资源简介

27.4 正多边形和圆
素养目标
1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.
2.能用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.
重点
能用正多边形的知识解决问题;会用量角器等分圆周;会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.
【预习导学】
知识点 正多边形的有关概念及性质
阅读课本本课时“例”之前的内容,完成下面问题.
正五边形有　 　条对称轴,这些对称轴都交于一点,记为O,根据轴对称的性质可知,这些对称轴是正五边形各边　 　的交点,因此点O到正五边形各顶点的距离　 　,记为R.那么以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个　 　,它是该正五边形的外接圆.另外,这些对称轴也是正五边形各内角的平分线,根据角平分线的性质,点O到各边的距离都　 　,记为r,那么以点O为圆心,r为半径的圆就与正五边形的各边都相切,它是正五边形的内切圆.
归纳总结　任何正多边形都有一个　 　和一个　 　.这两个圆有公共的　 　,称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等,叫做正多边形的中心角.
对点自测
正八边形的中心角是　 　°.
【合作探究】
任务驱动一 圆内接正多边形的画法
阅读课本本课时“图27.4.6”右边的内容至“练习”,回答下列问题.
1.尺规作图.
(1)利用尺规作图作出☉O的圆内接正方形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)利用尺规作图作出☉M的圆内接正三角形(不写作法,保留作图痕迹).
(3)在用尺规作图作圆内接正方形、正六边形的基础上,你还可以作出哪些正多边形 (举出四个即可)
2.用量角器画圆的内接正五边形时,可以把中心角　 　等分,那么弧
被　 　等分,顺次连结各等分点即可得到正五边形.
方法归纳交流　因为同圆中相等的弧所对的弦　 　,相等的弧所对的圆周角　 　,因此n等分圆周即可作出正n边形.
变式演练　下列正多边形,不能用尺规作图作出的是 ( )
A.正三角形 B.正五边形
C.正六边形 D.正八边形
任务驱动二 圆内接正多边形的中心角、半径、边心距
3.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
4.已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.
变式演练　如图,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.
(1)求图①中∠MON的度数.
(2)图②中,∠MON的度数是　　　　,图③中,∠MON的度数是　　　　.
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
参考答案
【预习导学】
知识点
五　垂直平分线　相等　顶点　相等
归纳总结　外接圆　内切圆　圆心
对点自测
45
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)如图1,四边形ABCD即所求.
(2)如图2,△GEF即所求.
(3)(答案不唯一)举出四个即可,如正八边形、正三角形、正十二边形、正十六边形、正二十四边形等.
2.五　五
方法归纳交流　相等　相等
变式演练　B
任务驱动二
3.B
4.解:如图,过点O作OM⊥AB于点M,连结OA.由于多边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于=60°,从而正六边形的边长等于它的半径,
因此,所求的正六边形的周长为6a.
在Rt△OAM中,OA=a,AM=AB=a,利用勾股定理,可得边心距OM==a,
所以所求正六边形的面积=6×AB·OM=6×a·a=a2.
变式演练　解:(1)如图,连结OB,OC.
∵正三角形ABC内接于☉O,∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN,
∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90°,72°.
(3)∠MON=.

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