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第27章 圆 复习课
复习目标
1.知道圆的有关概念,认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理,知道圆周角和圆心角的关系定理,垂径定理.
2.知道点和圆、直线与圆的位置关系,熟记切线的性质定理与判定定理,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线,知道切线长定理.
3.进一步认识正多边形和圆的关系和正多边形的有关计算.熟记弧长和扇形面积公式;知道圆锥的侧面展开图并能熟练进行圆锥的侧面积和全面积的计算.
重点
系统地归纳总结本章知识内容.
【预习导学】
体系构建
请你完成本章的知识网络图.
核心梳理
1.圆心角、弦、弧之间的关系:
(1)在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧　 　,所对的弦　 　.
(2)在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角　 　,所对的弦　 　.
(3)在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角　 　,所对的弧　 　.
2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径　 　这条弦,并且　 　这条弦所对的两条弧;
平分弧的直径　 　这条弧所对的弦.
3.　 　或　 　所对的圆周角相等,都等于90°(直角).
4.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角　 　,都等于该弧所对的圆心角的　 　;相等的圆周角所对的弧　 　.
推论1:90°的圆周角所对的弦是　 　.
推论2:圆内接四边形的对角　 　.
5.点与圆的位置关系:点P在☉O上 OP　 　r;
点P在☉O内 OP　 　r;点P在☉O外 OP　 　r.
6.　 　的三个点确定一个圆.
7.(1)经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
(2)与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.
8.直线与圆的位置关系:设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则
直线l与☉O相离 d　 　r;直线l与☉O相切 d　 　r;直线l与☉O相交 d　 　r.
9.切线的判定定理:经过圆的半径的　 　且　 　这条半径的直线是圆的切线.
10.切线的性质定理:圆的切线　 　于经过切点的半径.
11.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长　 　.这一点和圆心的连线　 　这两条切线的夹角.
【合作探究】
专题一 圆的基本性质
1.如图,AB是☉O的直径,C、D是☉O上的点,若∠CAB=25°,则∠ADC=　 　.
2.一根排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于　 　m.
方法归纳交流　垂径定理是计算圆中线段长的主要工具,在圆中,过圆心作弦的垂线,连结圆心和弦的两个端点,再由“半径、弦长的一半、弦心距”组成　 　三角形,
结合　 　定理进行相关计算.
3.如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点A作AE∥CD交☉O于点E,连结BD,DE,求证:=.
变式演练　在上题图中,若=,求证:AE∥CD.
方法归纳交流　在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也　 　.
专题二 与圆有关的位置关系
4.已知☉O的半径是4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是 ( )
A.点P在圆内 B.点P在圆上
C.点P在圆外 D.不能确定
5.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是 ( )
A.8≤AB≤10 B.8C.4≤AB≤5 D.46.如图,已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直线AB与☉C相切
(2)以C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,则这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系
方法归纳交流　判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转化为两点之间的距离、　 　,与半径比较大小来解决.
专题三 切线长定理、切线的性质和判定
7.如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心,若∠C=56°,则∠ABC的度数为　 　.
8.如图,AB是☉O的直径,C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连结BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是 ( )
A.15° B.30° C.60° D.75°
9.如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB交☉O于点D,E为AC的中点,连结DE.
(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长.
(2)求证:ED是☉O的切线.
方法归纳交流　在涉及切线问题时,常连结过　 　的半径,要想证明一条直线是圆的切线,常常需要做辅助线.若已知直线过圆上某一点,则作出过这一点的半径,证明直
线　 　于半径;若直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于　 　.
专题四 三角形的内切圆与外接圆
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆的半径分别为 ( )
A.1.5,2.5 B.2,5
C.1,2.5 D.2,2.5
11.如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,则下列三角形中,外心不是点O的是 ( )
A.△ABE
B.△ACF
C.△ABD
D.△ADE
方法归纳交流　设直角三角形的两条直角边分别是a,b,斜边是c,则该三角形外接圆的半径等于　 　,内切圆的半径等于　 　.
专题五 圆中的计算问题
12.将直径为60 cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为 ( )
A.10 cm B.30 cm
C.45 cm D.300 cm
13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为2,∠B=135°,则的长为　 　.
参考答案
【预习导学】
体系构建
轴　中心　　　lr
核心梳理
1.(1)相等　相等　(2)相等　相等　(3)相等　相等
2.垂直于　平分　垂直平分
3.半圆　直径
4.相等　一半　相等　直径　互补
5.=　<　>
6.不在同一条直线上
8.>　=　<
9.外端　垂直于
10.垂直
11.相等　平分
【合作探究】
专题一
1.65°
2.1.6
方法归纳交流　直角　勾股
3.证明:连结OE,图略.∵OA=OE,∴∠A=∠OEA.∵AE∥CD,∴∠BOD=∠A,∠DOE=∠OEA,∴∠BOD=∠DOE,∴=.
变式演练　证明:连结OE,图略.
∵OA=OE,∴∠A=∠OEA.
∵∠BOE=∠A+∠OEA,∴∠BOE=2∠A.
∵=,∴∠DOE=∠DOB,
∴∠BOE=2∠DOB,∴∠BOD=∠A,
∴AE∥CD.
方法归纳交流　相等
专题二
4.A　5.A
6.解:(1)如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ABC中,BC==4(cm),所以CD==2(cm).
因此,当半径为2 cm时,直线AB与☉C相切.
(2)由(1)可知,圆心C到直线AB的距离d=2 cm,
所以当r=2 cm时,d>r,☉C与直线AB相离;
当r=4 cm时,d方法归纳交流　圆心到直线的距离
专题三
7.17°
8.D
9.解:(1)如图,连结CD.∵BC是☉O的直径,
∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,
∵AD=DB,
∴AC=BC=2OC=10.
(2)证明:如图,连结OD.
∵∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴DE=EC=AC,
∴∠1=∠2,∵OD=OC,∴∠3=∠4,
∵AC切☉O于点C,
∴AC⊥OC,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,
即DE⊥OD,∴DE是☉O的切线.
方法归纳交流　切点　垂直　半径
专题四
10.C　11.B
方法归纳交流　c　或(写出一个即可)
专题五
12.A　13.π

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