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山东省济南市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 舟山期末）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2022秋 河东区校级期末）若三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜6 B．5＜x＜7 C．2＜x＜12 D．无法确定
3．（3分）（2022秋 三水区期中）若点M与点N关于x轴对称，点M的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
4．（3分）（2024春 广平县期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角是（　　）
A．150° B．135° C．120° D．144°
5．（3分）（2024秋 西青区期末）已知等腰三角形的两边长分别为6和3，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
6．（3分）（2024春 卧龙区校级月考）如图，l1∥l2，D是BC的中点．若S△ABC＝8，则S△BDE＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）（2024秋 江岸区期中）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
8．（3分）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC．使AC⊥AB，再从点C观察，在BA的延长线上测得一点D．使得∠ACD＝∠ACB，这时量得AD的长度就是水池的宽AB的长．其根据是（　　）
A．SAS B．SSA C．ASA D．AAS
9．（3分）（2024秋 凤阳县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；
②EB＝FC；
③DM平分∠EDF；
④AB+AC＝2AE；
⑤DF＝0.5AD．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（3分）（2020秋 云梦县月考）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④FG1．
其中正确的结论是有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）（2024春 高新区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③；④；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（3分）（2024秋 温岭市期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为BC边上的高，E，F为AC，AB上的点，DE⊥DF，若BF+CE＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有 　 　 组．
14．（4分）（2024秋 东莞市期末）已知等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角的度数是 　 　 ．
15．（4分）（2023春 皇姑区校级月考）如图，已知，∠MBN＝30°，点A在边BM上，且AB＝6，动线段CD的端点C在射线BN上，在移动过程中始终满足：CD⊥AB，且，则AC+AD的最小值为 　 　 ．
16．（4分）（2022秋 青羊区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分68分）
17．（8分）（2020秋 新市区校级期中）如图，AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝44°，∠C＝76°，求∠BEA、∠DAE的度数．
18．（8分）（2024秋 海勃湾区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7．
（1）直接写出∠DEF的度数 　 　 ．
（2）求CF的长．
19．（12分）（2025春 金凤区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|．
20．（12分）（2022秋 江汉区期末）如图，边长为1的小正方形构成的6×6网格中，每个小正方形的顶点称为格点．AD是△ABC的角平分线，其中A，B，D为格点．
（1）画出AB的中点M；
（2）在AC上画点N，使ND∥AB；
（3）画点B关于AD的对称点P；
（4）若△QAB是等腰三角形，直接写出该网格中满足条件的格点Q的个数．
21．（14分）（2024秋 碑林区校级期末）如图1，点O为直线MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边OD，OB在直线MN上，∠COD＝∠AOB＝90°．
（1）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC＝30°，则∠BOD＝ 　 　 ；
（2）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？
（3）将图1中的三角板COD绕点O沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕点O沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在的直线平分∠AON？
22．（14分）（2022秋 龙胜县期中）小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）[初步探究]小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，则线段AD与DE的数量关系是：　 　 ；构造的△BDF的形状是 　 　 ．
（2）[类比探究]当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）[拓展应用]当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小为 　 　 ．
山东省济南市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 舟山期末）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2022秋 河东区校级期末）若三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜6 B．5＜x＜7 C．2＜x＜12 D．无法确定
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】延长AD至E，使AD＝DE，即可求证△BDE≌△CDA，在△ABE中，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使AD＝DE，
如图所示，AB＝5，AC＝7，
设BC＝2a，AD＝x，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AD＝2x，
在△BDE与△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝7，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即7﹣5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDA是解题的关键．
3．（3分）（2022秋 三水区期中）若点M与点N关于x轴对称，点M的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称的点的横纵坐标的特点解答即可．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）与点N关于x轴对称，
∴点N的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3，
即点N的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的特点：两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．（3分）（2024春 广平县期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角是（　　）
A．150° B．135° C．120° D．144°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据“一个外角与其相邻的内角互补”列方程求解即可．
【解答】解：设这个内角为x，则与它相邻的外角为4x，由题意得，
x+4x＝180°，
解得x＝36°，
当x＝36°时，4x＝144°，
即这个外角是144°．
故选：D．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握“一个外角与其相邻的内角互补”是正确解答的关键．
5．（3分）（2024秋 西青区期末）已知等腰三角形的两边长分别为6和3，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据腰为3或6两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、3，能组成三角形，符合题意，
∴等腰三角形的周长＝6+6+3＝15，
②3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形，不符合题意，
综上所述，三角形的周长为15．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系进行分类讨论是解题的关键．
6．（3分）（2024春 卧龙区校级月考）如图，l1∥l2，D是BC的中点．若S△ABC＝8，则S△BDE＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】三角形的面积；平行线之间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据中点定义和l1∥l2得到，l1与l2之间的距离处处相等，即可得到．
【解答】解；∵D是BC的中点．
∴，
∵l1∥l2，
∴l1与l2之间的距离处处相等，
∵S△ABC＝8，
∴，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质、三角形的面积，熟记平行线的性质是解题的关键．
7．（3分）（2024秋 江岸区期中）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【考点】多边形内角与外角；三角形的外角性质．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】先求出正方形和正五边形的一个内角的度数，进而求出∠2，∠3的度数，利用三角形的外角求出∠1的度数即可．
【解答】解：如图：
根据题意得正方形的一个内角为90°，正五边形的一个内角为，
∴∠2＝∠3＝108°﹣90°＝18°，
∴∠1＝∠2+∠3＝36°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的内角和，三角形的外角，掌握正多边形的内角和是解题的关键．
8．（3分）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC．使AC⊥AB，再从点C观察，在BA的延长线上测得一点D．使得∠ACD＝∠ACB，这时量得AD的长度就是水池的宽AB的长．其根据是（　　）
A．SAS B．SSA C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的应用；等腰三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据ASA可知△DAC≌△BAC，即可得到答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°，
在△DAC和△BAC中，
，
∴△DAC≌△BAC（ASA），
∴AD＝AB，
∴量得AD的长度就是水池的宽AB的长，根据是ASA；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
9．（3分）（2024秋 凤阳县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；
②EB＝FC；
③DM平分∠EDF；
④AB+AC＝2AE；
⑤DF＝0.5AD．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】由角平分线的定义和直角的性质证出△EAD≌△FAD即可判定①，连接BD，CD，由垂直平分线的性质，可证出△EBD≌△FCD，即可判定②，由DA平分∠EDF即可判定③，由AE＝AF和EB＝FC，再进行线段的和差运算即可判定④，由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判定⑤．
【解答】解：由条件可知∠EAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠AFD＝90°，
∴△EAD≌△FAD（AAS），
∴DE＝DF，故①正确，符合题意；
如图，连接BD，CD，
由条件可知BD＝CD，
∴△EBD≌△FCD（HL），
∴EB＝FC，故②正确，符合题意；
∵△EAD≌△FAD，
∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF，
∵AD与DM不重合，
∴DM不平分∠EDF，故③错误，不符合题意；
∵△EAD≌△FAD，
∴AE＝AF，
∵AB+AC＝（AE﹣BE）+（AF+CF），EB＝FC，
∴AB+AC＝2AE，故④正确，符合题意；
由条件可知∠DAF＝30°，
∴DF＝0.5AD，故⑤正确，符合题意；
综上可知正确的有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
10．（3分）（2020秋 云梦县月考）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④FG1．
其中正确的结论是有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】首先证明RT△ADE≌RT△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE＝EG＝FG＝AF，由此可以一一判断．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②正确；
∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，
∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，
∴AE＝AF＝EG，
又∵∠H＝∠DBC＝∠DAC＝45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确；
∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝HE，
∵四边形AEGF是菱形，
∴FG＝AE1，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．（3分）（2024春 高新区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③；④；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】三角形的外角性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案．
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确；
③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∴，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，
∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、平行线的判定和性质、含角平分线的三角形内角和定理的应用，关键是三角形外角性质的应用．
12．（3分）（2024秋 温岭市期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为BC边上的高，E，F为AC，AB上的点，DE⊥DF，若BF+CE＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形性质得AD＝BD＝CD，∠DAE＝∠B＝45°，证明∠ADE＝∠BDF，进而可依据“ASA”判定△ADE和△BDF全等得AE＝BF，AE+CE＝AC＝4，然后根据三角形面积公式即可得出△ABC的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CDBC，∠DAE∠BAC＝90°＝45°，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵DE⊥DF，AD为BC边上的高，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠BDF，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵BF+CE＝4，
∴AE+CE＝4，
即AC＝4，
∴AB＝AC＝4，
∴△ABC的面积为：AB AC4×4＝8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有 　4　 组．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】4．
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
所以有4组能证明△ABC≌△DEF．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（4分）（2024秋 东莞市期末）已知等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角的度数是 　40°或100°　 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意分两种情况：①当度数为40°的角是顶角时；②当度数为40°的角为底角时，则顶角为100°，综上所述即可得出答案．
【解答】解：依题意有以下两种情况：
①当度数为40°的角是顶角时，则该等腰三角形底角的度数为：（180°﹣40°）＝70°，
此时该等腰三角形的三个内角为：40°，70°，70°；
②当度数为40°的角为底角时，则该等腰三角形顶角的度数为：180°﹣2×40°＝100°，
此时该等腰三角形的三个内角为：100°，40°，40°；
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或100°，
故答案为：40°或100°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键．
15．（4分）（2023春 皇姑区校级月考）如图，已知，∠MBN＝30°，点A在边BM上，且AB＝6，动线段CD的端点C在射线BN上，在移动过程中始终满足：CD⊥AB，且，则AC+AD的最小值为 　　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据题意当AC最小时，AD值也最小．所以当AC最小时，AC+AD值最小．由垂线段最短，当AC⊥BN时，AC最小，则此时AC+AD最小．利用特殊三角形边角关系计算出AC、AD值相加即可．
【解答】解：作BW∥CD，DW∥BC，∠YWD＝30°，YW＝6，
∴DW＝BC，YW＝AB，
∴△YWD≌△ACB，
∴AC＝DY，
当Y、D、A共线时，AC+AD最小，
最小值为AY
故答案为：．
【点评】本题考查了最短路线问题，找到最小值时CD的位置是解答本题的关键．
16．（4分）（2022秋 青羊区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　9　 ．
【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三．解答题（共6小题，满分68分）
17．（8分）（2020秋 新市区校级期中）如图，AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝44°，∠C＝76°，求∠BEA、∠DAE的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】∠BEA＝106°，∠DAE＝16°．
【分析】根据三角形内角和定理，由∠B＝44°，∠C＝76°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．根据角平分线的定义，由AE平分BAC，得∠CAE30°，那么根据三角形外角的性质得∠BEA＝∠CAE+∠C＝30°+76°＝106°．根据高的定义，由AD是BC边上的高，得∠ADE＝90°，进而推断出∠DAE＝∠BEA﹣∠ADE＝106°﹣90°＝16°．
【解答】解：∵∠B＝44°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．
∵AE平分BAC，
∴∠CAE30°．
∴∠BEA＝∠CAE+∠C＝30°+76°＝106°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝∠BEA﹣∠ADE＝106°﹣90°＝16°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线、三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线、三角形外角的性质是解决本题的关键．
18．（8分）（2024秋 海勃湾区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7．
（1）直接写出∠DEF的度数 　50°　 ．
（2）求CF的长．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）50°；
（2）CF＝3．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠DEF＝∠B，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质求出BC＝EF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠DEF＝∠B＝50°，
故答案为：50°；
（2）∵△ABC≌△DEF，BF＝4，EF＝7，
∴BC＝EF＝7，
∴CF＝BC﹣BF＝7﹣4＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
19．（12分）（2025春 金凤区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|．
【考点】三角形三边关系；绝对值．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）12；
（2）b﹣a﹣3c．
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长；
（2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为奇数，
∴c＝5，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12．
（2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|
＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c）
＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c
＝b﹣a﹣3c．
【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质．
20．（12分）（2022秋 江汉区期末）如图，边长为1的小正方形构成的6×6网格中，每个小正方形的顶点称为格点．AD是△ABC的角平分线，其中A，B，D为格点．
（1）画出AB的中点M；
（2）在AC上画点N，使ND∥AB；
（3）画点B关于AD的对称点P；
（4）若△QAB是等腰三角形，直接写出该网格中满足条件的格点Q的个数．
【考点】作图﹣轴对称变换；平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析；
（4）Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AB于点M，则M即为AB的中点；
（2）作AD的垂直平分线，交AC于点N，连接ND，则ND∥AB；
（3）过B点作BO⊥AD，交AD于点O，使BO＝OP，则点P于点B关于AD对称；
（4）分AQ为底；AB为底；BQ为底三种情况即可确定满足条件的格点Q的个数
【解答】解：（1）如图1所示：
连接EF交AB于点M，则M即为AB的中点；
（2）连接DG交AC于点N，连接ND，AG，如图2，
在△ABD和△DGA中，
，
∴△ABD≌△DGA（SSS），
∴∠BAD＝∠ADG，
∴ND∥AB；
（3）如图3所示点P于点B关于AD对称；
连接BF交AC于P，交AD于K，
在△ADG和△BFE中，
，
∴△ADG≌△BFE（SAS），
∴∠ADG＝∠BFE，
∵DG∥BE，
∴∠ADG＝∠AHB，
∵∠FBE+∠BFE＝90°，
∴∠FBE+∠AHB＝90°，
∴∠BKH＝90°，
∴BF⊥AD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAK＝∠PAK，
在△ABK和△APK中，
，
∴△ABK≌△APK（ASA），
∴PK＝BK，
∴点P与点B关于AD对称；
（4）如图4，Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形，
理由如下：
如图所示：AQ为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有2个，AB为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有1个，BQ为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有2个，
综上所述：Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图—应用与设计作图，首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
21．（14分）（2024秋 碑林区校级期末）如图1，点O为直线MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边OD，OB在直线MN上，∠COD＝∠AOB＝90°．
（1）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC＝30°，则∠BOD＝ 　150°　 ；
（2）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？
（3）将图1中的三角板COD绕点O沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕点O沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在的直线平分∠AON？
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠AOC＝∠DOM＝30°，由∠BOD＝180°﹣∠DOM即可求解；
（2）根据旋转的性质，分类讨论：当△COD旋转至△C′OD′时，OD′平分∠AOB；当△COD旋转至△C'OD'时，OD'所在直线平分∠AOB，交AB于点E，由此即可求解；
（3）根据旋转的性质，分别算出三角板COD旋转的时间，在此时间里三角板AOB旋转的度数，分类讨论：当三角板AOB绕点沿逆时针方向旋转0°～90°时；当三角板AOB绕点沿逆时针方向旋转90°～180°时；当三角板AOB绕点沿逆时针方向旋转180°～240°时；根据数量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠COD＝∠AOB＝90°．
∴∠COD+∠AOB＝90+90＝180°，
∵三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，
∴∠AOC＝∠DOM＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠DOM＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150°；
（2）三角板COD绕点沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，则旋转时间为360÷15＝24（秒），
如图，当△COD旋转至△C'OD'时，OD'平分∠AOB，则∠AOD'∠AOB＝45°，
∴∠MOD'＝∠MOC+∠AOD'＝90°+45°＝135°，
∴135÷15＝9，
即9秒时，OD所在的直线平分∠AOB；
如图，当△COD旋转至△C'OD'时，OD'所在直线平分∠AOB，交AB于点E，
∴9+180÷15＝21，
即21秒时，OD所在的直线平分∠AOB，
综上，9秒或21秒时，OD所在的直线平分∠AOB；
（3）三角板COD绕点沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，则旋转时间为360×2÷12＝60（秒），
三角板AOB绕点沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转，旋转的角度为4×60＝240°，
设旋转时间为t秒，
当三角板AOB绕点O沿逆时针方向旋转0°～90°时，OC所在的直线平分∠AON，如图，
∴，
解得t＝13.5；
当三角板AOB绕点O沿逆时针方向旋转90°～180°时，OC所在直线平分∠AON，如图，
∴，
解得t＝31.5；
当三角板AOB绕点O沿逆时针方向旋转180°～240°时，OC所在的直线平分∠AON，如图，
∴，
解得t＝49.5；
综上所述，13.5秒或31.5秒或49.5秒时，OC所在的直线平分∠AON．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，一元一次方程的应用，角度的和差计算，角平分线的定义，掌握旋转的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
22．（14分）（2022秋 龙胜县期中）小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）[初步探究]小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，则线段AD与DE的数量关系是：　AD＝DE　 ；构造的△BDF的形状是 　等边三角形　 ．
（2）[类比探究]当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）[拓展应用]当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小为 　60°　 ．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）AD＝DE．等边三角形；
（2）结论：AD＝DE．证明见解析部分；
（3）60°．
【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）过点D作DP∥AC，交AB于点P．证出△ADE是等边三角形即可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°，
∴△BDF是等边三角形，∠AFD＝180°﹣∠BFD＝120°，
∴DF＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DF＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE（180°﹣∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°＝∠AFD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDF＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC＝30°，
在△AFD和△ECD中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD＝DE．
故答案为：AD＝DE，等边三角形；
（2）结论；AD＝DE．
理由：如图2，
过点D作DF∥AC，交AB于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°，
∴△BDF是等边三角形，∠AFD＝120°，
∴BF＝BD，
∴AB﹣BF＝BC﹣BD，
即AF＝CD，
∵CE是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE（180°﹣∠ACB）＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD＝DE．
（3）如图3，过点D作DP∥AC，交AB于点P．
同理可证△APD≌△DCE（ASA），
∴AD＝DE．
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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