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云南省楚雄彝族自治州2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.已知，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.中，角的对边分别为，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.某品牌的新能源汽车的使用年限年与维护费用千元之间有如下数据：
使用年限年
维护费用千元
已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为据此估计，使用年限为年时，维护费用约为( )
A. 千元 B. 千元 C. 千元 D. 千元
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响经调查某种植物的株高单位：近似地服从正态分布，若，则( )
A. B.
C. D.
10.已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则( )
A. 不平行是不平行的充分条件 B. 不相交是不相交的必要条件
C. 垂直且相交是垂直的充分条件 D. 平行或相交是异面的必要条件
11.已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有( )
A. B. 函数是奇函数
C. D. 若当时，，则在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知集合，则 ．
14.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，求边的大小．
16.本小题分
在菱形中，为线段的中点如图将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点如图，连接．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
17.本小题分
课外阅读对于学生的综合发展是非常有利的，课外阅读能够充分调动学生的写作积极性，并且能够帮助其积累丰富的阅读知识，将学生的学习效率最大化，全面提高学生的写作质量某市为了解高中生课外阅读时间的情况，随机抽取了名高中学生进行调查，得到了这名学生的平均每周课外阅读时间单位：小时，并将样本数据分成，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．

求，的值；
为进一步了解这名学生的读书喜好，从平均每周课外阅读时间在两组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记在这人中，平均每周课外阅读时间在内的学生人数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；
若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，且为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
求四棱锥在顶点处的离散曲率；
求四棱锥内切球的表面积；
若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：由于，
根据正弦定理可得
．
，
．
，，又，
，
又，
．
的面积为，
，即，解得．
由余弦定理，得，
．
16.证明：如图，取线段的中点，连接，
因为在中，分别是线段的中点，
所以．
因为为线段的中点，菱形中，，
所以，
所以，
则四边形为平行四边形，所以．
又因为平面平面，
所以平面．
在菱形中，因为为线段的中点，
所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，所以是三棱锥的高．
而，则，，
则，
所以三棱锥的体积，
所以．
17.由频率和为，得，
又，解得，．
由比例分配的分层随机抽样方法知，从平均每周课外阅读时间在内的学生中抽取人，内的学生中抽取人，
从该人中抽取人，则的可能取值为，，，
，，，
则的分布列为：
所以的数学期望．
18.由题意得，，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为
，即．
因为曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，
所以方程只有一个解，
即只有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，，即，
因为方程的，所以方程无解，
综上所述，实数的值为．
由，可得．
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，则，，
故实数的取值范围为．
19.因为平面，平面，所以，
因为，则．
因为平面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，即，
由离散曲率的定义得．
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，
设四棱锥的表面积为，
则
．
设四棱锥的内切球的半径为，则，
所以，
所以四棱锥内切球的表面积．
如图，过点作交于点，连接，
因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角．
易知，当与重合时，；
当与不重合时，设，
在中，由余弦定理得
因为，所以，所以，则，
所以．
当分母最小时，最大，即最大，此时与重合，
由，得，即，
所以的最大值为，
所以直线与平面所成角的取值范围为．

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