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安徽省合肥市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 兴宁市期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）（2022秋 东河区期末）下列说法正确的是（　　）
A．有一个角等于105°的两个等腰三角形相似
B．两个菱形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
3．（4分）二次函数的图象绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的顶点、开口方向分别为（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）（2024秋 郫都区校级期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若AD：AB＝3：4，则AE：EC＝（　　）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
5．（4分）（2023春 华龙区校级期中）观察下表，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　）
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2﹣x 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A．0.11 B．1.19 C．1.67 D．1.73
6．（4分）（2023春 桥西区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为10，则AC的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
7．（4分）（2024秋 平南县期中）已知反比例函数的图象如图所示，点A的坐标可能为（　　）
A．（1，2） B．（1，3） C． D．
8．（4分）（2024 济宁二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）（2023 冠县二模）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝6cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：5
10．（4分）（2024 永昌县校级三模）如图①，在正方形ABCD中，E为BC的中点，动点F从点A出发沿AB方向匀速运动，运动到点B停止，连接DF，将DF绕点D逆时针旋转90°得到DG，连接FG，FE和CG，设点F的运动路程为x，△FEG的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2022秋 宝丰县期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 　 　 ．
12．（5分）（2025春 李沧区校级月考）如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为　 　 ．
13．（5分）（2025 济南二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为yx2，正常水位时水面宽AB为24m，当水位上升1.5m时水面宽CD为 　 　 ．
14．（5分）（2023春 庐江县期末） ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，BC＝8．
（1）若OA＝OB，则 ABCD的面积等于 　 　 ；
（2）若OA＝AB，则 ABCD的面积等于 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2023秋 惠州期中）通过计算，求出二次函数y＝3x2﹣2x+1的对称轴和顶点坐标．
16．（8分）已知线段a，b，c满足关系式．
（1）求代数式的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三条边，若△ABC的周长为36，求△ABC各边的长度．
17．（8分）（2024秋 东坡区期中）如图，已知点D、F在△ABC边AB上，点E在边AC上，且EF∥DC，．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果，S△ADE＝9，求S△ABC的值．
18．（8分）（2023秋 蒲城县月考）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）的反比例函数（x＞0），其图象如图所示，请根据图象中的信息解决下列问题：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.25厘米时，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径．
19．（10分）（2023秋 万全区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若P为抛物线的顶点，求△ACP的面积．
20．（10分）（2024春 滨江区期末）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，m），B（3，2）
（1）求m的值．
（2）求函数y1，y2的表达式．
（3）请直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
21．（12分）（2024 龙亭区校级一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，已知篮圈中心距地面3.05m，篮球在空中的运行路线为一条抛物线．表格记录了李明投篮的高度y（m）与水平距离x（m）的相关数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4
竖直高度y/m 4
（1）求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）通过计算判断李明投出的此球能否命中篮圈中心（忽略其他因素）．
22．（12分）（2022秋 奉贤区期中）如图1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．点D是边BC上一动点，过点D作DE⊥BC交射线CA于点E，把△CDE沿DE翻折，点C落在点G处，AD和GE相交于点F．
（1）若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．
（2）在（1）的条件下，求证：△AFB∽△EFD．
（3）是否存在这样的点D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在，请说明理由．
23．（14分）（2024秋 临淄区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是x轴上方抛物线上一点，作MN⊥BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
安徽省合肥市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 兴宁市期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】由根据比例的性质得xy，代入所求是式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴xy，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
2．（4分）（2022秋 东河区期末）下列说法正确的是（　　）
A．有一个角等于105°的两个等腰三角形相似
B．两个菱形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【考点】相似图形；全等三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、有一个角等于105°的两个等腰三角形相似，因为105°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个菱形一定相似，错误，角不一定相等，本选项不符合题意；
C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．
3．（4分）二次函数的图象绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的顶点、开口方向分别为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据绕顶点旋转180°后，抛物线顶点不变，对称轴不变，开口方向改变可得答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点为（0，），开口方向向下，
将抛物线y＝﹣3x2绕顶点旋转180°后，顶点不变，对称轴不变，开口方向改变，
∴二次函数y＝﹣3x2的图象绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的顶点为（0，），开口方向向上；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握抛物线绕顶点旋转180°后，顶点不变，对称轴不变，开口方向改变．
4．（4分）（2024秋 郫都区校级期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若AD：AB＝3：4，则AE：EC＝（　　）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据DE∥BC，得到，进而求出AE：EC的比值即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD：AB＝3：4，
∴，
∴AE：EC＝3：1，
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段对应成比例，熟练掌握平行线分线段对应成比例定理是解题的关键．
5．（4分）（2023春 华龙区校级期中）观察下表，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　）
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2﹣x 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A．0.11 B．1.19 C．1.67 D．1.73
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，可以估算一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解x的范围．
【解答】解：由表格可得，
当x＝1.6时，y＝0.96；当x＝1.7时，y＝1.19；
∴x2﹣x＝1.1的一个近似解是为x＝1.67，
故选：C．
【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，解答本题的明确题意，求出x的取值范围．
6．（4分）（2023春 桥西区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为10，则AC的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据角平分线得到AE＝DE，结合CD＝4，△CDE周长为10即可得到答案．
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A＝90°，
∴AE＝DE，
∵CD＝4，△CDE周长为10，
∴CD+DE+CE＝CD+AE+CE＝CD+AC＝10，
∴AC＝10﹣4＝6，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题的关键是根据题意得到AE＝DE．
7．（4分）（2024秋 平南县期中）已知反比例函数的图象如图所示，点A的坐标可能为（　　）
A．（1，2） B．（1，3） C． D．
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上的点，横纵坐标值的乘积等于比例系数，逐一判断即可．
【解答】解：∵，
∴点A的坐标可能为（1，2），
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征，熟练掌握该特点是关键．
8．（4分）（2024 济宁二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据二次函数的图象可知a＜0，c＞0，由当x＝1时，y＜0，可知a+b+c＞0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
∴直线y＝ax+c经过一、二、四象限，
由图象可知，当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴反比例函数的图象必在二、四象限，
故C正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
9．（4分）（2023 冠县二模）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝6cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：5
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】发布期间两个等腰直角三角形端点面积，可得结论．
【解答】解：∵△ABC，△DEF是等腰直角三角形，BC＝6cm，EF＝4cm，∠A＝∠D＝90°，
∴AB＝ACBC＝3（cm），DE＝DFEF＝2（cm），
∴△ABC的面积339（cm2），△DEF的面积224（cm2），
∴阴影部分的面积＝9﹣4＝5（cm2），
∴△DEF的面积与阴影部分的面积比为4：5．
故选：C．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型．
10．（4分）（2024 永昌县校级三模）如图①，在正方形ABCD中，E为BC的中点，动点F从点A出发沿AB方向匀速运动，运动到点B停止，连接DF，将DF绕点D逆时针旋转90°得到DG，连接FG，FE和CG，设点F的运动路程为x，△FEG的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；图形的全等；矩形 菱形 正方形；空间观念；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】证明△ADF≌△DCG（ASA），得出AF＝CG，由图②得，当x＝1时，y＝4.5，即当AF＝1时，S△EFG＝4.5，根据三角形面积公式求出a即可求出边长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵∠FCG＝90°，
∴∠ADF＝∠CDG，
∵∠DAF＝∠DCG＝90°，
∴△ADF≌△DCG（ASA），
∴AF＝CG，
由图②得，当x＝1时，y＝4.5，
即当点AF＝1时，S△EFG＝4.5，
设正方形边长为2a，
∴BF＝2a﹣1，
∵E为中点，
∴CE＝a，EG＝a+1，
∴GE BF＝4.5，即（a+1）（2a﹣1）＝4.5，
∴a1＝2，a2（舍去），
∴AB＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2022秋 宝丰县期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 　3　 ．
【考点】比例线段．
【专题】一元二次方程及应用；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据题意得x：2＝6：（x+1），根据比例的基本性质即可求解．
【解答】解：根据题意得x：2＝6：（x+1），即x（x+1）＝2×6，
解得x1＝3，x2＝﹣4（负值舍去）．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．
12．（5分）（2025春 李沧区校级月考）如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为　　 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】依据题意，过G点作GE⊥OA，GF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEGF＝k，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEGF∽矩形OABC，可求相似比为OG：OB＝2：3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEGF＝8，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，即可算选出k的值．
【解答】解：由题意，过G点作GE⊥OA，GF⊥OC，垂足为E、F，
∵G点在双曲线上，
∴S矩形OEGF＝xy＝k，
又∵GB：OG＝1：2，
∴OG：OB＝2：3，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEGF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC＝18，
∴S矩形OEGF＝8，
∴k＝8．
∴函数的解析式是：．
.故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过G点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值．
13．（5分）（2025 济南二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为yx2，正常水位时水面宽AB为24m，当水位上升1.5m时水面宽CD为 　12m　 ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】12m．
【分析】根据二次函数的图象可得当水位上升1.5m时，此时y＝﹣0.5，进而可求得此时的x的值，进而可求解．
【解答】解：依题意得：
当，y＝﹣2，
当水位上升 1.5m时，则此时y＝﹣2+1.5＝﹣0.5，
则：，
解得：x＝6或x＝﹣6，
∴水面宽CD为：2×6＝12m，
故答案为：12m．
【点评】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
14．（5分）（2023春 庐江县期末） ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，BC＝8．
（1）若OA＝OB，则 ABCD的面积等于 　48　 ；
（2）若OA＝AB，则 ABCD的面积等于 　2　 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明四边形ABCD是矩形即可求解；
（2）过点A作AH⊥CB延长线于点H，在Rt△AHC与Rt△AHB中，由勾股定理得推出AH的长即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
∴ ABCD的面积＝AB BC＝48，
故答案为：48；
（2）如图，过点A作AH⊥CB延长线于点H，
设HC＝x，
在Rt△AHC与Rt△AHB中，由勾股定理得，
AH2＝AC2﹣HC2＝AB2﹣BH2，
即122﹣x2＝62﹣（x﹣8）2，
解得x，
∴AH，
∴ ABCD的面积＝82．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定，正确作出辅助线构造直角三角形，通过勾股定理得出平行四边形的高是解（2）的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2023秋 惠州期中）通过计算，求出二次函数y＝3x2﹣2x+1的对称轴和顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】对称轴为直线，顶点坐标为．
【分析】先把，化成顶点式，从而求出对称轴和顶点坐标．
【解答】解：，
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及其性质．
16．（8分）已知线段a，b，c满足关系式．
（1）求代数式的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三条边，若△ABC的周长为36，求△ABC各边的长度．
【考点】比例线段；代数式求值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）2；（2）9，12，15．
【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k．
（1）代入计算即可；
（2）构建方程求出k即可．
【解答】解：设k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1）2；
（2）∵a+b+c＝36，
∴3k+4k+5k＝36，
∴k＝3，
∴a＝9，b＝12，c＝15，
答：△ABC各边的长度分别为9，12，15．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．
17．（8分）（2024秋 东坡区期中）如图，已知点D、F在△ABC边AB上，点E在边AC上，且EF∥DC，．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果，S△ADE＝9，求S△ABC的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）S△ABC＝25．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的定理以及相似三角形判定及性质即可得证；
（2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥DC，
∴，
∵
∴，
∴且∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵EF∥DC，，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE＝9，
∴S△ABC＝25．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
18．（8分）（2023秋 蒲城县月考）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）的反比例函数（x＞0），其图象如图所示，请根据图象中的信息解决下列问题：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.25厘米时，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）56米．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点（2，7）代入，解方程即可得到结论；
（2）把x＝0.25代入反比例函数的解析式即可得到答案．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为，
由图象可知，反比例函数过点（2，7），
∴，
∴k＝14，
∴；
（2）当x＝0.25时，（米），
∴当某人迈出的步长差为0.25厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为56米．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意找到关系式是解题的关键．
19．（10分）（2023秋 万全区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若P为抛物线的顶点，求△ACP的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（1，0）；
（2）．
【分析】（1）令y＝﹣x2﹣x+2＝0，则x＝﹣2或1，即可求解；
（2）由△ACP的面积PH×OA2，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x2﹣x+2＝0，则x＝﹣2或1，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（1，0）；
（2）y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x）2，则点P（，），
过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+2，
则点H（，），则PH，
则△ACP的面积PH×OA2．
【点评】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
20．（10分）（2024春 滨江区期末）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，m），B（3，2）
（1）求m的值．
（2）求函数y1，y2的表达式．
（3）请直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m＝3；（2）y1；y2＝﹣x+5；（3）0＜x＜2或x＞3．
【分析】（1）依据题意，由B（3，2）在函数y1上，可得y1，再结合A（2，m）在函数y1上，进而计算可以得解；
（2）依据题意，根据（1）得，y1，再将A（2，3），B（3，2）代入y2＝k2x+b进而计算可以得解；
（3）依据题意，在同一坐标系中画出y1和y2＝﹣x+5的图象，又当y1＞y2时，x的取值范围即为反比例函数的图象在一次函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A（2，3），B（3，2），进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵B（3，2）在函数y1上，
∴k1＝3×2＝6．
∴y1．
又A（2，m）在函数y1上，
∴2m＝6．
∴m＝3．
（2）由题意，根据（1）得，y1，A（2，3），
又B（3，2），
∴．
∴．
∴y2＝﹣x+5．
（3）由题意，在同一坐标系中画出y1和y2＝﹣x+5的图象如下，
∵当y1＞y2时，x的取值范围即为反比例函数的图象在一次函数图象上方时对应的自变量的取值范围，
又A（2，3），B（3，2），
∴当y1＞y2时，0＜x＜2或x＞3．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能利用数形结合是关键．
21．（12分）（2024 龙亭区校级一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，已知篮圈中心距地面3.05m，篮球在空中的运行路线为一条抛物线．表格记录了李明投篮的高度y（m）与水平距离x（m）的相关数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4
竖直高度y/m 4
（1）求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）通过计算判断李明投出的此球能否命中篮圈中心（忽略其他因素）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）；
（2）不能命中篮圈中，计算见解析．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把x＝5.5代入抛物线解析式求出y的值，与3.05比较即可．
【解答】解：（1）由表格数据可知抛物线的顶点坐标为（3，4），
设抛物线为 y＝a（x﹣3）2+4，
把点 代入得：，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为
（2）把x＝5.5代入抛物线解析式 ，
得 ，
∵
∴李明投出的此球不能命中篮圈中
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
22．（12分）（2022秋 奉贤区期中）如图1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．点D是边BC上一动点，过点D作DE⊥BC交射线CA于点E，把△CDE沿DE翻折，点C落在点G处，AD和GE相交于点F．
（1）若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．
（2）在（1）的条件下，求证：△AFB∽△EFD．
（3）是否存在这样的点D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；作图—复杂作图；翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）画出图形见解答，CE的长是；
（2）证明过程见解答；
（3）存在，∠CAD的正切值为或或或3．
【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再证明△CDE∽△CAB，得，则CE；
（2）由DE垂直平分BC，得BE＝CE，则∠DEF＝∠DEC，由△CDE∽△CAB，得∠DEC＝∠ABC，由AD＝BDBC，得∠ABC＝∠BAF，则∠BAF＝∠DEF，而∠AFB＝∠EFD，即可证明△AFB∽△EFD；
（3）作DI⊥AC于点I，先由△DIC∽△BAC，求得ID：IC：DC＝3：4：5，再分四种情况分别求出DC的长，并且求出相应的ID和AI的长，即可由tan∠CAD，求出∠CAD的正切值，一是△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，作AH⊥BC于点H，由10AH6×8＝S△ABC，求得AH，再由勾股定理求得GH＝BH，则CD；二是△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，则CD（10﹣6）＝2；三是△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，则CG＝AG＝BGBC＝5，所以CDCG；四是△ABG是等腰三角形，点G在CB的延长线上，且BG＝AB＝6，DC（10+6）＝8．
【解答】（1）解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
由翻折得DG＝DC，
∵DE⊥BC，
∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°，
∴点G在射线CB上，
如图2，点G和点B重合，则DB＝DCBC＝5，
∵∠CDE＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴CE，
∴CE的长是．
（2）证明：如图2，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠DEF＝∠DEC，
∵△CDE∽△CAB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴AD＝BDBC，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB∽△EFD．
（3）解：存在，
作DI⊥AC于点I，则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△DIC∽△BAC，
∴，
∴，，
∴ID：IC：DC＝3：4：5，
如图3，△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，
作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°，
∵10AH6×8＝S△ABC，
∴AH，
∴GH＝BH，
∴DCCG（10﹣2），
∴IDDC，ICDC，
∴AI＝8，
∴tan∠CAD；
如图4，△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，
∴CD（10﹣6）＝2，
∴ID2，IC2，
∴AI＝8，
∴tan∠CAD；
如图5，△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，则∠GAB＝∠B，
∵∠GAC+∠GAB＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠GAC＝∠C，
∴CG＝AG＝BGBC＝5，
∴CDCG，
∴ID，IC2，
∴AI＝8﹣2＝6，
∴tan∠CAD；
如图6，△ABG是等腰三角形，点G在CB的延长线上，且BG＝AB＝6，
∴DC（10+6）＝8，
∴ID8，IC8，
∴AI＝8，
∴tan∠CAD3，
综上所述，∠CAD的正切值为或或或3．
【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（14分）（2024秋 临淄区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是x轴上方抛物线上一点，作MN⊥BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）14．
【分析】（1）将两点坐标代入解析式求出a，b即可；
（2）作垂线MQ，由等腰直角三角形得到，表示出MQ，再乘以得到MN长度的表达式，配方法求出最大值即可；
（3）过F作FG⊥AP，过B作BH⊥AP，过B作BK∥y轴交AP的延长线于点K，再通过证明三角形全等得出，再结合题目给的CF＝OD得出：OD：DF：CF＝1：4：1，再得到点D坐标，再求出OD所在直线解析式，再求出该直线和抛物线的交点，从而得到交点纵坐标得到所求三角形的高，最后求出三角形面积．
【解答】解：（1）物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）由B（6，0），C（0，6）解得直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
过点M作MQ∥y轴交BC于点Q，如图1，
设，Q（m，﹣m+6），
，
∵∠MQN＝∠OCB＝45°，MN⊥BC，
∴，
∴，
∴当m＝3时，MN最大，最大值是；
（3）过F作FG⊥AP于点G，过B作BH⊥AP于点H，过B作BK∥y轴交AP的延长线于点K，如图2，
∵S△AFE＝S△ABE，
∴FG＝BH，
又∵∠FDG＝∠BKH，∠FGD＝∠BHK＝90°，
∴△FDG≌△BKH（AAS），
∴FD＝BK，
∵，
且CF＝OD，
∴OD：DF：CF＝1：4：1，
∴，
∴D（0，1），
∴直线AD的解析式为，
∵，
∴，
解得x＝5或﹣2（舍去），
∴，
∴△PAB的面积，
故△PAB的面积为14．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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