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2.1　圆的标准方程
1.圆（2 024－x）2＋（2 025＋y）2＝3的圆心在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
3.若点A（a＋1，3）在圆C：（x－a）2＋（y－1）2＝m外，则实数m的取值范围是（　　）
A.（0，＋∞） B.（－∞，5）
C.（0，5） D.[0，5]
4.以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（　　）
A.（x－1）2＋（y－2）2＝25
B.（x＋1）2＋（y＋2）2＝25
C.（x＋1）2＋（y＋2）2＝100
D.（x－1）2＋（y－2）2＝100
5.（多选）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（　　）
A.x2＋y2＝5
B.（x－1）2＋（y－3）2＝5
C.x2＋（y－2）2＝5
D.（x－1）2＋（y＋1）2＝5
6.（多选）已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（　　）
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点（2，－1）在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4
7.圆（x－3）2＋（y＋2）2＝13的周长是　　　　.
8.已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是　　　　　　　　.
9.当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是　　　　　　　　.
10.已知点A（－1，2）和B（3，4）.求：
（1）线段AB的垂直平分线l的方程；
（2）以线段AB为直径的圆的标准方程.
11.设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则｜PQ｜的最小值为（　　）
A.6 B.4
C.3 D.2
12.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为（　　）
A.x2＋＝ B.x2＋＝
C.（x－）2＋y2＝ D.（x＋）2＋y2＝
13.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　）
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
14.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程　　　　 　.
15.已知圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程.
16.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，求当△ABC的面积最大时BC的长.
2.1　圆的标准方程
1.D　化为圆的标准方程（x－2 024）2＋（y＋2 025）2＝3，得圆心坐标为（2 024，－2 025），所以圆心在第四象限.
2.D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
3.C　由题意，得（a＋1－a）2＋（3－1）2＞m，即m＜5，又易知m＞0，所以0＜m＜5，故选C.
4.A　由两点A（－3，－1）和B（5，5）得线段AB的中点坐标为C（1，2），由｜AB｜＝＝10，可得以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的圆心为C（1，2），且半径为r＝5，所以所求圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.故选A.
5.AD　由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则（2－a）2＋（1＋a）2＝5，解得a＝0或a＝1，∴所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或x2＋y2＝5，故选A、D.
6.ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M（1，－2），所以设圆心坐标为（a，－a）（a＞0），故圆心在y＝－x的图象上，A正确；圆C的方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，（x－5）2＋（y＋5）2＝25，将点（2，－1）代入可知都满足，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确.
7.2π　解析：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π.
8.x－y＋3＝0　解析：圆x2＋（y－3）2＝4的圆心为点（0，3）.因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
9.（x＋1）2＋（y－2）2＝5　解析：将直线方程整理为（x＋1）a－（x＋y－1）＝0，可知直线恒过点（－1，2），从而所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5.
10.解：由题意得线段AB的中点C的坐标为（1，3）.
（1）∵A（－1，2），B（3，4），
∴直线AB的斜率kAB＝＝.
∵直线l垂直于直线AB，
∴直线l的斜率kl＝－＝－2，
∴直线l的方程为y－3＝－2（x－1），
即2x＋y－5＝0.
（2）∵A（－1，2），B（3，4），
∴｜AB｜＝＝＝2，
∴以线段AB为直径的圆的半径r＝｜AB｜＝.
又圆心为C（1，3），∴所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝5.
11.B　如图，圆心M（3，－1）与定直线x＝－3的最短距离为｜MQ｜＝3－（－3）＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
12.AB　由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心坐标为（0，a），半径为r，则rsin ＝1，rcos ＝｜a｜，解得r＝，即r2＝，｜a｜＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝.
13.ABD　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D.
14.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4.
15.解：设圆C2的圆心坐标为（m，n）.
因为直线l的斜率k＝－，圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4的圆心坐标为（－3，1），半径r＝2，所以由对称性知解得所以圆C2的标准方程为（x－4）2＋（y－5）2＝4.
16.解：如图，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
因为AC＝6，所以A（－3，0），C（3，0）.
设B（x，y），因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得｜AB｜＝2｜BC｜，
所以（x＋3）2＋y2＝4（x－3）2＋4y2，
化简得（x－5）2＋y2＝16（x≠1，且x≠9），
所以点B的轨迹为以D（5，0）为圆心，4为半径的圆，去掉（1，0），（9，0）两点.
所以当BD⊥AC时，△ABC的面积最大，此时｜BC｜＝＝2.
2 / 22.1　圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程 直观想象、数学运算
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白毫千丈，散作太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”
【问题】　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　圆的标准方程
1.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
2.圆的简单几何性质
已知圆的方程为x2＋y2＝r2. ①
（1）范围：由方程①可得圆上任意一点P（x，y）都满足不等式：｜x｜≤　　，｜y｜≤　　；
（2）对称性：圆①既是关于　　轴和　　轴的轴对称图形，也是关于　　　的中心对称图形.
提醒　（1）所谓标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；
（2）圆的标准方程的右端r2＞0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a，b，r∈R）表示一个圆.（　　）
（2）弦的垂直平分线必过圆心.（　　）
（3）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.（　　）
（4）圆心与切点的连线长是半径长.（　　）
2.圆（x－2）2＋（y＋3）2＝2的圆心和半径分别是（　　）
A.（－2，3），1 B.（2，－3），3
C.（－2，3）， D.（2，－3），
3.点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，则圆的方程是　　　　.
题型一 求圆的标准方程
【例1】　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的方程.
尝试解答
通性通法
1.直接法求圆的标准方程的策略
（1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；
（2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
【跟踪训练】
1.圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）的圆的标准方程为　　　　.
2.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程.
题型二 点与圆的位置关系
【例2】　（1）点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　）
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
（2）已知点M（5＋1，）在圆（x－1）2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为　　　　.
尝试解答
通性通法
判断点与圆的位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
【跟踪训练】
　已知点A（1，2）和圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
（1）点A在圆的内部；（2）点A在圆上；
（3）点A在圆的外部.
题型三 与圆有关的最值问题
【例3】　已知实数x，y满足方程（x－2）2＋y2＝3.求的最大值和最小值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，求y－x的最大值和最小值.
2.（变设问）在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值.
通性通法
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题；
（2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题.
【跟踪训练】
　设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　　　　.
1.若某圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋5）2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为（　　）
A.（－1，5）， B.（1，－5），
C.（－1，5），3 D.（1，－5），3
2.点P（1，3）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　）
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
3.圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是（　　）
A.（x＋1）2＋（y－2）2＝9
B.（x－1）2＋（y＋2）2＝3
C.（x＋1）2＋（y－2）2＝3
D.（x－1）2＋（y＋2）2＝9
4.圆心在x轴上，且过A（1，4），B（2，－3）两点的圆的方程为　　　　.
5.若点P（5a＋1，12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为　　　　.
2.1　圆的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.（x－a）2＋（y－b）2＝r2　x2＋y2＝r2　2.（1）r　r　（2）x　y　原点
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√
2.D　由圆的标准方程可得圆心为（2，－3），半径为.故选D.
3.（x＋2）2＋y2＝10　解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋12＝m，所以m＝10，即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：法一（几何性质法）　设点C为圆心，
∵点C在直线x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）.
连接CA，CB（图略）.
∵该圆经过A，B两点，∴｜CA｜＝｜CB｜，
∴
＝，
解得a＝－2，
∴圆心为C（－1，－2），半径r＝.
故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.
法二（待定系数法）　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
由题设条件知
解得
故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.
法三（几何性质法）　连接AB（图略），则线段AB的中点的坐标为（0，－4），
直线AB的斜率kAB＝＝，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，
∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0.
又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点，
由得
∴圆心坐标为（－1，－2），
∴圆的半径r＝＝，
故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.
跟踪训练
1.x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25
解析：设圆心为C（0，b），则（3－0）2＋（－4－b）2＝52，解得b＝0或b＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
2.解：法一　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
法二　因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为（－3，1），
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
【例2】　（1）B　（2）[0，1）
解析：（1）由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
（2）由题意知即解得0≤a＜1.
跟踪训练
　解：（1）因为点A在圆的内部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＜2a2，且a不为0，解得a＜－.
（2）因为点A在圆上，所以（1－a）2＋（2＋a）2＝2a2，且a不为0，
解得a＝－.
（3）因为点A在圆的外部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＞2a2，
且a不为0，解得a＞－且a≠0.
【例3】　解：原方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
母题探究
1.解：设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2.解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故（x2＋y2）max＝（2＋）2＝7＋4，
（x2＋y2）min＝（2－）2＝7－4.
跟踪训练
　12　解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
随堂检测
1.B
2.B
3.D
4.（x＋2）2＋y2＝25　解析：设圆心为（a，0），则＝，所以a＝－2.半径r＝＝5，故所求圆的方程为（x＋2）2＋y2＝25.
5.∪
解析：∵P在圆外，∴（5a＋1－1）2＋（12a）2＞1，169a2＞1，a2＞，∴a＞或a＜－.
3 / 3(共67张PPT)
2.1　圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，
探索并掌握圆的标准方程 直观想象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月
亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时有，何
事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白毫千丈，散作太虚一
色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”
【问题】　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标
系，那么月亮的坐标方程如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　圆的标准方程
1. 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
2. 圆的简单几何性质
已知圆的方程为 x2＋ y2＝ r2. ①
（1）范围：由方程①可得圆上任意一点 P （ x ， y ）都满足不等
式：｜ x ｜≤ ，｜ y ｜≤ ；
（2）对称性：圆①既是关于 轴和 轴的轴对称图形，也
是关于 的中心对称图形.
r 　
r 　
x 　
y 　
原点　
提醒　（1）所谓标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；
（2）圆的标准方程的右端 r2＞0，当方程右端小于或等于0时，对应
方程不是圆的标准方程.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ a ， b ， r ∈R）表示一个
圆. （　×　）
（2）弦的垂直平分线必过圆心. （　√　）
（3）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.
（　√　）
（4）圆心与切点的连线长是半径长. （　√　）
×
√
√
√
2. 圆（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2的圆心和半径分别是（　　）
A. （－2，3），1 B. （2，－3），3
解析：　由圆的标准方程可得圆心为（2，－3），半径为 .故
选D.
3. 点（1，1）在圆（ x ＋2）2＋ y2＝ m 上，则圆的方程是 .
解析：因为点（1，1）在圆（ x ＋2）2＋ y2＝ m 上，故（1＋2）2＋
12＝ m ，所以 m ＝10，即圆的方程为（ x ＋2）2＋ y2＝10.
（ x ＋2）2＋ y2＝10
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求圆的标准方程
【例1】　求圆心在直线 x －2 y －3＝0上，且过点 A （2，－3）， B
（－2，－5）的圆的方程.
解：法一（几何性质法）　设点 C 为圆心，
∵点 C 在直线 x －2 y －3＝0上，
∴可设点 C 的坐标为（2 a ＋3， a ）.
连接 CA ， CB （图略）.
∵该圆经过 A ， B 两点，∴｜ CA ｜＝｜ CB ｜，
∴
＝ ，
解得 a ＝－2，
∴圆心为 C （－1，－2），半径 r ＝ .
故所求圆的标准方程为（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝10.
法二（待定系数法）　设所求圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）
2＝ r2，
由题设条件知
解得
故所求圆的标准方程为（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝10.
法三（几何性质法）　连接 AB （图略），则线段 AB 的中点的坐标为
（0，－4），
直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝ ，
∴弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k ＝－2，
∴弦 AB 的垂直平分线的方程为 y ＋4＝－2 x ，
即2 x ＋ y ＋4＝0.
又圆心是直线2 x ＋ y ＋4＝0与直线 x －2 y －3＝0的交点，
由得
∴圆心坐标为（－1，－2），
∴圆的半径 r ＝ ＝ ，
故所求圆的标准方程为（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝10.
通性通法
1. 直接法求圆的标准方程的策略
（1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法
求圆的标准方程时，首先求出圆心坐标和半径，然后直接写
出圆的标准方程；
（2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公
式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两
条弦的中垂线的交点为圆心”等.
2. 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
1. 圆心在 y 轴上，半径为5，且过点（3，－4）的圆的标准方程为
.
解析：设圆心为 C （0， b ），则（3－0）2＋（－4－ b ）2＝52，解
得 b ＝0或 b ＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又 r ＝5，
∴圆的标准方程为 x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25.
x2
＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25　
【跟踪训练】
2. 已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （0，5）， B （1，－2）， C
（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程.
解：法一　设所求圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
因为 A （0，5）， B （1，－2）， C （－3，－4）三点都在圆上，
所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
法二　因为 A （0，5）， B （1，－2），所以线段 AB 的中点的坐标为
，直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝－7，因此线段 AB 的垂直平分线
的方程是 y － ＝ ，即 x －7 y ＋10＝0.同理可得线段 BC 的垂
直平分线的方程是2 x ＋ y ＋5＝0.
由得圆心的坐标为（－3，1），
又圆的半径长 r ＝ ＝5，
故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
题型二 点与圆的位置关系
【例2】　（1）点 P （ m2，5）与圆 x2＋ y2＝24的位置关系是
（　B　）
A. 点 P 在圆内 B. 点 P 在圆外
C. 点 P 在圆上 D. 不确定
解析：由（ m2）2＋52＝ m4＋25＞24，得点 P 在圆外.
B
（2）已知点 M （5 ＋1， ）在圆（ x －1）2＋ y2＝26的内部，则
a 的取值范围为 .
解析：由题意知即
解得0≤ a ＜1.
[0，1）　
通性通法
判断点与圆的位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大
小，并作出判断.
【跟踪训练】
已知点 A （1，2）和圆 C ：（ x － a ）2＋（ y ＋ a ）2＝2 a2，试
分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围：
（1）点 A 在圆的内部；
解：因为点 A 在圆的内部，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＜
2 a2，且 a 不为0，解得 a ＜－ .
（2）点 A 在圆上；
解：因为点 A 在圆上，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＝2 a2，且 a
不为0，
解得 a ＝－ .
（3）点 A 在圆的外部.
解：因为点 A 在圆的外部，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＞2a2，
且 a 不为0，解得 a ＞－ 且 a ≠0.
题型三 与圆有关的最值问题
【例3】　已知实数 x ， y 满足方程（ x －2）2＋ y2＝3.求 的最大值和
最小值.
解：原方程表示以点（2，0）为圆心，以 为半径的圆，设 ＝ k ，
即 y ＝ kx ，
当直线 y ＝ kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值，此时
＝ ，解得 k ＝± .
故 的最大值为 ，最小值为－ .
1. （变设问）在本例条件下，求 y － x 的最大值和最小值.
解：设 y － x ＝ b ，即 y ＝ x ＋ b ，
当 y ＝ x ＋ b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时
＝ ，
即 b ＝－2± .
故 y － x 的最大值为－2＋ ，
最小值为－2－ .
【母题探究】
2. （变设问）在本例条件下，求 x2＋ y2的最大值和最小值.
解： x2＋ y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，故（ x2＋ y2）max＝（2＋ ）2＝7＋4
，（ x2＋ y2）min＝（2－ ）2＝7－4 .
通性通法
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如 u ＝ 形式的最值问题，可转化为过点（ x ， y ）和（ a ，
b ）的动直线斜率的最值问题；
（2）形如 l ＝ ax ＋ by 形式的最值问题，可转化为动直线 y ＝－ x ＋
截距的最值问题；
（3）形如（ x － a ）2＋（ y － b ）2形式的最值问题，可转化为动点
（ x ， y ）到定点（ a ， b ）的距离的平方的最值问题.
【跟踪训练】
　设点 P （ x ， y ）是圆： x2＋（ y －3）2＝1上的动点，定点 A
（2，0）， B （－2，0），则 · 的最大值为 .
12　
解析：由题意，知 ＝（2－ x ，－ y ）， ＝（－2－ x ，－
y ），所以 · ＝ x2＋ y2－4，由于点 P （ x ， y ）是圆上的
点，故其坐标满足方程 x2＋（ y －3）2＝1，故 x2＝－（ y －3）2
＋1，所以 · ＝－（ y －3）2＋1＋ y2－4＝6 y －12.由圆的方
程 x2＋（ y －3）2＝1，易知2≤ y ≤4，所以，当 y ＝4时， ·
的值最大，最大值为6×4－12＝12.
1. 若某圆的标准方程为（ x －1）2＋（ y ＋5）2＝3，则此圆的圆心和
半径长分别为（　　）
C. （－1，5），3 D. （1，－5），3
2. 点 P （1，3）与圆 x2＋ y2＝24的位置关系是（　　）
A. 在圆外 B. 在圆内
C. 在圆上 D. 不确定
3. 圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是（　　）
A. （ x ＋1）2＋（ y －2）2＝9
B. （ x －1）2＋（ y ＋2）2＝3
C. （ x ＋1）2＋（ y －2）2＝3
D. （ x －1）2＋（ y ＋2）2＝9
4. 圆心在 x 轴上，且过 A （1，4）， B （2，－3）两点的圆的方程
为 .
解析：设圆心为（ a ，0），则 ＝
，所以 a ＝－2.半径 r ＝ ＝5，故
所求圆的方程为（ x ＋2）2＋ y2＝25.
（ x ＋2）2＋ y2＝25　
5. 若点 P （5 a ＋1，12 a ）在圆（ x －1）2＋ y2＝1的外部，则 a 的取值
范围为 .
解析：∵ P 在圆外，∴（5 a ＋1－1）2＋（12 a ）2＞1，169 a2＞1，
a2＞ ，∴ a ＞ 或 a ＜－ .
∪ 　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 圆（2 024－ x ）2＋（2 025＋ y ）2＝3的圆心在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：D　化为圆的标准方程（ x －2 024）2＋（ y ＋2 025）2＝3，
得圆心坐标为（2 024，－2 025），所以圆心在第四象限.
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2. 方程（ x ＋ a ）2＋（ y － a ）2＝2 a2（ a ≠0）表示的圆（　　）
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于直线 x － y ＝0对称
D. 关于直线 x ＋ y ＝0对称
解析：　易得圆心 C （－ a ， a ），即圆心在直线 y ＝－ x 上，所
以该圆关于直线 x ＋ y ＝0对称，故选D.
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3. 若点 A （ a ＋1，3）在圆 C ：（ x － a ）2＋（ y －1）2＝ m 外，则实
数 m 的取值范围是（　　）
A. （0，＋∞） B. （－∞，5）
C. （0，5） D. [0，5]
解析：　由题意，得（ a ＋1－ a ）2＋（3－1）2＞ m ，即 m ＜5，
又易知 m ＞0，所以0＜ m ＜5，故选C.
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4. 以两点 A （－3，－1）和 B （5，5）为直径端点的圆的方程是
（　　）
A. （ x －1）2＋（ y －2）2＝25
B. （ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝25
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝100
D. （ x －1）2＋（ y －2）2＝100
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解析：　由两点 A （－3，－1）和 B （5，5）得线段 AB 的中点坐
标为 C （1，2），由｜ AB ｜＝ ＝10，可
得以两点 A （－3，－1）和 B （5，5）为直径端点的圆的圆心为 C
（1，2），且半径为 r ＝5，所以所求圆的方程为（ x －1）2＋（ y －
2）2＝25.故选A.
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5. （多选）圆上的点（2，1）关于直线 x ＋ y ＝0的对称点仍在圆上，
且圆的半径为 ，则圆的方程可能是（　　）
A. x2＋ y2＝5 B. （ x －1）2＋（ y －3）2＝5
C. x2＋（ y －2）2＝5 D. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5
解析：　由题意可知圆心在直线 x ＋ y ＝0上，设圆心坐标为
（ a ，－ a ），则（2－ a ）2＋（1＋ a ）2＝5，解得 a ＝0或 a ＝1，
∴所求圆的方程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5或 x2＋ y2＝5，故选
A、D.
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6. （多选）已知圆 C 过点 M （1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列
叙述正确的是（　　）
A. 满足条件的圆 C 的圆心在一条直线上
B. 满足条件的圆 C 有且只有一个
C. 点（2，－1）在满足条件的圆 C 上
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解析：　因为圆 C 和两个坐标轴都相切，且过点 M （1，－
2），所以设圆心坐标为（ a ，－ a ）（ a ＞0），故圆心在 y ＝－ x
的图象上，A正确；圆 C 的方程为（ x － a ）2＋（ y ＋ a ）2＝ a2，把
点 M 的坐标代入可得 a2－6 a ＋5＝0，解得 a ＝1或 a ＝5，则圆心坐
标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆 C 有且只有两
个，故B错误；圆 C 的方程分别为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝1，（ x
－5）2＋（ y ＋5）2＝25，将点（2，－1）代入可知都满足，故C正
确；它们的圆心距为 ＝4 ，D正确.
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7. 圆（ x －3）2＋（ y ＋2）2＝13的周长是 .
解析：由圆的标准方程可知，其半径为 ，周长为2 π.
2 π　
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8. 已知直线 l 过圆 x2＋（ y －3）2＝4的圆心，且与直线 x ＋ y ＋1＝0垂
直，则 l 的方程是 .
解析：圆 x2＋（ y －3）2＝4的圆心为点（0，3）.因为直线 l 与直线 x
＋ y ＋1＝0垂直，所以直线 l 的斜率 k ＝1.由点斜式得直线 l 的方程是
y －3＝ x －0，化简得 x － y ＋3＝0.
x － y ＋3＝0　
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9. 当 a 为任意实数时，直线（ a －1） x － y ＋ a ＋1＝0恒过定点 C ，则
以点 C 为圆心， 为半径的圆的标准方程是
.
解析：将直线方程整理为（ x ＋1） a －（ x ＋ y －1）＝0，可知直线
恒过点（－1，2），从而所求圆的标准方程为（ x ＋1）2＋（ y －
2）2＝5.
（ x ＋1）2＋（ y －
2）2＝5　
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10. 已知点 A （－1，2）和 B （3，4）.求：
（1）线段 AB 的垂直平分线 l 的方程；
∵ A （－1，2）， B （3，4），
∴直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝ .
∵直线 l 垂直于直线 AB ，
∴直线 l 的斜率 kl ＝－ ＝－2，
∴直线 l 的方程为 y －3＝－2（ x －1），
即2 x ＋ y －5＝0.
解：由题意得线段 AB 的中点 C 的坐标为（1，3）.
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（2）以线段 AB 为直径的圆的标准方程.
解： ∵ A （－1，2）， B （3，4），
∴｜ AB ｜＝ ＝ ＝2 ，
∴以线段 AB 为直径的圆的半径 r ＝ ｜ AB ｜＝ .
又圆心为 C （1，3），∴所求圆的标准方程为（ x －1）2＋
（ y －3）2＝5.
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11. 设 P 是圆（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝4上的动点， Q 是直线 x ＝－3上
的动点，则｜ PQ ｜的最小值为（　　）
A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
解析：如图，圆心 M （3，－1）与定直线 x ＝－3的最短距离为｜ MQ ｜＝3－（－3）＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
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12. （多选）已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点（1，0）且被 x 轴分成两
段，弧长比为1∶2，则圆 C 可能的方程为（　　）
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解析：　由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为
，设圆心坐标为（0， a ），半径为 r ，则 r sin ＝1， r cos ＝｜
a ｜，解得 r ＝ ，即 r2＝ ，｜ a ｜＝ ，即 a ＝± ，故圆 C 的
方程为 x2＋ ＝ .
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13. （多选）设有一组圆 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4（ k ∈R），
下列命题正确的是（　　）
A. 不论 k 如何变化，圆心 C 始终在一条直线上
B. 所有圆 Ck 均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆 Ck 有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
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解析：　圆心坐标为（ k ， k ），在直线 y ＝ x 上，A正确；令
（3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化简得2 k2－6 k ＋5＝0，∵Δ＝36－40
＝－4＜0，∴2 k2－6 k ＋5＝0无实数根，∴B正确；由（2－ k ）2＋
（2－ k ）2＝4，化简得 k2－4 k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两
不等实根，∴经过点（2，2）的圆 Ck 有两个，C错误；由圆的半径
为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D.
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14. 写出符合条件：圆心在直线 y ＝ x ＋1上，且与 x 轴相切的一个圆的
标准方程 .
解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线 y ＝ x ＋1上，半径为
2，满足圆心（1，2）到 x 轴的距离等于半径，所以圆的方程为（ x
－1）2＋（ y －2）2＝4.
（ x －1）2＋（ y －2）2＝4（答案不唯一）　
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15. 已知圆 C1：（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝4，直线 l ：14 x ＋8 y －31＝
0，求圆 C1关于直线 l 对称的圆 C2的标准方程.
解：设圆 C2的圆心坐标为（ m ， n ）.
因为直线 l 的斜率 k ＝－ ，圆 C1：（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝4的圆
心坐标为（－3，1），半径 r ＝2，
所以由对称性知解得所
以圆 C2的标准方程为（ x －4）2＋（ y －5）2＝4.
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16. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262～公元前190年）的著
作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的
性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命
题：平面内与两定点距离的比为常数 k （ k ＞0且 k ≠1）的点的轨迹
是圆.后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ ABC ， AC ＝6， sin C ＝2
sin A ，求当△ ABC 的面积最大时 BC 的长.
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解：如图，以 AC 的中点为原点， AC 边所在直线
为 x 轴建立平面直角坐标系.
因为 AC ＝6，所以 A （－3，0）， C （3，0）.
设 B （ x ， y ），因为 sin C ＝2 sin A ，由正弦定
理可得｜ AB ｜＝2｜ BC ｜，
所以（ x ＋3）2＋ y2＝4（ x －3）2＋4 y2，
化简得（ x －5）2＋ y2＝16（ x ≠1，且 x ≠9），
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所以点 B 的轨迹为以 D （5，0）为圆心，4为半
径的圆，去掉（1，0），（9，0）两点.
所以当 BD ⊥ AC 时，△ ABC 的面积最大，此时｜
BC ｜＝ ＝2 .
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