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安徽省合肥市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 拱墅区月考）点P（3，﹣4）到x轴的距离是（　　）
A． B．3 C．5 D．4
2．（3分）（2023春 海淀区校级期中）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2025春 石家庄校级期末）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x＞0 C．x≥1 D．x＜0
4．（3分）（2024春 长葛市期末）将正比例函数y＝2x的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为（　　）
A．y＝2x2 B．y＝4x C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
5．（3分）（2023秋 青县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，作BD平分∠ABC交边AC于D，过A作AE⊥BD于E，延长AE交边BC于点F，连接DF，则∠CDF的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
6．（3分）（2025春 立山区期中）在平面直角坐标系中，已知点（1，2）和（2，5）在直线l上，则直线l必经过点（　　）
A．（﹣1，0） B． C． D．（﹣2，﹣5）
7．（3分）有两个相关联的量，它们的关系如图，这两个量可能是（　　）
A．一辆汽车，从甲地匀速开往乙地时的速度与时间
B．小明的身高与体重
C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数
D．正方形的边长与面积
8．（3分）（2025春 咸宁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，3），则关于x的不等式kx+b＞3的解集为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
9．（3分）（2024 湖南模拟）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30°的直角三角板．一副三角板如图摆放，其中A、D、B共线，此时∠BED的度数为（　　）
A．60° B．30° C．40° D．70°
10．（3分）（2023秋 雁塔区校级期末）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）（2022秋 冠县期末）命题：“若a＞0，b＞0，则a+b＞0”的逆命题是 　 　 （填“真”或“假”）命题．
12．（4分）（2021秋 魏都区校级月考）乐乐同学有两根长度为4cm，7cm的木棒，母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm，6cm，10cm，12cm，15cm的木棒供他选择，他有 　 　 种选择．
13．（4分）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则　 　 ．
14．（4分）（2023春 高新区期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，若按此变化规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分74分）
15．（5分）（2024 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；
（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．
16．（5分）（2022春 舒兰市期末）如图，DE平分∠CDF，BE∥DF，BE交CD于点N，AB∥CD．求证：∠B＝2∠EDF．
17．（8分）（2024春 浦东新区校级月考）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝﹣1时，y＝1，那么当x＝11时，y的值为 　 　 ．
18．（8分）（2025春 徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
19．（8分）已知直线y＝ax+3与直线y＝kx+b如图所示，且方程组的解为点B坐标为（0，﹣1），你能确定这两个一次函数的表达式吗？
20．（8分）（2022秋 平舆县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，AD与BC相交于点O，AP交BC于点F、BP交AD于E．
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；
（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系，直接写出结果．
21．（10分）我们知道，在一定范围内，海拔高度每上升1km，温度下降6℃．某时刻，某市地面温度为26℃，设高出地面x km处的温度为y℃．
（1）写出y与x之间的函数解析式．
（2）已知该市某山高出地面约500m，求这时山顶的温度大约是多少．
（3）此刻，有一架飞机飞过该市上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为﹣34℃，则飞机离地面的高度为多少千米？
22．（10分）在三角形ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C．
（1）如图（1），AE是高，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并说明理由；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上，EF⊥BC于F，则∠DEF与∠B，∠C的大小关系是 　 　 （直接写出结论，不需说明理由）．
23．（12分）（2023 雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg） 4.8 4
零售价/（元/kg） 7.2 5.6
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜n kg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
安徽省合肥市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋 拱墅区月考）点P（3，﹣4）到x轴的距离是（　　）
A． B．3 C．5 D．4
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】D
【分析】直接利用点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值，即可得出答案．
【解答】解：点P（3，﹣4）到x轴的距离是：|﹣4|＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
2．（3分）（2023春 海淀区校级期中）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】C
【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、对于自变量的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
3．（3分）（2025春 石家庄校级期末）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x＞0 C．x≥1 D．x＜0
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】C
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1，
∴函数的自变量x的取值范围是x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义条件是解题的关键．
4．（3分）（2024春 长葛市期末）将正比例函数y＝2x的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为（　　）
A．y＝2x2 B．y＝4x C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据“上加下减”的平移规律直接可得答案．
【解答】解：将正比例函数y＝2x的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为y＝2x+2，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律．
5．（3分）（2023秋 青县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，作BD平分∠ABC交边AC于D，过A作AE⊥BD于E，延长AE交边BC于点F，连接DF，则∠CDF的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出∠BAC＝100°，证△ABE和△FBE全等得∠BAE＝∠BFE，AE＝FE，进而可求出∠BAE＝∠BFE＝65°，则∠DAF＝35°，再证BD为AF的垂直平分线得AD＝DF，则∠DFA＝∠DAF＝35°，由此可求出∠ADF＝110°，进而根据平角的定义可求出∠CDF的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AE⊥BD于E，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴∠BAE＝∠BFE，AE＝FE，
在△ABF中，∠ABC＝50°，∠BAE＝∠BFE，
∴∠BAE＝∠BFE（180°﹣∠ABC）（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠BAE＝100°﹣65°＝35°，
∵AE＝FE，AE⊥BD，
∴BD为AF的垂直平分线，
∴AD＝DF，
∴∠DFA＝∠DAF＝35°，
∴∠ADF＝180°﹣（∠DFA+∠DAF）＝180°﹣（35°+35°）＝110°，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADF＝70°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键．
6．（3分）（2025春 立山区期中）在平面直角坐标系中，已知点（1，2）和（2，5）在直线l上，则直线l必经过点（　　）
A．（﹣1，0） B． C． D．（﹣2，﹣5）
【考点】待定系数法求一次函数解析式；点的坐标．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断．
【解答】解：设直线的方程为：y＝kx+b，
将点（1，2）与（2，5）代入可得：，
解得：，
∴直线的方程为：y＝3x﹣1，
将四个选项代入，可知C符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，掌握待定系数法求一次函数关系式的方法是关键．
7．（3分）有两个相关联的量，它们的关系如图，这两个量可能是（　　）
A．一辆汽车，从甲地匀速开往乙地时的速度与时间
B．小明的身高与体重
C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数
D．正方形的边长与面积
【考点】一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】由图象可知两个相关联的量是正比例函数关系，由此判断即可．
【解答】解：由图象可知两个相关联的量是正比例函数关系，
A．路程一定，速度与时间是反比例函数关系，故A不合题意；
B．身高和体重不是相关联的量，身高和体重不成正比例，故B不合题意；
C．运货总吨数＝每次运货的吨数×运货的次数，则汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数是正比例函数关系，故C符合题意；
D．根据正方形的面积公式，正方形的边长与面积不是正比例函数关系，故D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，明确两个相关联的量是正比例函数关系是解题的关键．
8．（3分）（2025春 咸宁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，3），则关于x的不等式kx+b＞3的解集为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】关于x的不等式kx+b＞3的解集即为y＝kx+b在y＝3上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决．
【解答】解：由题意可得：关于x的不等式kx+b＞3的解集即为y＝kx+b在y＝3上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于x的不等式kx+b＞3的解集x＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
9．（3分）（2024 湖南模拟）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30°的直角三角板．一副三角板如图摆放，其中A、D、B共线，此时∠BED的度数为（　　）
A．60° B．30° C．40° D．70°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】求出∠EBF＝45°﹣30°＝15°，由三角形外角的性质得到∠BED＝∠F+∠EBF＝60°．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝45°﹣30°＝15°，
∵∠F＝45°，
∴∠BED＝∠F+∠EBF＝45°+15°＝60°．
故选：A．
【点评】本题考查三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到∠BED＝∠F+∠EBF．
10．（3分）（2023秋 雁塔区校级期末）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
所以k的值可以是﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）（2022秋 冠县期末）命题：“若a＞0，b＞0，则a+b＞0”的逆命题是 　假　 （填“真”或“假”）命题．
【考点】命题与定理．
【专题】实数；应用意识．
【答案】假．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解答】解：“若a＞0，b＞0，则a+b＞0”的逆命题是“若a+b＞0，则a＞0，b＞0”，是一个假命题，
故答案为：假．
【点评】本题考查命题与定理，正确记忆命题的有关知识是解题关键．
12．（4分）（2021秋 魏都区校级月考）乐乐同学有两根长度为4cm，7cm的木棒，母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm，6cm，10cm，12cm，15cm的木棒供他选择，他有 　2　 种选择．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】2．
【分析】从中任选一根，能钉成三角形相框的有：6cm，10cm长的木棒．
【解答】解：设第三根木棒的长度为x cm，
若要构成三角形，则7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11，
而在3cm，6cm，10cm，12cm，15cm这5根木棒中，满足3＜x＜11的只有6cm、10cm这2根，
即只有2种选择．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
13．（4分）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则　k＞2　 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】k＞2．
【分析】系数（k﹣2）为正数时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2．
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．
14．（4分）（2023春 高新区期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，若按此变化规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则　2n+1　 ．
【考点】三角形的面积；规律型：图形的变化类．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】2n+1．
【分析】先利用三角形的面积公式求出△OAB的面积，△OA1B1的面积，△OA2B2的面积，然后从数字找规律，即可解答．
【解答】解：由题意得：
△OAB的面积OB 22×2＝2，
△OA1B1的面积OB1 24×2＝4＝22，
△OA2B2的面积OB2 28×2＝8＝23，
…
∴△OAnBn的面积＝2n+1，
故答案为：2n+1．
【点评】本题考查了三角形的面积，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分74分）
15．（5分）（2024 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；
（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．
【考点】作图﹣平移变换；相似三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．
【专题】计算题；作图题；几何直观．
【答案】（1）线段CD，AD，BC见图形；
（2）．
【分析】（1）在图形中直接作图即可；
（2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
得到．
∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，
∴等腰直角三角形EAD中，
AD，
∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，
∴DO，
在Rt△EOD中，ED，
∴EO，
∴．
【点评】本题考查了平移变换，画图，涉及到平行四边形，等腰直角三角形的性质的应用，关键是能够利用小正方形格子的边长，求出OE，AD的长度，得到结果．
16．（5分）（2022春 舒兰市期末）如图，DE平分∠CDF，BE∥DF，BE交CD于点N，AB∥CD．求证：∠B＝2∠EDF．
【考点】平行线的性质．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】证明详见解析．
【分析】根据角平分线得出∠CDF＝2∠EDF，再由平行线的性质即可得出结果．
【解答】证明：∵DE平分∠CDF，
∴∠CDF＝2∠EDF，
∵BE∥DF，AB∥CD，
∴∠CNE＝∠CDF，∠B＝∠CNE（两直线平行，同位角相等），
∴∠B＝∠CDF，
∴∠B＝2∠EDF（等量代换）．
【点评】本题主要考查角平分线的计算及平行线的性质，深刻理解平行线的性质是解题关键．
17．（8分）（2024春 浦东新区校级月考）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝﹣1时，y＝1，那么当x＝11时，y的值为 　﹣3　 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣3．
【分析】设y与x的函数解析式为y＝k（x﹣2）（k≠0），然后根据题意求出k即可．
【解答】解：∵y与x﹣2成正比例，
∴y＝k（x﹣2）（k≠0），
∵当x＝﹣1时，y＝1，
∴1＝k（﹣1﹣2），
解得k，
∴y（x﹣2），
∴当x＝11时，y（11﹣2）9＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据题意列出方程是解本题的关键．
18．（8分）（2025春 徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】延长AP交BC于D，由三角形三边关系定理得到AP+PB＜AC+BC，PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，推出PA+PB+PC＜AB+BC+AC；由三角形三边关系定理得到PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，推出PA+PB+PC（AB+BC+AC），即可证明问题．
【解答】证明：延长AP交BC于D，
由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD，
∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD，
∴AP+PB＜AC+BC，
同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，
∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC），
∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC；
由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，
∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
∴PA+PB+PC（AB+BC+AC），
∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是灵活应用三角形三边关系定理来解决问题．
19．（8分）已知直线y＝ax+3与直线y＝kx+b如图所示，且方程组的解为点B坐标为（0，﹣1），你能确定这两个一次函数的表达式吗？
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】yx+3，yx﹣1．
【分析】根据函数图象和方程组确定点A坐标为（3，1），再把点A代入y＝ax+3，就可以确定该函数；同理，把点A和点B代入函数y＝kx+b，用待定系数法就可以求出答案．
【解答】解：由已知可得A（3，1），把点A代入y＝ax+3得，
解得：a，
所以函数关系为yx+3，
把点（3，1）和点（0，﹣1）代入y＝kx+b，
得．
解得：
所以，yx﹣1．
【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组，解题的关键是找到方程组和函数的关系．
20．（8分）（2022秋 平舆县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，AD与BC相交于点O，AP交BC于点F、BP交AD于E．
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；
（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系，直接写出结果．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠P＝32°；
（2）∠P（∠C+∠D）．
【分析】设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可得∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，
根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：
∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，
∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，
∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．
∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，
∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．
同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，
∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，
①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，
①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，
④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，
2∠P＝35°+29°，
解得∠P＝32°；
（2）∠P（∠C+∠D），理由如下：
由（1）同理可知：
2∠P＝∠C+∠D，
解得∠P（∠C+∠D）．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
21．（10分）我们知道，在一定范围内，海拔高度每上升1km，温度下降6℃．某时刻，某市地面温度为26℃，设高出地面x km处的温度为y℃．
（1）写出y与x之间的函数解析式．
（2）已知该市某山高出地面约500m，求这时山顶的温度大约是多少．
（3）此刻，有一架飞机飞过该市上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为﹣34℃，则飞机离地面的高度为多少千米？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝26﹣6x；（2）22.4℃；（3）10km．
【分析】（1）由题意可知，x km处的温度为地面温度26°减去下降的温度6x℃，据此得到y与x之间的函数表达式；
（2）先把500m化为0.5km，将x＝0.5代入上述所得函数表达式求出对应y的值，可得这时山顶的温度；
（3）令（1）中所得函数表达式中y＝﹣34列出关于x的方程，通过解方程求出x的值，即为飞机距地面的高度．
【解答】解：（1）根据题意得此时此高度的温度y＝26﹣6x，
即y与x之间的函数表达式为y＝26﹣6x．
（2）由于500m＝0.5km．
当x＝0.5时，y＝26﹣6×0.6＝22.4．
即这时山顶温度约为22.4℃．
（3）由﹣34＝26﹣6x，解得x＝10，
即飞机距地面的高度为10km．
【点评】本题考查一次函数的实际应用题，掌握利用关系式表示变量间关系的方法是解题的关键．
22．（10分）在三角形ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C．
（1）如图（1），AE是高，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并说明理由；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上，EF⊥BC于F，则∠DEF与∠B，∠C的大小关系是 　∠DEF　 （直接写出结论，不需说明理由）．
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）15°；
（2）解：∠DEF与∠B，∠C的大小关系是：∠DEF，理由如下：
过点A作AH⊥BC于H，如图（2）所示：
由（1）得：∠DAH，
∵EF⊥BC于F，AH⊥BC于H，
∴EF∥AH，
∴∠DEF＝∠DAH，
∴∠DEF；
（2）解：∠DEF与∠B，∠C的大小关系是：∠DEF，理由如下：
过点A作AK⊥BC于K，如图（3）所示：
由（1）得：∠DAK，
∵EF⊥BC于F，AK⊥BC于K，
∴EF∥AK，
∴∠DEF＝∠DAK，
∴∠DEF．
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），再由角平分线定义得∠DAC∠BAC，再根据∠CAE＝90°﹣∠C即可得出∠DAE，然后根据∠B＝35°，∠C＝65°即可得出∠DAE的度数；
（2）过点A作AH⊥BC于H，由（1）得∠DAH，证明EF∥AH得∠DEF＝∠DAH，由此可得出∠DEF与∠B，∠C的大小关系；
（2）过点A作AK⊥BC于K，由（1）得∠DAK，证明EF∥AK得∠DEF＝∠DAK，由此可得出∠DEF与∠B，∠C的大小关系．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），
∵AD是角平分线，
∴∠DAC∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE（90°﹣∠C），
又∵∠B＝35°，∠C＝65°，
∴∠DAE15°；
（2）解：∠DEF与∠B，∠C的大小关系是：∠DEF，理由如下：
过点A作AH⊥BC于H，如图（2）所示：
由（1）得：∠DAH，
∵EF⊥BC于F，AH⊥BC于H，
∴EF∥AH，
∴∠DEF＝∠DAH，
∴∠DEF；
（2）解：∠DEF与∠B，∠C的大小关系是：∠DEF，理由如下：
过点A作AK⊥BC于K，如图（3）所示：
由（1）得：∠DAK，
∵EF⊥BC于F，AK⊥BC于K，
∴EF∥AK，
∴∠DEF＝∠DAK，
∴∠DEF．
【点评】此题主要考查了三角形的角平分线和高线，三角形的内角和定理，理解三角形的角平分线和高线，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键．
23．（12分）（2023 雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg） 4.8 4
零售价/（元/kg） 7.2 5.6
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜n kg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】销售问题；方程思想；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）m＝0.8n+320；
（3）至少批发甲种蔬菜60千克．
【分析】（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意批发甲种蔬菜n kg，则批发乙种蔬菜（80﹣n）千克，再列出关系式即可；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意列出w关于n的函数关系式，进而得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意得，
，
解得，
答：批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）根据题意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，
整理得m＝0.8n+320；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意得，
w＝（7.2﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），
整理得w＝0.8n+128，
∵要保证利润不低于176元，
∴w＝0.8n+128≥176，
解得n≥60，
∴至少批发甲种蔬菜60千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的应用，解答本题的关键是找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解，并且要熟练掌握一次函数的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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