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山东省济南市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 绿园区校级期末）如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特 海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个3×3×3的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2024春 龙南市期末）下列结论错误的是（　　）
A．对角线相等、垂直的平行四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线垂直的四边形是菱形
3．（3分）（2024 太原二模）语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动，小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022秋 顺德区期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B，②AC2＝AD AB，③，④∠ADC＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（　　）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
5．（3分）（2021秋 漳州期中）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接元旦的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每降价5元，则每天可多卖10件．若要平均每天获利2000元，设每件棉衣降价x元，则x满足的等式为（　　）
A．（x﹣100）（30+10）＝2000
B．（150﹣x﹣100）（30+10）＝2000
C．（x﹣100）（30+10）＝2000
D．（150﹣x﹣100）（30+10）＝2000
6．（3分）（2025 雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若AB＝4，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
7．（3分）（2024春 江岸区校级月考）已知点A（m，y1）、B（m+1，y2）均在函数的图象上，若y1＞y2，则（　　）
A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m＞0 D．m＞﹣1
8．（3分）（2024 泽州县二模）在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流I与电阻R之间的函数关系，通过实验得到如表所示的数据：
I/A … 3 1.5 1 0.75 0.6 …
R/Ω … 3 6 9 12 15 …
根据表中数据．下列描述正确的是（　　）
A．在一定范围内、I随R的增大而增大
B．I与R之间的函数关系式为
C．当R＝2Ω时，I＝5A
D．当R＞4.5Ω时，I＞2A
9．（3分）（2022秋 沈河区校级期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（　　）米．
A．2 B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
10．（3分）（2025 榕城区二模）如图，是某商店售卖的花架，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB长为 　 　 cm．
11．（3分）（2024 榕江县校级二模）有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，求出这两张牌牌面数字的和，这为一次试验．小明做了200次试验后发现和为2的情况出现了23次，据此估计牌面数字的和是2的概率是 　 　 （精确到0.1）．
12．（3分）（2023秋 和平区期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣3x＝2有实数根，则k的取值范围为 　 　 ．
13．（3分）（2023秋 海州区校级期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着美妙的“黄金分割”．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为
　 　 cm．
14．（3分）（2025 乌鲁木齐模拟）已知与的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折．使点B恰好落在上的点C处，则点B的坐标为　 　 ．
三．解答题（共10小题）
15．（2024秋 兰山区校级期中）解方程：
（1）x（x﹣2）＝2﹣x（用因式分解法）；
（2）7x2﹣23x+6＝0（用公式法）．
16．（2023秋 漳州期中）已知：如图，在矩形ABCD中，M是AD边的中点．
求证：MB＝MC．
17．（2023春 东台市期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝1．求DE的长．
18．（2024秋 覃塘区期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请在网格中画出平移后的△A1O1B1；
（2）在网格中，以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2使它与△AOB的相似比为2：1；
（3）写出B1、B2两点的坐标．
19．（2023 云安区二模）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽取了 　 　 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
20．（2024春 秦淮区校级期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'．函数y1、y2的图象相交于第一象限B点．（1）用无刻度的直尺与圆规作出点A′；
（2）若a＝2，点B坐标为（4，2）．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（3）若点B的横坐标为3a，△AA′B 的面积为16，求k的值．
21．（2024秋 江阳区校级月考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为14m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为96m2？
22．（2024秋 河南期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【尝试应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD所在直线折叠，使点A恰好落在边BC的中点E处．若DE＝5，求AC的长．
【拓展提高】
（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为 　 　 ．
23．（2023秋 武侯区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）如图1，当点A'落在CB的延长线上时，连接AA'，求AA'的长；
（2）如图2，连接AC'，AC'与边A′B交于点M，当∠A'MC'＝∠A'C'M，求sin∠C′AB的值；
（3）如图3，连接AA'，点D为AA'的中点，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，若△ADE为以DE为直角边的直角三角形，求DE的长．
24．（2024秋 雁塔区校级月考）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D．连接AO，BO．
（1）求一次函数y2＝ax+b的表达式；
（2）观察图象，直接写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
山东省济南市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 绿园区校级期末）如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特 海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个3×3×3的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据各个选项中的组合体的俯视图的大小进行判断即可．
【解答】解：选项A、B、C中的几何体的俯视图的面积均是3个平方单位，而选项D中的组合体的俯视图的面积是4个平方单位，
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法及形状是正确判断的前提．
2．（3分）（2024春 龙南市期末）下列结论错误的是（　　）
A．对角线相等、垂直的平行四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线垂直的四边形是菱形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】依据正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定及平行四边形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、对角线相等，垂直的平行四边形是正方形，故选项A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（3分）（2024 太原二模）语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动，小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们恰好选择的是同一位诗人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们恰好选择的是同一位诗人的结果有：AA，BB，CC，DD，共4种，
∴他们恰好选择的是同一位诗人的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
4．（3分）（2022秋 顺德区期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B，②AC2＝AD AB，③，④∠ADC＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（　　）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由图可知△ABC和△ACD有公共角∠A，再根据相似三角形的判定定理，依次判断各个条件即可．
【解答】解：①∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
故①符合题意；
②∵AC2＝AD AB，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
故②符合题意；
③当且∠ACD＝∠B时，△ABC∽△ACD，
故③不符合题意；
④∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
故④符合题意；
综上：能使△ABC∽△ACD的有①②④．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：有两个内角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似．
5．（3分）（2021秋 漳州期中）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接元旦的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每降价5元，则每天可多卖10件．若要平均每天获利2000元，设每件棉衣降价x元，则x满足的等式为（　　）
A．（x﹣100）（30+10）＝2000
B．（150﹣x﹣100）（30+10）＝2000
C．（x﹣100）（30+10）＝2000
D．（150﹣x﹣100）（30+10）＝2000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设每件棉衣应降价x元，根据平均每天获利2000元，即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设每件棉衣应降价x元，
由题意得（150﹣x﹣100）（30+10）＝2000，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关系x的一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）（2025 雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若AB＝4，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OB，而∠ABD＝60°，则△AOB是等边三角形，由勾股定理得BC，根据AE⊥BD于点E，所以E为OB的中点，而F是OC的中点，得EF是三角形OBC的中位线，进而可得EF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠ABD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OCAC，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC4，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，
∴EFBC＝2，
故选：D．
【点评】此题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
7．（3分）（2024春 江岸区校级月考）已知点A（m，y1）、B（m+1，y2）均在函数的图象上，若y1＞y2，则（　　）
A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m＞0 D．m＞﹣1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：由反比例函数可知图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大．
∵点A（m，y1）、B（m+1，y2）均在函数的图象上，且y1＞y2，
∴点A（m，y1）、B（m+1，y2）不在同一象限，则点A（m，y1）在第二象限，点B（m+1，y2）在第四象限．
∴，
∴﹣1＜m＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8．（3分）（2024 泽州县二模）在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流I与电阻R之间的函数关系，通过实验得到如表所示的数据：
I/A … 3 1.5 1 0.75 0.6 …
R/Ω … 3 6 9 12 15 …
根据表中数据．下列描述正确的是（　　）
A．在一定范围内、I随R的增大而增大
B．I与R之间的函数关系式为
C．当R＝2Ω时，I＝5A
D．当R＞4.5Ω时，I＞2A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设I，当I＝3时，R＝3，得到U＝9，然后根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：设I，
当I＝3时，R＝3，
∴U＝9，
∴I，故B正确，
∴在一定范围内、I随R的增大而减小，故A错误，
当R＝2Ω时，I4.5≠5，故C错误；
当R＞4.5Ω时，I＜2A，故D错误，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
9．（3分）（2022秋 沈河区校级期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（　　）米．
A．2 B． C． D．
【考点】视点、视角和盲区．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】D
【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FDx＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴，
即，
∴PNx，
∵PN+MN＝PM，
∴xx＝1.6，
解得，x，
故选：D．
【点评】本题考查视点、视角、盲区的意义，转化为相似三角形的知识进行解答是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
10．（3分）（2025 榕城区二模）如图，是某商店售卖的花架，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB长为 　30　 cm．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】30．
【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，可求出AB的长．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
即，
∴AB＝30cm．
故答案为：30．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
11．（3分）（2024 榕江县校级二模）有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，求出这两张牌牌面数字的和，这为一次试验．小明做了200次试验后发现和为2的情况出现了23次，据此估计牌面数字的和是2的概率是 　0.1　 （精确到0.1）．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】0.1．
【分析】根据题意结合概率的计算方法进行解答即可．
【解答】解：根据题意得：
0.1，
答：估计牌面数字和是2的概率约是0.1；
故答案为：0.1．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键在于掌握概率的计算方法及相关知识．
12．（3分）（2023秋 和平区期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣3x＝2有实数根，则k的取值范围为 　k且k≠1　 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k且k≠1．
【分析】有实数根，则根的判别式大于等于零，且二次项系数不能为零，由此即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2﹣3x＝2有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（k﹣1）×（﹣2）≥0，即1+8k≥0，且k﹣1≠0，
∴k且k≠1．
故答案为：k且k≠1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
13．（3分）（2023秋 海州区校级期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着美妙的“黄金分割”．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 　（55）　 cm．
【考点】黄金分割．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（55）．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴APAB10＝（55）（cm），
故答案为：（55）．
【点评】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14．（3分）（2025 乌鲁木齐模拟）已知与的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折．使点B恰好落在上的点C处，则点B的坐标为　（0，4）　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题；数形结合；一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【答案】（0，4）．
【分析】将点A坐标代入，先求出点A坐标，再求反比例函数表达式，根据直线OA的斜率是可知，∠AOB＝30°，再由翻折的对称性可知，∠AOC＝30°，故直线OC的倾斜角为30°，从而可求出直线OC的表达式，根据点C是直线OC与反比例函数的交点可求出点C坐标，进而可求出OC长，即可得OB长，从而得出点B坐标．
【解答】解：由题意得：m＝2，
将点A（）代入得：k，
直线OA的斜率是，
∴∠AOB＝30°，
∵将△OAB沿OA翻折后点B落在点C处，
∴∠AOC＝∠AOB＝30°，
∴直线OC的倾斜角为30°，
∴直线OC的表达式为，
解方程组得：或，
点C坐标为（2，2），
∴OB＝OC，
∴点B坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点的求解，直线的倾斜角，在求点C的坐标时也可利用图形的对称性即点A与点C关于直线y＝x对称来求解．
三．解答题（共10小题）
15．（2024秋 兰山区校级期中）解方程：
（1）x（x﹣2）＝2﹣x（用因式分解法）；
（2）7x2﹣23x+6＝0（用公式法）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）移项，得
∴x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1；
（2）由题意可得，a＝7，b＝﹣23，c＝6，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣23）2﹣4×7×6
＝361，
∴，
解得．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
16．（2023秋 漳州期中）已知：如图，在矩形ABCD中，M是AD边的中点．
求证：MB＝MC．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由矩形的性质得AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，而AM＝DM，即可根据“SAS”证明△ABM≌△DCM，则MB＝MC．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB＝MC．
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．
17．（2023春 东台市期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝1．求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由角平分线和等角可推出BA∥DE，从而由平行可证相似；
（2）由∠EAD＝∠ADE，得AE＝DE，设DE＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝1﹣x，由△DCE∽△BCA可得，即，解得x，即为DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠ADE．
∴∠BAD＝∠ADE．
∴BA∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝1﹣x，
由△DCE∽△BCA可得，
即，解得x，
即DE的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握以上内容是解题关键．
18．（2024秋 覃塘区期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请在网格中画出平移后的△A1O1B1；
（2）在网格中，以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2使它与△AOB的相似比为2：1；
（3）写出B1、B2两点的坐标．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析；
（3）B1的坐标为（﹣2，﹣1）、B2点的坐标为（2，﹣4）．
【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可；
（2）延长OA、OB到A1、B1，使OA2＝2OA，OB2＝2OB，与点O首尾顺次连接即可；
（3）根据B1、B2两点在平面直角坐标系中的位置即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1O1B1即为所求；
（2）如图所示，△A2OB2即为所求；
（3）B1的坐标为（﹣2，﹣1）、B2点的坐标为（2，﹣4）．
【点评】本题主要考查作图—平移变换、位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质．
19．（2023 云安区二模）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽取了 　200　 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；运算能力；推理能力．
【答案】（1）200；
（2）见解答；
（3）．
【分析】（1）由D的人数除以所占的比例即可；
（2）求出C的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20．（2024春 秦淮区校级期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'．函数y1、y2的图象相交于第一象限B点．（1）用无刻度的直尺与圆规作出点A′；
（2）若a＝2，点B坐标为（4，2）．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（3）若点B的横坐标为3a，△AA′B 的面积为16，求k的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）见解析；（2）①一次函数解析式为y＝x﹣2．反比例函数解析式为y，②2＜x＜4．（3）6．
【分析】（1）作点A关于原点对称的点A′即可；
（2）①待定系数法求出两个函数解析式即可；②根据两个函数图象写出不等式解集即可；
（3）设A（a，），B（3a，），根据面积列出8，解出k值即可．
【解答】解：（1）如图示，
（2）①∵点B坐标为（4，2），且点B在反比例函数图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y，
a＝2时，y＝4，
∴A（2，4），
∴A'（﹣2，﹣4），
∴点A'（﹣2，﹣4）、B（4，2）在一次函数图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣2．
②由函数图象可知，使y1＞y2＞0成立的x的范围为2＜x＜4．
（3）∵△AA′B 的面积为16，
∴S△AOB＝8，
设A（a，），B（3a，），
∴8，
解得k＝6．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21．（2024秋 江阳区校级月考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为14m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为96m2？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为x m，则平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为x m，另外一边宽为（x﹣1）m，
则平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，
由题意得x（27﹣2x+1）＝96，
整理得：x2﹣14x+48＝0
解得：x1＝6，x2＝8，
当x＝6时，27﹣2x+1＝16＞14（舍去），
当x＝8时，27﹣2x+1＝12．
答：所围矩形猪舍的长为12m、宽为8m时，猪舍面积为96m2．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据题意列出方程．
22．（2024秋 河南期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【尝试应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD所在直线折叠，使点A恰好落在边BC的中点E处．若DE＝5，求AC的长．
【拓展提高】
（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为 　6　 ．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）；
（3）6．
【分析】（1）选择小明的思路：过点BD∥AP交PC的延长线于点D，证明△ACP∽△BCD，列出比例式，根据角平分线的定义即可得证；选择小红的思路：过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，根据角平分线的性质及三角形的面积公式，即可得证；
（2）根据折叠的性质求出AB，BC，利用勾股定理即可解答；
（3）根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，证明△FBA∽△FAC，列出比例式，即可解答．
【解答】（1）证明：选择小明的思路：
如图，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，
∵BD∥AP，
∴∠APC＝∠D，
又∵∠ACP＝∠BCD，
∴△ACP∽△BCD，
∴，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠D，
∴PB＝BD，
∴；
选择小红的思路：
如图，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴CD＝CE，
∴，，，，
∴BC PF＝PB CE，PA CD＝AC PF，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折叠知AD＝DE＝5，CE＝AC，
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝2AC，
由折叠知CD是∠ACB的角平分线，
∴，
∴，
∴BD＝2AD＝10，
∴AB＝AD+BD＝15，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+（2AC）2＝152，
∴；
（3）解：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴，∠BAD＝∠DAC，
∵△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD＝3，
∴，
∴CD＝2，
∵AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠AFB＝∠CFA，
∴△FBA∽△FAC，
∴，
∴，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的定义，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2023秋 武侯区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）如图1，当点A'落在CB的延长线上时，连接AA'，求AA'的长；
（2）如图2，连接AC'，AC'与边A′B交于点M，当∠A'MC'＝∠A'C'M，求sin∠C′AB的值；
（3）如图3，连接AA'，点D为AA'的中点，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，若△ADE为以DE为直角边的直角三角形，求DE的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）AA'的长为4；
（2）sin∠C'AB；
（3）DE的长为1或4或．
【分析】（1）求出AC4，根据将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A'落在CB的延长线上，可得A'C＝A'B+BC＝5+3＝8，故AA'4；
（2）过B作BK⊥AC'于K，过A'作A'T⊥AC'于T，证明△A'TM∽△BKM，可得，A'T＝4BK，MT＝4MK，设BK＝x，MK＝y，则A'T＝4x，MT＝4y＝C'T，由勾股定理可得x2+81y2＝9①，16y2+16x2＝16②，可解得BK，故sin∠KAB，即sin∠C'AB；
（3）分三种情况：当E为直角顶点，AA'在AB上方时，由DE为△AA'C的中位线，可得A'，C，B共线，故A'C＝A'B﹣BC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2，即得DEA'C＝1；当E为直角顶点，AA'在AB下方时，同理可得A'，C，B共线，故DEA'C＝4；当D为直角顶点时，求出CE＝AEAC＝2，BE，可得cos∠BEC，即得，故DE．
【解答】解（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A'落在CB的延长线上，
∴A'B＝AB＝5，
∴A'C＝A'B+BC＝5+3＝8，
∴AA'4；
∴AA'的长为4；
（2）过B作BK⊥AC'于K，过A'作A'T⊥AC'于T，如图：
∵∠A'MC'＝∠A'C'M，
∴A'M＝A'C'＝AC＝4，
∴BM＝A'B﹣A'M＝1，MT＝C'T，
∵∠A'MT＝∠BMK，∠A'TM＝90°＝∠BKM，
∴△A'TM∽△BKM，
∴，
∴A'T＝4BK，MT＝4MK，
设BK＝x，MK＝y，则A'T＝4x，MT＝4y＝C'T，
∴C'K＝MK+MT+C'T＝9y，
∵BK2+C'K2＝BC'2，
∴x2+81y2＝9①，
∵MT2+A'T2＝A'M2，
∴16y2+16x2＝16②，
由①②可得x（负值已舍去）；
∴BK，
∴sin∠KAB，
即sin∠C'AB；
（3）当E为直角顶点，AA'在AB上方时，如图：
∵点D为AA'的中点，点E为AC的中点，
∴DE为△AA'C的中位线，
∴DE∥A'C，DEA'C，
∴∠A'CA＝∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴A'，C，B共线，
∴A'C＝A'B﹣BC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2，
∴DEA'C＝1；
当E为直角顶点，AA'在AB下方时，如图：
同理可得DE∥A'C，DEA'C，
∴∠A'CA＝∠AED＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴B在A'C上，即A'，C，B共线，
∴A'C＝BC+A'B＝3+5＝8，
∴DEA'C＝4；
当D为直角顶点时，如图：
∵E为AC中点，
∴CE＝AEAC＝2，
∴BE，
∴cos∠BEC，
∴cos∠AED，
即，
∴DE，
综上所述，DE的长为1或4或．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及相似三角形判定与性质，勾股定理及应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．（2024秋 雁塔区校级月考）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D．连接AO，BO．
（1）求一次函数y2＝ax+b的表达式；
（2）观察图象，直接写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y2＝2x+2；
（2）x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）S△AOB＝3．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B的坐标，然后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）先求得点D的坐标，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD进行求解即可．
【解答】解：（1）把点A（1，4）代入反比例函数解析式中得：，
∴k＝4，
∴，
把B（m，﹣2）代入反比例函数解析式中得：，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
把A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y2＝ax+b中得：，
∴，
∴y2＝2x+2；
（2）由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜1时，y1＞y2；
（3）令x＝0，则y＝2，
∴OD＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握两个函数性质是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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