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安徽省合肥市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2024春 雨花区期末）已知点A（a+1，a﹣2）在x轴上，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（4分）（2020秋 宝安区校级期中）已知（﹣1，y1），（1，y2）是直线y＝﹣3x+4上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
3．（4分）（2023春 青龙县期末）下列语句是命题的是（　　）
A．画出两个相等的线段
B．所有的同位角都相等吗
C．延长线段AB到C，使得BC＝BA
D．相等的角是对顶角
4．（4分）（2022秋 富川县校级期末）若一次函数y＝﹣ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a、b的取值范围是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．（4分）（2025春 良庆区校级期末）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，2cm，6cm
C．6cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
6．（4分）（2025春 江汉区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与y＝2x交于点A，则不等式kx+b＞2x的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
7．（4分）（2025春 罗湖区期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：cm）和时间t（单位：min）两个变量之间的关系．如表是小明记录的部分数据，当h为10cm时，对应的时间t为（　　）
t/min … 1 2 3 4 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 3.6 …
A．10min B．12min C．16min D．20min
8．（4分）（2020秋 江油市期中）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，若S△BEF＝1，则S△ABC等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）德胜浴室有一个蓄水池，从某时刻开始的3小时只进水不出水，在随后的9小时内既进水又出水，每小时的进水量和出水量都是常数．蓄水池的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示．当蓄水池内的水量大于5吨时，时间x的取值范围为（　　）
A．x＜9 B．x＞2 C．2＜x＜8 D．1＜x＜9
10．（4分）（2024春 蔡甸区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB、等腰Rt△BA1B1、等腰Rt△B1A2B2…的腰OB、BB1、B1B2…依次在直线OB上，且它们的腰长依次为1、2、3…（逐次增加1），那么A14的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2025春 新乡期末）函数中自变量x的整数值可以是　 　 （写出一个即可）．
12．（5分）（2021春 黄岩区期末）已知点P（n+4，n﹣m） 在第四象限，若n的所有整数解的和是﹣5，则m的取值范围是 　 　 ．
13．（5分）（2025春 高平市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．若∠B＝65°，∠C＝41°，则∠DAE的度数为　 　 °．
14．（5分）（2023秋 砀山县月考）已知一次函数y＝﹣3m﹣6﹣2x．
（1）若该函数图象与x轴的交点位于x轴的正半轴，则a的取值范围是 　 　 ；
（2）若该函数图象与y轴的交点在A（0，﹣5）、B（0，﹣1）之间（包括A、B两点），则m的最大值为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2025春 崇川区校级月考）在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，三角形ABC位置如图．
（1）请写出A、B、C三点的坐标；
（2）将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形A1B1C1，请在图中作出平移后的三角形A1B1C1；
（3）求出三角形ABC的面积．
16．（8分）（2022秋 包河区校级期中）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）有下列结论：
①BF＝AF；
②∠BAE＝∠CAE；
③S△ABF；
④∠C与∠CAD互余．
其中正确的是 　 　 （填序号）．
（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度数．
17．（8分）（2023春 海淀区校级期中）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣3．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）点（m，﹣5）在该函数的图象上，求m的值．
18．（8分）（2024秋 静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　 　 ；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
19．（10分）（2024春 亳州月考）已知一次函数的图象经过A（1，﹣2），B（3，2）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积．
20．（10分）（2025春 秦都区期末）如图，在△ABC中，CE是△ABC的角平分线，点D在AC边上（不与点A、C重合），连接BD交CE于点F．
（1）若BD是△ABC的中线，AB＝10，BC＝9，求△ABD与△BCD的周长之差；
（2）若BD是△ABC的高，∠ACB＝68°，求∠BFC的度数．
21．（12分）（2023秋 姑苏区校级月考）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　 　 ；b＝　 　 ；m＝　 　 ；
（2）动点P从点D开始沿着射线DC方向运动，连接AP，若△ACP和△ADP的面积比为1：3，求点P的坐标．
22．（12分）（2023春 南通期末）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上．
（1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝　 　 °，∠P＝　 　 °；
（2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数；
（3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请直接写出∠ACG与∠AOG的数量关系．
23．（14分）（2025 通许县模拟）某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 Ⅰ类学生用双肩包 Ⅱ类学生用双肩包
进货价（元/件） 50 40
销售价（元/件） 65 50
（1）商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数；
（2）研学过后，商店老板发现Ⅱ类学生用双肩包大量积压，于是降价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大？
安徽省合肥市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2024春 雨花区期末）已知点A（a+1，a﹣2）在x轴上，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0解答即可．
【解答】解：∵点P（a+1，a﹣2）在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，
∴a﹣2＝0，
即a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
2．（4分）（2020秋 宝安区校级期中）已知（﹣1，y1），（1，y2）是直线y＝﹣3x+4上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】由k＝﹣3＜0结合一次函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴函数y随x增大而减小，
∵﹣1＜1，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次项系数确定一次函数的增减性，
3．（4分）（2023春 青龙县期末）下列语句是命题的是（　　）
A．画出两个相等的线段
B．所有的同位角都相等吗
C．延长线段AB到C，使得BC＝BA
D．相等的角是对顶角
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、画出两个相等的线段，没有做出判断，不是命题；
B、所有的同位角都相等吗，没有做出判断，不是命题；
C、延长线段AB到C，使得BC＝BA，没有做出判断，不是命题；
D、相等的角是对顶角，是命题．
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键．
4．（4分）（2022秋 富川县校级期末）若一次函数y＝﹣ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a、b的取值范围是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据一次函数y＝﹣ax+b的图象经过第一、二、三象限，可知﹣a＞0，b＞0，然后即可得到a、b的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣ax+b的图象经过第一、二、三象限，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（4分）（2025春 良庆区校级期末）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，2cm，6cm
C．6cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：
A、∵1+2＝3，
∴1，2，3不能够组成三角形，所以此选项错误，不符合题意；
B、∵2+3＜6，
∴3，2，6不能组成三角形，所以此选项错误，不符合题意；
C、∵5+6＞10，
∴6，5，10能组成三角形，所以此选项正确，符合题意；
D、∵2+6＜9，
∴6，9，2不能组成三角形，所以此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6．（4分）（2025春 江汉区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与y＝2x交于点A，则不等式kx+b＞2x的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】先将y＝2代入关系式y＝2x求出x＝1，当x＜1时，一次函数y＝kx+b的图象在一次函数y＝2x的图象上方，即可得出不等式的解集．
【解答】解：在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2，
∴x＝1，
∴A（1，2），
由图可得：当x＜1时，kx+b＞2x．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（4分）（2025春 罗湖区期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：cm）和时间t（单位：min）两个变量之间的关系．如表是小明记录的部分数据，当h为10cm时，对应的时间t为（　　）
t/min … 1 2 3 4 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 3.6 …
A．10min B．12min C．16min D．20min
【考点】函数的表示方法．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】D
【分析】由表格可知，增加1min，h增加0.4cm，据此列方程并求解即可．
【解答】解：由条件可得2.4+0.4（t﹣1）＝10，
解得t＝20，
∴当h为10cm时，对应的时间t为20min．
故选：D．
【点评】本题考查函数的表示方法，找到变量之间的变化规律是解题的关键．
8．（4分）（2020秋 江油市期中）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，若S△BEF＝1，则S△ABC等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可．
【解答】解：∵点F是CE的中点，S△BEF＝1，
∴S△BCE＝2S△BEF＝2，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE，S△ACD＝2S△CDE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝2S△BDE+2S△CDE＝2（S△BDE+S△CDE）＝2S△BCE＝2×2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．
9．（4分）德胜浴室有一个蓄水池，从某时刻开始的3小时只进水不出水，在随后的9小时内既进水又出水，每小时的进水量和出水量都是常数．蓄水池的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示．当蓄水池内的水量大于5吨时，时间x的取值范围为（　　）
A．x＜9 B．x＞2 C．2＜x＜8 D．1＜x＜9
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据图象中的数据，可以写出两段对应的函数解析式，然后根据蓄水池内的水量大于5吨，即可列出相应的不等式组，然后求解即可．
【解答】解：设当0≤x≤3时，y与x的函数解析式为y＝kx，
∵点（3，15）在该函数图象上，
∴15＝3k，得k＝5，
即当0≤x≤3时，y与x的函数解析式为y＝5x；
设当3＜x≤12时，y与x的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（3，15），（12，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当3＜x≤12时，y与x的函数解析式为yx+20，
由题意可得，，
解得1＜x＜9，
即当蓄水池内的水量大于5吨时，时间x的取值范围为1＜x＜9，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（4分）（2024春 蔡甸区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB、等腰Rt△BA1B1、等腰Rt△B1A2B2…的腰OB、BB1、B1B2…依次在直线OB上，且它们的腰长依次为1、2、3…（逐次增加1），那么A14的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】依次求出点A、A1、A2的坐标根据其坐标值探索出其规律即可．
【解答】解：如图，作BC⊥x轴于C，B1C1⊥x轴于C1交A1B于D1，B2C2⊥x轴于C2交A2B1于D2，
∵OB⊥AB，OB＝AB，OB＝1，
∴OA，
∴A（，0），
∵OB＝1，
∴OC＝1，
∵BB1⊥A1B1，BB1＝A1B1，BB1＝2，
∴BA1＝2，
∴D1A1，
∵OB1＝1+2，
∴OC1＝（1+2），，
∴A1（，），
同理：B1A2＝3，D2A2，OC2＝（1+2+3）3，3，
∴A2（，），
∴A14的横坐标为（1+2+...+15+15），
A14的纵坐标为（1+2+...+14）．
∴A14（，）
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标的规律，准确的计算及有理数和的规律是本题的解题关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2025春 新乡期末）函数中自变量x的整数值可以是　3（答案不唯一）　 （写出一个即可）．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】根据分式有意义的条件求得x的取值范围，然后写出一个符合题意的值即可．
【解答】解：由题意可得x﹣2≠0且x为整数，
∴x≠2且x为整数，
∴x可以为3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12．（5分）（2021春 黄岩区期末）已知点P（n+4，n﹣m） 在第四象限，若n的所有整数解的和是﹣5，则m的取值范围是 　﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【分析】根据平面直角坐标系中坐标的特征，列方程组并求出n的解集，根据“n的所有整数解的和是﹣5”确定n的取值，从而确定m的取值范围．
【解答】解：∵点P（n+4，n﹣m） 在第四象限，
∴，
∴﹣4＜n＜m，
∵n的所有整数解的和是﹣5，
∴n＝﹣3，﹣2或n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
故答案为：﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键．
13．（5分）（2025春 高平市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．若∠B＝65°，∠C＝41°，则∠DAE的度数为　12　 °．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】12．
【分析】先求解∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝74°，∠BAD＝90°﹣∠B＝25°，，再进一步求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝41°，
∴根据三角形内角和定理可得，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣41°＝74°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣25°＝12°．
即∠DAE的度数为12°．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握．
14．（5分）（2023秋 砀山县月考）已知一次函数y＝﹣3m﹣6﹣2x．
（1）若该函数图象与x轴的交点位于x轴的正半轴，则a的取值范围是 　m＜﹣2　 ；
（2）若该函数图象与y轴的交点在A（0，﹣5）、B（0，﹣1）之间（包括A、B两点），则m的最大值为 　　 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）m＜﹣2；
（2）．
【分析】（1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论；
（2）根据题意得不等式组，解不等式组即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣3m﹣6﹣2x的图象与x轴的交点A位于x轴的正半轴，
∴﹣3m﹣6﹣2x＝0，解得：，
∴，
解得：m＜﹣2，
故m的取值范围是m＜﹣2；
故答案为：m＜﹣2；
（2）当x＝0时，y＝﹣3m﹣6，
∵函数图象与y轴的交点在A（0，﹣5）、B（0，﹣1）之间，
∴﹣5≤﹣3m﹣6≤﹣1，
解得：，
∴m的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是一次函数的性质，熟知函数图象与坐标轴的交点是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2025春 崇川区校级月考）在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，三角形ABC位置如图．
（1）请写出A、B、C三点的坐标；
（2）将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形A1B1C1，请在图中作出平移后的三角形A1B1C1；
（3）求出三角形ABC的面积．
【考点】作图﹣平移变换；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）A （﹣2，6），B （﹣4，1），C （﹣1，2）．
（2）见解答．
（3）．
【分析】（1）由图可得答案．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由图可得，A （﹣2，6），B （﹣4，1），C （﹣1，2）．
（2）如图，三角形A1B1C1即为所求．
（3）三角形ABC的面积为．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
16．（8分）（2022秋 包河区校级期中）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）有下列结论：
①BF＝AF；
②∠BAE＝∠CAE；
③S△ABF；
④∠C与∠CAD互余．
其中正确的是 　②③④　 （填序号）．
（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度数．
【考点】三角形的面积；余角和补角；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）②③④；
（2）62°．
【分析】（1）根据△的中线，高线，角平分线的定义依次进行判断即可；
（2）根据AD是△ABC的高线，可得∠ADE＝90°，进一步可得∠AED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠BAE的度数，再根据AE是△ABC的角平分线，可得∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠C的度数．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝FC，
故①选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
故②选项符合题意；
∵AF是△ABC的中线，
∴S△ABFS△ABC，
故③选项符合题意；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C与∠CAD互余，
故④选项符合题意；
故答案为：②③④；
（2）∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝16°，
∴∠AED＝90°﹣16°＝74°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣30°＝44°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝88°，
∴∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝62°．
【点评】本题考查了三角形的中线，高线，角平分线，三角形内角和定理，余角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
17．（8分）（2023春 海淀区校级期中）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣3．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）点（m，﹣5）在该函数的图象上，求m的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝3x﹣6；
（2）m的值是．
【分析】（1）设y＝k（x﹣2），可得﹣3＝k×（1﹣2），即可得y与x的函数关系式为y＝3x﹣6；
（2）由点（m，﹣5）在该函数的图象上，得﹣5＝3m﹣6，故m的值是．
【解答】解：（1）由y与x﹣2成正比例，设y＝k（x﹣2），
∵x＝1时，y＝﹣3，
∴﹣3＝k×（1﹣2），
解得k＝3，
∴y＝3（x﹣2）＝3x﹣6，
∴y与x的函数关系式为y＝3x﹣6；
（2）∵点（m，﹣5）在该函数的图象上，
∴﹣5＝3m﹣6，
解得m，
∴m的值是．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法和一次函数图象上点坐标的特征．
18．（8分）（2024秋 静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　 ；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
（2）见解析．
【分析】（1）如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，由此即可得到答案；
（2）画出图形，由题意即可写出已知和求证，由垂直的定义得到∠CMN＝∠ENB＝90°，由同位角相等，两直线平行推出CD∥EF．
【解答】解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
（2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N，
求证：CD∥EF，
证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N，
∴∠CMN＝∠ENB＝90°，
∴CD∥EF．
【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握平行线的判定方法．
19．（10分）（2024春 亳州月考）已知一次函数的图象经过A（1，﹣2），B（3，2）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）4．
【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将两点代入可得出k和b的值，进而可得出函数解析式；
（2）先求出图象与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积．
【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把点A（1，﹣2），B（3，2）代入得：
，解得：，
∴这个一次函数的解析式为y＝2x﹣4；
（2）当y＝0时，0＝2x﹣4，
解得：x＝2，
∴该一次函数图象与x轴交于点（2，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴该一次函数图象与y轴交于点（0，﹣4），
∴此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图象与坐标轴围成的三角形面积求法，注意掌握一次函数与坐标轴围成三角形的面积的求法，难度不大，注意在解答时要细心．
20．（10分）（2025春 秦都区期末）如图，在△ABC中，CE是△ABC的角平分线，点D在AC边上（不与点A、C重合），连接BD交CE于点F．
（1）若BD是△ABC的中线，AB＝10，BC＝9，求△ABD与△BCD的周长之差；
（2）若BD是△ABC的高，∠ACB＝68°，求∠BFC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）1；
（2）124°．
【分析】（1）根据三角形中线的定义得到AD＝CD，利用三角形的周长公式表示出△ABD与△BCD的周长，两者相减即可得出答案；
（2）根据三角形的高的定义得到∠BDC＝90°，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD．
∵AB＝10，BC＝9，
∴△ABD的周长＝AD+BD+10，△BCD的周长＝CD+BD+9．
∴△ABD与△BCD的周长之差为AD+BD+10﹣（CD+BD+9）
＝AD+BD+10﹣CD﹣BD﹣9
＝10﹣9
＝1，
即△ABD与△BCD的周长之差为1；
（2）∵BD是△ABC的高，
∴∠BDC＝90°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴，
∴∠BFC＝∠BDC+∠DCF＝90°+34°＝124°，
即∠BFC的度数为124°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（12分）（2023秋 姑苏区校级月考）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　　 ；b＝　4　 ；m＝　2　 ；
（2）动点P从点D开始沿着射线DC方向运动，连接AP，若△ACP和△ADP的面积比为1：3，求点P的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1），4，2；（2）当△ACP和△ADP的面积比为1：3时，点P的坐标为或（4，3）．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）分两种情况：①点P在线段DC上；②点P在线段DC的延长线上，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，则b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，则C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到．
∴，b＝4，m＝2
故答案为：，4，2；
（2）解：∵点P在射线DC上从点D开始运动，直线，直线l2：y＝﹣x+4，
当x＝2时，，∴C（2，2），
当y＝0时，由得x＝﹣2，∴D（﹣2，0），
当y＝0时，由0＝﹣x+4得x＝4，∴A（4，0），
∴AD＝4﹣（﹣2）＝6，
∴，
设，
分两种情况：①点P在线段DC上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴△ADP和△ACD的面积比为3：4，
∴，则，
解得x＝1，
∴P的坐标
②点P在线段DC的延长线上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴△ADP和△ACD的面积比为3：2，
∴，则，
解得x＝4，
∴P的坐标（4，3）
综上：存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3，点P的坐标或（4，3）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
22．（12分）（2023春 南通期末）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上．
（1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝　124　 °，∠P＝　62　 °；
（2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数；
（3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请直接写出∠ACG与∠AOG的数量关系．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．
【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求α+β的度数，根据邻补角定义以及角平分线性质求∠PCB+∠CBP的度数，再求∠P度数即可．
（2）分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求∠DCB+∠DBC的度数，根据三角形内角和定义即可求解．
（3）由三角形外角性质可知∠CAO+∠ACG＝∠CGO+∠AOG，再由角平分线性质可得∠EAF+∠ACG∠CGH+∠AOG，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得∠EAF＝180°﹣∠ACG﹣∠ABC＝180°﹣∠ACG﹣∠GBH，∠CGH＝90°﹣∠GBH，即可求解．
【解答】（1）∵∠EAF＝56°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠EAF＝124°，
∴α+β＝124°，
∵CP，BP分别平分∠FCB，∠CBE，
∴∠PCB∠BCF，∠CBP，
∵∠BCF+∠CBE＝360°﹣（α+β）＝236°，
∴∠PCB+∠CBP（∠BCF+∠CBE）＝118°，
∴∠P＝180°﹣（∠BCP+∠CBP）＝62°．
故答案为：124；62．
（2）①点Q在BC上方时，如图，
∵∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣（∠EAF+∠CQB）＝360°﹣（56°+104°）＝200°，
∴∠FCQ+∠QBE＝360°﹣（∠ACQ+∠ABQ）＝160°，
∵MN，CN分别平分∠QBE，∠QCF，
∴∠DCQ+∠QBD（∠FCQ+∠QBE）＝80°，
∵∠QCB+∠CBQ＝180°﹣∠CBQ＝76°，∠DCB+∠DBC＝80°+76°＝156°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DCB+∠DBC）＝180°﹣15＝24°；
②点Q在BC下方时，如图，
∵∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠EAF＝124°，
∴∠FCQ+∠QBE＝360°﹣48°＝312°，∠QCB+∠QBC＝180°﹣62°＝118°，
∴∠DCQ+∠DBQ312°＝156°
∴∠BDC＝360°﹣104°﹣156°＝100°，
综上所述，∠BDC的度数为24°或100°．
（3）∴，理由如下：
∵AO，OG分别是∠FAE和∠CGH的平分线，
∴∠CAO∠EAF，∠CGO∠CGH，
∵∠1＝∠CAO+∠ACG＝∠CGO+∠AOG，
∴∠EAF+∠ACG∠CGH+∠AOG，
即∠AOG﹣∠ACG（∠EAF﹣∠CGH），
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠EAF＝180°﹣∠ACG﹣∠ABC＝180°﹣∠ACG﹣∠GBH，∠CGH＝90°﹣∠GBH，
∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质．
23．（14分）（2025 通许县模拟）某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 Ⅰ类学生用双肩包 Ⅱ类学生用双肩包
进货价（元/件） 50 40
销售价（元/件） 65 50
（1）商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数；
（2）研学过后，商店老板发现Ⅱ类学生用双肩包大量积压，于是降价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大？
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）购进 I 类学生用双肩包60件，购进 II 类学生用双肩包140件；
（2）将销售价定为每件46元时，才能使 II 类学生用双肩包平均每天销售利润最大．
【分析】（1）设购进 I 类双肩包x件，则购进II类双肩包（200﹣x ）件，列方程求解即可；
（2）设降价m元，则销售价为（50﹣m）元，每天销量为（4+2m）件，求出利润的表达式，分析解答即可．
【解答】解：（1）设购进 I 类双肩包x件，则购进II类双肩包（200﹣x ）件．根据总价＝单价×数量，可列方程：50x+40（200﹣x）＝8600，
解得 x ＝60，则购进 II 类双肩包140件；
（2）设降价m元，则销售价为（50﹣m）元，每天销量为（4+2m）件．
利润为（10﹣m ）（4+2m）＝﹣2（m﹣4）2+72，
∵﹣2＜0
∴开口向下，
当m＝4时，利润最大，此时销售价为46元．
答：将销售价定为每件46元时，才能使 II 类学生用双肩包平均每天销售利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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