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27.1.2 第2课时 垂径定理
素养目标
通过操作、观察、猜想、证明等活动,掌握垂径定理,并能应用垂径定理,解决有关圆的问题.
重点
垂径定理及推论.
【预习导学】
知识点一 垂径定理
请你阅读课本“试一试”至“证明”的内容,思考:课本的图中有哪些相等的线段 有哪些相等的弧 如何证明
1.观察折叠的圆或课本上的图形,找一找,其中有哪些相等的线段 有哪些相等的弧
2.请你阅读课本上的证明过程.
归纳总结　垂径定理:　 　.
符号语言:∵CD经过点O且垂直AB于点P,
∴　 　.
知识点二 垂径定理的推论
请你阅读课本“类似于上面的证明”下面的部分,思考:由垂径定理可以得出哪些推论
1.如图,已知CD是直径,AP=BP,则CD与AB有怎样的位置关系 、相等吗 、呢 请说明理由.
2.如上题图,若已知CD经过点O与弦AB交于点P,并且=,AB与CD有怎样的关系 请说明理由.
归纳总结　垂径定理的推论1:　 　.
符号语言:∵CD经过点O,交AB于点P,AP=BP,∴　 　.
垂径定理的推论2:　 　.
符号语言:∵CD经过点O,交AB于点P,=,∴　 　.
对点自测
如图,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论错误的是 ( )
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.AE=BE
D.=
【合作探究】
任务驱动一 1.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=　 　.
任务驱动二 2.如图,线段CD与☉O交于A,B两点,且OC=OD.试比较线段AC和BD的大小,并说明理由.
任务驱动三 3.如图,这是一个直径为650 mm 的圆柱形输油管的横截面,
若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度.
方法归纳交流　本题重点考查了哪些数学思想和数学知识,在解题中应注意哪些问题
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.解:AP=BP,=,=.
归纳总结
垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧
AP=BP,=,=
知识点二
1.解:CD⊥AB,=,=.
理由:如图,连结OA、OB,在△AOP和△BOP中,AO=BO,OP=OP,AP=BP,
∴△AOP≌△BOP,
∴∠APO=∠BPO=90°,
∴CD⊥AB.
由△AOP≌△BOP可知∠AOP=∠BOP,则=,
∴=.
2.解:CD垂直平分AB.
证明:如上题答图,连结AO、BO,
由=得∠AOP=∠BOP,
在△AOP和△BOP中,AO=BO,∠AOP=∠BOP,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP,
∴AP=BP,∠APO=∠BPO=90°,
∴CD⊥AB.
归纳总结　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧　CD⊥AB,=,=
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦　AP=BP,CD⊥AB
对点自测
C
【合作探究】
任务驱动一
1.4
任务驱动二
2.解:线段AC=BD.理由:
如图,过O作OE⊥CD,点E为垂足.
∵OE⊥AB,∴EA=EB.
又∵OC=OD,OE⊥CD,
∴CE=DE,
∴AC=BD.
任务驱动三
3.解:过点O作OD⊥AB于点D,交于点F,连结OA,图略.
∵AB=600 mm,∴AD=300 mm.
∵底面直径为650 mm,
∴OA=×650=325 mm,
∴OD===125 mm,
∴DF=OF- OD=×650-125=200 mm.
答:油面的最大深度为200 mm.
方法归纳交流　解:答案不唯一,本题重点考查了分类讨论的思想,在做题中要能根据圆心与弦的位置分类;本题重点应用的知识是垂径定理,在应用垂径定理时,一般会涉及弦、半径、圆心到弦的距离,三条线段组成直角三角形,利用勾股定理解决.

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