邕宁区期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）（2023 曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）（2019春 玉州区期末）下列图象可能是一次函数y＝x﹣2的图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）（2024秋 杭州期末）在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3）
10．（4分）（2025春 霸州市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C的坐标为（1，0），B的坐标为（0，1），AC⊥x轴，点A在第一象限．直线与x轴、y轴分别交于点N，M．将正方形ABCD沿x轴向左平移m个单位长度，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），m的值可能是（　　）
A．8 B．7 C．2 D．1
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）（2022秋 成县期中）若点P（a﹣3，a+1）在y轴上，则点P的坐标为 　 　 ．
12．（4分）（2024春 墨竹工卡县校级期末）已知，则xy的值为 　 　 ．
13．（4分）（2025 泗阳县三模）一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为 　 　 ．
14．（4分）（2025春 盂县期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为　 　 ．
15．（4分）（2022秋 历下区期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点O（0，1）按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，1），再将Q1（1，1）关于x轴作轴对称从而得到O2（1，﹣1）．若点A（0，﹣1）经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为 　 　 ．
三．解答题（共9小题）
16．（2022秋 峄城区校级月考）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（2024秋 城关区校级期末）解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．（2023秋 鹿城区校级期中）现有四个实数：，0，π，．
（1）请在数轴上近似表示出上列四个实数．
（2）请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“＜”连接．
　 　 ＜　 　 ＜　 　 ＜　 　 ．
（3）将上列四个实数分别填入相应的横线上．
整数：　 　 ；
分数：　 　 ；
无理数：　 　 ．
19．（2024春 吉安县期末）在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'（不写画法）；
（2）在直线MN上找一点P，使PA+PB最短．
（3）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 　 　 ．
20．（2025春 莘县期中）山青林场准备对一块四边形空地ABCD进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m，从点A修一条垂直BC的小路AE（垂足为点E），AE＝12m，点E恰好是BC的中点．
（1）求BC边的长；
（2）求空地ABCD的面积．
21．（2025春 潍坊期中）根据图中的信息，解答下列问题．
（1）如果放入6个球，水面升高了20cm，那么放入的大球、小球各多少个？
（2）要使水面升高18cm，有哪几种放球的方案？
22．（2024 青秀区校级模拟）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，
数据记录如表2：表1
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
表2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
（3）在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
23．（2022春 阳高县月考）先阅读下列材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　 ，x+y＝　 　 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
24．（2022秋 奉贤区期中）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+12与x轴交于点A，将l向下平移16个单位后交y轴于点B．
（1）求∠OBA的余切值；
（2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结CA、CB，其中CA与y轴交于点E，求S△CBE：S△ABE的值；
（3）点M在直线x＝3上且位于第一象限，联结MA、MB，当∠BMA＝∠OBA时，求点M的坐标．
山东省济南市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．0没有平方根
C．的平方根是±2 D．（﹣1）2的平方根是﹣1
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义进行逐项判断即可．
【解答】解：A、9的平方根是±3，故该选项不正确，不符合题意；
B、0的平方根为0，故该选项不正确，不符合题意；
C、的平方根是±2，故该选项正确，符合题意；
D、（﹣1）2的平方根是±1，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（4分）（2024春 潍坊期末）已知点A（﹣1，﹣5）和点B（﹣2，m），且AB⊥y轴，则B点坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
【分析】根据AB⊥y轴，结合垂直于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：因为点A坐标为（﹣1，﹣5），点B坐标为（﹣2，m），且AB⊥y轴，
所以m＝﹣5，
所以点B的坐标为（﹣2，﹣5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知垂直于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
3．（4分）（2025春 东宝区校级月考）我们发现：，，，，一般地，对于正整数a，b，如果满足，那么称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对．下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a2﹣a＝380；④若（x，y）是完美方根数对，则x、y满足y＝x2﹣x．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类．
【专题】计算题；实数；推理能力．
【答案】C
【分析】利用完美方根数对的定义，逐个判断得结论．
【解答】解：∵，
∴（4，12）是完美方根数对，故①正确；
∵，
∴（9，91）不是完美方根数对，故②不正确；
若（a，380）是完美方根数对，则，即a2＝380+a，∴a2﹣a＝380，故③正确；
若（x，y）是完美方根数对，则，
∴y+x＝x2，则y＝x2﹣x，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握和理解完美方根数对的定义是解决本题的关键．
4．（4分）（2024春 仓山区期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y＝kx+b（k≠0）．在我的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，m＝（x2﹣x1）（y2﹣y1），当k＞0时，m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＝0 D．m＜0
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将A，B两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题．
【解答】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，
y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，
两式相减得，
y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
所以，
因为k＞0，
所以，
则（y1﹣y2）（x1﹣x2）＞0，
所以（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0，
则m＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（4分）（2025春 天河区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）
A．若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90°
B．若∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则∠B＝90°
C．若a2＝（b+c）（b﹣c），则∠C＝90°
D．若∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°
【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】分别根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断即可．
【解答】解：A．若a：b：c＝3：4：5，则a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，是真命题，不符合题意；
B．若∠A：∠B：∠C＝2：5：3，
则，是真命题，不符合题意；
C．若a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，则a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，是假命题，符合题意；
D．若∠A+∠B＝∠C，
则，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握基础知识是解题的关键．
6．（4分）（2025春 邕宁区期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系是解题的关键．
7．（4分）（2023 曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．（4分）（2019春 玉州区期末）下列图象可能是一次函数y＝x﹣2的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】因为k＝1＞0，b＝﹣2＜0，根据一函数的性质，可以判断，直线过第一、三、四象限．
【解答】解：根据k＝1，b＝﹣2可知，直线过第一、三、四象限，且截距是2．
故选：B．
【点评】本题考查根据一次函数解析式确定图象的位置，一般地，若k＞0，图象过第一，三象限，k＜0，图象过第二，四象限；若b＞0，则图象与y轴交于正半轴；b＝0，图象过原点；b＜0，则图象与y轴交于负半轴．
9．（4分）（2024秋 杭州期末）在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3）
【考点】坐标与图形变化﹣对称．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】先把A点和直线x＝1，向左移动1个单位，求出关于y轴的对称点，再向右平移1个单位．
【解答】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0，
点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3），
把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，掌握平移的特征是解题的关键．
10．（4分）（2025春 霸州市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C的坐标为（1，0），B的坐标为（0，1），AC⊥x轴，点A在第一象限．直线与x轴、y轴分别交于点N，M．将正方形ABCD沿x轴向左平移m个单位长度，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），m的值可能是（　　）
A．8 B．7 C．2 D．1
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移；解一元一次不等式组．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】由点B，C的坐标，利用正方形的性质，可得出点A，D的坐标，将点D的纵坐标代入yx+3中，可求出x的值，再结合平移后点D落在△MON的内部，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点C的坐标为（1，0），B的坐标为（0，1），AC⊥x轴，
∴点A的坐标为（1，2），点D的坐标为（2，1）．
当y＝1时，x+3＝1，
解得：x＝﹣6．
∵将正方形ABCD沿x轴向左平移m个单位长度，且点D落在△MON的内部，
∴，
解得：2＜m＜8，
∴m的值可能为7．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移以及解一元一次不等式组，根据平移的性质，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）（2022秋 成县期中）若点P（a﹣3，a+1）在y轴上，则点P的坐标为 　（0，4）　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】（0，4）．
【分析】根据y轴上的点的横坐标等于零，可得关于a的方程，解方程，代入计算可得答案．
【解答】解：由点P（a﹣3，a+1）在y轴上可得：
a﹣3＝0．
解得a＝3，
a+1＝4，
点P的坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查了点的坐标，利用y轴上的横坐标等于零得出关于a的方程是解题的关键．
12．（4分）（2024春 墨竹工卡县校级期末）已知，则xy的值为 　16　 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】16．
【分析】把①代入②得关于x的方程，求出x，再把x的值代入①求出y，最后把x，y的值代入所求的幂，进行计算即可．
【解答】解：，
把①代入②得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝4，
∴xy＝24＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组．
13．（4分）（2025 泗阳县三模）一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为 　x＝﹣2　 ．
【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】x＝﹣2．
【分析】结合图象，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象与x轴交点的坐标的横坐标为x＝﹣2，
∴kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．
14．（4分）（2025春 盂县期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为　12　 ．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】12．
【分析】根据面积加减关系求解减即可得到答案．
【解答】解：图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S2＝6，设这八个全等的直角三角形的面积都是S△，
∴S1﹣4S△＝S3+4S△＝S2＝6，
∴S1+S3＝（S1﹣4S△）+（S3+4S△）＝6+6＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键掌握运用勾股定理解决问题．
15．（4分）（2022秋 历下区期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点O（0，1）按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，1），再将Q1（1，1）关于x轴作轴对称从而得到O2（1，﹣1）．若点A（0，﹣1）经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为 　（1011，1）　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；推理能力．
【答案】（1011，1）．
【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点O（0，1）按序列“01”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，1），再将O1（1，1）关于x轴对称得到Q2（1，﹣1）；
将A（0，﹣1）按序列“01”作变换，将A（0，﹣1）先向右平移一个单位得到A1（1，﹣1），再将A1（1，﹣1）关于x轴对称得到A2（1，1）；
再将A2（1，1）作2次变换，可得A3（2，1），A4（2，﹣1）；
再将A4（2，﹣1）作2次变换，可得A5（（3，﹣1），A6（3，1）；
.....．
∴A（0，﹣1）经过2n次变换后得到点的坐标为（n，﹣1），
则点A（0，﹣1）经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为（1011，1）．
故答案为：（1011，1）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共9小题）
16．（2022秋 峄城区校级月考）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】二次根式的混合运算；实数的运算；平方差公式．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）11；
（3）；
（4）﹣12+4．
【分析】（1）先算小括号里面的减法，再计算括号外面的除法；
（2）根据二次根式和三次根式的性质化简计算即可求解；
（3）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可求解；
（4）根据平方差公式和完全平方公式计算即可求解．
【解答】解：（1）
＝（42）÷2
＝22
＝1；
（2）
4
4
＝7+4
＝11；
（3）
247
；
（4）
＝5﹣3﹣12+42
＝﹣12+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2024秋 城关区校级期末）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用加减消元法求出x，再利用代入法求出y，从而得到方程组的解；
（2）先把原方程组整理为，再利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出y，从而得到原方程组的解．
【解答】解：（1），
①+②得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入①得9+y＝8，
解得y＝﹣1，
所以方程组的解为；
（2）原方程组整理为，
②×2+①得7x＝21，
解得x＝3，
把x＝3代入②得6+y＝8，
解得y＝2，
所以原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用代入消元法或加减消元法解方程组是解决问题的关键．
18．（2023秋 鹿城区校级期中）现有四个实数：，0，π，．
（1）请在数轴上近似表示出上列四个实数．
（2）请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“＜”连接．
　　 ＜　0　 ＜　||　 ＜　π　 ．
（3）将上列四个实数分别填入相应的横线上．
整数：　，0　 ；
分数：　||　 ；
无理数：　π　 ．
【考点】实数大小比较；实数；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）数轴表示见解答；
（2），0，||，π；
（3），0；
||；
π．
【分析】（1）在数轴上近似地找到各数对应的点；
（2）利用（1）的结论，即可解答；
（3）根据实数的分类，逐一判断即可解答．
【解答】解：（1）如图：
（2）0＜||＜π，
故答案为：，0，||，π；
（3）整数：，0；
分数：||；
无理数：π；
故答案为：，0；
||；
π．
【点评】本题考查了实数大小比较，实数，实数与数轴，熟练掌实数的分类是解题的关键．
19．（2024春 吉安县期末）在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'（不写画法）；
（2）在直线MN上找一点P，使PA+PB最短．
（3）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 　　 ．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接AB'交直线MN于点P，则点P即为所求．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）如图，连接AB'交直线MN于点P，连接BP，
此时PA+PB＝PA+PB'＝AB'，为最小值，
则点P即为所求．
（3）△A'B'C'的面积为1﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（2025春 莘县期中）山青林场准备对一块四边形空地ABCD进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m，从点A修一条垂直BC的小路AE（垂足为点E），AE＝12m，点E恰好是BC的中点．
（1）求BC边的长；
（2）求空地ABCD的面积．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）18m；
（2）168m2．
【分析】（1）利用勾股定理求出BE即可求解；
（2）连接AC，由线段垂直平分线的性质得AC＝AB＝15m，进而由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD计算即可求解．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，AB＝15m，AE＝12m，
由勾股定理得：BE9m，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝18m；
（2）AE⊥BC，E是BC的中点，如图，连接AC，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AC＝AB＝15m，
∵AD＝17m，CD＝8m，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD18×1215×8＝168（m2），
答：空地ABCD的面积为168m2．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．（2025春 潍坊期中）根据图中的信息，解答下列问题．
（1）如果放入6个球，水面升高了20cm，那么放入的大球、小球各多少个？
（2）要使水面升高18cm，有哪几种放球的方案？
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）放入2个大球，4个小球；
（2）共有2种放球方案，
方案1：放入6个小球；
方案2：放入3个大球，2个小球．
【分析】（1）求出放入1个小球、1个大球水面上升的高度，设放入x个大球，则放入（6﹣x）个小球，根据水面上升20cm，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即放入大球的个数），再将其代入（6﹣x）中，即可求出放入小球的个数；
（2）设放入m个大球，n个小球，根据水面上升18cm，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各放球方案．
【解答】解：（1）放入1个小球水面上升的高度为（36﹣24）÷4＝3（cm）；
放入1个大球水面上升的高度为（36﹣24）÷3＝4（cm）．
设放入x个大球，则放入（6﹣x）个小球，
根据题意得：4x+3（6﹣x）＝20，
解得：x＝2，
∴6﹣x＝6﹣2＝4（个）．
答：放入2个大球，4个小球；
（2）设放入m个大球，n个小球，
根据题意得：4m+3n＝18，
∴n＝6m，
又∵m，n均为非负整数，
∴或，
∴共有2种放球方案，
方案1：放入6个小球；
方案2：放入3个大球，2个小球．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22．（2024 青秀区校级模拟）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，
数据记录如表2：表1
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
表2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
（3）在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝t，e．（2）未充电前电量显示40%．（3）电动车在服务区充电40分钟．
【分析】（1）待定系数法求出两个直线解析式即可；
（2）把s1＝240代入e求值即可；
（3）假设充电t分钟，应增加电量为t，可计算出从服务区出发时电量为40+t，走完剩余路程220km应耗电量为40+t﹣25，根据题意列出方程计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，两个函数都为一次函数，设y＝a1t+b1，e＝a2s+b2，
将（10，10），（30，30）代入y＝a1t+b1得：
，解得，
∴函数解析式为：y＝t，
将（160，60），（200，50）代入e＝a2s+b2得：
，解得，
∴函数解析式为：e．
（2）根据题意，满电状态下电动汽车行驶240千米，
当s1＝240时，e140，
∴未充电前电量显示40%．
答：未充电前电量显示40%．
（3）假设充电t分钟，应增加电量e2＝y2＝t，
出发时电量为e3＝e1+e2＝40+t，
走完剩余路程220km应耗电量为：40+t﹣55，根据题意得：
（40+t﹣25）220，
解得：t＝40．
答：电动车在服务区充电40分钟．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．
23．（2022春 阳高县月考）先阅读下列材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　 ，x+y＝　5　 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）﹣1，5；
（2）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
【分析】（1），①﹣②得x﹣y＝﹣1，再由①+②得3x+3y＝15，则x+y＝5；
（2）购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元，由题意：买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出三元一次方程组，由“整体思想”求出a+b+c即可．
【解答】解：（1），
①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元，
由题意得：，
①×2﹣②得：a+b+c＝6，
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
24．（2022秋 奉贤区期中）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+12与x轴交于点A，将l向下平移16个单位后交y轴于点B．
（1）求∠OBA的余切值；
（2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结CA、CB，其中CA与y轴交于点E，求S△CBE：S△ABE的值；
（3）点M在直线x＝3上且位于第一象限，联结MA、MB，当∠BMA＝∠OBA时，求点M的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）M（3，5）．
【分析】（1）由题意可知点A（8，0），可得平移后的直线表达式为yx+12﹣16，可得出B坐标，即可得出cot∠OBA的值；
（2）利用平移后的抛物线可得出点C的坐标，过点C作CN⊥y轴于N，根据△CBE与△ABE是同高不同底的三角形求解即可；
（3）设AB与直线x＝3交于点F，得出直线AB的解析式，可得F（3，），证明△ABM∽△AMF，根据相似三角形的性质得AM2＝AF AB，求出AB＝4，AF，则AM2＝AF AB＝50，AM＝5，设M（3，h），由AM5，可得：h＝5，即可得点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意可知，直线l：yx+12，令x＝0，则y＝12，令y＝0，则x＝8，
∴直线l：yx+12与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点A′（0，12），
∴向下平移16个单位后的表达式为yx+12﹣16x﹣4，
∴平移后的直线交y轴于点B（0，﹣4），
∴OB＝4，
∴cot∠OBA；
（2）∵直线l平移后新的直线方程为yx﹣4，且点C的纵坐标是6，
∴x﹣4＝6，解得x，
∴C（，6），
过点C作CN⊥y轴于N，
∵A（8，0），
∴；
（3）如图，
设AB与直线x＝3交于点F，
∵A（8，0），B（0，﹣4），
∴AB所在的直线方程为yx﹣4，
∴F（3，），
∵直线MF为x＝3，
∴MF∥y轴．
∴∠MBO＝∠BMF，
∵∠BMA＝∠OBA，
∴∠ABM＝∠AMF，
∵∠MAB＝∠FAM，
∴△ABM∽△AMF，
∴，
∴AM2＝AF AB，
∵AB4，AF，
∴AM2＝AF AB＝50，
∴AM＝5，
设M（3，h），
∴AM5，
解得：h＝5或﹣5（舍去），
∴D（3，5）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形，三角形面积等知识，解题的关键是确定平移后的直线表达式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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