资源简介

　　
一、数学运算
　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.本章中直线与圆的方程的求解体现了核心素养中的数学运算.
培优一 直线的方程
【例1】　若直线经过点A（－，3），且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为　　　　　　　　.
尝试解答
培优二 距离问题
【例2】　（1）点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　　）
A.1 B.
C. D.2
（2）已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则直线l1的方程为　　　　　　　.
尝试解答
培优三 圆的方程
【例3】　（2022·全国甲卷14题）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　　　　.
尝试解答
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.本章中在判断直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系就是从一般到特殊的推理.
培优四 两条直线的平行与垂直
【例4】　（1）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：（m－1）x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知直线l1：2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：（a＋1）x＋（a－1）y＝0，若l1⊥l2，则a＝（　　）
A.2或 B.或－1
C. D.－1
尝试解答
培优五 直线与圆、圆与圆的位置关系
【例5】　（1）（2022·北京高考3题）若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）
A.　　 B.－　　C.1　　 D.－1
（2）（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　）
A.1 B.
C. D.
尝试解答
三、直观想象
　　在直观想象核心素养的形成过程中，学生可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维.本章中题目在计算弦长、切线、最值问题时常体现学科素养中的直观想象.
培优六 弦长与切线问题
【例6】　（1）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（　　）
A. B.
C. D.
（2）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
（3）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切与点B，则｜AB｜＝　　　　.
尝试解答
培优七 与圆有关的最值问题
【例7】　已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为（　　）
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　x－y＋6＝0　解析：由直线x＋y＋1＝0的斜率为－，所以其倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A（－，3），所以所求直线方程为y－3＝（x＋），即x－y＋6＝0.
【例2】　（1）B　（2）2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0或2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0　解析：（1）法一　由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.
法二　记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝，故选B.
（2）∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或n＝18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
把l2的方程写成4x－8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－18或n＝22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
【例3】　（x－1）2＋（y＋1）2＝5
解析：法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M，
∴
解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.
联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
【例4】　（1）C　（2）B　解析：（1）当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2＝m（m－1），解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
（2）因为直线l1：2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：（a＋1）x＋（a－1）y＝0，l1⊥l2，所以2a（a＋1）＋（a＋1）（a－1）＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.
【例5】　（1）A　（2）B　解析：（1）依题意可知圆心坐标为（a，0），又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝，故选A.
（2）由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.故选B.
【例6】　（1）B　（2）B　（3）
解析：（1）因为圆与两坐标轴都相切，点（2，1）在该圆上，所以可设该圆的方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），所以（2－a）2＋（1－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为（1，1）或（5，5），所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B.
（2）将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程（x－3）2＋y2＝9，设圆心为C，则C（3，0），半径r＝3.设点（1，2）为点A，过点A（1，2）的直线为l，因为（1－3）2＋22＜9，所以点A（1，2）在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆
所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝｜AC｜＝＝2，所以｜BD｜min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
（3）设圆心为M，由直线的斜率为知此切线的倾斜角为60°，又切线与y轴交点为A，所以∠MAB＝30°，又∠ABM＝90°，且MB＝1，所以AM＝2，即｜AB｜＝＝.
【例7】　D　法一　由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0， ①
得☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由得所以P（－1，0）.易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0， ②
由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D.
法二　因为☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝＝，所以只需｜PM｜最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A、C.
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P（－1，0）.因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与☉M相切，所以A（－1，1）.因为点A（－1，1）在直线AB上，故排除B.故选D.
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章末复习与总结
一、数学运算
　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是
得到数学结果的重要手段.本章中直线与圆的方程的求解体现了核心素
养中的数学运算.
培优一 直线的方程
【例1】　若直线经过点 A （－ ，3），且倾斜角为直线 x ＋ y ＋
1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为 .
解析：由直线 x ＋ y ＋1＝0的斜率为－ ，所以其倾斜角为
120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 .又直
线过点 A （－ ，3），所以所求直线方程为 y －3＝ （ x ＋
），即 x － y ＋6＝0.
x － y ＋6＝0　
培优二 距离问题
【例2】　（1）点（0，－1）到直线 y ＝ k （ x ＋1）距离的最大值为
（　B　）
A. 1
D. 2
B
解析：法一　由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直
线 y ＝ k （ x ＋1）的距离 d ＝ ＝
＝ ＝ .当 k ＝0时， d ＝1；当 k ≠0时， d ＝
＝ ，要使 d 最大，需 k ＞0且 k ＋ 最小，
∴当 k ＝1时， dmax＝ ，故选B.
法二　记点 A （0，－1），直线 y ＝ k （ x ＋1）恒过点 B （－1，0），
当 AB 垂直于直线 y ＝ k （ x ＋1）时，点 A （0，－1）到直线 y ＝ k （ x
＋1）的距离最大，且最大值为｜ AB ｜＝ ，故选B.
解析： ∵ l1∥ l2，∴ ＝ ≠ ，
∴或
（2）已知直线 l1： mx ＋8 y ＋ n ＝0与 l2：2 x ＋ my －1＝0互相平行，
且 l1， l2之间的距离为 ，则直线 l1的方程为
.
2 x ＋4 y －11＝0或
2 x ＋4 y ＋9＝0或2 x －4 y ＋9＝0或2 x －4 y －11＝0　
①当 m ＝4时，直线 l1的方程为4 x ＋8 y ＋ n ＝0，
把 l2的方程写成4 x ＋8 y －2＝0，
∴ ＝ ，解得 n ＝－22或 n ＝18.
故所求直线的方程为2 x ＋4 y －11＝0或2 x ＋4 y ＋9＝0.
②当 m ＝－4时，直线 l1的方程为4 x －8 y － n ＝0，
把 l2的方程写成4 x －8 y －2＝0，
∴ ＝ ，解得 n ＝－18或 n ＝22.
故所求直线的方程为2 x －4 y ＋9＝0或2 x －4 y －11＝0.
培优三 圆的方程
【例3】　（2022·全国甲卷14题）设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点
（3，0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为
.
解析：法一　设☉ M 的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，则
解得∴☉ M 的方程为（ x －1）2＋
（ y ＋1）2＝5.
（ x －1）2＋（ y
＋1）2＝5　
法二　设☉ M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞
0），则 M ，
∴解得
∴☉ M 的方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5.
法三　设 A （3，0）， B （0，1），☉ M 的半径为 r ，则 kAB ＝ ＝
－ ， AB 的中点坐标为 ，∴ AB 的垂直平分线方程为 y － ＝3
，即3 x － y －4＝0.联立得解得 M （1，－
1），∴ r2＝｜ MA ｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉ M 的方程
为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5.
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命
题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式
主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演
绎.本章中在判断直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系就是从一
般到特殊的推理.
培优四 两条直线的平行与垂直
【例4】　（1）设不同直线 l1：2 x － my －1＝0， l2：（ m －1） x － y
＋1＝0，则“ m ＝2”是“ l1∥ l2”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：当 m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平
行，即充分性成立.当 l1∥ l2时，显然 m ≠0，从而有2＝ m （ m －
1），解得 m ＝2或 m ＝－1，但当 m ＝－1时，两直线重合，不
符合要求，故必要性成立，故“ m ＝2”是“ l1∥ l2”的充要条件.
（2）已知直线 l1：2 ax ＋（ a ＋1） y ＋1＝0， l2：（ a ＋1） x ＋（ a －
1） y ＝0，若 l1⊥ l2，则 a ＝（　　）
D. －1
解析：因为直线 l1：2 ax ＋（ a ＋1） y ＋1＝0， l2：（ a ＋1） x ＋
（ a －1） y ＝0， l1⊥ l2，所以2 a （ a ＋1）＋（ a ＋1）（ a －
1）＝0，解得 a ＝ 或 a ＝－1.故选B.
培优五 直线与圆、圆与圆的位置关系
【例5】　（1）（2022·北京高考3题）若直线2 x ＋ y －1＝0是圆（ x
－ a ）2＋ y2＝1的一条对称轴，则 a ＝（　　）
C. 1 D. －1
解析：依题意可知圆心坐标为（ a ，0），又直线2 x ＋ y －1＝0是圆的一条对称轴，所以2 a ＋0－1＝0，所以 a ＝ ，故选A.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆 x2＋ y2－4 x －1＝0
相切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　）
A. 1
解析：由 x2＋ y2－4 x －1＝0，得（ x －2）2＋
y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为 .
如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离
为2 ，所以点（0，－2）与切点的距离为
＝ ，所以 sin ＝
， cos ＝ ，所以 sin α＝2 sin cos ＝
2× × ＝ .故选B.
三、直观想象
　　在直观想象核心素养的形成过程中，学生可增强运用图形的意
识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维.本章中题
目在计算弦长、切线、最值问题时常体现学科素养中的直观想象.
培优六 弦长与切线问题
【例6】　（1）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直
线2 x － y －3＝0的距离为（　B　）
B
解析：因为圆与两坐标轴都相切，点（2，1）在该圆上，
所以可设该圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － a ）2＝ a2（ a ＞0），
所以（2－ a ）2＋（1－ a ）2＝ a2，即 a2－6 a ＋5＝0，解得 a ＝1
或 a ＝5，所以圆心的坐标为（1，1）或（5，5），所以圆心到
直线2 x － y －3＝0的距离为 ＝ 或 ＝
，故选B.
（2）已知圆 x2＋ y2－6 x ＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦
的长度的最小值为（　B　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
B
解析：将圆的方程 x2＋ y2－6 x ＝0化为标准方程（ x －3）2
＋ y2＝9，设圆心为 C ，则 C （3，0），半径 r ＝3.设点（1，2）
为点 A ，过点 A （1，2）的直线为 l ，因为（1－3）2＋22＜9，
所以点 A （1，2）在圆 C 的内部，则直线 l 与圆 C 必相交，设交
点分别为 B ， D . 易知当直线 l ⊥ AC 时，直线 l 被该圆所截得的
弦的长度最小，设此时圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，则 d ＝｜
AC ｜＝ ＝2 ，所以｜ BD ｜min＝2
＝2 ＝2，即弦的长度的最小值为2，故
选B.
（3）若斜率为 的直线与 y 轴交于点 A ，与圆 x2＋（ y －1）2＝1相
切与点 B ，则｜ AB ｜＝ .
解析：设圆心为 M ，由直线的斜率为 知此切线的倾斜
角为60°，又切线与 y 轴交点为 A ，所以∠ MAB ＝30°，又∠
ABM ＝90°，且 MB ＝1，所以 AM ＝2，即｜ AB ｜＝
＝ .
　
培优七 与圆有关的最值问题
【例7】　已知☉ M ： x2＋ y2－2 x －2 y －2＝0，直线 l ：2 x ＋ y ＋2＝
0， P 为 l 上的动点.过点 P 作☉ M 的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ，
当｜ PM ｜·｜ AB ｜最小时，直线 AB 的方程为（　　）
A. 2 x － y －1＝0 B. 2 x ＋ y －1＝0
C. 2 x － y ＋1＝0 D. 2 x ＋ y ＋1＝0
解析：　法一　由☉ M ： x2＋ y2－2 x －2 y －2＝0， ①
得☉ M ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，所以圆心 M
（1，1）.如图，连接 AM ， BM ，易知四边形 PAMB
的面积为 ｜ PM ｜·｜ AB ｜，欲使｜ PM ｜·｜ AB ｜
最小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需△ PAM
的面积最小.因为｜ AM ｜＝2，所以只需｜ PA ｜最
小.又｜ PA ｜＝ ＝
，所以只需直线2 x ＋ y ＋2＝0上的动点
P 到 M 的距离最小，其最小值为 ＝ ，此时 PM ⊥ l ，易求
出直线 PM 的方程为 x －2 y ＋1＝0.由得
所以 P （－1，0）.易知 P ， A ， M ， B 四点共圆，所以以 PM 为直径
的圆的方程为 x2＋ ＝ ，即 x2＋ y2－ y －1＝0， ②
由①②得，直线 AB 的方程为2 x ＋ y ＋1＝0，故选D.
法二　因为☉ M ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，所以圆心 M （1，1）.
连接 AM ， BM ，易知四边形 PAMB 的面积为 ｜ PM ｜·｜ AB ｜，欲
使｜ PM ｜·｜ AB ｜最小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需△
PAM 的面积最小.因为｜ AM ｜＝2，所以只需｜ PA ｜最小.又｜ PA ｜
＝ ＝ ，所以只需｜ PM ｜最小，
此时 PM ⊥ l .因为 PM ⊥ AB ，所以 l ∥ AB ，所以 kAB ＝－2，排除A、C.
易求出直线 PM 的方程为 x －2 y ＋1＝0，由得
所以 P （－1，0）.因为点 M 到直线 x ＝－1的距离为2，所
以直线 x ＝－1过点 P 且与☉ M 相切，所以 A （－1，1）.因为点 A （－
1，1）在直线 AB 上，故排除B. 故选D.
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