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安徽省合肥市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 浙江月考），则的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）（2025 道外区一模）已知抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1，则该抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
3．（4分）（2024秋 广陵区校级期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝9cm，则线段d的长为（　　）
A．2cm B．18cm C．24cm D．17cm
4．（4分）（2022秋 纳溪区校级期中）抛物线y＝﹣2x2+1向左平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2﹣2 B．y＝﹣2x2+4
C．y＝﹣2（x﹣3）2+1 D．y＝﹣2（x+3）2+1
5．（4分）（2022秋 东营区校级期末）如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝4，AC＝10，DE＝5，则EF＝（　　）
A． B． C．8 D．
6．（4分）（2023 嘉定区校级开学）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
7．（4分）（2024秋 郯城县期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2024 河南模拟）如图所示，在 ABCD中，点E在边AD上，且AE＝3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为（　　）
A．9：16 B．9：4 C．3：4 D．3：2
9．（4分）（2024 太和县一模）已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数在第二象限内的图象如图所示，则二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2024秋 临澧县期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P为线段AB上的动点，E为AD的中点，射线PE交CD的延长线于点Q，过点E作PQ的垂线交CD于点H，交BC的延长线于点F，则以下结论：①∠AEP＝∠CHF；②△EHQ∽△CHF；③当点P与点B重合时，FQ＝3；④当点F与点C重合时，3PA＝PB．成立的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2024 海陵区校级开学）一种精密零件长2.5毫米，画在图纸上长25厘米，这幅零件图的比例尺是 　 　 ．
12．（5分）（2022秋 武昌区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段AB的长为2，C为线段AB的黄金分割点，D为线段AC的黄金分割点，E为线段AD的黄金分割点，即，则ED的长为 　 　 ．
13．（5分）（2025 新沂市二模）如图，四边形ABOC是菱形，点B在x轴的正半轴上，CD⊥x轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形ABOC的面积为20，CD＝4，则k的值为　 　 ．
14．（5分）（2022 奉化区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8．过O的直线EF交BC于E，交AD于F．把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形C'EFD'，C'D'交AC于点G．当C'D'∥BD时，的值为 　 　 ，BE的长为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2022秋 河东区期末）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．求该抛物线的解析式和顶点坐标．
16．（8分）（2025 淮南二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，且位似比为1；
（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得S△ABC＝S△ABE，并写出E点坐标．
17．（8分）（2024秋 仓山区校级期中）已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求证：∠ADE＝∠C．
18．（8分）（2024 榆阳区校级一模）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
19．（10分）（2022 项城市校级模拟）如图，反比例函数y（x＞0）与函数y交于A，B两点，射线AB交x轴于点C，已知点A的坐标为（2，a）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点P在x轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时△PBC的面积．
20．（10分）（2022秋 郴州期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC和AC上的点DA⊥AB，∠ADB＝∠DEC．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝2，，∠B＝30°，求BD的长．
21．（12分）（2025春 沿河县校级月考）为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为880m2．
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元；
②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？
22．（12分）（2024秋 岳阳县期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）在纸片ADE绕点A旋转到如图2所示，当∠DEC＝90°时．求△CDE的面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求MF的长．
23．（14分）（2024 秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣（a+4）x+4a（a为常数且a≠4）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段AB（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．
①直接写出a的取值范围；
②若a为负整数，则函数y＝|x2﹣（a+4）x+4a|的图象与函数y＝x+b的图象的交点个数随随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．
安徽省合肥市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 浙江月考），则的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】根据比例的性质得ba，再代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴a+2b＝4a，
∴ba，
∴2．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
2．（4分）（2025 道外区一模）已知抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1，则该抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】B
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y＝﹣（x+2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为y＝a（x﹣k）2+h，则抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点坐标为（k，h）．
3．（4分）（2024秋 广陵区校级期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝9cm，则线段d的长为（　　）
A．2cm B．18cm C．24cm D．17cm
【考点】比例线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据线段中，最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积，由此即可求解．
【解答】解：根据最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积分情况讨论可得：
当c＝9cm是最长线段时，则有ac＝bd，
∴，舍去；
当d是最长线段时，则有ad＝bc，
∴，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了线段成比例的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（4分）（2022秋 纳溪区校级期中）抛物线y＝﹣2x2+1向左平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2﹣2 B．y＝﹣2x2+4
C．y＝﹣2（x﹣3）2+1 D．y＝﹣2（x+3）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：根据“左加右减”规律知，将抛物线y＝﹣2x2+1向左平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为y＝﹣2（x+3）2+1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．（4分）（2022秋 东营区校级期末）如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝4，AC＝10，DE＝5，则EF＝（　　）
A． B． C．8 D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出DF，进而求出EF．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AB＝4，AC＝10，DE＝5，
∴，
解得：DF，
∴EF＝DF﹣DE5，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．（4分）（2023 嘉定区校级开学）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：由题意得：xy＝2，
A.2×1＝2，不符合条件；
B.1×2＝2，不符合条件；
C．﹣1×2＝﹣2，符合条件；
D．﹣1×（﹣2）＝2，不符合条件；
故选：C．
【点评】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键．
7．（4分）（2024秋 郯城县期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】由于二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b（a≠0）均过（0，b），可知正确答案从A、C中选，再根据二次函数的性质判断出a、b的值，然后根据a、b的值确定一次函数所过象限，从而选出正确答案．
【解答】解：当x＝0时，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b（a≠0）均有y＝b，
可知函数均过（0，b），故B、D错误；
A、二次函数y＝ax2+b开口向下，a＜0，而一次函数过一、二、三象限，则a＞0，得出矛盾，故本选项错误；
C、二次函数y＝ax2+b开口向上，a＜0，而一次函数过一、二、四象限，则a＜0，且二者均过（0，b）点，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，要熟悉两函数的性质方可正确解答．
8．（4分）（2024 河南模拟）如图所示，在 ABCD中，点E在边AD上，且AE＝3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为（　　）
A．9：16 B．9：4 C．3：4 D．3：2
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得，进而证得△AOE∽△COB，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝3DE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴，
如图：过B作BF⊥AC于点F，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得△AOE∽△COB成为解题的关键．
9．（4分）（2024 太和县一模）已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数在第二象限内的图象如图所示，则二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，由一次函数y＝x+b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数的图象经过第二、四象限，则k＜0，从而函数二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，k﹣1＜0，从而排除A、C，又由题意，反比例函数y＝与一次函数y＝x+b的图象有两个交点中一个交点横坐标为﹣1，即可得出k+b＝1，从而可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1过点（﹣1，1），故可得解．
【解答】解：∵一次函数y＝x+b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数的图象经过第二、四象限，则k＜0，
∴二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，k﹣1＜0，
∴A、C不合题意；
又由题意，反比例函数与一次函数y＝x+b的图象有两个交点，其中一个交点横坐标为﹣1，
∴﹣1+b＝﹣k．
∴b+k＝1．
∵x＝﹣1时，y＝x2﹣bx+k﹣1＝b+k，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1过点（﹣1，1），
综上，可得D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
10．（4分）（2024秋 临澧县期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P为线段AB上的动点，E为AD的中点，射线PE交CD的延长线于点Q，过点E作PQ的垂线交CD于点H，交BC的延长线于点F，则以下结论：①∠AEP＝∠CHF；②△EHQ∽△CHF；③当点P与点B重合时，FQ＝3；④当点F与点C重合时，3PA＝PB．成立的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝∠BCD＝90°，则∠DEH+∠DHE＝90°，再由垂线的定义和平角的定义得到∠AEP+∠DEH＝90°，则∠DHE＝∠AEP，再由∠DHE＝∠CHF，即可证明∠AEP＝∠CHF，故①正确；
根据∠QEH＝∠HCF＝90°，∠EHQ＝∠CHF，可判断②；
证明△PAE≌△QDE（ASA），得到DQ＝AB＝2，则CQ＝4；证明△ABE∽△DEH，求出，，再证明△DHE∽△CHF，求出CH＝3DE＝3，则，故③错误；
同理可证明△ABE≌△DQE，得到PE＝EQ，PA＝DQ，再证明PC＝QC，设PA＝x，则DQ＝x，则PC＝CQ＝2+x，PB＝2﹣x，由勾股定理得（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得：，则，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠DEH+∠DHE＝90°，
∵PQ⊥EF，
∴∠AEP+∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠AEP，
∵∠DHE＝∠CHF，
∴∠AEP＝∠CHF，故①正确；
∵∠QEH＝∠HCF＝90°，∠EHQ＝∠CHF，
∴△EHQ∽△CHF，故②正确；
当点P与点B重合时，如图，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴△PAE≌△QDE（ASA），
∴DQ＝AB＝2，
∴CQ＝4，
∵∠ABE＝∠DEH，∠A＝∠EDH＝90°，
∴△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴，
∵∠EDH＝∠FCH＝90°，∠DHE＝∠CHF，
∴△DHE∽△CHF，
∴，
∴CF＝3DE＝3，
∴，故③错误；
当点F与点C重合时，如图，
同理得△PAE≌△QDE（ASA），
∴PE＝EQ，PA＝DQ，
∵PQ⊥EF，
∴PC＝QC，
设PA＝x，则DQ＝x，
∴PC＝CQ＝2+x，PB＝2﹣x，
在Rt△PBC中，由勾股定理得PC2＝PB2+BC2，
∴（2﹣x）2+22＝（2+x）2，
解得：，
∴，
∴3PA＝PB，故④正确；
∴正确的有①②④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2024 海陵区校级开学）一种精密零件长2.5毫米，画在图纸上长25厘米，这幅零件图的比例尺是 　100：1　 ．
【考点】比例尺．
【专题】实数；运算能力．
【答案】100：1．
【分析】先把25厘米换算为250毫米，然后再根据比例尺＝图上距离：实际距离计算即可．
【解答】解：25厘米＝250毫米，
∴比例尺＝250：2.5＝100：1．
答：这幅零件图的比例尺是100：1．
故答案为：100：1．
【点评】本题考查了比例尺，长度单位的换算，掌握比例尺＝图上距离：实际距离是解题的关键．
12．（5分）（2022秋 武昌区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段AB的长为2，C为线段AB的黄金分割点，D为线段AC的黄金分割点，E为线段AD的黄金分割点，即，则ED的长为 　7﹣3　 ．
【考点】黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】7﹣3．
【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，同理得出AD、AE的长，即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝2，C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴ACAB1，
同理：ADAC（1）＝3，
AEAD（3）＝24，
∴ED＝AD﹣AE＝3（24）＝7﹣3，
故答案为：7﹣3．
【点评】本题考查黄金分割的概念，熟记黄金比值是解题的关键．
13．（5分）（2025 新沂市二模）如图，四边形ABOC是菱形，点B在x轴的正半轴上，CD⊥x轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形ABOC的面积为20，CD＝4，则k的值为　12　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据菱形ABOC的面积为20，CD＝4，可求出OB＝5，再结合菱形的性质得出点OC＝OB＝5，利用勾股定理求得OD，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABOC是菱形，点B在x轴正半轴上，CD⊥x轴于点D，菱形ABOC的面积为20，CD＝4，
∴BO5，
∴OC＝BO＝5．
∴OD3，
∴点C的坐标为（3，4）．
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝3×4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点C的坐标是解题的关键．
14．（5分）（2022 奉化区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8．过O的直线EF交BC于E，交AD于F．把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形C'EFD'，C'D'交AC于点G．当C'D'∥BD时，的值为 　　 ，BE的长为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】；．
【分析】连接OC′，OD′，根据轴对称的性质可得OC′＝OC，OD′＝OD，利用等面积法可得出OG的长，再根据勾股定理可分别求得C′G和D′G，进而可得出结论；连接DD，CC'，过点D作DM⊥BD，则四边形GOMD'是矩形，勾股定理求得DD，CC'，设BE＝x，则EC＝5﹣x，根据对称可知FD＝BE＝x，根据△FDD'∽△ECC′，由相似三角形的性质列出方程，即可求解．
【解答】解：如图，连接OC′，OD′，
在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，且AC⊥BD，
∴菱形的边长为5．
∵C′D′∥BD，
∴C′D′⊥AC，
由折叠可知，OC′＝OC＝3，OD′＝OD＝4，∠C′OD′＝∠COD＝90°，
∴OG．
由勾股定理可知，C′G，D′G，
∴；
如图，连接DD，CC'，过点D作DM⊥BD，则四边形GOMD'是矩形，
∴DM＝OG，MG＝OD＝4，
∴DM＝GM﹣DG＝4，
∴D′D．
∵C′G，CG＝OC+OG＝3，
∴CC′，
∴CC′：DD′＝9：4．
设BE＝x，则CE＝C′E＝10﹣x，
由菱形的对称性可知，DF＝BE＝x，且△CC′E∽△DD′F，
∴EC：DF＝CC′：DD′＝4：9，即（5﹣x）：x＝9：4，
解得x．
故答案为：；．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等相关知识，关键是掌握折叠的性质，作出辅助线由勾股定理求出CC′和DD′的长．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2022秋 河东区期末）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．求该抛物线的解析式和顶点坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，﹣4）．
【分析】把A，B坐标代入y＝x2+bx+c，求出b，c的值，得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：把A，B坐标代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，﹣4）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是用待定系数法求出函数解析式．
16．（8分）（2025 淮南二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，且位似比为1；
（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得S△ABC＝S△ABE，并写出E点坐标．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析，E（0，4）．
【分析】（1）根据位似的性质，得到A1，B1，C1的位置，作图即可；
（2）利用平移思想，作CE∥AB即可．
【解答】解：（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）如图2，点E即为所求（答案不唯一）．
由图可知：E（0，4）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质，平移的性质是解题的关键．
17．（8分）（2024秋 仓山区校级期中）已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求证：∠ADE＝∠C．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求得AC＝18，AB＝24，则，而∠A＝∠A，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△AED∽△ABC，则∠ADE＝∠C．
【解答】证明：∵AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，
∴AC＝AE+EC＝16+2＝18，AB＝AD+BD＝12+12＝24，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADE＝∠C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明△AED∽△ABC是解题的关键．
18．（8分）（2024 榆阳区校级一模）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长．
【解答】解：（1）根据题意，点C（0，1），A（2，0.6），B（﹣2，0.6），
设抛物线解析式为：y＝ax2+1，将A（2，0.6）坐标代入解析式得：4a+1＝0.6，
解得：a＝﹣0.1，
抛物线解析式为：y＝﹣0.1x2+1．
（2）设直线OA解析式为y＝kx，将A（2，0.6）坐标代入得，0.6＝2k，解得k＝0.3，
∴直线OA解析式为：y＝0.3x，
联立函数解析式：，
解得：，或（不符合题意舍去），
∴点F坐标为（﹣5．﹣1.5）
抛物线的对称轴是y轴，∴点E的坐标为（5，﹣1.5），
∴EF＝5﹣（﹣5）＝10．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
19．（10分）（2022 项城市校级模拟）如图，反比例函数y（x＞0）与函数y交于A，B两点，射线AB交x轴于点C，已知点A的坐标为（2，a）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点P在x轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时△PBC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数解析式为y；
（2）当PA+PB的值最小时△PBC的面积为．
【分析】（1）由函数y＝2x（0≤x≤2）求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）利用反比例函数解析式与y＝﹣x+6（x＞2）联立，解方程组求得点B的坐标，作A点关于x的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为P点，此时PA+PB＝A′B，PA+PB的值最小，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）把点A（2，a）代入y＝2x得，a＝4，
∴A（2，4），
∵反比例函数y（x＞0）图象过点A，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y；
（2）由，解得或，
∴B（4，2），
作A点关于x的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为P点，
∵A（2，4），
∴A′（2，﹣4），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝3x﹣10，
把y＝0代入得，3x﹣10＝0，解得x，
∴P（，0），
把y＝0代入y＝﹣x+6得，﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴C（6，0），
∴PC＝6，
∴S△PBC2．
∴当PA+PB的值最小时△PBC的面积为．
【点评】此题是反比例函数和一次函数解析式的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称等知识的综合应用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．（10分）（2022秋 郴州期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC和AC上的点DA⊥AB，∠ADB＝∠DEC．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝2，，∠B＝30°，求BD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的性质，得到比例式，进而求得AD的长，再利用含30°角的直角三角形的性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BDE＝∠C+∠DEC，
又∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠ADB＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠C．
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC；
（2）解：由（1）知：△AED∽△ADC，
∴．
∵，
∴EC＝2AE＝4，
∴AC＝AE+EC＝6，
∴AD2＝AE AC＝12，
∵AD＞0，
∴，
在△ABD中，DA⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
21．（12分）（2025春 沿河县校级月考）为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为880m2．
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元；
②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）通道的宽是6米；（2）①此时月租金总收入为27000元；②每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元．
【分析】（1）依据题意，设通道的宽是x米，则阴影部分可合成长为（52﹣2x）m，宽为（34﹣2x）m的长方形，根据停车位占地面积为880m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）①依据题意，由每个车位月租金从 400元涨到500元，则上涨了（500﹣400）÷10＝10个10元，故少租出10个车位，即租出的车位数量为64﹣10＝54，进而可以计算得解；
②依据题意，设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，则可租出个车位，进而可得，再结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）设通道的宽是x米，则阴影部分可合成长为（52﹣2x）m，宽为（34﹣2x）m的长方形，
根据题意得：（52﹣2x）（34﹣2x）＝880，
∴x1＝6，x2＝37（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是6米．
（2）①由题意，∵每个车位月租金从 400元涨到500元，
∴上涨了（500﹣400）÷10＝10个10元，
∴少租出10个车位，即租出的车位数量为64﹣10＝54．
∴此时月租金总收入为500×54＝27000（元）．
②由题意，设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，
∴可租出个车位．
∴y＝（400+m），即，
∵，
∴当m＝270时，y取得最大值，最大值为32890，
∴每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22．（12分）（2024秋 岳阳县期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）在纸片ADE绕点A旋转到如图2所示，当∠DEC＝90°时．求△CDE的面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求MF的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）12；
（3）．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝AE，∠DAE＝∠BAC，根据勾股定理得到AC5，AE5，根据相似三角形的性质得到；
（2）如图2，过点A作AQ⊥EC于点Q，根据等腰三角形的性质得到EQ＝QC，根据矩形的性质得到AD＝EQ＝QCEC＝3，求得EC＝6，根据三角形的面积公式得到S△CDEEC DE6×4＝12；
（3）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交DE于点P，延长EF交BC于点N，根据（1）得△CAE∽△BAD，由BM是中线，得到BM＝AM＝CMAC，根据全等三角形的性质得到BM＝QM，根据矩形的性质得到AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，根据勾股定理得到EQ3，根据全等三角形的性质得到AP＝EP＝4﹣x，根据勾股定理得到x；求得AP＝4﹣x，CN＝2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：
AC5，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：
AE5，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
∵1，
∴△CAE∽△BAD，
∴；
（2）如图2，过点A作AQ⊥EC于点Q，
∵AE＝AC＝5，
∴EQ＝QC，
∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，
∴四边形ADEQ是矩形，
∴AD＝EQ＝QCEC＝3，
∴EC＝6，
故S△CDEEC DE6×4＝12；
（3）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交DE于点P，延长EF交BC于点N，
根据（1）得△CAE∽△BAD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BM是中线，
∴BM＝AM＝CMAC，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵∠ABD+∠MBC＝90°，
∴∠ACE+∠MCB＝90°即∠BCE＝90°，
∴AB∥CQ，
∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM，
在△BAM和△QCM中，
，
∴△BAM≌△QCM（AAS），
∴BM＝QM，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCQ矩形，
∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，
∴PQ∥CN，
在直角三角形AEQ中，由勾股定理得：EQ3，
∴1，
∴PQ，
设PQ＝x，CN＝2x，则AP＝4﹣x，
在△EQP和△ADP中，
，
∴△EQP≌△ADP（AAS），
∴AP＝EP＝4﹣x，
由直角三角形EPQ中，由勾股定理得：EP2＝PQ2+EQ2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得x；
∴AP＝4﹣x，CN＝2x，
∵PQ∥CN，AC＝5，
∴△APF∽△CNF，
∴，
∴，
∴，
解得CF，
∴MF．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
23．（14分）（2024 秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣（a+4）x+4a（a为常数且a≠4）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段AB（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．
①直接写出a的取值范围；
②若a为负整数，则函数y＝|x2﹣（a+4）x+4a|的图象与函数y＝x+b的图象的交点个数随随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；函数的综合应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①1＜a≤2或5≤a＜6；
②当b＜﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b没有交点；
当b＝﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有一个交点；
当﹣4＜b＜1或b＞5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有2个交点；
当b＝1或b＝5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有3个交点；
当1＜b＜5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有4个交点．
【分析】（1）令y＝0，得到一元二次方程，证明＞0即可；
（2）①当y＝0，x2﹣（a+4）x+4a＝（x﹣a）（x﹣4）＝0，则与x轴交于（4，0），（a，0），由4+3+2＝9或4+5＝9得1＜a≤2或5≤a＜6；
②讨论a＞4和a＜4的情况，逐个画图，找临界状态即可，重点在于画出函数y＝|x2﹣（a+4）x+4a|的图象．
【解答】（1）证明：当y＝0，则x2﹣（a+4）x+4a＝0，
∴Δ＝（a+4）2﹣4×1×4a＝a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，
∵a≠4，
∴Δ＝（a﹣4）2＞0，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：①当y＝0时，
x2﹣（a+4）x+4a＝（x﹣a）（x﹣4）＝0，
∴与x轴交于（4，0），（a，0），
∵4+3+2＝9或4+5＝9，
∴1＜a≤2或5≤a＜6或﹣2＜a≤﹣1；
②由①知，a＝﹣1，
∴y＝|x2﹣（a+4）x+4a|＝|x2﹣3x﹣4|，
第一种情况，直线y＝x+b经过（4，0）时，得b＝﹣4，
∴b＝﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有一个交点，如图示：
第二种情况：b＜﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b没有交点；
第三种情况：直线y＝x+b经过（﹣1，0）时，则b＝1，此时有3个交点，如图示：
第四种情况：当﹣4＜b＜1时，有2个交点，如图示：
当直线y＝x+b与函数y＝|x2﹣3x﹣4|相切时，有3个交点，如图示：
联立直线y＝x+b与函数y＝﹣x2+3x+4组成方程组，
得，
∴x2﹣2x+b﹣4＝0，
由Δ＝4﹣4（b﹣4）＝0得：b＝5；
第五种情况：时，b＝5直线y＝x+b与函数y＝|x2﹣3x﹣4|有3个交点；
第六种情况：当1＜b＜5时，有4个交点，如图示：
第七种情况：当b＞5时，有2个交点如图示：
综上，当b＜﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b没有交点；
当b＝﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有一个交点；
当﹣4＜b＜1或b＞5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有2个交点；
当b＝1或b＝5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有3个交点；
当1＜b＜5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有4个交点．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴交点问题，与直线的交点问题与不等式的关系，题目综合性强，难度大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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