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(共49张PPT)
第一课时　
最值、范围及证明问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 最值问题
【例1】　已知抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，点 M 是抛物线 C 上的动
点，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，且直线 l ⊥ MF ，设直线
MF 与抛物线 C 的另一个交点为 K ，求 · 的最小值.
解：由题意知 F （1，0），直线 l 的斜率 k 存在且不为0，
设 l 的方程为 y ＝ k （ x －1），
由可得 k2 x2－（2 k2＋4） x ＋ k2＝0.
设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），则 x1＋ x2＝2＋ ， x1 x2＝1.
因为直线 l ⊥ MF ，所以直线 MF 的斜率为－ .
设 M （ x3， y3）， K （ x4， y4），同理可得 x3＋ x4＝2＋4 k2， x3 x4＝1.
故 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋
· ＋ ·
＝｜ ｜·｜ ｜＋｜ ｜·｜ ｜
＝（ x1＋1）（ x2＋1）＋（ x3＋1）（ x4＋1）
＝ x1 x2＋ x1＋ x2＋1＋ x3 x4＋ x3＋ x4＋1
＝8＋4 ≥8＋4×2 ＝16，
当且仅当 k2＝ ，即 k ＝±1时， · 取得最小值16.
通性通法
　　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要
有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质
以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求
最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析
式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
如图所示，点 A ， B 分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F 是
椭圆的右焦点，点 P （ ， ）在椭圆上，设 M 是椭圆长轴 AB 上的
一点，点 M 到直线 AP 的距离等于｜ MB ｜，求椭圆上的点到点 M 的距
离 d 的最小值.
【跟踪训练】
解：由已知可得点 A （－6，0），点 B （6，0），点 P .
直线 AP 的方程是 x － y ＋6＝0，
设点 M 的坐标是（ m ，0），则点 M 到直线 AP 的距离是 ，
于是 ＝｜ m －6｜，
又－6≤ m ≤6，解得 m ＝2.
由椭圆上的点（ x ， y ）到点 M 的距离为 d ，
得 d2＝（ x －2）2＋ y2＝ x2－4 x ＋4＋20－ x2
＝ ＋15，－6≤ x ≤6，
由 f （ x ）＝ ＋15的图象可知，
当 x ＝ 时， d 取最小值，且最小值为 .
题型二 范围问题
【例2】　已知椭圆 C ： ＋ y2＝1，过点 M （4，0）的直线 l 交椭圆
于 A ， B 两个不同的点，且λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜，求λ的取值范围.
解：当直线 l 的斜率为0时，λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜＝12.
当直线 l 的斜率不为0时，设直线 l ： x ＝ my ＋4，点 A （ x1， y1）， B
（ x2， y2），
联立消去 x 得（ m2＋4） y2＋8 my ＋12＝0.
由Δ＝64 m2－48（ m2＋4）＞0，得 m2＞12，所以 y1 y2＝ .
λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜＝ ｜ y1｜· ｜ y2｜
＝（ m2＋1）｜ y1 y2｜＝ ＝12 .
由 m2＞12，得0＜ ＜ ，所以 ＜λ＜12.
综上可得 ＜λ≤12，即λ∈ .
通性通法
　　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的三个方面
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式或其他不等关系构造不等
式，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是
建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求
其值域，从而确定参数的取值范围.
【跟踪训练】
　已知双曲线 － y2＝1，若过点 B （0，1）且与 x 轴不平行的
直线和双曲线相交于不同的两点 M ， N ，线段 MN 的垂直平分线
为 m ，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围.
解：设过点 M ， N 的直线方程为 y ＝ kx ＋1（ k ≠0），
代入 － y2＝1，可得（1－3 k2） x2－6 kx －6＝0，
设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝－
，则线段 MN 的中点为 ，
可得线段 MN 的垂直平分线方程为 y － ＝－ ，
令 x ＝0，可得 y ＝ ，
由Δ＝36 k2＋24（1－3 k2）＞0，解得3 k2＜2，
又 ＜0，解得3 k2＜1，
综上可得，0＜3 k2＜1，即有 的范围是（4，＋∞），
可得直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为（4，＋∞）.
题型三 证明问题
【例3】　已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1，直线 l ： x ＝2与椭圆 C 在
第一象限交于点 N ，点 A 是第四象限内的点且在椭圆 C 上，线段 AB 被
直线 l 垂直平分，直线 NB 与椭圆交于另一点 D ，求证： ON ∥ AD .
证明：依题意点 N 的坐标为 N （2，1），直线 ND 不与 x 轴垂直，设直
线 ND ： y －1＝ k （ x －2），即 y ＝ kx ＋1－2 k ，
直线 NA ： y －1＝－ k （ x －2），即 y ＝－ kx ＋2 k ＋1.
设点 D （ xD ， yD ）， A （ xA ， yA ），
由得（1＋4 k2） x2＋8 k （1－2 k ） x ＋16 k2－16 k －
4＝0，
∵ N ， D 为直线与椭圆的两个交点，
∴2 xD ＝ ，∴ xD ＝ ，
同理，得 xA ＝ .
又 yD ＝ kxD ＋1－2 k ， yA ＝－ kxA ＋1＋2 k ，
∴ kAD ＝ ＝ ＝ ＝ .
又 kON ＝ ， ON 与 AD 不共线，∴ kAD ＝ kON ，
∴ ON ∥ AD .
通性通法
圆锥曲线中证明问题的常见类型
（1）位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂
直，直线过定点等；
（2）数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通
过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.
【跟踪训练】
双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左顶点为 A ，右焦
点为 F ，动点 B 在 C 上.当 BF ⊥ AF 时，｜ AF ｜＝｜ BF ｜.
（1）求 C 的离心率；
解：设双曲线的离心率为 e ，焦距为2 c ，
在 － ＝1中，
当 BF ⊥ AF 时，点 B 的横坐标为 c ，
则 B 点的纵坐标为 y ＝± ，
因｜ AF ｜＝｜ BF ｜，所以 a ＋ c ＝ ，即 a2＋ ac ＝ b2，
a2＋ ac ＝ c2－ a2，所以 e2－ e －2＝0，又 e ＞1，解得 e ＝2.
（2）若 B 在第一象限，证明：∠ BFA ＝2∠ BAF .
解：证明：由（1）知2 a ＝ c ， b2＝3 a2，
所以双曲线方程可化为 － ＝1.
如图，设 B （ x ， y ）（ x ＞0， y ＞0），则 kAB ＝ ， kBF ＝ ，
设∠ BAF ＝θ，则tan θ＝ ，
所以tan 2θ＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝
＝－ kBF ＝tan∠ BFA ，
又因为0≤2∠ BAF ＜π，0≤∠ BFA ＜π，所以∠
BFA ＝2∠ BAF .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭
圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两
个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似
比.已知椭圆 C1： ＋ ＝1，椭圆 C2与 C1是“相似椭圆”，已知椭圆
C2的短半轴长为 b .
（1）写出椭圆 C2的方程（用 b 表示）；
解：由椭圆 C2与 C1是相似椭圆，得 ＝ ＝ ，
∴椭圆 C2的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
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（2）若椭圆 C2的焦点在 x 轴上，且 C2上存在两点 M ， N 关于直线 y
＝2 x ＋1对称，求实数 b 的取值范围.
解：由题设知：椭圆 C2的方程为 ＋ ＝1，
设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2）， M ， N 的中点为 E
（ xE ， yE ）， lMN ∶ y ＝－ x ＋ m .
联立 lMN 与椭圆 C2的方程，整理得3 x2－4 mx ＋4（ m2－
b2）＝0，
∴Δ＞0，即 b2＞ m2且 x1＋ x2＝ ＝2 xE ，
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∴ xE ＝ ， yE ＝－ xE ＋ m ＝ ，
由点 E 在直线 y ＝2 x ＋1上，得 m ＝－ ，于是
b2＞ m2＝ ，∴ b 的取值范围为 .
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2. 已知椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2，椭圆 E 的离心率为 ，且通径长为1.
（1）求椭圆 E 的方程；
解：依题意可知解得故椭圆 E
的方程为 ＋ y2＝1.
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（2）直线 l 与 E 交于 M ， N 两点（ M ， N 在 x 轴的同侧），当 F1 M
∥ F2 N 时，求四边形 F1 F2 NM 面积的最大值.
解：延长 MF1交 E 于点 M0（如图），由椭圆的性质知｜
F2 N ｜＝｜ F1 M0｜，由（1）可知 F1（－ ，0）， F2
（ ，0），
设 M （ x1， y1）， M0（ x2， y2），
设 MF1的方程为 x ＝ my － ，
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由得（ m2＋4） y2－2 my －1＝0，故
设 F1 M 与 F2 N 的距离为 d ，四边形 F1 F2 NM 的面积为 S ，则
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S ＝ d ＝ （｜ F1 M ｜＋｜ F1 M0｜） d
＝ ｜ MM0｜ d ＝ ，
又因为 ＝ ·｜ F1 F2｜·｜ y1－ y2｜＝ ·2 ·｜ y1－
y2｜
＝
＝ ＝ ≤ ＝2，
当且仅当 ＝ ，即 m ＝± 时，等号成立，
故四边形 F1 F2 NM 面积的最大值为2.
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3. 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2在坐标轴上，离心率为
，且过点（4，－ ）.
（1）求双曲线的方程；
解：由双曲线的离心率为 ，可知双曲线为等轴双
曲线，设双曲线的方程为 x2－ y2＝λ（λ≠0），又双曲线过
点（4，－ ），代入解得λ＝6，故双曲线的方程为 x2－
y2＝6.
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（2）若点 M （3， m ）在双曲线上，求证： · ＝0.
解：证明：由双曲线的方程为 x2－ y2＝6，可得 a ＝ b ＝
， c ＝2 ，所以 F1（－2 ，0）， F2（2 ，0）.由点
M （3， m ），得 ＝（－2 －3，－ m ）， ＝（2
－3，－ m ），又点 M （3， m ）在双曲线上，所以9－ m2＝
6，解得 m2＝3，所以 · ＝ m2－3＝0.
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4. 已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F 到准线的距离为2.
（1）求 C 的方程；
解：由抛物线的定义可知，焦点 F 到准线的距离为 p ，
故 p ＝2，所以 C 的方程为 y2＝4 x .
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（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 ＝9 ，求直
线 OQ 斜率的最大值.
解：由（1）知 F （1，0），设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），
则 ＝（ x2－ x1， y2－ y1）， ＝（1－ x2，－ y2），
因为 ＝9 ，
所以可得
又点 P 在抛物线 C 上，所以 ＝4 x1，即（10 y2）2＝4（10 x2
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－9），化简得 ＝ x2－ ，则点 Q 的轨迹方程为 y2＝ x － .
设直线 OQ 的方程为 y ＝ kx ，易知当直线 OQ 与曲线 y2＝ x －
相切时，斜率可以取最大值，
联立 y ＝ kx 与 y2＝ x － 并化简，得 k2 x2－ x ＋ ＝0，
令Δ＝ －4 k2· ＝0，解得 k ＝± ，
所以直线 OQ 斜率的最大值为 .
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5. 已知双曲线 E ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）经过点（ ， ），
一条渐近线的倾斜角为60°.
（1）求双曲线 E 的标准方程；
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解：依题意，双曲线 E 的渐近线方程为 y ＝± x ，因一
条渐近线的倾斜角为60°，
即 ＝ ，由双曲线 E 经过点（ ， ），
得 － ＝1，解得 a ＝1， b ＝ ，
所以双曲线 E 的标准方程为 x2－ ＝1.
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（2）若斜率为 k （ k ≠0）的直线 l 与双曲线 E 交于两个不同的点
M ， N ，线段 MN 的中垂线与 y 轴交于点（0，4），求实数 k
的取值范围.
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解：设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， M （ x1， y1）， N
（ x2， y2），
由消去 y 并整理得（3－ k2） x2－2 kmx － m2－3
＝0，3－ k2≠0，
Δ＝（－2 km ）2＋4（3－ k2）（ m2＋3）＝12（3＋ m2－ k2）
＞0，即 m2＞ k2－3，
则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ， y1＋ y2＝ k （ x1＋ x2）＋2 m ＝
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k · ＋2 m ＝ ，
于是得线段 MN 中点坐标为 ，
因此，线段 MN 的垂直平分线的方程为 y － ＝－
，而线段 MN 的垂直平分线过点（0，4），
从而有4－ ＝－ ，化简得 m ＝3－ k2，
代入 m2＞ k2－3得：9－6 k2＋ k4＞ k2－3，
解得 k ＞2或 k ＜－2，或－ ＜ k ＜ ，且 k ≠0，
所以实数 k 的取值范围为（－∞，－2）∪（－ ，0）∪
（0， ）∪（2，＋∞）.
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6. 已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），右焦点为 F （ ，
0），且离心率为 .
（1）求椭圆 C 的方程；
解：由题意知　 a ＝ ，又∵ a2＝ b2＋ c2，
∴ b ＝1.
故椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.
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（2）设 M ， N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2＋ y2＝ b2（ x
＞0）相切.证明： M ， N ， F 三点共线的充要条件是｜ MN ｜
＝ .
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解：证明：①（必要性）若 M ， N ， F 三点共线，设直
线 MN 的方程为 x ＝ my ＋ ，
圆心 O （0，0）到 MN 的距离 d ＝ ＝1 m2＝1.
联立 （ m2＋3） y2＋2 my －1＝0 4 y2＋2
my －1＝0，
｜ MN ｜＝ · ＝ × ＝ ，必要性成立.
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②（充分性）当｜ MN ｜＝ 时，设直线 MN 的方程为 x ＝ ty＋ n .
此时圆心 O （0，0）到 MN 的距离 d ＝ ＝1 n2－ t2＝1，
联立 （ t2＋3） y2＋2 tny ＋ n2－3＝0，Δ＝4 t2 n2
－4（ t2＋3）（ n2－3）＝12（ t2－ n2＋3）＝24.
｜ MN ｜＝ ＝ t2＝1，∴ n2＝2.
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∵直线 MN 与曲线 x2＋ y2＝ b2（ x ＞0）相切，∴ n ＞0， n ＝ ，
∴直线 MN 的方程为 x ＝ ty ＋ ，恒过点 F （ ，0），
∴ M ， N ， F 三点共线，充分性成立.
由①②可得 M ， N ， F 三点共线的充要条件是｜ MN ｜＝ .
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谢 谢 观 看！培优课　圆锥曲线的综合问题
第一课时　最值、范围及证明问题
1.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，已知椭圆C2的短半轴长为b.
（1）写出椭圆C2的方程（用b表示）；
（2）若椭圆C2的焦点在x轴上，且C2上存在两点M，N关于直线y＝2x＋1对称，求实数b的取值范围.
2.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，且通径长为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.
3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点（4，－）.
（1）求双曲线的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：·＝0.
4.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值.
5.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）经过点（，），一条渐近线的倾斜角为60°.
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线E交于两个不同的点M，N，线段MN的中垂线与y轴交于点（0，4），求实数k的取值范围.
6.已知椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝.
第一课时　最值、范围及证明问题
1.解：（1）由椭圆C2与C1是相似椭圆，得＝＝，
∴椭圆C2的方程为＋＝1或＋＝1.
（2）由题设知：椭圆C2的方程为＋＝1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N的中点为E（xE，yE），lMN∶y＝－x＋m.
联立lMN与椭圆C2的方程，整理得3x2－4mx＋4（m2－b2）＝0，
∴Δ＞0，即b2＞m2且x1＋x2＝＝2xE，
∴xE＝，yE＝－xE＋m＝，
由点E在直线y＝2x＋1上，得m＝－，于是b2＞m2＝，
∴b的取值范围为.
2.解：（1）依题意可知解得故椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）延长MF1交E于点M0（如图），由椭圆的性质知｜F2N｜＝｜F1M0｜，由（1）可知F1（－，0），F2（，0），
设M（x1，y1），M0（x2，y2），设MF1的方程为x＝my－，
由得（m2＋4）y2－2my－1＝0，故
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则
S＝d
＝（｜F1M｜＋｜F1M0｜）d
＝｜MM0｜d＝，
又因为＝·｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝·2·｜y1－y2｜
＝
＝
＝≤＝2，
当且仅当 ＝，即m＝±时，等号成立，
故四边形F1F2NM面积的最大值为2.
3.解：（1）由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），又双曲线过点（4，－），代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
（2）证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）.由点M（3，m），得＝（－2－3，－m），＝（2－3，－m），又点M（3，m）在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
4.解：（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知F（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x2－x1，y2－y1），＝（1－x2，－y2），
因为＝9，
所以
可得
又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即（10y2）2＝4（10x2－9），化简得＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大值，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
5.解：（1）依题意，双曲线E的渐近线方程为y＝±x，因一条渐近线的倾斜角为60°，即＝，由双曲线E经过点（，），得－＝1，解得a＝1，b＝，
所以双曲线E的标准方程为x2－＝1.
（2）设直线l的方程为y＝kx＋m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由消去y并整理得（3－k2）x2－2kmx－m2－3＝0，3－k2≠0，
Δ＝（－2km）2＋4（3－k2）（m2＋3）＝12（3＋m2－k2）＞0，即m2＞k2－3，
则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝k·＋2m＝，
于是得线段MN中点坐标为，
因此，线段MN的垂直平分线的方程为y－＝－，而线段MN的垂直平分线过点（0，4），
从而有4－＝－，化简得m＝3－k2，
代入m2＞k2－3得：9－6k2＋k4＞k2－3，
解得k＞2或k＜－2，或－＜k＜，且k≠0，
所以实数k的取值范围为（－∞，－2）∪（－，0）∪（0，）∪（2，＋∞）.
6.解：（1）由题意知　 a＝，
又∵a2＝b2＋c2，∴b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）证明：①（必要性）若M，N，F三点共线，设直线MN的方程为x＝my＋，
圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1 m2＝1.
联立 （m2＋3）y2＋2my－1＝0 4y2＋2my－1＝0，
｜MN｜＝·＝×＝，必要性成立.
②（充分性）当｜MN｜＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n.
此时圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1 n2－t2＝1，
联立 （t2＋3）y2＋2tny＋n2－3＝0，Δ＝4t2n2－4（t2＋3）（n2－3）＝12（t2－n2＋3）＝24.
｜MN｜＝＝ t2＝1，∴n2＝2.
∵直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切，∴n＞0，n＝，
∴直线MN的方程为x＝ty＋，恒过点F（，0），
∴M，N，F三点共线，充分性成立.
由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝.
1 / 1第一课时　最值、范围及证明问题
题型一 最值问题
【例1】　已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求·的最小值.
尝试解答
通性通法
　　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【跟踪训练】
如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P（，）在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
题型二 范围问题
【例2】　已知椭圆C：＋y2＝1，过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝｜MA｜·｜MB｜，求λ的取值范围.
尝试解答
通性通法
　　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的三个方面
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式或其他不等关系构造不等式，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【跟踪训练】
　已知双曲线－y2＝1，若过点B（0，1）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.
题型三 证明问题
【例3】　已知椭圆C的方程为＋＝1，直线l：x＝2与椭圆C在第一象限交于点N，点A是第四象限内的点且在椭圆C上，线段AB被直线l垂直平分，直线NB与椭圆交于另一点D，求证：ON∥AD.
尝试解答
通性通法
圆锥曲线中证明问题的常见类型
（1）位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等；
（2）数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.
【跟踪训练】
　双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，｜AF｜＝｜BF｜.
（1）求C的离心率；
（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
第一课时　最值、范围及证明问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：由题意知F（1，0），直线l的斜率k存在且不为0，
设l的方程为y＝k（x－1），
由可得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为直线l⊥MF，所以直线MF的斜率为－.
设M（x3，y3），@%（0，0，0，60）K（x4，y4），同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝（＋）·（＋）
＝·＋·＋·＋·＝｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜＝（x1＋1）（x2＋1）＋（x3＋1）（x4＋1）
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
跟踪训练
　解：由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P.
直线AP的方程是x－y＋6＝0，
设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是，
于是＝｜m－6｜，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，
得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，－6≤x≤6，
由f（x）＝＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
【例2】　解：当直线l的斜率为0时，λ＝｜MA｜·｜MB｜＝12.
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立消去x得（m2＋4）y2＋8my＋12＝0.
由Δ＝64m2－48（m2＋4）＞0，得m2＞12，所以y1y2＝.
λ＝｜MA｜·｜MB｜＝｜y1｜·｜y2｜＝（m2＋1）｜y1y2｜＝＝12.
由m2＞12，得0＜＜，所以＜λ＜12.
综上可得＜λ≤12，即λ∈.
跟踪训练
　解：设过点M，N的直线方程为y＝kx＋1（k≠0），
代入－y2＝1，可得（1－3k2）x2－6kx－6＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－，
则线段MN的中点为（，），
可得线段MN的垂直平分线方程为y－＝－，
令x＝0，可得y＝，
由Δ＝36k2＋24（1－3k2）＞0，解得3k2＜2，
又＜0，解得3k2＜1，
综上可得，0＜3k2＜1，即有的范围是（4，＋∞），
可得直线m在y轴上的截距的取值范围为（4，＋∞）.
【例3】　证明：依题意点N的坐标为N（2，1），直线ND不与x轴垂直，设直线ND：y－1＝k（x－2），即y＝kx＋1－2k，
直线NA：y－1＝－k（x－2），即y＝－kx＋2k＋1.
设点D（xD，yD），A（xA，yA），
由得（1＋4k2）x2＋8k（1－2k）x＋16k2－16k－4＝0，
∵N，D为直线与椭圆的两个交点，
∴2xD＝，
∴xD＝，
同理，得xA＝.
又yD＝kxD＋1－2k，yA＝－kxA＋1＋2k，
∴kAD＝＝＝＝.
又kON＝，ON与AD不共线，∴kAD＝kON，
∴ON∥AD.
跟踪训练
　解：（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
在－＝1中，
当BF⊥AF时，点B的横坐标为c，
则B点的纵坐标为y＝±，
因｜AF｜＝｜BF｜，
所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，
a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.
（2）证明：由（1）知2a＝c，b2＝3a2，
所以双曲线方程可化为－＝1.
如图，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
则kAB＝，kBF＝，
设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，
又因为0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.
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