资源简介 2.4 圆与圆的位置关系1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为（ ）A.相交 B.外切C.内切 D.外离2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ ）A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝03.圆x2＋4x＋y2＝0与圆（x－2）2＋（y－3）2＝r2有三条公切线，则半径r＝（ ）A.5 B.4C.3 D.24.两内切圆的半径是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q＝（ ）A.2或4 B.4C.1或5 D.55.（多选）设r＞0，圆（x－1）2＋（y＋3）2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是（ ）A.内切 B.相交C.外离 D.外切6.（多选）点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则（ ）A.｜PQ｜的最小值为0B.｜PQ｜的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为－D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝07.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是 .8.已知M，N是圆A：x2＋y2－2x＝0与圆B：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△BMN的面积为 .9.经过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 .10.已知圆C1：（x－1）2＋y2＝与圆C2的公切线是直线y＝x和y＝－x，且两圆的圆心距是3，求圆C2的方程.11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的距离｜C1C2｜＝（ ）A.4 B.4C.8 D.812.若圆M：x2＋y2＋ax＋by－ab－6＝0（a＞0，b＞0）平分圆N：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则2a＋b的最小值为（ ）A.8 B.9C.16 D.2013.（多选）已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（ ）A.7 B.6C.5 D.814.我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2＝1和（x－4）2＋（y－2）2＝1，若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则a＋b＝ .15.已知P为圆O：x2＋y2＝2上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0的切线，切点分别为A，B，当｜AB｜取最小值时，求直线AB的方程.16.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1.（1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；（2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长.①求动圆圆心P的轨迹方程；②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.2.4 圆与圆的位置关系1.C 由已知，得C1（－2，－4），r1＝5，C2（－2，－2），r2＝3，则d＝｜C1C2｜＝2，所以d＝｜r1－r2｜，所以两圆内切.2.C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代入，即可排除A、B、D.3.C 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，3），半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3.4.C 根据题意，设两个圆的半径分别为R，r，且R＝3，则有｜R－r｜＝1，解得r＝2或4.由R，r是方程x2＋px＋q＝0的两根，得当r＝2时，p＝－5，q＝6，此时p＋q＝1；当r＝4时，p＝－7，q＝12，此时p＋q＝5，故p＋q＝1或p＋q＝5.故选C.5.CD 两圆的圆心距为d＝＝，两圆的半径之和为r＋4，因为＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选C、D.6.BC 根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即（x－3）2＋（y＋4）2＝1，其圆心C2（3，－4），半径r＝1，圆心距｜C1C2｜＝＝5，则｜PQ｜的最小值为｜C1C2｜－R－r＝3，最大值为｜C1C2｜＋R＋r＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，－4），则两个圆心所在的直线斜率k＝＝－，C正确，对于D，两圆圆心距｜C1C2｜＝5，｜C1C2｜＞R＋r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误.故选B、C.7.a2＋b2＞3＋2 解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为（a，0），和（0，b），1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2.8. 解析：由题意，可知圆B的圆心坐标为（－1，2），半径为.联立可得直线MN的方程为x－y＝0，所以B（－1，2）到直线MN的距离为＝，线段MN的长度为2＝，所以△BMN的面积为××＝.9.x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0（λ≠－1），则（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2－4x＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.10.解：由题意，知圆心C2在x轴上或y轴上.①当圆心C2在x轴上时，设圆心C2（a，0）.因为两圆的圆心距是3，所以｜a－1｜＝3，解得a＝4或－2.因为C2（4，0）到直线y＝x的距离是＝2，C2（－2，0）到直线y＝x的距离是＝，所以圆C2的方程是（x－4）2＋y2＝8或（x＋2）2＋y2＝2.②当圆心C2在y轴上时，设圆心C2（0，b）.因为两圆的圆心距是3，所以＝3，解得b＝±2.因为C2（0，±2）到直线y＝x的距离是＝2，所以圆C2的方程是x2＋（y－2）2＝4或x2＋（y＋2）2＝4.综上，圆C2的方程是（x－4）2＋y2＝8或（x＋2）2＋y2＝2或x2＋（y－2）2＝4或x2＋（y＋2）2＝4.11.C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点（4，1），∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上.设两圆的圆心分别为（a，a），（b，b），则有（4－a）2＋（1－a）2＝a2，（4－b）2＋（1－b）2＝b2，则a，b为方程（4－x）2＋（1－x）2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝100－4×17＝32，∴｜C1C2｜＝＝＝8.12.A 两圆方程相减，得（a＋4）x＋（b＋2）y－ab－10＝0，此为相交弦所在的直线方程.又圆N的标准方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1，圆心N（2，1），∴2（a＋4）＋b＋2－ab－10＝0，∴＋＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）·（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立.∴2a＋b的最小值为8.故选A.13.BC 由圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1可得圆心C的坐标为（3，4），半径为1.因为圆心C到O（0，0）的距离为5，所以圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4.因为圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，所以以AB为直径的圆与圆C有交点，所以｜OP｜＝｜AB｜＝m，所以4≤m≤6，所以选项B、C符合题意.故选B、C.14.1 解析：若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，说明该直线经过圆C2的圆心，由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点，圆C1的圆心的坐标为（0，0），圆C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆C2的圆心的坐标为（2，1），可得a＋b＝1.15.解：∵圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝4，∴圆心C（3，3），半径r＝2.又∵P为圆O：x2＋y2＝2上的动点，∴｜OC｜＝3，∴2≤｜PC｜≤4.由图可知，｜AB｜＝，又∵｜AC｜＝2，｜PC｜2＝｜PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝＝4，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小.∵｜PC｜min＝2，∴｜AB｜min＝4＝2，此时P（1，1），｜PA｜＝｜PB｜＝2.点A，点B在以P（1，1）为圆心，2为半径的圆上，其方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4，即x2＋y2－2x－2y－2＝0.联立②－①整理得x＋y－4＝0.∴直线AB的方程为x＋y－4＝0.16.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为，即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝.（2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上.∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝，∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1，即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0.由得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）.2 / 22.4 圆与圆的位置关系新课程标准解读 核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 数学运算、直观想象2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算、直观想象 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？【问题】 （1）圆与圆之间有几种位置关系？（2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 知识点 圆与圆的位置关系1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 、 、 、 .2.判断方法（1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系 外离 外切 相交 内切 内含图示d与r1，r2 的关系（2）代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0），联立方程则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组两圆的公共点个数两圆的位置关系【想一想】1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？2.当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（ ）（2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（ ）（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（ ）（4）过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（ ）2.圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（ ）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 . 题型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？尝试解答通性通法判断两圆的位置关系的两种方法（1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.【跟踪训练】设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－2）2＋（y＋2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（ ）A.相交 B.外离 C.外切 D.内含题型二 两圆相切的有关问题【例2】 （1）以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 ；（2）圆C1：（x－m）2＋（y＋2）2＝9与圆C2：（x＋1）2＋（y－m）2＝4外切，则m的值为 .尝试解答通性通法处理两圆相切问题的两个步骤（1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切；（2）转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.【跟踪训练】1.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程是（ ）A.（x－4）2＋（y－6）2＝6B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6C.（x－4）2＋（y－6）2＝36D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝362.与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程是 .题型三 两圆相交的有关问题【例3】 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝所截得的弦长.尝试解答通性通法1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.2.公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解.【跟踪训练】 若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为 .1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（ ）A.相离 B.相交C.外切 D.内切2.已知圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0和圆C2：x2＋y2＋2y－3＝0，则两圆的公切线有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.若点M在圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆C2：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，则｜MN｜的最大值是 .4.已知以C（4，－3）为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是 .5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝ . 曲线系方程 曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆系方程.1.直线系方程（1）与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）；（2）与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）；（3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不含l2，λ为参数）.2.圆系方程（1）过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）；（2）过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）.应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值.一、平行或垂直的直线系方程的应用【例1】 （1）求过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；（2）已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.尝试解答方法总结1.与定直线平行的直线系方程与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程（包括原直线）为Ax＋By＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0.2.与定直线垂直的直线系方程与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为B（x－x0）－A（y－y0）＝0.二、过交点的直线系方程的应用【例2】 若直线l经过直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.尝试解答方法总结求过交点的直线方程的两种解法（1）通过解方程组求出交点坐标，然后根据两直线的位置关系确定斜率；（2）选用直线系方程，设出过l1与l2交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0或（A2x＋B2y＋C2）＋λ（A1x＋B1y＋C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而确定直线方程.三、圆系方程的应用【例3】 （1）求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程；（2）求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点的直线方程和圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.尝试解答方法总结1.以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ≠0）.2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0（D2＋E2－4λ＞0）.3.过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）.4.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0.5.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1）＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程.2.4 圆与圆的位置关系【基础知识·重落实】知识点1.外离 外切 相交 内切 内含2.（1）d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜（2）2个 1个 0个 相交 内切或外切 外离或内含想一想1.提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.2.提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线.自我诊断1.（1）× （2）× （3）× （4）√2.B 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交.3.x＋3y＝0 解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.【典型例题·精研析】【例1】 解：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：（x＋2）2＋（y－3）2＝1，C2：（x－1）2＋（y－7）2＝50－k，圆C1的圆心为C1（－2，3），半径r1＝1；圆C2的圆心为C2（1，7），半径r2＝（k＜50）.从而｜C1C2｜＝＝5.当1＋＝5，k＝34时，两圆外切.当｜－1｜＝5，＝6，k＝14时，两圆内切.当｜r2－r1｜＜｜C1C2｜＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交.当1＋＜5或｜－1｜＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离.跟踪训练 B 法一 画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离.法二 根据题意，可知圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且圆C1与圆C2的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离.法三 将两圆的方程联立，得到方程组即消去x2，y2，得x－y－2＝0，将其代入圆C1的方程中消去y，得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离.因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离.【例2】 （1）（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169 （2）2或－5解析：（1）设所求圆的半径为r，则＝｜8－r｜，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169.（2）C1（m，－2），r1＝3，C2（－1，m），r2＝2，由题意得｜C1C2｜＝5，即（m＋1）2＋（m＋2）2＝25，解得m＝2或m＝－5.跟踪训练1.D 由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.2.（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36解析：已知圆的方程可化为（x－1）2＋y2＝1，则圆心为C（1，0），半径为1.设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.由题意，可得解得或即所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋＝36.【例3】 解：由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，由条件知r2－d2＝－＝，所以公共弦长为2×＝.跟踪训练 4 解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4.随堂检测1.B 化为标准方程：圆O1：（x－1）2＋y2＝1，圆O2：x2＋（y－2）2＝4，则O1（1，0），r1＝1，O2（0，2），r2＝2，｜O1O2｜＝＝＜r1＋r2，又r2－r1＜，所以两圆相交.2.C 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0的圆心为C1（4，2），半径r1＝3；圆C2：x2＋y2＋2y－3＝0的圆心为C2（0，－1），半径r2＝2.∵圆心距｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，∴两圆外切，∴两圆有3条公切线.3.＋5 解析：将圆的一般方程化为标准方程得，圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝9，圆C2：（x＋1）2＋（y＋2）2＝4，C1（－3，1），r1＝3；C2（－1，－2），r2＝2.∵｜C1C2｜＝，∴｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1＋r2，∴两圆相交.如图，∴｜MN｜的最大值是＋5.4.（x－4）2＋（y＋3）2＝16或（x－4）2＋（y＋3）2＝36 解析：设圆C的半径为r，则圆心距为d＝＝5，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆C的方程为（x－4）2＋（y＋3）2＝16或（x－4）2＋（y＋3）2＝36.5.1 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.拓视野 曲线系方程【例1】 解：（1）设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.（2）设过2x－y＋4＝0与x＋y－7＝0交点的直线系方程为2x－y＋4＋λ（x＋y－7）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－1）y＋（4－7λ）＝0，因为和2x－7y－14＝0垂直，可得（2＋λ）×2＋（λ－1）×（－7）＝0，解得λ＝，所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.【例2】 解：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S0＝×1×≠，所以直线l的方程不可能是x－2y＋1＝0.故可设直线l的方程为2x＋y－8＋λ（x－2y＋1）＝0（λ为常数），即（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋λ－8＝0.由题意得（2＋λ）（1－2λ）（λ－8）≠0，令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S＝｜－｜·｜－｜＝，所以（λ－8）2＝｜（1－2λ）（2＋λ）｜，解得λ＝3或λ＝－22.当λ＝3时，直线l的方程为x－y－1＝0；当λ＝－22时，直线l的方程为4x－9y＋6＝0.【例3】 解：（1）过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0（λ∈R），即[x＋（λ＋1）]2＋（y＋）2＝λ2－4λ＋4，圆的半径为＝＝，故当λ＝时对应圆的半径最小，且最小半径为.∴所求圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝.（2）设过两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0， ①令λ＝－1即可得x－y＋4＝0，此即为公共弦所在直线的方程.把①式整理得（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.∴圆心的坐标为（－，－）.而圆心在直线x－y－4＝0上，∴－＋－4＝0，∴λ＝－7.代入圆系方程得x2＋y2－x＋7y－32＝0.1 / 3(共80张PPT)2.4 圆与圆的位置关系新课程标准解读 核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 数学运算、直观想象2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算、直观想象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？（2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 【问题】 （1）圆与圆之间有几种位置关系？知识点 圆与圆的位置关系1. 种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 、 、 、 .外离 外切 相交 内切 内含 （1）几何法：若两圆的半径分别为 r1， r2，两圆圆心距为 d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系 外离 外切 相交 内切 内含图示d 与 r1， r2 的关系 d ＞ r1 ＋ r2 d ＝ r1 ＋ r2 ｜ r1－ r2｜＜ d ＜ r1＋ r2 d ＝｜ r1－ r2｜ d ＜｜ r1－ r2｜2. 判断方法（2）代数法：设两圆的一般方程为 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0（ ＋ －4 F1＞0）， C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2＝0（ ＋ －4 F2＞0），联立方程则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组两圆的公共点个数 两圆的位置关系 2个 1个 0个 相交 内切或外切 外离或内含 1. 当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.2. 当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线.【想一想】1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. （ × ）（2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（ × ）（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. （ × ）×××（4）过圆 O ： x2＋ y2＝ r2外一点 P （ x0， y0）作圆的两条切线，切点为 A ， B ，则 O ， P ， A ， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x ＋ y0 y ＝ r2. （ √ ）√2. 圆（ x ＋2）2＋ y2＝4与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝9的位置关系为（ ）A. 内切 B. 相交C. 外切 D. 相离解析： 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为 r＝2， R ＝3，两圆的圆心距为 ＝ ，则 R － r ＜ ＜ R ＋ r ，所以两圆相交.3. 已知两圆 x2＋ y2＝10和（ x －1）2＋（ y －3）2＝20相交于 A ， B 两点，则直线 AB 的方程是 .解析：圆的方程（ x －1）2＋（ y －3）2＝20可化为 x2＋ y2－2 x －6 y＝10.又 x2＋ y2＝10，两式相减得2 x ＋6 y ＝0，即 x ＋3 y ＝0.x ＋3 y ＝0 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 当实数 k 为何值时，两圆 C1： x2＋ y2＋4 x －6 y ＋12＝0，C2： x2＋ y2－2 x －14 y ＋ k ＝0相交、相切、相离？解：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝1，C2：（ x －1）2＋（ y －7）2＝50－ k ，圆 C1的圆心为 C1（－2，3），半径 r1＝1；圆 C2的圆心为 C2（1，7），半径 r2＝ （ k ＜50）.从而｜ C1 C2｜＝ ＝5.当1＋ ＝5， k ＝34时，两圆外切.当｜ －1｜＝5， ＝6， k ＝14时，两圆内切.当｜ r2－ r1｜＜｜ C1 C2｜＜ r2＋ r1，即14＜ k ＜34时，两圆相交.当1＋ ＜5或｜ －1｜＞5，即34＜ k ＜50或 k ＜14时，两圆相离.通性通法判断两圆的位置关系的两种方法（1）几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.【跟踪训练】设圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2：（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝1，则圆C1与 C2的位置关系是（ ）A. 相交 B. 外离解析： 法一 画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离.C. 外切 D. 内含法二 根据题意，可知圆 C1的半径 r1＝1，圆 C2的半径 r2＝1，且圆 C1与圆 C2的圆心距 d ＝ ＝2 ＞1＋1，即 d ＞ r1＋ r2，故两圆外离.法三 将两圆的方程联立，得到方程组即消去x2， y2，得 x － y －2＝0，将其代入圆 C1的方程中消去 y ，得2 x2－4 x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离.因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离.题型二 两圆相切的有关问题【例2】 （1）以（3，－4）为圆心，且与圆 x2＋ y2＝64内切的圆的方程为 ；解析：设所求圆的半径为 r ，则 ＝｜8－r ｜，所以 r ＝3或 r ＝13，故所求圆的方程为（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝9或（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝169.（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝9或（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝169 （2）圆 C1：（ x － m ）2＋（ y ＋2）2＝9与圆 C2：（ x ＋1）2＋（ y －m ）2＝4外切，则 m 的值为 .解析：C1（ m ，－2）， r1＝3， C2（－1， m ）， r2＝2，由题意得｜ C1 C2｜＝5，即（ m ＋1）2＋（ m ＋2）2＝25，解得m ＝2或 m ＝－5.2或－5 通性通法处理两圆相切问题的两个步骤（1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切；（2）转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.1. 半径为6的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋（ y －3）2＝1内切，则此圆的方程是（ ）A. （ x －4）2＋（ y －6）2＝6B. （ x ＋4）2＋（ y －6）2＝6或（ x －4）2＋（ y －6）2＝6C. （ x －4）2＋（ y －6）2＝36D. （ x ＋4）2＋（ y －6）2＝36或（ x －4）2＋（ y －6）2＝36解析： 由题意可设圆的方程为（ x － a ）2＋（ y －6）2＝36，由题意，得 ＝5，所以 a2＝16，所以 a ＝±4.故选D.【跟踪训练】2. 与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切且与直线 x ＋ y ＝0相切于点 M （3，－）的圆的方程是 （ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2＝36 .解析：已知圆的方程可化为（ x －1）2＋ y2＝1，则圆心为 C （1，0），半径为1.设所求圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0）.由题意，可得解得或（ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2＝36 即所求圆的方程为（ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋＝36.题型三 两圆相交的有关问题【例3】 求圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2： x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆 C3：（ x －1）2＋（ y －1）2＝ 所截得的弦长.解：由题意将圆 C1与圆 C2的方程相减，可得圆 C1和圆 C2公共弦所在的直线 l 的方程为 x ＋ y －1＝0，对于圆 C3：（ x －1）2＋（ y －1）2＝，该圆的圆心到直线 x ＋ y －1＝0的距离为 d ＝ ＝，由条件知 r2－ d2＝ － ＝ ，所以公共弦长为2× ＝.通性通法1. 两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y＋ F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0.2. 公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解.【跟踪训练】 若☉ O ： x2＋ y2＝5与☉ O1：（ x － m ）2＋ y2＝20（ m ∈R）相交于 A ， B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为 .4 解析：如图所示，在Rt△ OO1 A 中，｜ OA ｜＝ ，｜ O1 A ｜＝2 ，∴｜ OO1｜＝5，∴｜ AC ｜＝ ＝2，∴｜ AB ｜＝4.1. 圆 O1： x2＋ y2－2 x ＝0和圆 O2： x2＋ y2－4 y ＝0的位置关系是（ ）A. 相离 B. 相交C. 外切 D. 内切解析： 化为标准方程：圆 O1：（ x －1）2＋ y2＝1，圆 O2： x2＋（ y －2）2＝4，则 O1（1，0）， r1＝1， O2（0，2）， r2＝2，｜ O1 O2｜＝ ＝ ＜ r1＋r2，又 r2－ r1＜ ，所以两圆相交.2. 已知圆 C1： x2＋ y2－8 x －4 y ＋11＝0和圆 C2： x2＋ y2＋2 y －3＝0，则两圆的公切线有（ ）A. 1条 B. 2条C. 3条 D. 4条解析： 圆 C1： x2＋ y2－8 x －4 y ＋11＝0的圆心为 C1（4，2），半径 r1＝3；圆 C2： x2＋ y2＋2 y －3＝0的圆心为 C2（0，－1），半径 r2＝2.∵圆心距｜ C1 C2｜＝ ＝5＝ r1＋ r2，∴两圆外切，∴两圆有3条公切线.3. 若点 M 在圆 C1： x2＋ y2＋6 x －2 y ＋1＝0上，点 N 在圆 C2： x2＋ y2＋2 x ＋4 y ＋1＝0上，则｜ MN ｜的最大值是 .解析：将圆的一般方程化为标准方程得，圆 C1：（ x＋3）2＋（ y －1）2＝9，圆 C2：（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝4， C1（－3，1）， r1＝3； C2（－1，－2）， r2＝2.∵｜ C1 C2｜＝ ，∴｜ r1－ r2｜＜｜C1 C2｜＜ r1＋ r2，∴两圆相交.如图，∴｜ MN ｜的最大值是 ＋5.＋5 4. 已知以 C （4，－3）为圆心的圆与圆 O ： x2＋ y2＝1相切，则圆 C 的方程是 .解析：设圆 C 的半径为 r ，则圆心距为 d ＝ ＝5，当圆 C 与圆 O 外切时， r ＋1＝5， r ＝4，当圆 C 与圆 O 内切时， r －1＝5， r ＝6，∴圆 C 的方程为（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝16或（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝36.（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝16或（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝36 5. 若圆 x2＋ y2＝4与圆 x2＋ y2＋2 ay －6＝0（ a ＞0）的公共弦长为2，则 a ＝ .解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y ＝ ，圆心（0，0）到直线的距离为 d ＝ ＝ ＝1，所以 a ＝1.1 曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆系方程. 曲线系方程1. 直线系方程（1）与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线系方程为 Ax ＋ By ＋λ＝0（λ为参数）；（2）与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线系方程为 Bx － Ay ＋λ＝0（λ为参数）；（3）过直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0与 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0的交点的直线系方程为（ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0（不含 l2，λ为参数）.2. 圆系方程（1）过圆 O ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）＝0（λ为参数）；（2）过圆 O1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 O2： x2＋ y2＋ D2 x＋ E2 y ＋ F2＝0交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＋λ（ x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2）＝0（不包括圆 O2，λ为参数）.应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值.一、平行或垂直的直线系方程的应用【例1】 （1）求过点 A （1，－4）且与直线2 x ＋3 y ＋5＝0平行的直线方程；解：设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋ c ＝0（ c ≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋ c ＝0，所以 c ＝10，故所求直线方程为2 x ＋3 y ＋10＝0.（2）已知三角形三边所在的直线方程分别为2 x － y ＋4＝0， x ＋ y －7＝0，2 x －7 y －14＝0，求边2 x －7 y －14＝0上的高所在的直线方程.解：设过2 x － y ＋4＝0与 x ＋ y －7＝0交点的直线系方程为2 x － y ＋4＋λ（ x ＋ y －7）＝0，即（2＋λ） x ＋（λ－1） y ＋（4－7λ）＝0，因为和2 x －7 y －14＝0垂直，可得（2＋λ）×2＋（λ－1）×（－7）＝0，解得λ＝ ，所以所求高所在的直线方程为7 x ＋2 y －19＝0.方法总结1. 与定直线平行的直线系方程与 Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线方程（包括原直线）为 Ax ＋ By ＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点 P （ x0， y0），则其方程为 A（ x － x0）＋ B （ y － y0）＝0.2. 与定直线垂直的直线系方程与 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线方程为 Bx － Ay ＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点 P （ x0， y0），则其方程为 B （ x － x0）－A （ y － y0）＝0.二、过交点的直线系方程的应用【例2】 若直线 l 经过直线 l1：2 x ＋ y －8＝0和 l2： x －2 y ＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直线 l 的方程.解：易知直线 x －2 y ＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积 S0＝ ×1×≠ ，所以直线 l 的方程不可能是 x －2 y ＋1＝0.故可设直线 l 的方程为2 x ＋ y －8＋λ（ x －2 y ＋1）＝0（λ为常数），即（2＋λ） x ＋（1－2λ） y ＋λ－8＝0.由题意得（2＋λ）（1－2λ）（λ－8）≠0，令 x ＝0，得 y ＝－ ；令 y ＝0，得 x ＝－ .所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝ ｜－ ｜·｜－｜＝ ，所以（λ－8）2＝｜（1－2λ）（2＋λ）｜，解得λ＝3或λ＝－22.当λ＝3时，直线 l 的方程为 x － y －1＝0；当λ＝－22时，直线 l 的方程为4 x －9 y ＋6＝0.方法总结求过交点的直线方程的两种解法（1）通过解方程组求出交点坐标，然后根据两直线的位置关系确定斜率；（2）选用直线系方程，设出过 l1与 l2交点的直线系方程为（ A1 x ＋ B1 y＋ C1）＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0或（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＋λ（ A1x ＋ B1 y ＋ C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而确定直线方程.三、圆系方程的应用【例3】 （1）求过直线2 x ＋ y ＋4＝0和圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程；解：过直线2 x ＋ y ＋4＝0和圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0的交点的圆系方程可设为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＋λ（2 x ＋ y ＋4）＝0（λ∈R），即[ x ＋（λ＋1）]2＋（ y ＋ ）2＝ λ2－4λ＋4，圆的半径为 ＝ ＝，故当λ＝ 时对应圆的半径最小，且最小半径为 .∴所求圆的方程为（ x ＋ ）2＋（ y － ）2＝ .（2）求过两圆 x2＋ y2＋6 x －4＝0与 x2＋ y2＋6 y －28＝0的交点的直线方程和圆心在直线 x － y －4＝0上的圆的方程.解：设过两圆交点的圆系方程为x2＋ y2＋6 x －4＋λ（ x2＋ y2＋6 y －28）＝0， ①令λ＝－1即可得 x － y ＋4＝0，此即为公共弦所在直线的方程.把①式整理得（1＋λ） x2＋（1＋λ） y2＋6 x ＋6λ y －4－28λ＝0.∴圆心的坐标为（－ ，－ ）.而圆心在直线 x － y －4＝0上，∴－ ＋ －4＝0，∴λ＝－7.代入圆系方程得 x2＋ y2－ x ＋7 y －32＝0.方法总结1. 以（ a ， b ）为圆心的同心圆系方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝λ2（λ≠0）.2. 与圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0同心的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey＋λ＝0（ D2＋ E2－4λ＞0）.3. 过同一定点（ a ， b ）的圆系方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＋λ1（ x－ a ）＋λ2（ y － b ）＝0（λ1，λ2不同时为0）.4. 过直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0与圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）＝0.5. 过两圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0和 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y＋ F2＝0的交点的圆系方程为（ x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1）＋λ（ x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 圆 C1： x2＋ y2＋4 x ＋8 y －5＝0与圆 C2： x2＋ y2＋4 x ＋4 y －1＝0的位置关系为（ ）A. 相交 B. 外切C. 内切 D. 外离解析： 由已知，得 C1（－2，－4）， r1＝5， C2（－2，－2），r2＝3，则 d ＝｜ C1 C2｜＝2，所以 d ＝｜ r1－ r2｜，所以两圆内切.123456789101112131415162. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0和圆 x2＋ y2－6 x ＝0交于 A ， B 两点，则 AB的垂直平分线的方程是（ ）A. x ＋ y ＋3＝0 B. 2 x － y －5＝0C. 3 x － y －9＝0 D. 4 x －3 y ＋7＝0解析： AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代入，即可排除A、B、D.123456789101112131415163. 圆 x2＋4 x ＋ y2＝0与圆（ x －2）2＋（ y －3）2＝ r2有三条公切线，则半径 r ＝（ ）A. 5 B. 4C. 3 D. 2解析： 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，3），半径分别为2， r ，由于两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴ ＝2＋ r ，即5＝2＋ r ，∴ r ＝3.123456789101112131415164. 两内切圆的半径是方程 x2＋ px ＋ q ＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则 p ＋ q ＝（ ）A. 2或4 B. 4C. 1或5 D. 5解析： 根据题意，设两个圆的半径分别为 R ， r ，且 R ＝3，则有｜ R － r ｜＝1，解得 r ＝2或4.由 R ， r 是方程 x2＋ px ＋ q ＝0的两根，得当 r ＝2时， p ＝－5， q ＝6，此时 p ＋ q ＝1；当 r ＝4时， p ＝－7， q ＝12，此时 p ＋ q ＝5，故 p ＋ q ＝1或 p ＋ q＝5.故选C.123456789101112131415165. （多选）设 r ＞0，圆（ x －1）2＋（ y ＋3）2＝ r2与圆 x2＋ y2＝16的位置关系不可能是（ ）A. 内切 B. 相交C. 外离 D. 外切解析： 两圆的圆心距为 d ＝ ＝，两圆的半径之和为 r ＋4，因为 ＜ r ＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选C、D.123456789101112131415166. （多选）点 P 在圆 C1： x2＋ y2＝1上，点 Q 在圆 C2： x2＋ y2－6 x ＋8y ＋24＝0上，则（ ）A. ｜ PQ ｜的最小值为0B. ｜ PQ ｜的最大值为7C. 两个圆心所在的直线斜率为－D. 两个圆相交弦所在直线的方程为6 x －8 y －25＝012345678910111213141516解析： 根据题意，圆 C1： x2＋ y2＝1，其圆心 C1（0，0），半径 R ＝1，圆 C2： x2＋ y2－6 x ＋8 y ＋24＝0，即（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝1，其圆心 C2（3，－4），半径 r ＝1，圆心距｜ C1 C2｜＝＝5，则｜ PQ ｜的最小值为｜ C1 C2｜－ R － r ＝3，最大值为｜ C1 C2｜＋ R ＋ r ＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心 C1（0，0），圆心 C2（3，－4），则两个圆心所在的直线斜率 k ＝ ＝－ ，C正确，对于D，两圆圆心距｜ C1 C2｜＝5，｜ C1 C2｜＞ R ＋r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误.故选B、C.123456789101112131415167. 若圆 x2＋ y2－2 ax ＋ a2＝2和圆 x2＋ y2－2 by ＋ b2＝1外离，则 a ， b满足的条件是 .解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为（ a ，0）， 和（0， b ），1，因为两圆外离，所以 ＞ ＋1，即 a2＋ b2＞3＋2 .a2＋ b2＞3＋2 123456789101112131415168. 已知 M ， N 是圆 A ： x2＋ y2－2 x ＝0与圆 B ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＝0的公共点，则△ BMN 的面积为 .解析：由题意，可知圆 B 的圆心坐标为（－1，2），半径为 .联立可得直线 MN 的方程为 x － y ＝0，所以 B（－1，2）到直线 MN 的距离为 ＝ ，线段 MN 的长度为2＝ ，所以△ BMN 的面积为 × × ＝ . 123456789101112131415169. 经过两圆 x2＋ y2－2 y －4＝0与 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＝0的交点，且圆心在直线 l ：2 x ＋4 y －1＝0上的圆的方程是 .解析：设圆的方程为 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋λ（ x2＋ y2－2 y －4）＝0（λ≠－1），则（1＋λ） x2＋（1＋λ） y2－4 x ＋（2－2λ） y －4λ＝0，把圆心 代入 l ：2 x ＋4 y －1＝0的方程，可得λ＝ ，所以所求圆的方程为 x2＋ y2－3 x ＋ y －1＝0.x2＋ y2－3 x ＋ y －1＝0 1234567891011121314151610. 已知圆 C1：（ x －1）2＋ y2＝ 与圆 C2的公切线是直线 y ＝ x 和 y ＝－ x ，且两圆的圆心距是3，求圆 C2的方程.解：由题意，知圆心 C2在 x 轴上或 y 轴上.12345678910111213141516①当圆心 C2在 x 轴上时，设圆心 C2（ a ，0）.因为两圆的圆心距是3，所以｜ a －1｜＝3，解得 a ＝4或－2.因为 C2（4，0）到直线 y ＝ x 的距离是 ＝2 ，C2（－2，0）到直线 y ＝ x 的距离是 ＝ ，所以圆 C2的方程是（ x －4）2＋ y2＝8或（ x ＋2）2＋ y2＝2.12345678910111213141516②当圆心 C2在 y 轴上时，设圆心 C2（0， b ）.因为两圆的圆心距是3，所以 ＝3，解得 b ＝±2 .因为 C2（0，±2 ）到直线 y ＝ x 的距离是 ＝2，所以圆 C2的方程是 x2＋（ y －2 ）2＝4或 x2＋（ y ＋2 ）2＝4.综上，圆 C2的方程是（ x －4）2＋ y2＝8或（ x ＋2）2＋ y2＝2或 x2＋（ y －2 ）2＝4或 x2＋（ y ＋2 ）2＝4.1234567891011121314151611. 设两圆 C1， C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的距离｜ C1 C2｜＝（ ）A. 4 B. 4C. 8 D. 812345678910111213141516解析： ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点（4，1），∴两圆圆心均在第一象限且都在直线 y ＝ x 上.设两圆的圆心分别为（ a ， a ），（ b ， b ），则有（4－ a ）2＋（1－ a ）2＝ a2，（4－b ）2＋（1－ b ）2＝ b2，则 a ， b 为方程（4－ x ）2＋（1－ x ）2＝x2的两个根，整理得 x2－10 x ＋17＝0，∴ a ＋ b ＝10， ab ＝17.∴（ a － b ）2＝（ a ＋ b ）2－4 ab ＝100－4×17＝32，∴｜ C1 C2｜＝ ＝ ＝8.1234567891011121314151612. 若圆 M ： x2＋ y2＋ ax ＋ by － ab －6＝0（ a ＞0， b ＞0）平分圆N ： x2＋ y2－4 x －2 y ＋4＝0的周长，则2 a ＋ b 的最小值为（ ）A. 8 B. 9C. 16 D. 2012345678910111213141516解析： 两圆方程相减，得（ a ＋4） x ＋（ b ＋2） y － ab －10＝0，此为相交弦所在的直线方程.又圆 N 的标准方程是（ x －2）2＋（ y －1）2＝1，圆心 N （2，1），∴2（ a ＋4）＋ b ＋2－ ab －10＝0，∴ ＋ ＝1.∵ a ＞0， b ＞0，∴2 a ＋ b ＝（2 a ＋ b ）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即 a ＝2， b ＝4时等号成立.∴2 a＋ b 的最小值为8.故选A.1234567891011121314151613. （多选）已知圆 C ：（ x －3）2＋（ y －4）2＝1和两点 A （－ m ，0）， B （ m ，0）（ m ＞0），若圆 C 上存在点 P ，使得∠ APB ＝90°，则 m 的可能取值为（ ）A. 7 B. 6C. 5 D. 812345678910111213141516解析： 由圆 C ：（ x －3）2＋（ y －4）2＝1可得圆心 C 的坐标为（3，4），半径为1.因为圆心 C 到 O （0，0）的距离为5，所以圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为6，最小值为4.因为圆 C 上存在点 P ，使得∠ APB ＝90°，所以以 AB 为直径的圆与圆 C 有交点，所以｜ OP ｜＝ ｜ AB ｜＝ m ，所以4≤ m ≤6，所以选项B、C符合题意.故选B、C.1234567891011121314151614. 我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中，圆 C1和圆 C3的方程分别为 x2＋ y2＝1和（ x －4）2＋（ y －2）2＝1，若直线 ax ＋2 by －2＝0（ a ， b ＞0）始终平分圆 C2的周长，则 a ＋ b ＝ .1 12345678910111213141516解析：若直线 ax ＋2 by －2＝0（ a ， b ＞0）始终平分圆 C2的周长，说明该直线经过圆 C2的圆心，由圆外切的关系知 C2为线段 C1C3的中点，圆 C1的圆心的坐标为（0，0），圆 C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆 C2的圆心的坐标为（2，1），可得 a ＋ b ＝1.1234567891011121314151615. 已知 P 为圆 O ： x2＋ y2＝2上一动点，过点 P 作圆 C ： x2＋ y2－6 x－6 y ＋14＝0的切线，切点分别为 A ， B ，当｜ AB ｜取最小值时，求直线 AB 的方程.解：∵圆 C ：（ x －3）2＋（ y －3）2＝4，∴圆心 C （3，3），半径 r ＝2.又∵ P 为圆 O ： x2＋ y2＝2上的动点，∴｜ OC ｜＝3 ，∴2 ≤｜ PC ｜≤4 .由图可知，12345678910111213141516｜ AB ｜＝ ，又∵｜ AC ｜＝2，｜ PC ｜2＝｜ PA ｜2＋｜ AC ｜2，∴｜ AB ｜＝ ＝4 ，∴当｜PC ｜最小时，｜ AB ｜最小.∵｜ PC ｜min＝2 ，∴｜ AB ｜min＝4＝2 ，此时 P （1，1），｜ PA ｜＝｜ PB ｜＝2.点 A ，点B 在以 P （1，1）为圆心，2为半径的圆上，其方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，即 x2＋ y2－2 x －2 y －2＝0.联立②－①整理得 x ＋ y －4＝0.∴直线 AB 的方程为 x ＋ y －4＝0.1234567891011121314151616. 已知圆 A ： x2＋（ y ＋1）2＝1，圆 B ：（ x －4）2＋（ y －3）2＝1.（1）过圆心 A 的直线 l 截圆 B 所得的弦长为 ，求直线 l 的斜率；解：由题意知，直线 l 的斜率存在，且圆心 A （0，－1），设直线 l 的方程为 y ＝ kx －1，由弦长可得圆心 B （4，3）到直线 l 的距离为 ，即 ＝ ，化简得12 k2－25 k ＋12＝0，解得 k ＝ 或 k ＝ .12345678910111213141516①求动圆圆心 P 的轨迹方程；②问动圆 P 是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.（2）若动圆 P 同时平分圆 A 与圆 B 的周长.12345678910111213141516解：①由已知可得｜ PA ｜＝｜ PB ｜，故圆心 P 在线段AB 的中垂线上.∵直线 AB 的斜率为1，∴圆心 P 所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心 P 在直线 x ＋ y －3＝0上.即动圆圆心 P 的轨迹方程为 x ＋ y －3＝0.②设 P （ m ，3－ m ），则动圆 P 的半径为 ＝，∴动圆 P 的方程为（ x － m ）2＋（ y ＋ m －3）2＝ m2＋（3－m ＋1）2＋1，12345678910111213141516即 x2＋ y2－6 y －8－2 m （ x － y －1）＝0.由得或故动圆 P 过定点（2＋，1＋ ），（2－ ，1－ ）.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.4 圆与圆的位置关系.docx 2.4 圆与圆的位置关系.pptx 2.4 圆与圆的位置关系（练习，含解析）.docx
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