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2.3　直线与圆的位置关系
1.直线3x＋4y＋12＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝9的位置关系是（　　）
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
2.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（　　）
A.（x－）2＋y2＝1
B.（x－3）2＋y2＝3
C.（x－）2＋y2＝3
D.（x－3）2＋y2＝9
3.若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为（　　）
A.0或4 B.0或3
C.－2或6 D.－1或
4.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为（　　）
A.x－y＋5＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y－5＝0 D.x＋y－3＝0
5.（多选）直线l： x－1＝m（y－1）和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系可能是（　　）
A.相离 B.相切或相离
C.相交 D.相切
6.（多选）与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　）
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
7.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则｜AB｜＝　　　　.
8.过点P（－1，6）且与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4相切的直线方程是　　　　　　　.
9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为　　　　.
10.设圆上的点A（2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程.
11.已知直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－2＝0与圆E：x2－ax＋y2－2y＋b＝0分别交于点A，B与C，D，若四边形ABCD是正方形，则a＋b＝（　　）
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
12.已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），则“a＝”是“OA⊥OB”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.（多选）已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x－6）2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则（　　）
A.｜AB｜的最小值为2
B.P到l的距离的最大值为2
C.·的最小值为12－2
D.｜PR｜的最大值为4＋3
14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　.
15.在①圆经过C（3，4）；②圆心在直线x＋y－2＝0上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆M经过点A（－1，2），B（6，3）且　　　　.
（1）求圆M的方程；
（2）已知直线l经过点（－2，2），直线l与圆M相交所得的弦长为8，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C： x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
2.3　直线与圆的位置关系
1.D　圆心（1，－1）到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，因为0＜d＜r，所以相交但不过圆心.
2.B　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B.
3.A　由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝ ＝.又d＝，所以｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.
4.A　由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1 kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
5.CD　l过定点A（1，1），又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选C、D.
6.ABD　圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
（1）直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
（2）直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去）.
7.2　解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C（0，0），则｜AB｜＝2.
8.3x－4y＋27＝0或x＝－1　
解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k（x＋1），则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意.
9.－或－　解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线所在直线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，即24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或k＝－.
10.解：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），
则圆心为（a，b），半径长为r.
∵点A（2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点A'仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x＋2y＝0上.
∴a＋2b＝0， ①
且（2－a）2＋（3－b）2＝r2. ②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝，
∴r2－d2＝r2－（a－b＋1）2＝（）2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为（x－6）2＋（y＋3）2＝52或（x－14）2＋（y＋7）2＝244.
11.A　将x2－ax＋y2－2y＋b＝0化为标准方程为＋（y－1）2＝＋1－b知圆心E，半径r＝.由题意知圆心E到l1，l2距离相等，即＝，所以a＝2.又l1，l2两直线间的距离d＝＝2，且四边形ABCD是正方形，所以2r＝d＝4，即r＝2，所以r2＝＋1－b＝2－b＝4，解得b＝－2，所以a＋b＝0.故选A.
12.A　设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），联立消去x，得5y2－4ay＋a2－2＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.由Δ＝16a2－20（a2－2）＞0，解得a2＜10.∵OA⊥OB x1x2＋y1y2＝0，∴（2y1－a）（2y2－a）＋y1y2＝0，即5y1y2－2a（y1＋y2）＋a2＝0，∴5×－2a×＋a2＝0，解得a＝±.故“a＝”是“OA⊥OB”的充分不必要条件.故选A.
13.ABD　如图所示，当直线l与x轴垂直时，｜AB｜有最小值，且最小值为2，所以A正确.当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为｜PQ｜＝2，所以B正确.设R（6＋3cos θ，3sin θ），则·＝6cos θ－12sin θ＋24，所以·＝6cos（θ＋φ）＋24，其中tan φ＝－，所以·的最小值为24－6，所以C错误.当P，C，R三点共线时，｜PR｜最大，且最大值为｜PC｜＋r＝4＋3，所以D正确.
14.10　解析：圆的方程化为标准形式为（x－1）2＋（y－3）2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦｜AC｜＝2，最短弦BD恰以E（0，1）为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为（1，3）.故｜EF｜＝，∴｜BD｜＝2＝2，∴S四边形ABCD＝｜AC｜·｜BD｜＝10.
15.解：（1）选条件①，
设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，
即圆M的标准方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25.
选条件②，
设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆M经过点A（－1，2），B（6，3），且圆心在直线x＋y－2＝0上，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆M的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25.
选条件③，
设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由圆M经过点A（－1，2），B（6，3），
故
又因为圆截y轴所得弦长为8，
故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8.
所以｜y1－y2｜＝＝＝8，即E2－4F＝64，
解方程组
得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝，
由于圆心M的坐标为整数，
故圆M的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25.
（2）设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8 ＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，解得k＝0或k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0.
16.解：（1）如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上.
可设P点坐标为（x，－2－x）.
因为圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××｜AP｜×｜AC｜＝｜AP｜.
因为｜AP｜2＝｜PC｜2－｜CA｜2＝｜PC｜2－1，
所以当｜PC｜2最小时，｜AP｜最小.
因为｜PC｜2＝（1－x）2＋＝＋9.
所以当x＝－时，｜PC＝9.
所以｜AP｜min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
（2）由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，若∠APB＝60°，则需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P不存在.
2 / 22.3　直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 直观想象、数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想 直观想象、数学运算
　　“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.
【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？
（2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线与圆的位置关系
已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）和圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 　　个 　　个 　　个
判断方法 几何法：设圆心C（a，b）到直线l的距离为d＝　　　（A，B不全为0）
代数法： 由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
【想一想】
1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（　　）
（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（　　）
（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（　　）
（4）过圆外一点的直线与圆相离.（　　）
2.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为（　　）
A.0或2　 B.2　　C.　 D.无解
3.直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于　　　　.
题型一 判断直线与圆的位置关系
【例1】　直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0（a∈R）与圆（x＋1）2＋y2＝25的位置关系是（　　）
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
尝试解答
通性通法
判断直线与圆的位置关系的方法
（1）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；
（2）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
特别地当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切.
【跟踪训练】
1.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　）
A.相交 B.相离
C.相交或相切 D.相切
2.已知点（a，b）在圆C：x2＋y2＝r2（r≠0）的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是（　　）
A.相切　 B.相离　　C.相交　 D.不确定
题型二 切线问题
【例2】　（1）若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.6
（2）过点A（－1，4）作圆（x－2）2＋（y－3）2＝1的切线l，则切线l的方程为　　　　　 　　.
尝试解答
通性通法
1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.
3.求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长（最值）问题转化为圆心到直线的距离问题.
【跟踪训练】
1.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P（3，3）的切线方程为（　　）
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
2.由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为（　　）
A.1 B.2
C. D.3
题型三 弦长问题
【例3】　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.
尝试解答
【母题探究】
　（变条件，变设问）若本例改为“过点（2，0）的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为”，求该直线方程.
通性通法
求弦长常用的3种方法
（1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题；
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点为（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝.
【跟踪训练】
1.过点（3，1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为　　　　.
2.已知圆C的圆心与点P（－2，1）关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且｜AB｜＝6，求圆C的方程.
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　）
A.相切　　　 　 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2.直线x－3y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝10相交所得弦长为（　　）
A. B.
C.4 D.3
3.（多选）若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值可以是（　　）
A.－2 B.－12
C.2 D.12
4.过点P（2，3）且与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相切的直线方程为　　　　　　.
5.如果一条直线经过点M（－3，－）且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，则这条直线方程为　　　　.
2.3　直线与圆的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
　2　1　0　　d＜r　d＝r　d＞r　Δ＞0　Δ＝0　Δ＜0
想一想
1.提示：一定.
2.提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　 （3）√　（4）×
2.B　由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0（舍去）或m＝2.
3.4　解析：圆的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25.故圆心为（3，4），半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　C　法一（代数法）　联立直线与圆的方程，消去y并整理得（a2－2a＋2）x2＋2a（2a－1）x＋（2a＋1）2－24＝0，则Δ＝[2a（2a－1）]2－4（a2－2a＋2）[（2a＋1）2－24]＝8（12a2－27a＋23）.由于（－27）2－4×12×23＜0，则12a2－27a＋23＞0，即Δ＞0，故直线与圆相交.
法二（几何法）　圆（x＋1）2＋y2＝25的圆心的坐标为（－1，0），半径r＝5.圆心到直线的距离d＝＝.
而d2－r2＝（）2－52＝－2×，由a2－2a＋2＞0与12a2－27a＋23＞0知d2－r2＜0，即d＜r，故直线与圆相交.
法三　将直线方程化为（x＋2）a－（x＋y－1）＝0，由得即直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0过定点（－2，3）.又（－2＋1）2＋32＝10＜25，所以定点（－2，3）在圆（x＋1）2＋y2＝25的内部，故直线与圆相交.
跟踪训练
1.C　直线x－ky＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）在圆上，故直线与圆相切或相交.
2.C　由题意知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交.
【例2】　（1）C　（2）y＝4或3x＋4y－13＝0
解析：（1）由题意易知圆心C（－1，2），半径长r＝，点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.
（2）∵（－1－2）2＋（4－3）2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k（x＋1），即kx－y＋4＋k＝0.圆心（2，3）到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
跟踪训练
1.B　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C（1，2），kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2（x－3），即2x＋y－9＝0.
2.C　圆心C（3，0）到y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝.
【例3】　解：法一　圆C：x2＋y2－2y－4＝0，可化为x2＋（y－1）2＝5，
其圆心坐标为（0，1），半径r＝.
点（0，1）到直线l的距离为d＝＝，
所以截得的弦长为2＝.
法二　设直线l与圆C交于A，B两点.
由得交点A（1，3），B（2，0），
所以弦AB的长为｜AB｜＝＝.
母题探究
　解：由例题知，圆心C（0，1），半径r＝，又弦长为，所以圆心到直线的距离d＝＝＝.
又直线过点（2，0），知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x－2），
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3（x－2）或y＝（x－2），
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
跟踪训练
1.2　解析：设点A（3，1），易知圆心C（2，2），半径r＝2.易知点A在圆内，当弦过点A（3，1）且与CA垂直时为最短弦，｜CA｜＝＝，∴半弦长为＝＝，∴最短弦的长为2.
2.解：设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C（m，n），
则由
故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3，
所以圆C的半径的平方r2＝d2＋＝18.
故圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝18.
随堂检测
1.B　∵圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又（0，0）不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
2.A　圆（x－1）2＋（y－3）2＝10的圆心坐标为（1，3），半径r＝，圆心到直线x－3y＋3＝0的距离d＝＝＝，故弦长为2＝，故选A.
3.CD　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1，由圆心（1，1）到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或12.
4.x＝2或y＝3　解析：∵P（2，3）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1外，∴过点P（2，3）与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k（x－2），即kx－y＋3－2k＝0，∴＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
5.x＝－3或3x＋4y＋15＝0
解析：圆x2＋y2＝25的半径r＝5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝＝＝3.而圆心O（0，0）到直线x＝－3的距离恰为3，∴直线x＝－3是符合题意的一条直线.设直线y＋＝k（x＋3）也符合题意，即圆心到直线kx－y＋（3k－）＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.∴直线方程为3x＋4y＋15＝0.综上所述，满足题意的直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
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2.3　直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置
关系 直观想象、
数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代
数方法处理几何问题的思想 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日
落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条
直线，观察下面三幅太阳落山的图片.
（2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？
知识点　直线与圆的位置关系
已知直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不全为0）和圆 C ：（ x － a ）2
＋（ y － b ）2＝ r2.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判
断
方
法 几何法：设圆心 C （ a ， b ）到
直线 l 的距离为 d
＝ （ A ， B
不全为0）
2　
1　
0　
　
d ＜ r 　
d ＝ r 　
d ＞ r 　
位置关系 相交 相切 相离
判
断
方
法
Δ＞0　
Δ＝0　
Δ＜0　
【想一想】
1. 若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示：一定.
2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. （　×　）
（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.
（　√　）
（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元
后得到的一元二次方程无解. （　√　）
（4）过圆外一点的直线与圆相离. （　×　）
×
√
√
×
2. 直线 x ＋ y ＋ m ＝0与圆 x2＋ y2＝ m 相切，则 m 的值为（　　）
A. 0或2 B. 2
D. 无解
解析：　由于直线与圆相切，故 ＝ ，解得 m ＝0（舍
去）或 m ＝2.
3. 直线 y ＝2 x ＋3被圆 x2＋ y2－6 x －8 y ＝0所截得的弦长等于 .
解析：圆的方程可化为（ x －3）2＋（ y －4）2＝25.故圆心为（3，
4），半径 r ＝5.又直线方程为2 x － y ＋3＝0，所以圆心到直线的距
离为 d ＝ ＝ ，所以弦长为2 ＝2×
＝2 ＝4 .
4 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 判断直线与圆的位置关系
【例1】　直线（ a －1） x － y ＋2 a ＋1＝0（ a ∈R）与圆（ x ＋1）2＋
y2＝25的位置关系是（　　）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
解析：　法一（代数法）　联立直线与圆的方程，消去 y 并整理
得（ a2－2 a ＋2） x2＋2 a （2 a －1） x ＋（2 a ＋1）2－24＝0，则
Δ＝[2 a （2 a －1）]2－4（ a2－2 a ＋2）[（2 a ＋1）2－24]＝8
（12 a2－27 a ＋23）.由于（－27）2－4×12×23＜0，则12 a2－
27 a ＋23＞0，即Δ＞0，故直线与圆相交.
法二（几何法）　圆（ x ＋1）2＋ y2＝25的圆心的坐标为（－1，
0），半径 r ＝5.圆心到直线的距离 d ＝ ＝
.而 d2－ r2＝（ ）2－52＝－2× ，由
a2－2 a ＋2＞0与12 a2－27 a ＋23＞0知 d2－ r2＜0，即 d ＜ r ，故
直线与圆相交.
法三　将直线方程化为（ x ＋2） a －（ x ＋ y －1）＝0，由
得即直线（ a －1） x － y ＋2 a ＋1＝0过定
点（－2，3）.又（－2＋1）2＋32＝10＜25，所以定点（－2，3）在
圆（ x ＋1）2＋ y2＝25的内部，故直线与圆相交.
通性通法
判断直线与圆的位置关系的方法
（1）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；
（2）几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断.
特别地当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过
圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切.
1. 直线 x － ky ＋1＝0与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相离
C. 相交或相切 D. 相切
解析：　直线 x － ky ＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）
在圆上，故直线与圆相切或相交.
【跟踪训练】
2. 已知点（ a ， b ）在圆 C ： x2＋ y2＝ r2（ r ≠0）的外部，则直线 ax ＋
by ＝ r2与圆 C 的位置关系是（　　）
A. 相切 B. 相离
C. 相交 D. 不确定
解析：　由题意知 a2＋ b2＞ r2，且圆心到直线 ax ＋ by ＝ r2的距离
为 d ＝ ，则 d ＜ r ，故直线 ax ＋ by ＝ r2与圆 C 的位置关系是
相交.
题型二 切线问题
【例2】　（1）若圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0关于直线2 ax ＋ by ＋
6＝0对称，则由点（ a ， b ）向圆所作的切线长的最小值是（　C　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
C
解析：由题意易知圆心 C （－1，2），半径长 r ＝ ，点（ a ， b ）在直线 y ＝ x －3上，所以点（ a ， b ）与圆心的距离的最小值即圆心到直线 y ＝ x －3的距离 d ，易求 d ＝ ＝3
，所以切线长的最小值为 ＝ ＝4.
（2）过点 A （－1，4）作圆（ x －2）2＋（ y －3）2＝1的切线 l ，则
切线 l 的方程为 .
解析：∵（－1－2）2＋（4－3）2＝10＞1，∴点 A 在圆外.
当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程是 x ＝－1，不满足题意.当直
线 l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k ，则切线 l 的方程为 y －4
＝ k （ x ＋1），即 kx － y ＋4＋ k ＝0.圆心（2，3）到切线 l 的距
离为 ＝1，解得 k ＝0或 k ＝－ ，因此，所求直线 l
的方程为 y ＝4或3 x ＋4 y －13＝0.
y ＝4或3 x ＋4 y －13＝0　
通性通法
1. 过圆上一点（ x0， y0）的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率 k ，再由垂直关系得切线的斜率为－
，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直
接得切线方程 y ＝ y0或 x ＝ x0.
2. 过圆外一点（ x0， y0）的切线方程的求法
设切线方程为 y － y0＝ k （ x － x0），由圆心到直线的距离等于
半径建立方程，可求得 k ，即可得切线方程.当用此法只求出一
个方程时，另一个方程应为 x ＝ x0，因为在上面解法中不包括斜
率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方
程组的方法求解.
3. 求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量
统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长（最值）问题转化为圆心到直线的距离
问题.
1. 过圆 x2＋ y2－2 x －4 y ＝0上一点 P （3，3）的切线方程为（　　）
A. 2 x － y ＋9＝0 B. 2 x ＋ y －9＝0
C. 2 x ＋ y ＋9＝0 D. 2 x － y －9＝0
解析：　 x2＋ y2－2 x －4 y ＝0的圆心为 C （1，2）， kPC ＝ ，
∴切线的斜率 k ＝－2，∴切线方程为 y －3＝－2（ x －3），即2 x ＋
y －9＝0.
【跟踪训练】
2. 由直线 y ＝ x ＋1上任一点向圆（ x －3）2＋ y2＝1引切线，则该切线
长的最小值为（　　）
A. 1
D. 3
解析：　圆心 C （3，0）到 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝2 .
所以切线长的最小值为 l ＝ ＝ .
题型三 弦长问题
【例3】　求直线 l ：3 x ＋ y －6＝0被圆 C ： x2＋ y2－2 y －4＝0截得的
弦长.
解：法一　圆 C ： x2＋ y2－2 y －4＝0，可化为 x2＋（ y －1）2＝5，
其圆心坐标为（0，1），半径 r ＝ .
点（0，1）到直线 l 的距离为 d ＝ ＝ ，
所以截得的弦长为2 ＝ .
法二　设直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.
由得交点 A （1，3）， B （2，0），
所以弦 AB 的长为｜ AB ｜＝ ＝ .
【母题探究】
　（变条件，变设问）若本例改为“过点（2，0）的直线被圆 C ： x2＋
y2－2 y －4＝0截得的弦长为 ”，求该直线方程.
解：由例题知，圆心 C （0，1），半径 r ＝ ，又弦长为 ，所以
圆心到直线的距离 d ＝ ＝ ＝ .
又直线过点（2，0），知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为 k ，则直线方程为 y ＝ k （ x －2），
所以 d ＝ ＝ ，
解得 k ＝－3或 k ＝ ，
所以直线方程为 y ＝－3（ x －2）或 y ＝ （ x －2），
即3 x ＋ y －6＝0或 x －3 y －2＝0.
通性通法
求弦长常用的3种方法
（1）利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l 之间的关系
＋ d2＝ r2解题；
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标
后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）利用弦长公式，设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ，与圆的两交点为（ x1，
y1），（ x2， y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与
系数的关系得弦长 l ＝ ｜ x1－ x2｜＝
.
1. 过点（3，1）作圆（ x －2）2＋（ y －2）2＝4的弦，其中最短弦的
长为 .
解析：设点 A （3，1），易知圆心 C （2，2），半径 r ＝2.易知点 A
在圆内，当弦过点 A （3，1）且与 CA 垂直时为最短弦，｜ CA ｜＝
＝ ，∴半弦长为 ＝
＝ ，∴最短弦的长为2 .
2 　
【跟踪训练】
2. 已知圆 C 的圆心与点 P （－2，1）关于直线 y ＝ x ＋1对称，直
线3 x ＋4 y －11＝0与圆 C 相交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝6，
求圆 C 的方程.
解：设点 P 关于直线 y ＝ x ＋1的对称点为 C （ m ， n ），
则由
故圆心 C 到直线3 x ＋4 y －11＝0的距离 d ＝ ＝3，
所以圆 C 的半径的平方 r2＝ d2＋ ＝18.
故圆 C 的方程为 x2＋（ y ＋1）2＝18.
1. 直线 y ＝ x ＋1与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是（　　）
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
解析：　∵圆心（0，0）到直线 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝
＜1，∴直线与圆 x2＋ y2＝1相交，又（0，0）不在 y ＝ x ＋1上，
∴直线不过圆心.
2. 直线 x －3 y ＋3＝0与圆（ x －1）2＋（ y －3）2＝10相交所得弦长为
（　　）
解析：　圆（ x －1）2＋（ y －3）2＝10的圆心坐标为（1，3），
半径 r ＝ ，圆心到直线 x －3 y ＋3＝0的距离 d ＝ ＝
＝ ，故弦长为2 ＝ ，故选A.
3. （多选）若直线3 x ＋4 y ＝ b 与圆 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0相切，则 b
的值可以是（　　）
A. －2 B. －12
C. 2 D. 12
解析：　圆的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0，可化为（ x －1）2
＋（ y －1）2＝1，由圆心（1，1）到直线3 x ＋4 y － b ＝0的距离为
＝1，得 b ＝2或12.
4. 过点 P （2，3）且与圆（ x －1）2＋（ y －2）2＝1相切的直线方程
为 .
解析：∵ P （2，3）在圆（ x －1）2＋（ y －2）2＝1外，∴过点 P
（2，3）与圆（ x －1）2＋（ y －2）2＝1相切的直线有两条.当斜率
存在时，设切线的斜率为 k ，则切线方程为 y －3＝ k （ x －2），即
kx － y ＋3－2 k ＝0，∴ ＝1，∴ k ＝0，∴切线方程为 y
＝3，当斜率不存在时，切线方程为 x ＝2.
x ＝2或 y ＝3　
5. 如果一条直线经过点 M （－3，－ ）且被圆 x2＋ y2＝25所截得的弦
长为8，则这条直线方程为 .
解析：圆 x2＋ y2＝25的半径 r ＝5，直线被圆所截得的弦长 l ＝8，于
是弦心距 d ＝ ＝ ＝3.而圆心 O （0，0）到直
线 x ＝－3的距离恰为3，∴直线 x ＝－3是符合题意的一条直线.设直
线 y ＋ ＝ k （ x ＋3）也符合题意，即圆心到直线 kx － y ＋（3 k －
）＝0的距离等于3，于是 ＝3，解得 k ＝－ .∴直线方程为
3 x ＋4 y ＋15＝0.综上所述，满足题意的直线方程为 x ＝－3或3 x ＋4
y ＋15＝0.
x ＝－3或3 x ＋4 y ＋15＝0　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线3 x ＋4 y ＋12＝0与圆（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝9的位置关系是
（　　）
A. 过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交但不过圆心
解析：　圆心（1，－1）到直线3 x ＋4 y ＋12＝0的距离 d ＝
＝ ，因为0＜ d ＜ r ，所以相交但不过圆心.
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2. 圆心为（3，0）且与直线 x ＋ y ＝0相切的圆的方程为（　　）
B. （ x －3）2＋ y2＝3
D. （ x －3）2＋ y2＝9
解析：　由题意知所求圆的半径 r ＝ ＝ ，故所求圆
的方程为（ x －3）2＋ y2＝3，故选B.
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3. 若直线 x － y ＝2被圆（ x － a ）2＋ y2＝4所截得的弦长为2 ，则实
数 a 的值为（　　）
A. 0或4 B. 0或3
C. －2或6
解析：　由圆的方程，可知圆心坐标为（ a ，0），半径 r ＝2.又直
线被圆截得的弦长为2 ，所以圆心到直线的距离 d ＝
＝ .又 d ＝ ，所以｜ a －2｜＝2，解得 a ＝4
或 a ＝0.故选A.
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4. 直线 l 与圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋ a ＝0（ a ＜3）相交于 A ， B 两点，若
弦 AB 的中点为 C （－2，3），则直线 l 的方程为（　　）
A. x － y ＋5＝0 B. x ＋ y －1＝0
C. x － y －5＝0 D. x ＋ y －3＝0
解析：　由圆的一般方程可得圆心为 M （－1，2）.由圆的性质易
知 M （－1，2）与 C （－2，3）的连线与弦 AB 垂直，故有 kAB ×
kMC ＝－1 kAB ＝1，故直线 AB 的方程为 y －3＝ x ＋2，整理得 x － y
＋5＝0.
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5. （多选）直线 l ： x －1＝ m （ y －1）和圆 x2＋ y2－2 y ＝0的位置关系
可能是（　　）
A. 相离 B. 相切或相离
C. 相交 D. 相切
解析：　 l 过定点 A （1，1），又点 A 在圆上，当 l 斜率存在时，
l 与圆一定相交，又直线 x ＝1过点 A 且为圆的切线，∴ l 与圆相交或
相切，故选C、D.
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6. （多选）与圆 C ： x2＋ y2－4 x ＋2＝0相切，且在 x ， y 轴上的截距相
等的直线方程为（　　）
A. x ＋ y ＝0 B. x － y ＝0
C. x ＝0 D. x ＋ y ＝4
解析：　圆 C 的方程可化为（ x －2）2＋ y2＝2.可分为两种情况
讨论：
（1）直线在 x ， y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线
方程为 y ＝ kx ，则 ＝ ，解得 k ＝±1；
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（2）直线在 x ， y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为 ＋ ＝1
（ a ≠0），即 x ＋ y － a ＝0（ a ≠0），则 ＝ ，解得 a ＝4
（ a ＝0舍去）.
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7. 设 A ， B 为直线 y ＝ x 与圆 x2＋ y2＝1的两个交点，则｜ AB ｜＝ .
解析：直线 y ＝ x 过圆 x2＋ y2＝1的圆心 C （0，0），则｜ AB ｜＝2.
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8. 过点 P （－1，6）且与圆（ x ＋3）2＋（ y －2）2＝4相切的直线方
程是 .
解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为 y －6＝ k
（ x ＋1），则 d ＝ ＝2，解得 k ＝ ，此时，直线方程
为3 x －4 y ＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程
为 x ＝－1，验证可知，符合题意.
3 x －4 y ＋27＝0或 x ＝－1　
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解析：由已知得点（－2，－3）关于 y 轴的对称点为（2，－3），
由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线所在直线一定过点
（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为 k ，则反射光线所在直线
的方程为 y ＋3＝ k （ x －2），即 kx － y －2 k －3＝0.由反射光线与圆
相切，则有 d ＝ ＝1，即24 k2＋50 k ＋24＝0，解得 k ＝
－ 或 k ＝－ .
－ 或－ 　
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10. 设圆上的点 A （2，3）关于直线 x ＋2 y ＝0的对称点仍在圆上，且
圆与直线 x － y ＋1＝0相交的弦长为2 ，求圆的方程.
解：设所求圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0），
则圆心为（ a ， b ），半径长为 r .
∵点 A （2，3）关于直线 x ＋2 y ＝0的对称点A'仍在这个圆上，
∴圆心（ a ， b ）在直线 x ＋2 y ＝0上.
∴ a ＋2 b ＝0， ①
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且（2－ a ）2＋（3－ b ）2＝ r2. ②
又∵直线 x － y ＋1＝0与圆相交的弦长为2 ，圆心到直线 x － y ＋
1＝0的距离 d ＝ ，
∴ r2－ d2＝ r2－ （ a － b ＋1）2＝（ ）2. ③
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解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为（ x －6）2＋（ y ＋3）2＝52或（ x －14）2＋（ y
＋7）2＝244.
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11. 已知直线 l1： x － y ＋2＝0， l2： x － y －2＝0与圆 E ： x2－ ax ＋ y2
－2 y ＋ b ＝0分别交于点 A ， B 与 C ， D ，若四边形 ABCD 是正方
形，则 a ＋ b ＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
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解析：　将 x2－ ax ＋ y2－2 y ＋ b ＝0化为标准方程为 ＋
（ y －1）2＝ ＋1－ b 知圆心 E ，半径 r ＝ .由
题意知圆心 E 到 l1， l2距离相等，即 ＝ ，所以 a ＝2.又 l1，
l2两直线间的距离 d ＝ ＝2 ，且四边形 ABCD 是正方形，所以2
r ＝ d ＝4，即 r ＝2，所以 r2＝ ＋1－ b ＝2－ b ＝4，解得 b ＝
－2，所以 a ＋ b ＝0.故选A.
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12. 已知直线 x －2 y ＋ a ＝0与圆 O ： x2＋ y2＝2相交于 A ， B 两点（ O
为坐标原点），则“ a ＝ ”是“ OA ⊥ OB ”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　设点 A 的坐标为（ x1， y1），点 B 的坐标为（ x2，
y2），联立消去 x ，得5 y2－4 ay ＋ a2－2＝0，
∴ y1＋ y2＝ ， y1 y2＝ .由Δ＝16 a2－20（ a2－2）＞0，解得 a2
＜10.∵ OA ⊥ OB x1 x2＋ y1 y2＝0，∴（2 y1－ a ）（2 y2－ a ）＋ y1
y2＝0，即5 y1 y2－2 a （ y1＋ y2）＋ a2＝0，∴5× －2 a × ＋
a2＝0，解得 a ＝± .故“ a ＝ ”是“ OA ⊥ OB ”的充分不必要条
件.故选A.
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13. （多选）已知点 P （2，4），若过点 Q （4，0）的直线 l 交圆 C ：
（ x －6）2＋ y2＝9于 A ， B 两点， R 是圆 C 上一动点，则（　　）
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解析：　如图所示，当直线 l 与 x 轴垂直
时，｜ AB ｜有最小值，且最小值为2 ，所以A
正确.当直线 l 与 PQ 垂直时， P 到 l 的距离有最大
值，且最大值为｜ PQ ｜＝2 ，所以B正确.设 R
（6＋3 cos θ，3 sin θ），则 · ＝6 cos θ－12sin θ＋24，所以 · ＝6 cos （θ＋φ）＋24，其中tan φ＝－ ，所以 · 的最小值为24－6 ，所以C错误.当 P ， C ， R 三点共线时，｜ PR ｜最大，且最大值为｜ PC ｜＋ r ＝4 ＋3，所以D正确.
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解析：圆的方程化为标准形式为（ x －1）2＋（ y －3）2＝10，易
知点 E 在圆内，由圆的性质可知最长弦｜ AC ｜＝2 ，最短弦
BD 恰以 E （0，1）为中点，且与 AC 垂直，设点 F 为其圆心，坐标
为（1，3）.故｜ EF ｜＝ ，∴｜ BD ｜＝2 ＝2
，∴ S四边形 ABCD ＝ ｜ AC ｜·｜ BD ｜＝10 .
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15. 在①圆经过 C （3，4）；②圆心在直线 x ＋ y －2＝0上；③圆截 y
轴所得弦长为8且圆心 M 的坐标为整数，这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆 M 经过点 A （－1，2）， B （6，3）且 　　.
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（1）求圆 M 的方程；
解：选条件①，
设圆 M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
依题意有
解得 D ＝－6， E ＝2， F ＝－15，
所以圆的方程为 x2＋ y2－6 x ＋2 y －15＝0，
即圆 M 的标准方程为（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝25.
故圆 M 的方程为（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝25.
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选条件②，
设圆 M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
因为圆 M 经过点 A （－1，2）， B （6，3），且圆心在直线 x
＋ y －2＝0上，
依题意有
解得 D ＝－6， E ＝2， F ＝－15，
所以圆 M 的方程为（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝25.
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选条件③，
设圆 M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
由圆 M 经过点 A （－1，2）， B （6，3），
故
又因为圆截 y 轴所得弦长为8，
故方程 y2＋ Ey ＋ F ＝0的两个实数根 y1， y2的差的绝对值为8.
所以｜ y1－ y2｜＝ ＝ ＝8，
即 E2－4 F ＝64，
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解方程组
得 D ＝－6， E ＝2， F ＝－15或 D ＝－ ， E ＝－ ， F ＝
，
由于圆心 M 的坐标为整数，
故圆 M 的方程为（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝25.
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（2）已知直线 l 经过点（－2，2），直线 l 与圆 M 相交所得的弦长
为8，求直线 l 的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：设圆心到直线的距离为 d ，
则弦长 L ＝2 ＝8 ＝4 d ＝3，
当直线的斜率不存在时， d ＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为 y －2＝ k （ x ＋2），即 kx － y ＋2 k ＋2＝0，
d ＝ ＝3，解得 k ＝0或 k ＝－ ，
所以所求直线的方程为 y ＝2或15 x ＋8 y ＋14＝0.
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16. 已知 P 是直线 l ：3 x ＋4 y ＋8＝0上的动点， PA ， PB 是圆 C ： x2＋
y2－2 x －2 y ＋1＝0的两条切线， A ， B 是切点.
（1）求四边形 PACB 面积的最小值；
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解：如图，连接 PC ，由点 P 在直线3 x ＋4 y ＋8＝0上.
可设 P 点坐标为（ x ，－2－ x ）.
因为圆 C 的标准方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝1，
所以 S四边形 PACB ＝2 S△ PAC ＝2× ×｜ AP ｜
×｜ AC ｜＝｜ AP ｜.
因为｜ AP ｜2＝｜ PC ｜2－｜ CA ｜2＝｜ PC ｜2－1，
所以当｜ PC ｜2最小时，｜ AP ｜最小.
因为｜ PC ｜2＝（1－ x ）2＋ ＝ ＋9.
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所以当 x ＝－ 时，｜ PC ＝9.
所以｜ AP ｜min＝ ＝2 .
即四边形 PACB 面积的最小值为2 .
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（2）直线上是否存在点 P ，使∠ BPA ＝60°，若存在，求出 P 点
的坐标；若不存在，说明理由.
解：由（1）知圆心 C 到直线的最小距离为3，若∠
APB ＝60°，则需 PC ＝2，这是不可能的，所以这样的
点 P 不存在.
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