资源简介

1.1　椭圆及其标准方程
1.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为（　　）
A.5　　　　　　　　　 B.3
C.5或3 D.8
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.椭圆＋＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为（　　）
A.6 B.8
C.10 D.12
5.（多选）下列叙述正确的是（　　）
A.椭圆x2＋＝1的焦点坐标为（0，1），（0，－1）
B.椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同
C.椭圆＋＝1上点P到两焦点的距离之和为6
D.方程2 024x2＋2 025y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆
6.（多选）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆与直角坐标系中坐标轴的交点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，－3）在椭圆上，则椭圆的方程为　　　　.
8.已知椭圆的标准方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值为　　　　.
9.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是　　　　.
10.已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与过椭圆焦点的坐标轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程.
11.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2＝1和圆B：（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为（　　）
A.9，12　 B.8，11 C.8，12　 D.10，12
12.（多选）若点F1，F2为椭圆C的左、右焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
13.（多选）已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于椭圆C与x轴两个交点的动点，则下列结论正确的是（　　）
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为2
C.当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D.存在点P使得·＝0
14.椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为　　　　.
15.如图，点A是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与y轴负半轴的交点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为（0，1），且满足BP∥x轴，·＝9，求椭圆C的方程.
16.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
（1）求△F1PF2的面积S；
（2）研究∠F1PF2的变化规律.
1.1　椭圆及其标准方程
1.C　由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m＞4时，m＝4＋1＝5；当m＜4时，4＝m＋1，∴m＝3.∴m的值为5或3.
2.B　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.
3.B　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1＜m＜3且m≠2；当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆.故选B.
4.D　由椭圆＋＝1可得a＝5，b＝4，所以c＝＝＝3，令x＝0可得y＝±4，所以P（0，±4），所以△PF1F2的面积为×｜yP｜×｜F1F2｜＝×4×6＝12，故选D.
5.ABC　因为椭圆方程x2＋＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，椭圆的焦点在y轴上，得焦点坐标为（0，1），（0，－1），选项A正确.椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同，都是（1，0），（－1，0），选项B正确.由椭圆方程＋＝1，得a2＝9，b2＝3，所以椭圆上的点P到两焦点的距离之和为2a＝6，选项C正确.方程2 024x2＋2 025y2＝1，即＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆，选项D错误.
6.AC　由题意，得当b＝c时，该椭圆为“对偶椭圆”.由c＝得，选项A中，b＝c＝2；选项B中，b＝，c＝，b≠c；选项C中，b＝c＝；选项D中，b＝，c＝，b≠c.故选A、C.
7.＋＝1　解析：由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.
8.4或　解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
9.4　解析：设椭圆的另一个焦点为E，则｜MF｜＋｜ME｜＝10，又∵｜MF｜＝2，∴｜ME｜＝8，又ON为△MEF的中位线，∴｜ON｜＝｜ME｜＝4.
10.解：法一　设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），
由已知条件得
解得
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
法二　设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c，得｜y｜＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得｜x｜＝.
依题意有＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11.C　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与圆相交于M，N两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12.即最小值和最大值分别为8，12.
12.ACD　设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），设椭圆C与y轴正半轴的交点为B.若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴｜BF1｜2＋｜BF2｜2≤｜F1F2｜2，即a2＋a2≤4c2.∵c2＝a2－b2，∴a2≥2b2.故选项A、C、D满足题意.
13.AB　由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以△PF1F2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜sin 60°＝，故C错误；设P（x0，y0），则＋＝1，由·＝0可得＋＝4，从而可得＝－，＝，不成立，故D错误，故选A、B.
14.12　解析：依题意可知光线经两次椭圆内壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.
15.解：由题意得A（0，－b），直线AB的方程为y＝x－b，
由P（0，1）且BP∥x轴，得B（1＋b，1），
所以＝（1＋b，1＋b），＝（0，1＋b），
因为·＝9，故0＋（1＋b）2＝9，
因为b＞0，于是b＝2，所以B（3，1），
将B（3，1）代入椭圆＋＝1，
得＋＝1，解得a2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
16.解：（1）如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.
由余弦定理，可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2·｜PF1｜·｜PF2｜－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜·（1＋cos 2θ）＝4c2，
∴｜PF1｜·｜PF2｜＝.
∴S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ.
（2）∵2θ为△PF1F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）.
令点P由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高在逐渐增大，故S逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈（0，）可知，θ也逐渐变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值.
2 / 21.1　椭圆及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 直观想象
　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示.
　　我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.
【问题】　（1）那么，你能说说到底什么是椭圆吗？
（2）椭圆上任意一点的特征是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　椭圆的定义
　平面内到两个定点F1，F2的　　　　　　　　　　　　　　　　的点的集合（或轨迹）叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的　　　，两个焦点间的距离　　　　　叫作椭圆的焦距.
【想一想】
定义中，将“大于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程
图形
焦点 坐标
a，b，c 的关系 c2＝　　　
提醒　椭圆标准方程的特征：（1）几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；
（2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（　　）
（2）平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.（　　）
（3）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（　　）
（4）设F1（－4，0），F2（4，0）为定点，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝8，则动点M的轨迹是椭圆.（　　）
2.若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值为（　　）
A.1　　 B.2　　　C.4　　 D.6
3.若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为　　　　.
题型一 椭圆的定义
【例1】　若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为　　　　　　.
尝试解答
通性通法
椭圆的定义在解题中的双向作用
　　椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
【跟踪训练】
　已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，则｜AB｜＝　　　　.
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】　求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆上一点P与两焦点的距离之和等于10；
（2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）；
（3）经过两点（2，－），（－1，）.
尝试解答
通性通法
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
　　主要步骤可归纳为“先定位，再定量”.
提醒　若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）.
【跟踪训练】
　 求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程.
题型三 椭圆方程的简单应用
【例3】　（1）已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　　　　；
（2）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k的值为　　　　.
尝试解答
【母题探究】
　（变条件）将本例（1）中的方程改为“＋＝1”其他不变，试求实数m的取值范围.
通性通法
1.判断焦点所在坐标轴其依据是看x2项，y2项的分母哪个大，焦点在分母大的坐标轴上.
2.对于方程＋＝1（m＞0，n＞0），当m＞n＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆.
【跟踪训练】
　若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（　　）
A.（5，7） B.（5，6）
C.（6，7） D.（5，6）∪（6，7）
题型四 椭圆的焦点三角形
【例4】　点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝30°，则△PF1F2的面积为　　　　.
尝试解答
通性通法
　　设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，P，F1，F2构成了一个三角形，这个三角形叫作焦点三角形.我们可以由三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问题，如△PF1F2的面积问题，｜PF1｜·｜PF2｜的最值问题等.
【跟踪训练】
　设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上任意一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，则的值为　　　　.
1.椭圆＋＝1的焦点坐标是（　　）
A.（±5，0）　　　　　 B.（0，±5）
C.（0，±12） D.（±12，0）
2.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
3.如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）
A.（0，1） B.（0，2）
C.（1，＋∞） D.（0，＋∞）
4.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是　　　　.
5.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程为　　　　.
1.1　椭圆及其标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
　距离之和等于常数（大于｜F1F2｜）　焦点　｜F1F2｜
想一想
　提示：不是.
知识点二
　＋＝1（a＞b＞0）　＋＝1（a＞b＞0）　（－c，0），（c，0）　（0，－c），（0，c）　a2－b2
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.C
3.＋＝1或＋＝1
【典型例题·精研析】
【例1】　＋＝1（y≠0）
解析：△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），周长为18，∵｜AB｜＝8，∴｜BC｜＋｜AC｜＝10.∵｜BC｜＋｜AC｜＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆.∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是＋＝1（y≠0）.
跟踪训练
　8　解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知｜AB｜＝｜F1A｜＋｜F1B｜，所以在△F2AB中，｜F2A｜＋｜F2B｜＋｜AB｜＝4a＝20，又｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，所以｜AB｜＝8.
【例2】　解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
法一　由椭圆的定义知2a＝＋
＝6＋＋6－＝12，解得a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　因为所求椭圆过点（4，3），所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（3）法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由已知条件得
解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）.分别将两点的坐标（2，－），（－1，）代入椭圆的一般方程，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练
　解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点（，－）在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【例3】　（1）（2，）　（2）1或5
解析：（1）∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程应为＋＝1（a＞b＞0），∴｜m｜－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜，∴m的取值范围为（2，）.
（2）将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.
母题探究
　解：∵焦点在y轴上，∴m－1＞5－2m＞0，∴2＜m＜.
跟踪训练
　D　由题意可知解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围是（5，6）∪（6，7）.
【例4】　8－4　解析：在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，所以c＝＝1.又因为点P在椭圆上，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，①.由余弦定理知｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 30°＝｜F1F2｜2＝4c2＝4，②.①式两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，③.③－②得（2＋）｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝16（2－）.所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 30°＝8－4.
跟踪训练
　或2　解析：因为椭圆方程为＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝5.所以｜F1F2｜＝2，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6.由题意知，｜PF1｜＞｜PF2｜，所以∠PF1F2不可能为直角.若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，即｜PF1｜2＝（6－｜PF1｜）2＋20，解得｜PF1｜＝.所以｜PF2｜＝，所以＝.若∠F1PF2为直角，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2，即20＝｜PF1｜2＋（6－｜PF1｜）2，解得｜PF1｜＝4或｜PF1｜＝2（舍去）.所以｜PF2｜＝2，所以＝2.综上可知，的值为或2.
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1.C　∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为（0，±12）.
2.D　由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.
3.A　将方程x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，∴＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）.
4.16　解析：由椭圆定义知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，故△ABF2的周长为｜AB｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝16.
5.＋＝1　解析：由｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.
4 / 4(共70张PPT)
1.1　椭圆及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握
椭圆的定义及标准方程 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②
所示.
　　我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆
上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.
【问题】　（1）那么，你能说说到底什么是椭圆吗？
（2）椭圆上任意一点的特征是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　椭圆的定义
　平面内到两个定点 F1， F2的
的点的集合（或轨迹）叫作椭圆.这两个定点 F1， F2叫作椭圆
的 ，两个焦点间的距离 叫作椭圆的焦距.
【想一想】
定义中，将“大于｜ F1 F2｜”改为“等于｜ F1 F2｜”或“小于｜ F1 F2｜”，
其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
提示：不是.
距离之和等于常数（大于｜ F1
F2｜）　
焦点　
｜ F1 F2｜　
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程


图形
焦点坐标

a ， b ， c 的
关系 c2＝ ＋ ＝1（ a ＞ b ＞ 0）
＋ ＝1（ a ＞ b ＞ 0）
（－ c ，0），（ c ， 0）
（0，－ c ），（0， c ）
a2－ b2　
提醒　椭圆标准方程的特征：（1）几何特征：椭圆的中心在坐标原
点，焦点在 x 轴或 y 轴上；
（2）代数特征：方程右边为1，左边是关于 与 的平方和，
并且分母为不相等的正值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝ b2
＋ c2. （　√　）
（2）平面内到两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的集合是
椭圆. （　×　）
（3）方程 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0）表示的曲线是椭圆.（　　）
（4）设 F1（－4，0）， F2（4，0）为定点，动点 M 满足｜ MF1｜
＋｜ MF2｜＝8，则动点 M 的轨迹是椭圆. （　×　）
√
×
×
×
2. 若椭圆 ＋ ＝1的一个焦点坐标为（1，0），则实数 m 的值为
（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
3. 若椭圆的焦距为6， a － b ＝1，则椭圆的标准方程为
.
＋ ＝1或
＋ ＝1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 椭圆的定义
【例1】　若△ ABC 的两个顶点坐标为 A （－4，0）， B （4，0），△
ABC 的周长为18，则顶点 C 的轨迹方程为 .
＋ ＝1（ y ≠0）　
解析：△ ABC 的两个顶点坐标为 A （－4，0）， B （4，0），周长为
18，∵｜ AB ｜＝8，∴｜ BC ｜＋｜ AC ｜＝10.∵｜ BC ｜＋｜ AC ｜＞
8，∴点 C 到两个定点 A ， B 的距离之和为定值，∴点 C 的轨迹是以
A ， B 为焦点，去除直线 AB 上的点的椭圆.∵2 a ＝10，2 c ＝8，∴ b ＝
3.∴顶点 C 的轨迹方程是 ＋ ＝1（ y ≠0）.
通性通法
椭圆的定义在解题中的双向作用
　　椭圆的定义具有双向作用，即若｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝2 a （2 a
＞｜ F1 F2｜），则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两
焦点的距离之和必为2 a .
【跟踪训练】
　已知 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于
A ， B 两点.若｜ F2 A ｜＋｜ F2 B ｜＝12，则｜ AB ｜＝ .
解析：由直线 AB 过椭圆的一个焦点 F1，知｜ AB ｜＝｜ F1 A ｜＋｜ F1
B ｜，所以在△ F2 AB 中，｜ F2 A ｜＋｜ F2 B ｜＋｜ AB ｜＝4 a ＝20，
又｜ F2 A ｜＋｜ F2 B ｜＝12，所以｜ AB ｜＝8.
8　
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】　求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为 F1（－4，0）， F2（4，0），并且椭圆
上一点 P 与两焦点的距离之和等于10；
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，且 c ＝4，2 a ＝10，所以 a
＝5， b ＝ ＝ ＝3，所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1.
（2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3 ）；
解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0）.
法一　由椭圆的定义知2 a ＝ ＋
＝6＋ ＋6－ ＝12，解得 a ＝6.
又 c ＝2，所以 b ＝ ＝4 .
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二　因为所求椭圆过点（4，3 ），所以 ＋ ＝1.
又 c2＝ a2－ b2＝4，可解得 a2＝36， b2＝32，
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（3）经过两点（2，－ ），（－1， ）.
解：法一　若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b
＞0）.由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
由已知条件得解得
则 a2＜ b2，与 a ＞ b ＞0矛盾，舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二　设椭圆的一般方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）.分
别将两点的坐标（2，－ ），（－1， ）代入椭圆的一般方程，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
通性通法
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
　　主要步骤可归纳为“先定位，再定量”.
提醒　若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种
情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠
B ）.
【跟踪训练】
　 求满足过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭
圆的标准方程.
解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在 y 轴
上，且 c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16. ①
又点（ ，－ ）在椭圆上，所以 ＋ ＝1，
即 ＋ ＝1. ②
由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
题型三 椭圆方程的简单应用
【例3】　（1）已知方程 ＋ ＝1表示焦点在 y 轴上的椭
圆，则实数 m 的取值范围为 ；
解析：∵椭圆焦点在 y 轴上，∴其标准方程应为 ＋ ＝
1（ a ＞ b ＞0），∴｜ m ｜－1＞5－2 m ＞0，解得2＜ m ＜ ，
∴ m 的取值范围为（2， ）.
（2， ）　
（2）已知椭圆方程为 kx2＋3 y2－6 k ＝0（ k ≠0），焦距为4，则 k 的值
为 .
解析：将方程 kx2＋3 y2－6 k ＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为
4，∴2 c ＝4，即 c ＝2.当焦点在 x 轴上时，6－2 k ＝4，解得 k ＝
1；当焦点在 y 轴上时，2 k －6＝4，解得 k ＝5.综上， k ＝1或5.
1或5　
【母题探究】
　（变条件）将本例（1）中的方程改为“ ＋ ＝1”其他
不变，试求实数 m 的取值范围.
解：∵焦点在 y 轴上，∴ m －1＞5－2 m ＞0，∴2＜ m ＜ .
通性通法
1. 判断焦点所在坐标轴其依据是看 x2项， y2项的分母哪个大，焦点在
分母大的坐标轴上.
2. 对于方程 ＋ ＝1（ m ＞0， n ＞0），当 m ＞ n ＞0时，方程表示
焦点在 x 轴上的椭圆；当 n ＞ m ＞0时，方程表示焦点在 y 轴上的椭
圆.特别地，当 n ＝ m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆.
【跟踪训练】
若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则实数 k 的取值范围为（　　）
A. （5，7） B. （5，6）
C. （6，7） D. （5，6）∪（6，7）
解析：　由题意可知解得5＜ k ＜7且 k ≠6，所以
实数 k 的取值范围是（5，6）∪（6，7）.
题型四 椭圆的焦点三角形
【例4】　点 P 是椭圆 ＋ ＝1上的一点， F1和 F2是椭圆的焦点，且
∠ F1 PF2＝30°，则△ PF1 F2的面积为 .
8－4 　
解析：在椭圆 ＋ ＝1中， a ＝ ， b ＝2，所以 c ＝ ＝1.
又因为点 P 在椭圆上，所以｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝2 ，①.由余
弦定理知｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－2｜ PF1｜·｜ PF2｜ cos 30°＝｜ F1
F2｜2＝4 c2＝4，②.①式两边平方得｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＋2｜
PF1｜·｜ PF2｜＝20，③.③－②得（2＋ ）｜ PF1｜·｜ PF2｜＝
16，所以｜ PF1｜·｜ PF2｜＝16（2－ ）.所以 ＝ ｜
PF1｜·｜ PF2｜· sin 30°＝8－4 .
通性通法
　　设 F1， F2为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上的一点，当 P ， F1， F2
三点不在同一条直线上时， P ， F1， F2构成了一个三角形，这个三角
形叫作焦点三角形.我们可以由三角形的边角关系、正弦定理、余弦定
理和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问题，如△ PF1 F2的面积
问题，｜ PF1｜·｜ PF2｜的最值问题等.
【跟踪训练】
　设 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点， P 为椭圆上任意一点，已
知 P ， F1， F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜ PF1｜＞｜ PF2｜，
则 的值为 　 或2　.
或2　
解析：因为椭圆方程为 ＋ ＝1，所以 a2＝9， b2＝4， c2＝5.所以｜
F1 F2｜＝2 ，｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝6.由题意知，｜ PF1｜＞｜
PF2｜，所以∠ PF1 F2不可能为直角.若∠ PF2 F1为直角，则｜ PF1｜2
＝｜ PF2｜2＋｜ F1 F2｜2，即｜ PF1｜2＝（6－｜ PF1｜）2＋20，解
得｜ PF1｜＝ .所以｜ PF2｜＝ ，所以 ＝ .若∠ F1 PF2为直
角，则｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2，即20＝｜ PF1｜2＋（6－｜
PF1｜）2，解得｜ PF1｜＝4或｜ PF1｜＝2（舍去）.所以｜ PF2｜＝
2，所以 ＝2.综上可知， 的值为 或2.
1. 椭圆 ＋ ＝1的焦点坐标是（　　）
A. （±5，0） B. （0，±5）
C. （0，±12） D. （±12，0）
解析：　∵ c2＝ a2－ b2＝169－25＝122，∴ c ＝12.又椭圆的焦点在
y 轴上，故焦点坐标为（0，±12）.
2. 椭圆 ＋ y2＝1上一点 P 到一个焦点的距离为2，则点 P 到另一个焦
点的距离为（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：　由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是10－2＝8.
3. 如果 x2＋ ky2＝2表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是
（　　）
A. （0，1） B. （0，2）
C. （1，＋∞） D. （0，＋∞）
解析：　将方程 x2＋ ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得 ＋ ＝
1，∵ x2＋ ky2＝2表示焦点在 y 轴上的椭圆，∴ ＞2，解得0＜ k ＜
1.∴实数 k 的取值范围是（0，1）.
4. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F1的直线 l
交椭圆于 A ， B 两点，则△ ABF2的周长是 .
解析：由椭圆定义知，｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝｜ BF1｜＋｜ BF2｜＝2
a ＝8，故△ ABF2的周长为｜ AB ｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝｜ AF1｜
＋｜ BF1｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝16.
16　
5. 设 F1， F2分别为椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右两个焦
点，若椭圆 C 上的点 A 到 F1， F2两点的距离之和为4，则椭
圆 C 的方程为 .
解析：由｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ＝4得 a ＝2，∴原方程化为 ＋
＝1，将 A 代入方程得 b2＝3，∴椭圆方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若椭圆 ＋ ＝1的焦距为2，则 m 的值为（　　）
A. 5 B. 3
C. 5或3 D. 8
解析：　由题意得 c ＝1， a2＝ b2＋ c2.当 m ＞4时， m ＝4＋1＝5；
当 m ＜4时，4＝ m ＋1，∴ m ＝3.∴ m 的值为5或3.
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2. 与椭圆9 x2＋4 y2＝36有相同焦点，且满足2 b ＝4 的椭圆方程是
（　　）
解析：　由9 x2＋4 y2＝36可得 ＋ ＝1，所以所求椭圆的焦点在
y 轴上，且 c2＝9－4＝5，又2 b ＝4 ，所以 b ＝2 ， a2＝25，所
以所求椭圆方程为 ＋ ＝1.
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3. “1＜ m ＜3”是“方程 ＋ ＝1表示椭圆”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　当方程 ＋ ＝1表示椭圆时，必有
所以1＜ m ＜3且 m ≠2；当 m ＝2时，方程变为 x2
＋ y2＝1，它表示一个圆.故选B.
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4. 椭圆 ＋ ＝1与 y 轴的交点为 P ，两个焦点为 F1， F2，则△ PF1 F2
的面积为（　　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析：　由椭圆 ＋ ＝1可得 a ＝5， b ＝4，所以 c ＝
＝ ＝3，令 x ＝0可得 y ＝±4，所以 P （0，±4），所以△
PF1 F2的面积为 ×｜ yP ｜×｜ F1 F2｜＝ ×4×6＝12，故选D.
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5. （多选）下列叙述正确的是（　　）
D. 方程2 024 x2＋2 025 y2＝1表示焦点在 y 轴上的椭圆
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解析：　因为椭圆方程 x2＋ ＝1中， a2＝2， b2＝1，所以 c2
＝ a2－ b2＝1，椭圆的焦点在 y 轴上，得焦点坐标为（0，1），
（0，－1），选项A正确.椭圆 ＋ ＝1与 ＋ ＝1的焦点相
同，都是（1，0），（－1，0），选项B正确.由椭圆方程 ＋ ＝
1，得 a2＝9， b2＝3，所以椭圆上的点 P 到两焦点的距离之和为2 a
＝6，选项C正确.方程2 024 x2＋2 025 y2＝1，即 ＋ ＝1，表
示焦点在 x 轴上的椭圆，选项D错误.
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6. （多选）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆与直角坐
标系中坐标轴的交点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为
“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（　　）
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解析：　由题意，得当 b ＝ c 时，该椭圆为“对偶椭圆”.由 c ＝
得，选项A中， b ＝ c ＝2；选项B中， b ＝ ， c ＝ ， b
≠ c ；选项C中， b ＝ c ＝ ；选项D中， b ＝ ， c ＝ ， b ≠ c .故
选A、C.
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7. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右焦点为 F （3，0），点（0，
－3）在椭圆上，则椭圆的方程为 .
解析：由题意可得解得故椭圆的方程为
＋ ＝1.
＋ ＝1　
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8. 已知椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ m ＞0），并且焦距为6，则实
数 m 的值为 .
解析：∵2 c ＝6，∴ c ＝3.当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准
方程知 a2＝25， b2＝ m2.由 a2＝ b2＋ c2，得25＝ m2＋9，∴ m2＝16，
又 m ＞0，故 m ＝4.当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知
a2＝ m2， b2＝25.由 a2＝ b2＋ c2，得 m2＝25＋9＝34，又 m ＞0，故 m
＝ .综上可知，实数 m 的值为4或 .
4或 　
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9. 已知椭圆 ＋ ＝1上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为2， N 是
MF 的中点， O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是 .
解析：设椭圆的另一个焦点为 E ，则｜ MF ｜＋｜ ME ｜＝10，又
∵｜ MF ｜＝2，∴｜ ME ｜＝8，又 ON 为△ MEF 的中位线，∴｜
ON ｜＝ ｜ ME ｜＝4.
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10. 已知点 P 在椭圆上，且 P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过 P
且与过椭圆焦点的坐标轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，
求椭圆的标准方程.
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解：法一　设所求的椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）或 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0），
由已知条件得解得
所以 b2＝ a2－ c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
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法二　设所求的椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）或 ＋ ＝1（ a
＞ b ＞0），两个焦点分别为 F1， F2.
由题意知2 a ＝｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝3＋5＝8，所以 a ＝4.
在方程 ＋ ＝1中，令 x ＝± c ，得｜ y ｜＝ ；
在方程 ＋ ＝1中，令 y ＝± c ，得｜ x ｜＝ .
依题意有 ＝3，得 b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
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11. 设 P 是椭圆 ＋ ＝1上一点， M ， N 分别是圆 A ：（ x ＋4）2＋ y2
＝1和圆 B ：（ x －4）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜＋｜ PN ｜的最
小值、最大值分别为（　　）
A. 9，12 B. 8，11
C. 8，12 D. 10，12
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解析：　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆
圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定义知｜
PA ｜＋｜ PB ｜＝2 a ＝10，连接 PA ， PB ，分
别与圆相交于 M ， N 两点，此时｜ PM ｜＋｜
PN ｜最小，最小值为｜ PA ｜＋｜ PB ｜－2 r ＝
8.延长 PA ， PB ，分别与圆相交于M'，N'两点，
此时｜ PM ｜＋｜ PN ｜最大，最大值为｜
PA ｜＋｜ PB ｜＋2 r ＝12.即最小值和最大值分
别为8，12.
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12. （多选）若点 F1， F2为椭圆 C 的左、右焦点，椭圆 C 上存在点 P ，
使得∠ F1 PF2＝90°，则椭圆 C 的方程可以是（　　）
解析：　设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），设椭圆
C 与 y 轴正半轴的交点为 B . 若椭圆 C 上存在点 P ，使得∠ F1 PF2＝
90°，则需∠ F1 BF2≥90°，∴｜ BF1｜2＋｜ BF2｜2≤｜ F1 F2｜2，
即 a2＋ a2≤4 c2.∵ c2＝ a2－ b2，∴ a2≥2 b2.故选项A、C、D满足题意.
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13. （多选）已知 F1， F2分别是椭圆 C ： ＋ ＝1的左、右焦点， P
为椭圆 C 上异于椭圆 C 与 x 轴两个交点的动点，则下列结论正确的
是（　　）
A. △ PF1 F2的周长为10
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解析：　由椭圆 C ： ＋ ＝1的方程可得 a ＝3， b ＝ ， c
＝2，△ PF1 F2的周长为2 a ＋2 c ＝10，故A正确；当点 P 位于 y 轴与
椭圆 C 的交点时，△ PF1 F2的面积最大，最大值为 ×2 c × b ＝2
，故B正确；
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当∠ F1 PF2＝60°时，由余弦定理可得｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－｜
PF1｜·｜ PF2｜＝16，所以（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2－3｜ PF1｜·｜
PF2｜＝16，所以（2 a ）2－3｜ PF1｜·｜ PF2｜＝16，可得｜ PF1｜·｜
PF2｜＝ ，所以△ PF1 F2的面积为 ｜ PF1｜·｜ PF2｜ sin 60°＝ ，
故C错误；设 P （ x0， y0），则 ＋ ＝1，由 · ＝0可得 ＋
＝4，从而可得 ＝－ ， ＝ ，不成立，故D错误，故选A、B.
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14. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁
反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆 ＋ ＝1的左焦点 F 发出的
一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点 F ，则光线所经过的
总路程为 .
解析：依题意可知光线经两次椭圆内壁反射后回到 F 点，故根据椭
圆的定义可知所走的路程正好是4 a ＝4×3＝12.
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15. 如图，点 A 是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）与 y 轴负半轴的交
点，过 A 作斜率为1的直线 l 交椭圆于点 B ，若点 P 的坐标为（0，
1），且满足 BP ∥ x 轴， · ＝9，求椭圆 C 的方程.
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解：由题意得 A （0，－ b ），直线 AB 的方程为 y ＝ x － b ，
由 P （0，1）且 BP ∥ x 轴，得 B （1＋ b ，1），
所以 ＝（1＋ b ，1＋ b ）， ＝（0，1＋ b ），
因为 · ＝9，故0＋（1＋ b ）2＝9，
因为 b ＞0，于是 b ＝2，所以 B （3，1），
将 B （3，1）代入椭圆 ＋ ＝1，
得 ＋ ＝1，解得 a2＝12，
故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
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16. 已知椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2，点 P 在椭圆 E 上，∠ F1 PF2＝2θ.
（1）求△ F1 PF2的面积 S ；
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解：如图所示，由椭圆的定义，可
得｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a .
由余弦定理，可得｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2
＋｜ PF2｜2－2·｜ PF1｜·｜ PF2｜· cos 2θ＝
（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2－2·｜ PF1｜·｜
PF2｜－2·｜ PF1｜·｜ PF2｜· cos 2θ＝4 a2－
2｜ PF1｜·｜ PF2｜·（1＋ cos 2θ）＝4 c2，
∴｜ PF1｜·｜ PF2｜＝ .
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∴ S ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin 2θ＝ · · sin 2θ
＝ · b2＝ b2·tan θ.
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（2）研究∠ F1 PF2的变化规律.
解：∵2θ为△ PF1 F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈（0， ）.
令点 P 由点 A 向点 B 运动，则△ PF1 F2的边 F1 F2不变，但 F1
F2上的高在逐渐增大，故 S 逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，
由θ∈（0， ）可知，θ也逐渐变大.由此可见，点 P 的纵坐标
的绝对值越大，2θ也越大，当点 P 与点 B 重合时，∠ F1 PF2
达到最大值.
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