资源简介

2.2　圆的一般方程
1.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P（3，1）在（　　）
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.无法确定
2.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（　　）
A.（1，－1） B.
C.（－1，2） D.
3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（　　）
A.m＜1 B.m＞1
C.m＜ D.＜m＜1
4.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q（3，0）的线段PQ的中点的轨迹方程是（　　）
A.（x＋3）2＋y2＝4 B.（2x－3）2＋4y2＝1
C.（x－3）2＋y2＝1 D.（2x＋3）2＋4y2＝1
5.（多选）已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（　　）
A.关于点（2，0）对称
B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称
D.关于直线x－y＋2＝0对称
6.（多选）已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（　　）
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
7.已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A（0，1），则点B的坐标为　　　　.
8.若坐标原点O在方程x2＋y2－x＋y＋m＝0所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为　　　　.
9.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　.
10.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（－6，3），C（3，0），求这个三角形外接圆的一般方程.
11.已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.若∠ACB＝，则实数m的值为（　　）
A.－3 B.2
C.3 D.8
12.已知点P（7，3），Q为圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0上一点，点S在x轴上，则｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为（　　）
A.7 B.8
C.9 D.10
13.（多选）已知曲线C：Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0，则下列说法正确的是（　　）
A.若A＝B＝1，则C是圆
B.若A＝B≠0，D2＋E2－4AF＞0，则C是圆
C.若A＝B＝0，D2＋E2＞0，则C是直线
D.若A≠0，B＝0，则C是直线
14.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是　　　　.
15.点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
（1）求线段AP的中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.
16.已知圆C： x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3）.
（1）若点P（a，a＋1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求｜MQ｜的最大值和最小值.
2.2　圆的一般方程
1.C
2.D　将圆的方程化为标准方程，得（x＋）2＋（y＋1）2＝，所以圆心为（－，－1）.
3.A　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋（－2）2－4×5m＞0，解得m＜1.
4.B　设P（x0，y0），线段PQ的中点为M（x，y），如图所示.则
即因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝1上运动，即＋＝1，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，即（2x－3）2＋4y2＝1.
5.ABC　x2＋y2－4x－1＝0 （x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C.
6.BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则｜AC｜＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则｜PA｜≤｜PC｜＋｜CA｜＝r＋｜CA｜＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则｜MA｜≥｜CA｜－｜MC｜＝｜CA｜－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D.
7.（2，－3）　解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，（x－1）2＋（y＋1）2＝5，所以圆心C（1，－1）.设B（x0，y0），又A（0，1），由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为（2，－3）.
8.（0，）　解析：∵点O（0，0）在圆的外部，∴0＋0－0＋0＋m＞0，即m＞0，又D2＋E2－4F＞0，∴（－1）2＋12－4m＞0，即m＜，故实数m的取值范围为（0，）.
9.（－2，－4）　5　解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，圆心为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即（x＋）2＋（y＋1）2＝－，不表示圆.故圆心坐标是（－2，－4），半径是5.
10.解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C三点都在圆上，
∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程，
把A（4，1），B（－6，3），C（3，0）的坐标依次代入所设方程，
得
解得
∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0.
11.A　∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝.由∠ACB＝可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝r，解得r＝2，∴＝2，解得m＝－3.
12.C　将圆M的方程化为标准方程为（x－1）2＋（y－5）2＝1，如图所示，作点P（7，3）关于x轴的对称点P'（7，－3），连接MP'与圆相交于点Q，与x轴相交于点S，此时，｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，且｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＝｜P'M｜－r.由圆M的标准方程得M点的坐标为（1，5），半径r＝1，所以｜P'M｜＝＝10，所以｜P'M｜－r＝9，所以｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为9.
13.BC　对于A，当A＝B＝1时，C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若D2＋E2－4F＞0，则C是圆；若D2＋E2－4F＝0，则C是点；若D2＋E2－4F＜0，则C不存在，故A错误.对于B，当时A＝B≠0时，C：Ax2＋Ay2＋Dx＋Ey＋F＝0可化为x2＋y2＋x＋y＋＝0，而＋－4·＝＞0，所以曲线C是圆，故B正确.对于C，当A＝B＝0时，C：Dx＋Ey＋F＝0，且D2＋E2＞0，则C是直线，故C正确.对于D，当A≠0，B＝0时，C：Ax2＋Dx＋Ey＋F＝0，显然不是直线，故D错误.故选B、C.
14.（－∞，1）　解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为（－1，2），代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.
15.解：（1）设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式得点P坐标为P（2x－2，2y）.
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）设线段PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜.
设O为坐标原点，连接ON（图略），则ON⊥PQ，
∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，
∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
16.解：（1）∵点P（a，a＋1）在圆上，
∴a2＋（a＋1）2－4a－14（a＋1）＋45＝0，
∴a＝4，P（4，5），
∴｜PQ｜＝＝2，
kPQ＝＝.
（2）易得圆心C的坐标为（2，7），圆的半径为2，
∴｜QC｜＝＝4，
∵点Q在圆外，∴｜MQ｜max＝4＋2＝6，
｜MQ｜min＝4－2＝2.
2 / 22.2　圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 逻辑推理
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算
　　我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数.
【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于x，y的二次项系数为1，且不含xy的项二元二次方程的形式？
（2）若一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圆，则D，E，F应满足什么条件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示　　　　　
D2＋E2－4F＞0 表示以　　　　　　为圆心， 以　　　　　　为半径的圆
提醒　圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D，E，F为常数）具有以下特点：①x2，y2项的系数均为1；②没有xy项；③D2＋E2－4F＞0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（　　）
（2）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（　　）
（3）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　　）
（4）任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.（　　）
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是（　　）
A.（2，3） B.（－2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
3.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是　　　　.
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）圆心坐标和半径.
尝试解答
通性通法
　　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法
（1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；
（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
提醒　在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.
【跟踪训练】
1.（多选）若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m可取的值有（　　）
A.－　　　　　 B.0
C.1 D.2
2.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是　　　　.
题型二 求圆的一般方程
【例2】　已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
尝试解答
通性通法
待定系数法求圆的方程的解题策略
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
【跟踪训练】
　求经过点A（－2，－4）且与直线x＋3y－26＝0相切于点B（8，6）的圆的方程.
题型三 求动点的轨迹方程
【例3】　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）直角边BC的中点M的轨迹方程.
尝试解答
通性通法
代入法求轨迹方程的一般步骤
【跟踪训练】
　已知A（2，1），B（－4，9），动点P满足∠APB＝90°，求动点P的轨迹.
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（　　）
A.（4，－6），16 B.（2，－3），4
C.（－2，3），4 D.（2，－3），16
2.将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是（　　）
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0
3.若Rt△ACB的斜边的两端点A，B的坐标分别为（－3，0）和（7，0），则直角顶点C的轨迹方程为（　　）
A.x2＋y2＝25（y≠0）
B.x2＋y2＝25
C.（x－2）2＋y2＝25（y≠0）
D.（x－2）2＋y2＝25
4.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是　　　　.
5.若曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋4a2－3＝0上所有的点都在x轴上方，则a的取值范围是　　　　.
2.2　圆的一般方程
【基础知识·重落实】
知识点
2.一个点（－，－）　（－，－）　
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　 （4）√
2.D　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是（2，－3）.故选D.
3.　解析：方程表示圆 1＋1－4k＞0 k＜.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由题意知D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
（2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m，
故圆心坐标为（－m，1），半径r＝.
跟踪训练
1.BCD　由题意得D2＋E2－4F＝（－1）2＋12－4×（－2m）＞0，解得m＞－.故选B、C、D.
2.（－∞，1）　解析：法一　方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为（x＋a）2＋（y＋a）2＝1－a，若它表示圆，则需满足1－a＞0，故a＜1.
法二　要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则需满足（2a）2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，解得a＜1.
【例2】　解：法一　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C三点在圆上，
∴
解得
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1）2＋（y＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为（1，－1），r＝｜BC｜＝5.
∴外接圆方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝25.
跟踪训练
　解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，
∴·＝－1，
即E－3D－36＝0. ①
∵点A（－2，－4），B（8，6）在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0， ②
8D＋6E＋F＋100＝0. ③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
【例3】　解：（1）法一　设顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3，且x≠－1）.
法二　同法一得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理得｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，
即（x＋1）2＋y2＋（x－3）2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3，且x≠－1）.
法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知，｜CD｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.
设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）.
（2）设点M（x，y），点C（x0，y0），
因为B（3，0），M是边BC的中点，
由中点坐标公式得x＝（x≠3，且x≠1），y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由（1）知，点C在圆（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）上运动，将x0，y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y）2＝4，
即（x－2）2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3，且x≠1）.
跟踪训练
　解：由题意，点A（2，1），B（－4，9），动点P满足∠APB＝90°，
所以点P落在以AB为直径的圆上，其中圆心坐标为（－1，5），半径为r＝｜AB｜＝5，
所以点P的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－5）2＝25，其中x≠2且x≠－4.
所以点P的轨迹为以（－1，5）为圆心，半径为5的圆，且除去点A（2，1）和B（－4，9）.
随堂检测
1.C
2.C　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为（1，2）.A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
3.C　线段AB的中点坐标为（2，0），因为△ACB为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点（2，0）的距离为｜AB｜＝5，所以点C（x，y）满足＝5（y≠0），即（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.
4.（－∞，－1）　解析：方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆.
5.（1，＋∞）　解析：曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋4a2－3＝0可化为（x－a）2＋（y－2a）2＝a2＋3，∵a2＋3＞0，∴该曲线为圆，且圆心C（a，2a），半径r＝，由题得即∴a＞1.
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2.2　圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 逻辑推理
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部
分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（ x － a ）
2＋（ y － b ）2＝ r2展开为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，其中 D ，
E ， F 均为常数.
【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于 x ， y 的
二次项系数为1，且不含 xy 的项二元二次方程的形式？
（2）若一个形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的二元二次方程表示圆，则
D ， E ， F 应满足什么条件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　圆的一般方程
1. 圆的一般方程
当 D2＋ E2－4 F ＞0时，二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0称为
圆的一般方程.
2. 方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0表示的图形
条件 图形
D2＋ E2－
4 F ＜0 不表示任何图形
D2＋ E2－
4 F ＝0
D2＋ E2－
4 F ＞0
一个点（－ ，－ ）　
（－ ，－ ）　
　
提醒　圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特
殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的
一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（其中 D ， E ， F 为常数）具有
以下特点：① x2， y2项的系数均为1；②没有 xy 项；③ D2＋ E2－4 F
＞0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程 x2＋ y2＋ x ＋1＝0表示一个圆. （　×　）
（2）二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0一定是某个圆的方程.
（　×　）
（3）若方程 x2＋ y2－2 x ＋ Ey ＋1＝0表示圆，则 E ≠0. （　√　）
（4）任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. （　√　）
×
×
√
√
2. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0的圆心坐标是（　　）
A. （2，3） B. （－2，3）
C. （－2，－3） D. （2，－3）
解析：　－ ＝2，－ ＝－3，∴圆心坐标是（2，－3）.故选D.
3. 方程 x2＋ y2－ x ＋ y ＋ k ＝0表示一个圆，则实数 k 的取值范围
是 .
解析：方程表示圆 1＋1－4 k ＞0 k ＜ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】　若方程 x2＋ y2＋2 mx －2 y ＋ m2＋5 m ＝0表示圆，求：
（1）实数 m 的取值范围；
解：由题意知 D2＋ E2－4 F ＝（2 m ）2＋（－2）2－4（ m2
＋5 m ）＞0，
即4 m2＋4－4 m2－20 m ＞0，
解得 m ＜ ，
故 m 的取值范围为 .
（2）圆心坐标和半径.
解：将方程 x2＋ y2＋2 mx －2 y ＋ m2＋5 m ＝0写成标准方程
为（ x ＋ m ）2＋（ y －1）2＝1－5 m ，
故圆心坐标为（－ m ，1），半径 r ＝ .
通性通法
　　方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0表示圆的两种判断方法
（1）配方法：对形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的二元二次方程可以通
过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；
（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断 D2＋ E2－4 F 是
否为正，确定它是否表示圆.
提醒　在利用 D2＋ E2－4 F ＞0来判断二元二次方程是否表示圆
时，务必注意 x2及 y2的系数.
1. （多选）若 x2＋ y2－ x ＋ y －2 m ＝0是一个圆的方程，则实数 m 可取
的值有（　　）
B. 0
C. 1 D. 2
解析：　由题意得 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋12－4×（－2 m ）
＞0，解得 m ＞－ .故选B、C、D.
【跟踪训练】
2. 若方程 x2＋ y2＋2 ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围
是 .
解析：法一　方程 x2＋ y2＋2 ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0可化为（ x ＋
a ）2＋（ y ＋ a ）2＝1－ a ，若它表示圆，则需满足1－ a ＞0，故 a
＜1.
（－∞，1）　
法二　要使方程 x2＋ y2＋2 ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则需满
足（2 a ）2＋（2 a ）2－4（2 a2＋ a －1）＞0，解得 a ＜1.
题型二 求圆的一般方程
【例2】　已知△ ABC 的三个顶点为 A （1，4）， B （－2，3）， C
（4，－5），求△ ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
解：法一　设△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
∵ A ， B ， C 三点在圆上，
∴
解得
∴△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －23＝0，
即（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
法二　∵ kAB ＝ ＝ ，
kAC ＝ ＝－3，
∴ kAB · kAC ＝－1，∴ AB ⊥ AC .
∴△ ABC 是以角 A 为直角的直角三角形，
∴外心是线段 BC 的中点，
坐标为（1，－1）， r ＝ ｜ BC ｜＝5.
∴外接圆方程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝25.
通性通法
待定系数法求圆的方程的解题策略
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标
或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数
法求出 a ， b ， r ；
（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般
方程，再用待定系数法求出常数 D ， E ， F .
【跟踪训练】
　求经过点 A （－2，－4）且与直线 x ＋3 y －26＝0相切于点 B
（8，6）的圆的方程.
解：设所求圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，则圆心坐标为
.
∵圆与 x ＋3 y －26＝0相切于点 B ，∴ · ＝－1，
即 E －3 D －36＝0. ①
∵点 A （－2，－4）， B （8，6）在圆上，∴2 D ＋4 E － F －20
＝0， ②
8 D ＋6 E ＋ F ＋100＝0. ③
联立①②③，解得 D ＝－11， E ＝3， F ＝－30，
故所求圆的方程为 x2＋ y2－11 x ＋3 y －30＝0.
题型三 求动点的轨迹方程
【例3】　已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3，
0），求：
（1）直角顶点 C 的轨迹方程；
解：法一　设顶点 C （ x ， y ），因为 AC ⊥ BC ，且 A ，
B ， C 三点不共线，所以 x ≠3，且 x ≠－1.
又 kAC ＝ ， kBC ＝ ，且 kAC · kBC ＝－1，
所以 · ＝－1，化简得 x2＋ y2－2 x －3＝0.
因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋ y2－2 x －3＝0（ x ≠3，且 x
≠－1）.
法二　同法一得 x ≠3，且 x ≠－1.
由勾股定理得｜ AC ｜2＋｜ BC ｜2＝｜ AB ｜2，
即（ x ＋1）2＋ y2＋（ x －3）2＋ y2＝16，
化简得 x2＋ y2－2 x －3＝0.
因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋ y2－2 x －3＝0（ x ≠3，且 x ≠－
1）.
法三　设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式得 D （1，0），由直角三
角形的性质知，｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜＝2，由圆的定义知，动点 C 的轨
迹是以 D （1，0）为圆心，以2为半径的圆（由于 A ， B ， C 三点不共
线，所以应除去与 x 轴的交点）.
设 C （ x ， y ），则直角顶点 C 的轨迹方程为（ x －1）2＋ y2＝4（ x
≠3，且 x ≠－1）.
（2）直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程.
解：设点 M （ x ， y ），点 C （ x0， y0），
因为 B （3，0）， M 是边 BC 的中点，
由中点坐标公式得 x ＝ （ x ≠3，且 x ≠1）， y ＝ ，于是有 x0＝2
x －3， y0＝2 y .
由（1）知，点 C 在圆（ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）上运动，
将 x0， y0代入该方程得（2 x －4）2＋（2 y ）2＝4，
即（ x －2）2＋ y2＝1.因此动点 M 的轨迹方程为（ x －2）2＋ y2＝1（ x
≠3，且 x ≠1）.
通性通法
代入法求轨迹方程的一般步骤
　已知 A （2，1）， B （－4，9），动点 P 满足∠ APB ＝90°，求动
点 P 的轨迹.
【跟踪训练】
解：由题意，点 A （2，1）， B （－4，9），动点 P 满足∠ APB
＝90°，
所以点 P 落在以 AB 为直径的圆上，其中圆心坐标为（－1，5），
半径为 r ＝ ｜ AB ｜＝5，
所以点 P 的轨迹方程为（ x ＋1）2＋（ y －5）2＝25，其中 x ≠2且 x
≠－4.
所以点 P 的轨迹为以（－1，5）为圆心，半径为5的圆，且除去点
A （2，1）和 B （－4，9）.
1. 圆 x2＋ y2＋4 x －6 y －3＝0的圆心和半径分别为（　　）
A. （4，－6），16 B. （2，－3），4
C. （－2，3），4 D. （2，－3），16
2. 将圆 x2＋ y2－2 x －4 y ＋4＝0平分的直线是（　　）
A. x ＋ y －1＝0 B. x ＋ y ＋3＝0
C. x － y ＋1＝0 D. x － y ＋3＝0
解析：　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐
标为（1，2）.A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过
圆心，故选C.
3. 若Rt△ ACB 的斜边的两端点 A ， B 的坐标分别为（－3，0）和（7，
0），则直角顶点 C 的轨迹方程为（　　）
A. x2＋ y2＝25（ y ≠0）
B. x2＋ y2＝25
C. （ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0）
D. （ x －2）2＋ y2＝25
解析：　线段 AB 的中点坐标为（2，0），因为△ ACB 为直角三角
形， C 为直角顶点，所以点 C 到点（2，0）的距离为 ｜ AB ｜＝
5，所以点 C （ x ， y ）满足 ＝5（ y ≠0），即（ x
－2）2＋ y2＝25（ y ≠0）.
4. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2 k ＋3＝0表示圆，则 k 的取值范围是
.
解析：方程可化为（ x －1）2＋ y2＝－2 k －2，只有－2 k －2＞0，即
k ＜－1时才能表示圆.
（－
∞，－1）　
5. 若曲线 C ： x2＋ y2－2 ax －4 ay ＋4 a2－3＝0上所有的点都在 x 轴上
方，则 a 的取值范围是 .
解析：曲线 C ： x2＋ y2－2 ax －4 ay ＋4 a2－3＝0可化为（ x － a ）2＋
（ y －2 a ）2＝ a2＋3，∵ a2＋3＞0，∴该曲线为圆，且圆心 C （ a ，
2 a ），半径 r ＝ ，由题得即
∴ a ＞1.
（1，＋∞）　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知圆 C ： x2＋ y2－2 x －2 y ＝0，则点 P （3，1）在（　　）
A. 圆内 B. 圆上
C. 圆外 D. 无法确定
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2. 圆的方程为（ x －1）（ x ＋2）＋（ y －2）（ y ＋4）＝0，则圆心坐
标为（　　）
A. （1，－1）
C. （－1，2）
解析：　将圆的方程化为标准方程，得 ＋（ y ＋1）2＝
，所以圆心为 .
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3. 方程 x2＋ y2＋4 x －2 y ＋5 m ＝0表示圆的条件是（　　）
A. m ＜1 B. m ＞1
解析：　方程 x2＋ y2＋4 x －2 y ＋5 m ＝0，表示圆的条件是42＋
（－2）2－4×5 m ＞0，解得 m ＜1.
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4. 当点 P 在圆 x2＋ y2＝1上运动时，它与定点 Q （3，0）的线段 PQ 的
中点的轨迹方程是（　　）
A. （ x ＋3）2＋ y2＝4 B. （2 x －3）2＋4 y2＝1
C. （ x －3）2＋ y2＝1 D. （2 x ＋3）2＋4 y2＝1
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解析：　设 P （ x0， y0），线段 PQ 的中点为 M （ x ， y ），如图所
示.则即因为点 P （ x0， y0）在圆 x2＋ y2
＝1上运动，即 ＋ ＝1，所以（2 x －3）2＋（2 y ）2＝1，即（2
x －3）2＋4 y2＝1.
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5. （多选）已知圆 x2＋ y2－4 x －1＝0，则下列说法正确的有（　　）
A. 关于点（2，0）对称
B. 关于直线 y ＝0对称
C. 关于直线 x ＋3 y －2＝0对称
D. 关于直线 x － y ＋2＝0对称
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解析：　 x2＋ y2－4 x －1＝0 （ x －2）2＋ y2＝5，所以圆心的
坐标为（2，0），半径为 .A项，圆是关于圆心对称的中心对称
图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直
径所在直线对称的轴对称图形，直线 y ＝0过圆心，所以本选项正
确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 x ＋3 y
－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对
称的轴对称图形，直线 x － y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.
故选A、B、C.
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6. （多选）已知圆心为 C 的圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋11＝0与点 A （0，－
5），则（　　）
A. 圆 C 的半径为2
B. 点 A 在圆 C 外
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解析：　依题意，圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2，则圆心 C
（2，－3），半径 r ＝ ，A不正确；因点 A （0，－5），则｜
AC ｜＝2 ＞ r ，点 A 在圆 C 外，B正确；因点 A 在圆 C 外，在圆 C
上任取点 P ，则｜ PA ｜≤｜ PC ｜＋｜ CA ｜＝ r ＋｜ CA ｜＝3 ，
当且仅当点 P ， C ， A 共线，且 P 在线段 AC 延长线上时取“＝”，C
正确；在圆 C 上任取点 M ，则｜ MA ｜≥｜ CA ｜－｜ MC ｜＝｜
CA ｜－ r ＝ ，当且仅当点 C ， M ， A 共线，且 M 在线段 CA 上时
取“＝”，D正确.故选B、C、D.
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7. 已知圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋2 y －3＝0， AB 为圆 C 的一条直径，点 A
（0，1），则点 B 的坐标为 .
解析：由 x2＋ y2－2 x ＋2 y －3＝0得，（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5，
所以圆心 C （1，－1）.设 B （ x0， y0），又 A （0，1），由中点坐
标公式得解得所以点 B 的坐标为（2，
－3）.
（2，－3）　
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8. 若坐标原点 O 在方程 x2＋ y2－ x ＋ y ＋ m ＝0所表示的圆的外部，则
实数 m 的取值范围为 .
解析：∵点 O （0，0）在圆的外部，∴0＋0－0＋0＋ m ＞0，即 m
＞0，又 D2＋ E2－4 F ＞0，∴（－1）2＋12－4 m ＞0，即 m ＜ ，故
实数 m 的取值范围为（0， ）.
（0， ）　
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9. 已知 a ∈R，方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝0表示圆，则
圆心坐标是 ，半径是 .
解析：由题可得 a2＝ a ＋2，解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a ＝－1时，方程
为 x2＋ y2＋4 x ＋8 y －5＝0，即（ x ＋2）2＋（ y ＋4）2＝25，圆心为
（－2，－4），半径为5；当 a ＝2时，方程为4 x2＋4 y2＋4 x ＋8 y ＋
10＝0，即（ x ＋ ）2＋（ y ＋1）2＝－ ，不表示圆.故圆心坐标是
（－2，－4），半径是5.
（－2，－4）　
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10. 已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （4，1）， B （－6，3），
C （3，0），求这个三角形外接圆的一般方程.
解：设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
∵ A ， B ， C 三点都在圆上，
∴ A ， B ， C 三点的坐标都满足所设方程，
把 A （4，1）， B （－6，3）， C （3，0）的坐标依次代入所
设方程，
得解得
∴所求圆的方程为 x2＋ y2＋ x －9 y －12＝0.
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11. 已知圆 C ： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋ m ＝0与 y 轴交于 A ， B 两点，圆心
为 C . 若∠ ACB ＝ ，则实数 m 的值为（　　）
A. －3
C. 3 D. 8
解析：　∵ x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋ m ＝0可化为（ x －2）2＋（ y ＋
1）2＝5－ m ，∴圆心 C 的坐标为（2，－1），圆 C 的半径 r ＝
.由∠ ACB ＝ 可得△ ACB 为等腰直角三角形，∴2＝ r ，
解得 r ＝2 ，∴ ＝2 ，解得 m ＝－3.
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12. 已知点 P （7，3）， Q 为圆 M ： x2＋ y2－2 x －10 y ＋25＝0上一
点，点 S 在 x 轴上，则｜ SP ｜＋｜ SQ ｜的最小值为（　　）
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
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解析：　将圆 M 的方程化为标准方程为（ x －
1）2＋（ y －5）2＝1，如图所示，作点 P （7，3）
关于 x 轴的对称点P'（7，－3），连接MP'与圆相
交于点 Q ，与 x 轴相交于点 S ，此时，｜ SP ｜
＋｜ SQ ｜的值最小，且｜ SP ｜＋｜ SQ ｜＝｜
SP'｜＋｜ SQ ｜＝｜P'Q｜＝｜P'M｜－ r .由圆 M
的标准方程得 M 点的坐标为（1，5），半径 r ＝
1，所以｜P'M｜＝ ＝10，所以｜P'M｜
－ r ＝9，所以｜ SP ｜＋｜ SQ ｜的最小值为9.
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13. （多选）已知曲线 C ： Ax2＋ By2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，则下列说法
正确的是（　　）
A. 若 A ＝ B ＝1，则 C 是圆
B. 若 A ＝ B ≠0， D2＋ E2－4 AF ＞0，则 C 是圆
C. 若 A ＝ B ＝0， D2＋ E2＞0，则 C 是直线
D. 若 A ≠0， B ＝0，则 C 是直线
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解析： 　对于A，当 A ＝ B ＝1时， C ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝
0，若 D2＋ E2－4 F ＞0，则 C 是圆；若 D2＋ E2－4 F ＝0，则 C 是点
；若 D2＋ E2－4 F ＜0，则 C 不存在，故A错误.对于B，
当时 A ＝ B ≠0时， C ： Ax2＋ Ay2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0可化为 x2＋ y2＋
x ＋ y ＋ ＝0，而 ＋
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－4· ＝ ＞0，所以曲线 C 是圆，故B正确.对于C，
当 A ＝ B ＝0时， C ： Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，且 D2＋ E2＞0，则 C 是直
线，故C正确.对于D，当 A ≠0， B ＝0时， C ： Ax2＋ Dx ＋ Ey ＋ F
＝0，显然不是直线，故D错误.故选B、C.
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14. 已知圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋ a ＝0关于直线 y ＝2 x ＋ b 成轴对称图
形，则 a － b 的取值范围是 .
解析：由题意知，直线 y ＝2 x ＋ b 过圆心，而圆心坐标为（－1，
2），代入直线方程，得 b ＝4，圆的方程化为标准方程为（ x ＋
1）2＋（ y －2）2＝5－ a ，所以 a ＜5，由此，得 a － b ＜1.
（－∞，1）　
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15. 点 A （2，0）是圆 x2＋ y2＝4上的定点，点 B （1，1）是圆内一
点， P ， Q 为圆上的动点.
（1）求线段 AP 的中点的轨迹方程；
解： 设线段 AP 的中点为 M （ x ， y ），
由中点坐标公式得点 P 坐标为 P （2 x －2，2 y ）.
∵点 P 在圆 x2＋ y2＝4上，∴（2 x －2）2＋（2 y ）2＝4，
故线段 AP 的中点的轨迹方程为（ x －1）2＋ y2＝1.
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（2）若∠ PBQ ＝90°，求线段 PQ 的中点的轨迹方程.
解： 设线段 PQ 的中点为 N （ x ， y ），
在Rt△ PBQ 中，｜ PN ｜＝｜ BN ｜.
设 O 为坐标原点，连接 ON （图略），则 ON ⊥ PQ ，
∴｜ OP ｜2＝｜ ON ｜2＋｜ PN ｜2＝｜ ON ｜2＋｜ BN ｜2，
∴ x2＋ y2＋（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，
故线段 PQ 的中点的轨迹方程为 x2＋ y2－ x － y －1＝0.
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16. 已知圆 C ： x2＋ y2－4 x －14 y ＋45＝0及点 Q （－2，3）.
（1）若点 P （ a ， a ＋1）在圆上，求线段 PQ 的长及直线 PQ
的斜率；
解： ∵点 P （ a ， a ＋1）在圆上，
∴ a2＋（ a ＋1）2－4 a －14（ a ＋1）＋45＝0，
∴ a ＝4， P （4，5），
∴｜ PQ ｜＝ ＝2 ，
kPQ ＝ ＝ .
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（2）若 M 为圆 C 上的任一点，求｜ MQ ｜的最大值和最小值.
解：易得圆心 C 的坐标为（2，7），圆的半径为2 ，
∴｜ QC ｜＝ ＝4 ，
∵点 Q 在圆外，∴｜ MQ ｜max＝4 ＋2 ＝6 ，
｜ MQ ｜min＝4 －2 ＝2 .
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