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安徽省合肥市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 琅琊区校级月考）下列函数中①y＝3x+1；②y＝4x2﹣3x；③；④y＝5﹣2x2．是二次函数的有（　　）
A．② B．②③④ C．②③ D．②④
2．（4分）已知y＝2x﹣1，且0≤x≤1，令S＝xy，则函数S的取值范围是（　　）
A． B．0≤S≤1 C． D．
3．（4分）（2021秋 夏邑县期末）二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1，当0≤x≤5时，y的取值范围为（　　）
A．﹣8≤y≤﹣3 B．﹣3≤y≤0 C．﹣8≤y≤1 D．﹣8≤y≤0
4．（4分）（2024秋 合浦县期中）在反比例函数图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞1 C．k＜1 D．k＞0
5．（4分）（2024秋 巴中期末）下列四组线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝12，c＝3，d＝4
B．，，c＝2，
C．a＝2，b＝3，c＝6，d＝9
D．a＝2，，，
6．（4分）（2024秋 南山区校级期中）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.236米 B．0.764米 C．1.412米 D．1.632米
7．（4分）（2024 微山县二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2021秋 皇姑区校级月考）如图，AD∥BE∥CD，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝1，BC＝3，DE＝2，则DF的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（4分）（2025春 平昌县期中）如图，点P是双曲线y（x＞0）上的一个动点，过点P作PA⊥x轴于点A，当点P从左向右移动时，△OPA的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．保持不变
10．（4分）（2024秋 瑞安市校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+b﹣a（a＜0），当﹣1≤x≤4时，最大值与最小值的差为a2，若将抛物线向左平移4个单位后经过点（﹣1，0），则a的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣9 C．﹣10 D．﹣11
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2025春 静安区校级月考）已知三个自然数a、b、c，a是b的2倍，b：c＝3：2，那么a与c之比的比值是 　 　 ．
12．（5分）（2025 辉县市一模）反比例函数图象的一支在第二象限，请写出一个满足条件的k的值 　 　 ．
13．（5分）（2023秋 翁牛特旗期中）若函数y＝mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与坐标轴有2个公共点，则m的值为 　 　 ．
14．（5分）（2025 沙坪坝区校级开学）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，连接AC，BD交于点G，过点A作AE⊥BD交BC于E，交BD于F，且FG：DG＝1：3，则AG：CG＝　 　 ，若AG＝6，，则S△GDC＝　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2023秋 安吉县月考）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点B（m，12）在该函数图象上，求点B的坐标．
16．（8分）（2024秋 邵东市月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
17．（8分）（2022秋 柯桥区期中）已知线段a，b，c满足且a+b+c＝22．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求线段x的长．
18．（8分）（2024秋 怀远县期中）如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数的图象交于点M和N（n，﹣4）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，若S△OBP＝8S△OAM，求点P的坐标．
19．（10分）（2025 兰考县一模）冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）（0≤x≤10）近似满足二次函数关系：，当x＝2时，该含冰树枝重9.75千克；当x＝6时，该含冰树枝增重到15.75千克．
（1）求二次函数的解析式．
（2）由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由．
20．（10分）（2023秋 安庆期中）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB＝6，BC＝9，AE＝3，求CE长．
21．（12分）（2023 新乡三模）如图，已知矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，4），反比例函数y1的图象与矩形的边AB，BC分别交于点E，F，3AE＝BE，直线l：y2＝k2x+b 经过E，F两点．
（1）分别求出直线l和反比例函数的表达式；
（2）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式 的解集；
（3）连接AC，求证：EF∥AC．
22．（12分）（2024秋 平谷区期末）已知二次函数几组x与y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 m …
（1）直接写出m的值，m＝ 　 　 ；
（2）求此二次函数的表达式．
23．（14分）（2024春 二道区校级期中）【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容．
（1）【问题解决】请根据教材分析，结合图1，写出完整的证明过程：
（2）【结论应用】如图2，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C与点A重合，点D落到点D’处 若AF＝5，DE＝3，则矩形ABCD的面积为 　 　
（3）【拓展探究】如图3，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D与点D’重合，连结CE，若AB，BC＝6，∠BCD＝45°，则四边形AFCE的面积是 　 　 ．
安徽省合肥市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 琅琊区校级月考）下列函数中①y＝3x+1；②y＝4x2﹣3x；③；④y＝5﹣2x2．是二次函数的有（　　）
A．② B．②③④ C．②③ D．②④
【考点】二次函数的定义．
【专题】函数及其图象；符号意识．
【答案】D
【分析】直接利用二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，进而判断即可．
【解答】解：函数①y＝3x+1；②y＝4x2﹣3x；③；④y＝5﹣2x2中，是二次函数的有②y＝4x2﹣3x；④y＝5﹣2x2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）已知y＝2x﹣1，且0≤x≤1，令S＝xy，则函数S的取值范围是（　　）
A． B．0≤S≤1 C． D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】先求出S与x的关系式，然后将二次函数化成顶点式，根据二次函数的最值即可解答．
【解答】解：∵y＝2x﹣1，
∴，
∴当时，S有最小值，等于，
∵0≤x≤1，
∴当x＝1时，S有最大值，等于1，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的最值，求出S与x的关系式，并将二次函数化成顶点式是解题的关键．
3．（4分）（2021秋 夏邑县期末）二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1，当0≤x≤5时，y的取值范围为（　　）
A．﹣8≤y≤﹣3 B．﹣3≤y≤0 C．﹣8≤y≤1 D．﹣8≤y≤0
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1，
开口向下，对称轴为x＝2，
∴当0≤x≤5时，ymin＝y（x＝5）＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
ymax＝y（x＝2）＝1，
∴y的取值范围为﹣8≤y≤1．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（4分）（2024秋 合浦县期中）在反比例函数图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞1 C．k＜1 D．k＞0
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：由题意得：k﹣1＜0，
∴k＜1
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知对于反比例函数，当k＞0时，图象在一、三象限y都随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限y都随x的增大而增大是解题的关键．
5．（4分）（2024秋 巴中期末）下列四组线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝12，c＝3，d＝4
B．，，c＝2，
C．a＝2，b＝3，c＝6，d＝9
D．a＝2，，，
【考点】比例线段．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可．
【解答】解：根据比例线段的定义逐项分析判断如下：
A、∵1×12＝3×4＝12，
∴能成比例，该选项不合题意；
B、∵，
∴能成比例，该选项不合题意；
C、∵2×9＝3×6＝18，
∴能成比例，该选项不合题意；
D、∵，，
∴，不能成比例，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．
6．（4分）（2024秋 南山区校级期中）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.236米 B．0.764米 C．1.412米 D．1.632米
【考点】黄金分割．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.236米．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
7．（4分）（2024 微山县二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＜0，
∴﹣b＞0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y＝ax﹣b的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数的图象在第一三象限，
只有C选项图象符合．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
8．（4分）（2021秋 皇姑区校级月考）如图，AD∥BE∥CD，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝1，BC＝3，DE＝2，则DF的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
又∵，
∴，DE＝2，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
9．（4分）（2025春 平昌县期中）如图，点P是双曲线y（x＞0）上的一个动点，过点P作PA⊥x轴于点A，当点P从左向右移动时，△OPA的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．保持不变
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△OPA|k|，由于k为定值8，则S△OPA为定值4．
【解答】解：∵PA⊥x轴，
∴S△OPA|k|4，
即Rt△OPA的面积不变．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．（4分）（2024秋 瑞安市校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+b﹣a（a＜0），当﹣1≤x≤4时，最大值与最小值的差为a2，若将抛物线向左平移4个单位后经过点（﹣1，0），则a的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣9 C．﹣10 D．﹣11
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据平移的性质得出抛物线y＝ax2+bx+b﹣a（a＜0）过点（3，0），然后求出抛物线对称轴，得到抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0），再根据二次函数的性质得出当x＝1时，y有最大值﹣4a，当x＝4时，y有最小值5a，根据题意列出方程，从而得出结论．
【解答】解：由平移性质可知：抛物线y＝ax2+bx+b﹣a（a＜0）过点（3，0），
∴9a+3b+b﹣a＝0，
解得b＝﹣2a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
又∵a＜0，离对称轴越远，函数的值越小，
当﹣1≤x≤4时，且1﹣（﹣1）＜4﹣1，
∴当x＝1时，y有最大值y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
当x＝4时，y有最小值y＝16a﹣8a﹣3a＝5a，
由题意得﹣4a﹣5a＝a2，即a2+9a＝0，
∴a＝0（舍去），a＝﹣9，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及二次函数的性质，关键是掌握平移的性质和二次函数的性质．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2025春 静安区校级月考）已知三个自然数a、b、c，a是b的2倍，b：c＝3：2，那么a与c之比的比值是 　3　 ．
【考点】比的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】3．
【分析】先得出，再代入b：c＝3：2计算即可得．
【解答】解：根据题意可知，a＝2b，即，
又∵b：c＝3：2，
∴，
即a：c＝6：2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了比的基本性质，掌握比的基本性质是解题关键．
12．（5分）（2025 辉县市一模）反比例函数图象的一支在第二象限，请写出一个满足条件的k的值 　﹣1（答案不唯一）　 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数y中，当k＜0时，其图象在第二、四象限可得此题结果．
【解答】解：∵反比例函数图象的一支在第二象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查了反比例函数图象与性质问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
13．（5分）（2023秋 翁牛特旗期中）若函数y＝mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与坐标轴有2个公共点，则m的值为 　m＝﹣9或m＝﹣1或m＝0　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】m＝﹣9或m＝﹣1或m＝0．
【分析】分m≠0和m＝0两种情况，分别根据二次函数和一次函数图象的性质分析计算即可解答．
【解答】解：①当m≠0时函数y＝mx2﹣（m﹣3）x﹣4是二次函数，
∵函数y＝mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与坐标轴有2个公共点，且它与y轴交于点（0，﹣4），∴它与x轴只有一个交点，
∴[﹣（m﹣3）]2﹣4m×（﹣4）＝0，解得：m＝﹣9或m＝﹣1；
②当m＝0时，由函数y＝mx2﹣（m﹣3）x﹣4可得：y＝3x﹣4是一次函数，
∴它与y轴交于点（0，﹣4），与x轴交于点，即图象与坐标轴有两个交点，
综上，m＝﹣9或m＝﹣1或m＝0时，函数y＝mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与坐标轴有2个公共点．
故答案为：m＝﹣9或m＝﹣1或m＝0．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
14．（5分）（2025 沙坪坝区校级开学）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，连接AC，BD交于点G，过点A作AE⊥BD交BC于E，交BD于F，且FG：DG＝1：3，则AG：CG＝　3：5　 ，若AG＝6，，则S△GDC＝　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】3：5，．
【分析】先证明△AFB≌△EFBASA，则有AF＝EF，AB＝EB＝AD，可证△AFD≌△EFB（AAS），由FG：DG＝1：3，设FG＝x，DG＝3x，则BF＝DF＝FG+DG＝4x，所以BG＝BF+FG＝5x，证明△AGD∽△CGB，则，然后代入得出AG：CG＝3：5，再得CG＝10，，AC＝16，过D作DM⊥AC于点M，过A作AN⊥BC于点N，证明△ANC∽△DMA，则，设AN＝a，BN＝b，则，通过勾股定理求出解得，即，则AN＝245719，求出，再由即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝∠DFA＝90°，
∵BF＝BF，
∴△AFB≌△EFB（ASA），
∴AF＝EF，AB＝EB＝AD，
∴△AFD≌△EFB（AAS），
∴BF＝DF，
由FG：DG＝1：3，设FG＝x，DG＝3x，
∴BF＝DF＝FG+DG＝4x，
∴BG＝BF+FG＝5x，
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△CGB，
∴，
∴，
∴AG：CG＝3：5，
∵AG＝6，，
∴CG＝10，，
∴AC＝AG+CG＝6+10＝16，
如图，过D作DM⊥AC于点M，过A作AN⊥BC于点N，
∴∠ANC＝∠ANB＝∠DMA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ACN＝∠DAM，
∴△ANC∽△DMA，
∴，
设AN＝a，BN＝b，则，
∴AN2＝AB2﹣BN2＝AC2﹣CN2，
∴（3）2﹣b2＝162﹣（5b）2，
解得：，
∴，
∴AN，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3：5，．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2023秋 安吉县月考）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点B（m，12）在该函数图象上，求点B的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）B点坐标为（5，12）或（﹣3，12）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将点B（m，12）代入y＝（x﹣1）2﹣4求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入得a×（0﹣1）2﹣4＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）把B（m，12）代入y＝（x﹣1）2﹣4得（m﹣1）2﹣4＝12，
解得m1＝5，m2＝﹣3，
∴B点坐标为（5，12）或（﹣3，12）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法．
16．（8分）（2024秋 邵东市月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
【考点】反比例函数的定义；函数关系式；正比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】y与变量x的函数关系式是．
【分析】设y1＝ax（a≠0），y2（k≠0），代入得出y＝ax，把x、y的值代入，求出a和k的值即可．
【解答】解：∵y1与x成正比例，y2与x2成反比例，
∴设y1＝ax（a≠0），y2（k≠0），
∴y＝y1+y2＝ax，
∵当x＝2和x＝3时，y的值都为19，
∴，
解得a＝5，k＝36，
所以y与变量x的函数关系式是．
【点评】本题考查了反比例函数的定义和正比例函数的定义，能熟记正比例函数和反比例函数的定义的内容是解此题的关键．
17．（8分）（2022秋 柯桥区期中）已知线段a，b，c满足且a+b+c＝22．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求线段x的长．
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）a＝6，b4，c＝12；
（2）线段x＝2．
【分析】（1）设k，然后用k表示出a、b、c，再代入a+b+c＝22求解得到k，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长．
【解答】解：（1）设k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
∵a+b+c＝22，
∴3k+2k+6k＝22，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴线段x＝2．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．
18．（8分）（2024秋 怀远县期中）如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数的图象交于点M和N（n，﹣4）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，若S△OBP＝8S△OAM，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1），y＝2x﹣2；
（2）x＜﹣1或0＜x＜2；
（3）或．
【分析】（1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点N坐标，最远求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时x的范围即可；
（3）先求出，得出S△OBP＝8，设点P坐标为，得出，求出c即可得出答案．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象经过点A（1，0）和点B（0，﹣2），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式是y＝2x﹣2；
∴﹣4＝2n﹣2，解得n＝﹣1，
∴点N的坐标为（﹣1，﹣4），
∴，
∴k＝4，
∴反比例函数表达式为；
（2）解方程组，
得或，
∵点N坐标为（﹣1，﹣4），
∴点M坐标为（2，2），
∴由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）∵点A坐标为（1，0），点M坐标为（2，2），
∴，
∵S△OBP＝8S△OAM，
∴S△OBP＝8，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴设点P坐标为，
∴，
解得c＝±8，
∴点P坐标为或．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
19．（10分）（2025 兰考县一模）冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）（0≤x≤10）近似满足二次函数关系：，当x＝2时，该含冰树枝重9.75千克；当x＝6时，该含冰树枝增重到15.75千克．
（1）求二次函数的解析式．
（2）由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）树枝不会折断，理由见解析．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出x＝0时的函数值，再求出当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时x的值进行判断即可．
【解答】解：（1）重量y（千克）和时间x（小时）（0≤x≤10）近似满足二次函数关系：，
当x＝2时，该含冰树枝重9.75千克；
当x＝6时，该含冰树枝增重到15.75千克，
∴，
解得：，
∴．
（2）不会，理由如下：
∵，
∴当x＝0时，y＝6，
∴当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，
，
解得：x＝12或x＝20，
∵0≤x≤10，
∴树枝不会折断．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解是解题的关键．
20．（10分）（2023秋 安庆期中）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB＝6，BC＝9，AE＝3，求CE长．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【分析】（1）由角平分线及BC＝CD，可得∠CDE＝∠ABE，从而可得△AEB∽△CED；
（2）由△AEB∽△CED，得到对应边成比例，即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BC＝CD，
∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵BC＝9，BC＝CD，
∴CD＝9．
∵△CED∽△AEB，
∴，即，
∴．
【点评】本题考查了角平分线、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
21．（12分）（2023 新乡三模）如图，已知矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，4），反比例函数y1的图象与矩形的边AB，BC分别交于点E，F，3AE＝BE，直线l：y2＝k2x+b 经过E，F两点．
（1）分别求出直线l和反比例函数的表达式；
（2）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式 的解集；
（3）连接AC，求证：EF∥AC．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）直线l的解析式为：y＝﹣2x+5．反比例函数解析式为y；（2）解集是：x≥2或0＜x；（3）证明见详解．
【分析】（1）利用矩形中点B的坐标和3AE＝BE的条件，求出点E的坐标，直接可得反比例解析式，继而求出点F坐标，待定系数法法求出EF解析式；
（2）根据一次函数和反比例函数的图象，利用交点坐标可直接写出不等式的解集；
（3）求出直线AC的解析式，两直线的k值相等，可判断两直线平行．
【解答】解：（1）∵OABC是矩形，且B（2，4），
∴AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，
∵3AE＝BE，
∴AEAB，
∴E（，4），
∵点E在反比例函数图象上，
∴k2，
∴反比例函数解析式为y，
当x＝2时，y＝1，
∴F（2，1），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，F（2，1），E（，4），代入得：
，解得，
∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+5．
（2）由图象可知，不等式 的解集是：x≥2或0＜x．
（3）证明：∵OABC是矩形，且B（2，4），
∴A（0，4），C（2，0）．
设直线AC解析式为y＝mx+4，点C（2，0）代入得，m＝﹣2，
∴AC的解析式为y＝﹣2x+4．
又∵直线EF的解析式为y＝﹣2x+5；
∴两直线解析式的自变量系数相等，
∴EF∥AC．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式以及矩形的性质．
22．（12分）（2024秋 平谷区期末）已知二次函数几组x与y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 m …
（1）直接写出m的值，m＝ 　3　 ；
（2）求此二次函数的表达式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）y＝x2﹣4x+3．
【分析】（1）根据抛物线的对称性，x＝0和x＝4所对应的函数值相等；
（2）设交点式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把（2，﹣1）代入求出a的值即可．
【解答】解：（1）m＝3；
故答案为：3；
（2）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），
∴抛物线的解析式可设为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把（2，﹣1）代入得﹣1＝a×1×（﹣1），
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），
即y＝x2﹣4x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23．（14分）（2024春 二道区校级期中）【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容．
（1）【问题解决】请根据教材分析，结合图1，写出完整的证明过程：
（2）【结论应用】如图2，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C与点A重合，点D落到点D’处 若AF＝5，DE＝3，则矩形ABCD的面积为 　32　
（3）【拓展探究】如图3，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D与点D’重合，连结CE，若AB，BC＝6，∠BCD＝45°，则四边形AFCE的面积是 　15　 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）32；
（3）15．
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（ASA），再由EF⊥AC，即可证明四边形AFCE是菱形；
（2）连接AC交EF于点G，连接EC，由折叠可知，EF垂直平分AC，根据（1）的结论可得四边形AFCE是菱形，分别求出CD、AD的边即可求面积．
（3）过点A作AN⊥CB，交CB延长线于点N，可求出AN＝NB＝3，设AF＝CF＝x，则BF＝6﹣x，则NF＝9﹣x，在Rt△ANF中，由勾股定理得32+（9﹣x）2＝x2，CF＝5，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AO＝CO
∴∠EAO＝∠FCO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝OF，
∵AO＝CO
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：连接AC交EF于点G，连接EC，
由折叠可知，EF垂直平分AC，
由（1）可得四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC＝EC＝AE，
由折叠可知，D′E＝DE，
∴D′E＝DE＝3，
∵AF＝5，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝8，
在Rt△CDE中，，
∴S矩形ABCD＝4×8＝32．
故答案为：32
（3）解：如图，过点A作AN⊥CB，交CB延长线于点N，
∵将平行四边形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，
则由（1）可知：四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABN＝45°，
∵，
∴AN＝NB＝3，
设AF＝CF＝x，则BF＝6﹣x，
∴NF＝9﹣x，
在Rt△ANF中，由勾股定理得：
AN2+NF2＝AF2，
32+（9﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴FC＝5，
则四边形AFCE的面积是：FC AN＝5×3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，矩形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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