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培优课　直线与圆的综合问题
1.直线3x＋y－4＝0的斜率和在y轴上的截距分别是（　　）
A.－3，4 B.3，－4
C.－3，－4 D.3，4
2.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A. B.
C. D.
3.与圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0同圆心且经过点（1，－1）的圆的方程是（　　）
A.（x－3）2＋（y＋1）2＝8
B.（x＋3）2＋（y＋1）2＝8
C.（x－3）2＋（y＋1）2＝4
D.（x＋3）2＋（y＋1）2＝4
4.若P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）
A.2x－y－5＝0 B.2x＋y－3＝0
C.x＋y－1＝0 D.x－y－3＝0
5.若点A（1，1）关于直线y＝kx＋b的对称点是B（－3，3），则直线y＝kx＋b在y轴上的截距是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知过点P（2，2）的直线与圆（x－1）2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝（　　）
A.－ B.1
C.2 D.
7.在平面直角坐标系内有四点A（－1，2），B（4，－2），C（3，6），D（－2，4），点P为该坐标平面内的动点，则点P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为（　　）
A.10 B.14
C.12 D.＋
8.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.6
9.（多选）已知直线l：2x＋y＋3＝0，下列结论正确的是（　　）
A.向量u＝（1，－2）是直线l的一个方向向量
B.过点P（0，2）且与直线l平行的直线为2x＋y－2＝0
C.过点P（0，2）且与直线l垂直的直线为x＋2y－4＝0
D.点P（0，2）关于直线l对称的点的坐标为（－4，0）
10.（多选）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（　　）
A.不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直
11.（多选）已知直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，则（　　）
A.直线l恒过定点（1，3）
B.直线l与圆C相交
C.圆C被x轴截得的弦长为3
D.当圆C被直线l截得的弦最短时，m＝
12.（多选）如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（　　）
A.6 B.8
C.10 D.16
13.（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.
14.由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程是　　　　.
15.过点A（11，2）作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有　　　　条.
16.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为　　　　.
17.已知直线l：x＋（m－1）y－m＝0.
（1）若直线的倾斜角α∈［，］，求实数m的取值范围；
（2）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
18.已知圆C：x2＋y2＝25和圆外一点P（3，6）.
（1）若过点P的直线截圆C所得的弦长为8，求该直线的方程；
（2）求x2＋y2－8x－6y的最大值和最小值.
培优课　直线与圆的综合问题
1.A　直线3x＋y－4＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为4.
2.B　∵直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）·x＋3y＋2a＝0平行，∴＝≠，且a－2≠0，a≠0，∴a＝－1，∴直线l1与l2之间的距离为d＝＝.
3.C　由圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0得圆心坐标为（3，－1），又因为该圆经过点（1，－1），故r2＝（1－3）2＋（－1＋1）2＝4.故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝4，故选C.
4.D　圆心C（1，0），kPC＝＝－1，则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D.
5.D　∵点A（1，1）关于直线y＝kx＋b的对称点是B（－3，3），由中点坐标公式得AB的中点坐标为（－1，2），代入y＝kx＋b得2＝－k＋b，①.直线AB的斜率为＝－，则k＝2.代入①得，b＝4.∴直线y＝kx＋b为y＝2x＋4，∴直线y＝kx＋b在y轴上的截距是4.
6.C　由题意知圆心为（1，0），由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P（2，2），∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
7.A　点P到A（－1，2），B（4，－2），C（3，6），D（－2，4）四点的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＋｜PD｜＝｜PB｜＋｜PD｜＋｜PA｜＋｜PC｜≥｜BD｜＋｜AC｜，即P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为四点构成的四边形对角线的长度之和，即＋＝10.故选A.
8.C　法一　由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝2，依题意得圆心C（－1，2）在直线2ax＋by＋6＝0上，所以2a×（－1）＋b×2＋6＝0，即a＝b＋3. ①
易知由点（a，b）向圆所作的切线长l＝， ②
将①代入②，得l＝＝.又b∈R，所以当b＝－1时，lmin＝4.
法二　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C（－1，2），半径r＝，点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d'，易求得d'＝＝3，所以切线长的最小值为＝4.
9.ABD　对于A，直线l的斜率为－2，则u＝（1，－2）是直线l的一个方向向量，故A正确；对于B，过P（0，2）且与直线l平行的直线为y＝－2x＋2，即2x＋y－2＝0，故B正确；对于C，过P（0，2）且与直线l垂直的直线为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0，故C错误；对于D，过P（0，2）且与直线l垂直的直线x－2y＋4＝0与直线l的交点为M（－2，1），则点P（0，2）关于直线l对称的点的坐标为（－4，0），故D正确.故选A、B、D.
10.BD　A.存在k＝0，使得l2的倾斜角为90°，故不正确；B.直线l1：x－y－1＝0过定点（0，－1），直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R） k（x＋y＋1）＋x＝0过定点（0，－1），故正确.C.当l1与l2重合时，l2的斜率为1，即－＝1，解得k＝－，满足重合，故错误.D.假如l1⊥l2，则l2的斜率为－1，即－＝－1，无解，故正确.
11.BD　依题意，直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0可化为（－2x－y＋7）m＋x＋y－4＝0，由解得即直线l过定点P（3，1），A不正确；圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25的圆心C（1，2），半径r＝5，｜PC｜＝＝＜r，即点P在圆C内，直线l与圆C恒相交，B正确；圆心C到x轴的距离d＝2，则圆C被x轴截得的弦长为2＝2＝2，C不正确；由于直线l过定点P（3，1），圆心C（1，2），则直线PC的斜率k＝＝－，当圆C被直线l截得的弦最短时，由圆的性质知，l⊥PC，于是得＝2，解得m＝，D正确.故选B、D.
12.AD　设当圆与直线l相切时，圆心坐标为（0，m），则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－，∴该圆运动的时间为＝6（s）或＝16（s）.
13.－2（或－或或2，填写任意一个均可）
解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可.
14.x2＋y2＝4　解析：设动点P的坐标为（x，y），依题意有｜PO｜＝＝＝2，∴x2＋y2＝4，即所求的轨迹方程为x2＋y2＝4.
15.32　解析：由题意可知过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×（26－10－1）＝32（条）.
16.　解析：由解得把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n，所以点（m，n）到原点的距离d＝＝＝≥，当n＝－2时等号成立，此时m＝－1.所以点（m，n）到原点的距离的最小值为.
17.解：（1）由题意可知当m＝1时，倾斜角为，符合题意，
当m≠1时，直线l的斜率k＝.
∵倾斜角α∈［，） k＝tan α∈[1，＋∞），∴≥1 0≤m＜1.
故m的取值范围为[0，1].
（2）在直线l中，令x＝0，则y＝，即B（0，），令y＝0，则x＝m，即A（m，0），
由题意可知：得m＞1.
即S△AOB＝｜OA｜·｜OB｜＝
｜m｜·＝·＝＝［（m－1）＋＋2］≥［2＋2］＝2.
当且仅当m－1＝ （m－1）2＝1 m＝2时取等号，
故S△AOB最小值为2，此时直线l方程为：x＋y－2＝0.
18.解：（1）当过P的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
由解得y＝4或y＝－4，则弦长为8，符合题意.
当过P的直线斜率存在时，设直线的方程为y－6＝k（x－3），即kx－y＋6－3k＝0，
圆C：x2＋y2＝25的圆心为（0，0），半径为5，
设圆心（0，0）到直线kx－y＋6－3k＝0的距离为d（d＞0），则d2＋＝52，d＝3，
即＝3，解得k＝，
直线方程为x－y＋6－＝0，即3x－4y＋15＝0.
综上，该直线的方程为x＝3或3x－4y＋15＝0.
（2）x2＋y2－8x－6y＝（x－4）2＋（y－3）2－25，
表示圆上的点（x，y）到点（4，3）的距离的平方减去25，
点（4，3）在圆C：x2＋y2＝25上，
所以圆上的点（x，y）到点（4，3）的距离的平方的取值范围是[0，102]，即[0，100]，
所以x2＋y2－8x－6y＝（x－4）2＋（y－3）2－25的取值范围是[－25，75]，
所以x2＋y2－8x－6y的最大值为75，最小值为－25.
2 / 2　直线与圆的综合问题
题型一 直线与圆的位置关系的判断及应用
【例1】　（1）（多选）（2021·新高考Ⅱ卷11题）已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（　　）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
（2）曲线y＝1＋与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是　　　　.
尝试解答
通性通法
1.判断点、直线与圆的位置关系的一般思路
（1）代数法：将点的坐标代入圆的方程，根据运算结果确定点与圆的位置关系；将直线方程与圆的方程联立组成二元二次方程组，消元后将其变为只含一个未知数的一元二次方程，用判别式判断方程解的个数，从而确定直线与圆的位置关系；
（2）几何法：用圆心与已知点或已知直线间的距离与半径大小的关系确定点或直线与圆的位置关系.
2.利用直线与圆的位置关系的三种不同的几何特征，可以确定参数或参数的取值范围，也可数形结合求圆（直线）的方程以及有关最值问题.
【跟踪训练】
（2021·北京高考9题）已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（　　）
A.±2　 B.±
C.±　 D.±3
题型二 范围与最值问题
【例2】　已知点P（x，y）在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
（3）求x＋y的最大值与最小值.
尝试解答
通性通法
　　若P（x，y）是定圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上的一动点，则mx＋ny和的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法.
（1）几何法：①mx＋ny的最值：设mx＋ny＝t，圆心C（a，b）到直线mx＋ny＝t的距离d＝，由d＝r即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值；
②的最值：即点P与原点连线所在直线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值.
（2）代数法：①mx＋ny的最值：设mx＋ny＝t，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值；
②的最值：设t＝，则y＝tx，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值.
【跟踪训练】
　已知点A（－2，0），B（0，2），若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的动点，求△ABC面积的最小值.
题型三 直线与圆的方程的实际应用
【例3】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
尝试解答
通性通法
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
【跟踪训练】
　如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　　　　m.
培优课　直线与圆的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）ABD　　（2）
解析：（1）选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＜r.∴直线l与圆C相交，C错误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r.∴直线l与圆C相切，D正确.故选A、B、D.
（2）直线l过点A（2，4），又曲线y＝1＋的图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝.当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
跟踪训练
　C　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
【例2】　解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为（x－3）2＋（y－3）2＝4.
（1）表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①，显然PO（O为坐标原点）与圆相切时，斜率最大或最小.设切线方程为y＝kx（由题意知，斜率一定存在），即kx－y＝0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
（2）x2＋y2＋2x＋3＝（x＋1）2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E（－1，0）的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值.如图②，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为｜CE｜＋2，点P与点E距离的最小值为｜CE｜－2.又｜CE｜＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为（5＋2）2＋2＝51，最小值为（5－2）2＋2＝11.
（3）设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③，显然当动直线y＝－x＋b与圆（x－3）2＋（y－3）2＝4相切时，b取得最大值或最小值.此时圆心C（3，3）到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即｜b－6｜＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
跟踪训练
　解：设圆上点C到直线AB的距离为d，圆心到直线AB距离为d'，易得直线AB的方程为y＝x＋2，则dmin＝d'－1＝－1，所以（S△ABC）min＝｜AB｜·dmin＝×2×（－1）＝3－.
【例3】　解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系（如图所示），
其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为（0，4），轮船的初始位置所对应的点的坐标为（7，0），
则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0，
圆心（0，0）到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，
因为＞3，所以直线与圆相离.
故轮船不会受到台风的影响.
跟踪训练
　2　解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C，圆的方程设为x2＋（y＋r）2＝r2（r＞0），水面所在弦的端点为A，B，则A（6，－2）.将A（6，－2）代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'（x0，－3）（x0＞0），将A'（x0，－3）代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2（m）.
2 / 2(共56张PPT)
培优课　
直线与圆的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与圆的位置关系的判断及应用
【例1】　（1）（多选）（2021·新高考Ⅱ卷11题）已知直线 l ： ax ＋
by － r2＝0与圆 C ： x2＋ y2＝ r2，点 A （ a ， b ），则下列说法正确的是
（　ABD　）
ABD
A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切
B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离
C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离
D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
解析：选项A，∵点 A 在圆 C 上，∴ a2＋ b2＝ r2，圆心 C
（0，0）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ r ，∴直线 l 与圆 C 相切，
A正确.选项B，∵点 A 在圆 C 内，∴ a2＋ b2＜ r2，圆心 C （0，
0）到直线 l 的距离 d ＝ ＞ r ，∴直线 l 与圆 C 相离，B正
确.选项C，∵点 A 在圆 C 外，∴ a2＋ b2＞ r2，圆心 C （0，0）到
直线 l 的距离 d ＝ ＜ r .∴直线 l 与圆 C 相交，C错误.选项
D，∵点 A 在直线 l 上，∴ a2＋ b2＝ r2，圆心 C （0，0）到直线 l
的距离 d ＝ ＝ r .∴直线 l 与圆 C 相切，D正确.故选A、
B、D.
（2）曲线 y ＝1＋ 与直线 l ： y ＝ k （ x －2）＋4有两个交点，
则实数 k 的取值范围是 .
解析：直线 l 过点 A （2，4），又曲线 y ＝1＋ 的图
象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线 l 与半圆相
切， C 为切点时，圆心到直线 l 的距离 d ＝ r ，即 ＝2，
解得 k ＝ .当直线 l 过点 B （－2，1）时，直线 l 的斜率为
＝ ，则直线 l 与半圆有两个不同的交点时，
实数 k 的取值范围为 .
　
通性通法
1. 判断点、直线与圆的位置关系的一般思路
（1）代数法：将点的坐标代入圆的方程，根据运算结果确定点与
圆的位置关系；将直线方程与圆的方程联立组成二元二次方
程组，消元后将其变为只含一个未知数的一元二次方程，用
判别式判断方程解的个数，从而确定直线与圆的位置关系；
（2）几何法：用圆心与已知点或已知直线间的距离与半径大小的
关系确定点或直线与圆的位置关系.
2. 利用直线与圆的位置关系的三种不同的几何特征，可以确定参数或
参数的取值范围，也可数形结合求圆（直线）的方程以及有关最值
问题.
【跟踪训练】
（2021·北京高考9题）已知圆 C ： x2＋ y2＝4，直线 l ： y ＝ kx ＋ m ，
当 k 变化时， l 截得圆 C 弦长的最小值为2，则 m ＝（　　）
A. ±2
D. ±3
解析：　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距
离 d ＝ ，则弦长为2 ，则当 k ＝0时，弦长取得最小
值为2 ＝2，解得 m ＝± .故选C.
题型二 范围与最值问题
【例2】　已知点 P （ x ， y ）在圆 C ： x2＋ y2－6 x －6 y ＋14＝0上.
（1）求 的最大值和最小值；
表示圆上的点 P 与原点连线所在直线的斜率，如图①，
显然 PO （ O 为坐标原点）与圆相切时，斜率最大或最小.设切线
方程为 y ＝ kx （由题意知，斜率一定存在），即 kx － y ＝0，由
圆心 C （3，3）到切线的距离等于半径2，可得 ＝2，
解得 k ＝ ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
解：方程 x2＋ y2－6 x －6 y ＋14＝0可化
为（ x －3）2＋（ y －3）2＝4.
（2）求 x2＋ y2＋2 x ＋3的最大值与最小值；
解： x2＋ y2＋2 x ＋3＝（ x ＋1）2＋ y2＋2，它表示圆上的点 P 到
E （－1，0）的距离的平方再加2，所以当点 P 与点 E 的距离最
大或最小时，所求式子取得最大值或最小值.如图②，显然点 E
在圆 C 的外部，所以点 P 与点 E 距离的最大值为｜ CE ｜＋2，点
P 与点 E 距离的最小值为｜ CE ｜－2.又｜ CE ｜＝
＝5，所以 x2＋ y2＋2 x ＋3的最大
值为（5＋2）2＋2＝51，最小值为（5－2）2＋2＝11.
（3）求 x ＋ y 的最大值与最小值.
解：设 x ＋ y ＝ b ，则b 表示动直线 y ＝－ x ＋ b 在 y 轴上的截距，如图③，显然当动直线 y ＝－ x ＋ b 与圆（ x－3）2＋（ y －3）2＝4相切时， b 取得最大值或最小值.此时圆心 C （3，3）到切线 x ＋ y ＝ b 的距离等于圆的半径2，则 ＝2，即｜ b －6｜＝2 ，解得 b ＝6±2 ，所以 x ＋ y 的最大
值为6＋2 ，最小值为6－2 .
通性通法
　　若 P （ x ， y ）是定圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2上的
一动点，则 mx ＋ ny 和 的最值，一般都有两种求法，分别是几何
法和代数法.
（1）几何法：① mx ＋ ny 的最值：设 mx ＋ ny ＝ t ，圆心 C （ a ， b ）
到直线 mx ＋ ny ＝ t 的距离 d ＝ ，由 d ＝ r 即可解得
两个 t 值，一个为最大值，一个为最小值；
② 的最值： 即点 P 与原点连线所在直线的斜率，数形结合可
求得斜率的最大值和最小值.
（2）代数法：① mx ＋ ny 的最值：设 mx ＋ ny ＝ t ，与圆的方程联立，
化为一元二次方程，由判别式等于0，求得 t 的两个值，一个为
最大值，一个为最小值；
② 的最值：设 t ＝ ，则 y ＝ tx ，与圆的方程联立，化为一元二
次方程，由判别式等于0，求得 t 的两个值，一个为最大值，一
个为最小值.
【跟踪训练】
　已知点 A （－2，0）， B （0，2），若点 C 是圆 x2－2 x ＋ y2＝
0上的动点，求△ ABC 面积的最小值.
解：设圆上点 C 到直线 AB 的距离为 d ，圆心到直线 AB 距离为
d'，易得直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋2，则 dmin＝d'－1＝ －1，
所以（ S△ ABC ）min＝ ｜ AB ｜· dmin＝ ×2 ×（ －1）＝3
－ .
题型三 直线与圆的方程的实际应用
【例3】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预
报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的
圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改
变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴建
立直角坐标系（如图所示），
其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域
所对应的圆的方程为 x2＋ y2＝9，
港口所对应的点的坐标为（0，4），轮船的初始位
置所对应的点的坐标为（7，0），
则轮船航线所在直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即4 x ＋7 y －28＝0，
圆心（0，0）到 l ：4 x ＋7 y －28＝0的距离 d ＝ ＝ ，
因为 ＞3，所以直线与圆相离.
故轮船不会受到台风的影响.
通性通法
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
　如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 　 　m.
2
【跟踪训练】
解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点
的竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.设圆心为
C ，圆的方程设为 x2＋（ y ＋ r ）2＝ r2（ r ＞0），水
面所在弦的端点为 A ， B ，则 A （6，－2）.将 A （6，
－2）代入圆的方程，得 r ＝10，则圆的方程为 x2＋
（ y ＋10）2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'（ x0，
－3）（ x0＞0），将A'（ x0，－3）代入圆的方程，得
x0＝ ，所以当水面下降1 m后，水面宽为2 x0＝2
（m）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 直线3 x ＋ y －4＝0的斜率和在 y 轴上的截距分别是（　　）
A. －3，4 B. 3，－4
C. －3，－4 D. 3，4
解析：　直线3 x ＋ y －4＝0的斜率为－3，在 y 轴上的截距为4.
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2. 若直线 l1： x ＋ ay ＋6＝0与 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0平行，则 l1
与 l2间的距离为（　　）
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解析：　∵直线 l1： x ＋ ay ＋6＝0与 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0
平行，∴ ＝ ≠ ，且 a －2≠0， a ≠0，∴ a ＝－1，∴直线 l1与 l2
之间的距离为 d ＝ ＝ .
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3. 与圆 x2＋ y2－6 x ＋2 y ＋6＝0同圆心且经过点（1，－1）的圆的方程
是（　　）
A. （ x －3）2＋（ y ＋1）2＝8
B. （ x ＋3）2＋（ y ＋1）2＝8
C. （ x －3）2＋（ y ＋1）2＝4
D. （ x ＋3）2＋（ y ＋1）2＝4
解析：　由圆 x2＋ y2－6 x ＋2 y ＋6＝0得圆心坐标为（3，－1），
又因为该圆经过点（1，－1），故 r2＝（1－3）2＋（－1＋1）2＝4.
故所求圆的方程为（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝4，故选C.
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4. 若 P （2，－1）为圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝25的弦 AB 的中点，则直
线 AB 的方程是（　　）
A. 2 x － y －5＝0 B. 2 x ＋ y －3＝0
C. x ＋ y －1＝0 D. x － y －3＝0
解析：　圆心 C （1，0）， kPC ＝ ＝－1，则 kAB ＝1， AB
的方程为 y ＋1＝ x －2，即 x － y －3＝0，故选D.
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5. 若点 A （1，1）关于直线 y ＝ kx ＋ b 的对称点是 B （－3，3），则直
线 y ＝ kx ＋ b 在 y 轴上的截距是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　∵点 A （1，1）关于直线 y ＝ kx ＋ b 的对称点是 B （－
3，3），由中点坐标公式得 AB 的中点坐标为（－1，2），代入 y ＝
kx ＋ b 得2＝－ k ＋ b ，①.直线 AB 的斜率为 ＝－ ，则 k ＝2.代
入①得， b ＝4.∴直线 y ＝ kx ＋ b 为 y ＝2 x ＋4，∴直线 y ＝ kx ＋ b 在
y 轴上的截距是4.
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6. 已知过点 P （2，2）的直线与圆（ x －1）2＋ y2＝5相切，且与直线
ax － y ＋1＝0垂直，则 a ＝（　　）
B. 1
C. 2
解析：　由题意知圆心为（1，0），由圆的切线与直线 ax － y
＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为 x ＋ ay ＋ c ＝0，由切线 x ＋
ay ＋ c ＝0过点 P （2，2），∴ c ＝－2－2 a ，∴ ＝
，解得 a ＝2.
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7. 在平面直角坐标系内有四点 A （－1，2）， B （4，－2）， C （3，
6）， D （－2，4），点 P 为该坐标平面内的动点，则点 P 到 A ，
B ， C ， D 四点的距离之和的最小值为（　　）
C. 12
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解析：　点 P 到 A （－1，2）， B （4，－2）， C （3，6）， D
（－2，4）四点的距离之和｜ PA ｜＋｜ PB ｜＋｜ PC ｜＋｜ PD ｜
＝｜ PB ｜＋｜ PD ｜＋｜ PA ｜＋｜ PC ｜≥｜ BD ｜＋｜ AC ｜，即 P
到 A ， B ， C ， D 四点的距离之和的最小值为四点构成的四边形对
角线的长度之和，即 ＋
＝10 .故选A.
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8. 若圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0关于直线2 ax ＋ by ＋6＝0对称，则
由点（ a ， b ）向圆所作的切线长的最小值是（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
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解析：　法一　由 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0得（ x ＋1）2＋（ y －
2）2＝2，依题意得圆心 C （－1，2）在直线2 ax ＋ by ＋6＝0上，所
以2 a ×（－1）＋ b ×2＋6＝0，即 a ＝ b ＋3. ①
易知由点（ a ， b ）向圆所作的切线长 l ＝
， ②
将①代入②，得 l ＝ ＝
.又 b ∈R，所以当 b ＝－1时， lmin＝4.
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法二　因为过圆外一点的圆的切线长 l 、半径 r 和该点到圆心的距离 d
满足勾股定理，即 l2＝ d2－ r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离
最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆
心 C （－1，2），半径 r ＝ ，点（ a ， b ）在直线 y ＝ x －3上，所
以点（ a ， b ）与圆心的距离的最小值即圆心到直线 y ＝ x －3的距离
d'，易求得d'＝ ＝3 ，所以切线长的最小值为
＝4.
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A. 向量 u ＝（1，－2）是直线 l 的一个方向向量
B. 过点 P （0，2）且与直线 l 平行的直线为2 x ＋ y －2＝0
C. 过点 P （0，2）且与直线 l 垂直的直线为 x ＋2 y －4＝0
D. 点 P （0，2）关于直线 l 对称的点的坐标为（－4，0）
9. （多选）已知直线 l ：2 x ＋ y ＋3＝0，下列结论正确的是（　　）
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解析：　对于A，直线 l 的斜率为－2，则 u ＝（1，－2）是直
线 l 的一个方向向量，故A正确；对于B，过 P （0，2）且与直线 l 平
行的直线为 y ＝－2 x ＋2，即2 x ＋ y －2＝0，故B正确；对于C，过 P
（0，2）且与直线 l 垂直的直线为 y ＝ x ＋2，即 x －2 y ＋4＝0，故
C错误；对于D，过 P （0，2）且与直线 l 垂直的直线 x －2 y ＋4＝0
与直线 l 的交点为 M （－2，1），则点 P （0，2）关于直线 l 对称的
点的坐标为（－4，0），故D正确.故选A、B、D.
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10. （多选）已知直线 l1： x － y －1＝0，动直线 l2：（ k ＋1） x ＋ ky ＋
k ＝0（ k ∈R），则下列结论正确的是（　　）
A. 不存在 k ，使得 l2的倾斜角为90°
B. 对任意的 k ， l1与 l2都有公共点
C. 对任意的 k ， l1与 l2都不重合
D. 对任意的 k ， l1与 l2都不垂直
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解析： 　A. 存在 k ＝0，使得 l2的倾斜角为90°，故不正确；B.
直线 l1： x － y －1＝0过定点（0，－1），直线 l2：（ k ＋1） x ＋ ky
＋ k ＝0（ k ∈R） k （ x ＋ y ＋1）＋ x ＝0过定点（0，－1），故
正确.C. 当 l1与 l2重合时， l2的斜率为1，即－ ＝1，解得 k ＝－
，满足重合，故错误.D. 假如 l1⊥ l2，则 l2的斜率为－1，即－
＝－1，无解，故正确.
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11. （多选）已知直线 l ：（1－2 m ） x －（ m －1） y ＋7 m －4＝0，圆
C ： x2＋ y2－2 x －4 y －20＝0，则（　　）
A. 直线 l 恒过定点（1，3）
B. 直线 l 与圆 C 相交
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解析： 　依题意，直线 l ：（1－2 m ） x －（ m －1） y ＋7 m －4
＝0可化为（－2 x － y ＋7） m ＋ x ＋ y －4＝0，由
解得即直线 l 过定点 P （3，1），A不
正确；圆 C ：（ x －1）2＋（ y －2）2＝25的圆心 C （1，2），半径
r ＝5，｜ PC ｜＝ ＝ ＜ r ，即点 P 在
圆 C 内，直线 l 与圆 C 恒相交，B正确；圆心 C 到 x 轴的距离 d ＝2，
则圆 C 被 x 轴截得的弦长为2 ＝2 ＝2 ，C不正
确；由于直线 l 过定点 P （3，1），圆心 C （1，2），则直线 PC 的
斜率 k ＝ ＝－ ，当圆 C 被直线 l 截得的弦最短时，由圆的性质
知， l ⊥ PC ，于是得 ＝2，解得 m ＝ ，D正确.故选B、D.
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12. （多选）如图所示，已知直线 l 的方程是 y ＝ x －4，并且与 x 轴，
y 轴分别交于 A ， B 两点，一个半径为1.5的圆 C ，圆心 C 从点（0，
1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着 y 轴向下运动，当圆 C 与直
线 l 相切时，该圆运动的时间可以为（　　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 16
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解析： 　设当圆与直线 l 相切时，圆心坐标为（0， m ），则圆
心到直线 l 的距离为 ＝ ，得 m ＝－ 或 m ＝－ ，∴该
圆运动的时间为 ＝6（s）或 ＝16（s）.
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13. （2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线 x － my ＋1＝0与☉ C ：（ x －
1）2＋ y2＝4交于 A ， B 两点，写出满足“△ ABC 面积为 ”的 m 的一
个值 .
解析：依题意可得圆 C 的圆心为 C （1，0），半径 r ＝2，则圆心 C
（1，0）到直线 x － my ＋1＝0的距离 d ＝ ，｜ AB ｜＝2
＝ ，所以 S△ ABC ＝ × d ×｜ AB ｜＝ ＝
，解得 m ＝2或 m ＝－2或 m ＝ 或 m ＝－ .填写任意一个均可.
－2（或－ 或 或2，填写任意一个均可）　
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14. 由动点 P 向圆 x2＋ y2＝1引两条切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B ，
若∠ APB ＝60°，则动点 P 的轨迹方程是 .
解析：设动点 P 的坐标为（ x ， y ），依题意有｜ PO ｜＝
＝ ＝2，∴ x2＋ y2＝4，即所求的轨迹方程为 x2＋ y2＝4.
x2＋ y2＝4　
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15. 过点 A （11，2）作圆 x2＋ y2＋2 x －4 y －164＝0的弦，其中弦长为
整数的有 条.
解析：由题意可知过点 A （11，2）的最短的弦长为10，最长的弦
长为26，所以弦长为整数的有2＋2×（26－10－1）＝32（条）.
32　
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解析：由解得把（1，2）代入 mx ＋ ny ＋5＝
0可得 m ＋2 n ＋5＝0，所以 m ＝－5－2 n ，所以点（ m ， n ）到原
点的距离 d ＝ ＝ ＝ ≥
，当 n ＝－2时等号成立，此时 m ＝－1.所以点（ m ， n ）到原
点的距离的最小值为 .
　
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17. 已知直线 l ： x ＋（ m －1） y － m ＝0.
（1）若直线的倾斜角α∈［ ， ］，求实数 m 的取值范围；
解： 由题意可知当 m ＝1时，倾斜角为 ，符合题意，
当 m ≠1时，直线 l 的斜率 k ＝ .
∵倾斜角α∈［ ， ） k ＝tan α∈[1，＋∞），∴
≥1 0≤ m ＜1.
故 m 的取值范围为[0，1].
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（2）若直线 l 分别与 x 轴， y 轴的正半轴交于 A ， B 两点， O 是坐
标原点，求△ AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程.
解： 在直线 l 中，令 x ＝0，则 y ＝ ，即 B （0，
），令 y ＝0，则 x ＝ m ，即 A （ m ，0），
由题意可知：得 m ＞1.
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即 S△ AOB ＝ ｜ OA ｜·｜ OB ｜＝ ｜ m ｜· ＝ · ＝
＝ ［（ m －1）＋ ＋2］≥ ［2
＋2］＝2.
当且仅当 m －1＝ （ m －1）2＝1 m ＝2时取等号，
故 S△ AOB 最小值为2，此时直线 l 方程为： x ＋ y －2＝0.
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18. 已知圆 C ： x2＋ y2＝25和圆外一点 P （3，6）.
（1）若过点 P 的直线截圆 C 所得的弦长为8，求该直线的方程；
解：当过 P 的直线斜率不存在时，直线方程为 x ＝3，
由解得 y ＝4或 y ＝－4，则弦长为8，符
合题意.
当过 P 的直线斜率存在时，设直线的方程为 y －6＝ k （ x
－3），即 kx － y ＋6－3 k ＝0，
圆 C ： x2＋ y2＝25的圆心为（0，0），半径为5，
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设圆心（0，0）到直线 kx － y ＋6－3 k ＝0的距离为 d （ d
＞0），则 d2＋ ＝52， d ＝3，
即 ＝3，解得 k ＝ ，
直线方程为 x － y ＋6－ ＝0，即3 x －4 y ＋15＝0.
综上，该直线的方程为 x ＝3或3 x －4 y ＋15＝0.
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（2）求 x2＋ y2－8 x －6 y 的最大值和最小值.
解：x2＋ y2－8 x －6 y ＝（ x －4）2＋（ y －3）2－25，
表示圆上的点（ x ， y ）到点（4，3）的距离的平方减去25，
点（4，3）在圆 C ： x2＋ y2＝25上，
所以圆上的点（ x ， y ）到点（4，3）的距离的平方的取值范
围是[0，102]，即[0，100]，
所以 x2＋ y2－8 x －6 y ＝（ x －4）2＋（ y －3）2－25的取值范
围是[－25，75]，
所以 x2＋ y2－8 x －6 y 的最大值为75，最小值为－25.
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