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第二课时　空间向量的数量积
1.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为（　　）
A.30°　　　　　　　　　 B.60°
C.120° D.150°
2.已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为（　　）
A.－6 B.6
C.3 D.－3
3.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且a与2b－a互相垂直，则a在b方向上的投影数量为（　　）
A. B.－
C. D.－
4.设正四面体A-BCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝（　　）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
5.若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中成立的是（　　）
A.｜a＋b｜＝｜b－a｜
B.（a＋b）·c＝a·（b＋c）
C.λ（a＋b）＝λa＋λb
D.b＝λa
6.（多选）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有（　　）
A.·＝a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
7.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则＜，＞＝　　　，＜，＞＝　　　　.
8.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则｜｜＝　　　　.
9.已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为　　　　，b在a上的投影向量为　　　　.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积：
（1）·；
（2）·.
11.如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·＝（　　）
A.0　　 　B.1　 　　C.2　 　　D.3
12.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是（　　）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
13.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（　　）
A.AC1＝6
B.AC1⊥BD
C.向量与的夹角是60°
D.向量与所成角的余弦值为
14.如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，10）是正方体其余的10个顶点，则·（i＝1，2，…，10）的不同值的个数为　　　　.
15.如图，在空间四边形OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c.
（1）试用向量a，b，c表示向量；
（2）若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值.
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，求·的最大值（用a，b，c，r及∠BAC的代数式表示）.
第二课时　空间向量的数量积
1.B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
2.B　由m⊥n，得m·n＝0，∴（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0.∴2k－12＝0.∴k＝6.
3.A　根据a与2b－a互相垂直，得a·（2b－a）＝0，即2a·b＝｜a｜2＝4，解得a·b＝2，∴cos＜a，b＞＝＝＝，∴＜a，b＞＝，∴a在b方向上投影数量为｜a｜cos＜a，b＞＝2×＝.
4.A　由题意，作出正四面体A-BCD，如图所示.因为E，F分别是BC，AD的中点，所以＝（＋），＝.又因为正四面体A-BCD的棱长都为a，所以＜，＞＝＜，＞＝60°，故·＝（＋）·＝（·＋·）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°）＝a2.故选A.
5.C　由向量加法的平行四边形法则，只有a⊥b，即a·b＝0时，有｜a＋b｜＝｜b－a｜，A不成立；由数量积的运算律有（a＋b）·c＝a·c＋b·c，a·（b＋c）＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不成立；由向量数乘法则，C一定成立；只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不成立.故选C.
6.AC　连接A1D（图略），则·＝·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝a×a×cos 60°＝a2，A正确.·＝·（＋＋）＝＋·＋·＝a2，故B错误.·＝·＝·（＋＋）＝（＋·＋·）＝＝｜｜2＝a2，C正确.·＝·（－）＝·－·＝－a2，D错误.
7.0°　90°　解析：由题意得，方向相同，是在同一条直线AC上，故＜，＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°.
8.2　解析：设＝a，＝b，＝c，∴｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，＜a，b＞＝＜a，c＞＝＜c，b＞＝60°，∴a2＝b2＝c2＝4，a·b＝b·c＝c·a＝2×2cos 60°＝2.∴｜｜2＝｜a＋b＋c｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2＋2a·b＋2a·c＋2c·b＝24，∴｜｜＝2.
9.－b　－a　解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－b，b在a上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－a.
10.解：如图，设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜c｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
（1）·＝·（＋）＝b·［（c－a）＋b］＝｜b｜2＝42＝16.
（2）·＝（＋）·（＋）＝·（a＋c）＝｜c｜2－｜a｜2＝22－22＝0.
11.A　∵·＝（＋）·（－）＝（－＋－）·（－）＝（－2＋）·（－）＝·－－·＋·＋－·，由题意知·＝0，·＝0，·＝0，｜｜＝｜｜，∴·＝0.
12.B　∵＝－，＝－，∴·＝（－）·（－）＝·－·－·＋｜｜2＝｜｜2＞0，∴cos ∠CBD＝cos＜，＞＝＝＞0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形.
13.ACD　对于A，＝＋＋＝＋＋，∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 60°＝216，所以｜｜＝＝6，选项A错误；对于B，·＝（＋＋）·（－）＝·＋＋·－－·－·＝6×6×cos 60°＋36＋6×6×cos 60°－36－6×6×cos 60°－6×6×cos 60°＝0，所以·＝0，即AC1⊥BD，选项B正确；对于C，向量与的夹角是180°－60°＝120°，所以向量与的夹角也是120°，选项C错误；对于D，＝＋－，＝＋，｜｜2＝（＋－）2，所以｜｜＝＝6，同理，可得｜｜＝6，又·＝（＋－）·（＋）＝18＋18－36＋36＋18－18＝36，所以cos＜，＞＝＝＝，选项D错误.故选A、C、D.
14.2　解析：当i＝1，2，3，4，5时，⊥，故·＝0，当i＝6，7，8，9，10时，＝＋，∴·＝·（＋）＝＋·，∵⊥，∴·＝0，∴·＝1，∴·（i＝1，2，…，10）的不同值的个数为2.
15.解：（1）∵2＝，
∴＝＝（－）＝（c－b），
故＝＋＝b＋（c－b）＝b＋c，
∵点E为AD的中点，故＝（＋）＝a＋b＋c.
（2）由题意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a.
故·＝·（c－a）＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－.
16.解：∵＝－，＝－＝－－，∴·＝（－）·（－－）＝（－·）＋·－＋·＝·－r2＋·（－）＝·－r2＋·＝｜｜｜｜cos∠BAC－r2＋·＝bc·cos∠BAC－r2＋·.当与同向时，·取最大值，为｜｜｜｜＝ra，即当与共线且同向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2.
3 / 3第二课时　空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积 数学抽象
2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行 数学运算
　　如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”的这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念.
【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？
（2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　两个向量的夹角
1.如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　　　叫作向量a，b的夹角，记作　　　　.
2.向量a，b的夹角＜a，b＞的范围是　　　　，当＜a，b＞＝时，称向量a，b互相　　　　，记作　　　　.
规定：零向量与任意向量　　　　.
【想一想】
1.当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？
2.＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么关系？
知识点二　两个向量的数量积
1.数量积的定义
已知两个空间向量a，b，把　　　　　　叫作a与b的数量积，记作a·b.即a·b＝　　　　　　.
2.数量积的性质
（1）cos＜a，b＞＝（a≠0，b≠0）；
（2）｜a｜＝；
（3）a⊥b 　　　　　　.
3.数量积的运算律
（1）交换律：a·b＝　　　　；
（2）分配律：a·（b＋c）＝　　　　　　；
（3）（λa）·b＝　　　　（λ∈R）.
【想一想】
1.向量的数量积运算是否满足结合律？
2.两个向量a与b的数量积a·b还是向量吗？
3.对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝（或b＝）？
知识点三　投影向量与投影数量
1.投影向量
（1）定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于｜｜b｜cos＜a，b＞｜.
（2）代数式表示：用a0表示与向量a（a≠0）同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为　　　　　　.
2.投影数量
向量b在向量a方向上的投影数量为　　　　　　＝　　　　＝　　　　（其中a0为与a同方向的单位向量）.
【想一想】
1.向量a在向量b方向上的投影数量与向量b在向量a方向上的投影数量一样吗？
2.和向量（b＋c）在向量a方向上的投影数量等于b，c在向量a方向上的投影数量之和吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）零向量与任意向量的数量积为0.（　　）
（2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（　　）
（3）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（　　）
（4）向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜cos＜a，b＞·.（　　）
2.已知空间向量a，b，｜a｜＝2，｜b｜＝，a·b＝－2，则＜a，b＞＝　　　　.
3.已知向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－2b｜，其中b是单位向量，则a在b方向上的投影向量是　　　　.
题型一 空间向量数量积的运算
【例1】　如图所示，在棱长为1的正四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
（1）·；
（2）·；
（3）·；
（4）·.
尝试解答
通性通法
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解.
【跟踪训练】
已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝（　　）
A.1　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
题型二 投影数量与投影向量
【例2】　已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C'CB＝∠C'CD＝∠BCD＝，DD'＝2.
（1）求向量在方向上的投影向量；
（2）求在－方向上的投影数量.
尝试解答
通性通法
　　求向量a在向量b方向上的投影数量（向量）的步骤
（1）先求向量a与b的夹角＜a，b＞；
（2）再求向量a的模｜a｜；
（3）则a在b方向上的投影数量为｜a｜·cos＜a，b＞；
（4）若b0为b方向上的单位向量，则a在b方向上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞·b0.
【跟踪训练】
棱长为1的正四面体ABCD中，
（1）求向量在方向上的投影向量；
（2）求在方向上的投影数量.
题型三 空间向量数量积的应用
角度1　利用数量积证明垂直问题
【例3】　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
尝试解答
通性通法
用向量法证明空间线线、线面垂直的思路
（1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；
（2）证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
【跟踪训练】
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
角度2　用数量积求解夹角和模
【例4】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
（1）求的模；
（2）求cos＜，＞的值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例中条件不变，求与夹角的余弦值.
2.（变条件、变设问）本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的大小.
通性通法
求向量的夹角和模
（1）求两个向量的夹角：利用公式cos＜a，b＞＝求cos＜a，b＞，进而确定＜a，b＞（注意向量的夹角与两向量所在直线夹角的区别）；
（2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用已知夹角和模的向量表示该向量；③利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求长度（距离）.
【跟踪训练】
1.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则＜，＞＝（　　）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
2.已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若｜CM｜＝｜BN｜＝a（0＜a＜）.
（1）求线段MN的长；
（2）当a为何值时，线段MN最短？
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　）
A.与
B.与
C.与
D.与
2.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·＝（　　）
A.－1　　 B.0　　　
C.1　　 D.2
3.（多选）设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（　　）
A.a2＝｜a｜2
B.＝
C.（a·b）2＝a2·b2
D.（a－b）2＝a2－2a·b＋b2
4.已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则　　　.（填“⊥”“∥”或“＝”）.
5.若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则｜｜＝　　　　.
第二课时　空间向量的数量积
【基础知识·重落实】
知识点一
1.∠AOB　＜a，b＞　2.[0，π]　垂直　a⊥b　垂直
想一想
1.提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向.
2.提示：＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞.
知识点二
1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞
2.（3）a·b＝0　3.（1）b·a　（2）a·b＋a·c　（3）λ（a·b）
想一想
1.提示：不满足.
2.提示：不是.任意两向量的数量积都是数量.
3.提示：不能.向量没有除法运算.
知识点三
1.（2）｜b｜cos＜a，b＞·a0　2.｜b｜cos＜a，b＞　　a0·b
想一想
1.提示：不一样.
2.提示：等于.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.　解析：cos＜a，b＞＝＝－，∴＜a，b＞＝.
3.b　解析：∵b是单位向量，∴｜b｜＝1.∵｜a＋b｜＝｜a－2b｜，∴（a＋b）2＝（a－2b）2，化简得2a·b＝b2＝1，即a·b＝，∴a在b方向上的投影向量是·b＝b.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）·＝·＝｜｜｜｜·cos＜，＞
＝cos 60°＝.
（2）·＝·＝｜｜2＝.
（3）·＝·
＝｜｜·｜｜cos＜，＞
＝cos 120°＝－.
（4）·＝·（－）＝·－·＝｜｜｜｜cos＜，＞－｜｜｜｜cos＜，＞
＝cos 60°－cos 60°＝0.
跟踪训练
　A　∵p⊥q且｜p｜＝｜q｜＝1，∴a·b＝（3p－2q）·（p＋q）＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
【例2】　解：（1）∵CC'∥DD'，CB∥DA，
∴∠D'DA＝∠C'CB＝，
∴向量在方向上的投影数量为
｜｜·cos∠D'DA＝2×cos ＝1，
又为单位向量，
∴向量在方向上的投影向量为.
（2）∵·（－）＝·－·
＝｜｜·｜｜·cos －｜｜·｜｜·cos
＝2×1×－2×1×＝0.
∴向量与向量－的夹角为90°，
∴向量在－方向上的投影数量为｜｜·cos 90°＝0.
跟踪训练
　解：（1）∵四面体ABCD是棱长为1的正四面体，
∴∠ABC＝，∴＜，＞＝π－∠ABC＝，
∴在方向上的投影向量为
｜｜cos＜，＞·＝1×cos·＝－.
（2）∵·＝·（－）＝·－·＝｜｜·｜｜cos（π－∠ABD）－｜｜·｜｜·cos（π－∠ABC）＝1×1×cos －1×1×cos ＝0，
∴＜，＞＝，∴在方向上的投影数量为｜｜cos＜，＞＝0.
【例3】　证明：连接ON（图略），设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜.
又＝（＋）＝［＋（＋）］＝（a＋b＋c），＝c－b.
∴·＝（a＋b＋c）·（c－b）＝（a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c）
＝（｜a｜2·cos θ－｜a｜2·cos θ－｜a｜2＋｜a｜2）＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
跟踪训练
　证明：在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2，
所以DA⊥BD，则·＝0.
由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0.
又＝＋，
所以·＝（＋）·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.
【例4】　解：由已知得｜｜＝｜｜＝1，｜｜＝｜｜＝2，＝＝.
＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝90°，
所以·＝·＝·＝0.
（1）因为＝－＝＋－＝＋－，
所以｜｜2＝＝（＋－）2
＝＋＋＝12＋×22＋12＝3，
所以｜｜＝＝.
（2）因为＝－＝＋－，＝＋，
所以｜｜2＝＝（＋－）2＝＋＋＝12＋22＋12＝6，｜｜＝，
｜｜2＝＝（＋）2＝＋＝12＋22＝5，｜｜＝，
·＝（＋－）·（＋）＝－＝22 －12＝3，
所以cos＜，＞＝＝＝.
母题探究
1.解：由例题知，｜｜＝，｜｜＝，
·＝·（＋）＝－＝×22 －12＝1.
所以cos＜，＞＝＝＝.
所以与夹角的余弦值为.
2.解：由已知得｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，·＝·＝·＝0，
因为｜｜2＝＝（＋）2＝＋＝12＋12＝2，
所以｜｜＝，
因为｜｜2＝＝（－）2＝＋＝12＋12＝2，
所以｜｜＝，
又因为·＝（＋）·（－）＝－＝－1.
所以cos＜，＞＝＝＝－.
所以＜，＞＝120°，
所以异面直线CA1与AB夹角的大小为60°.
跟踪训练
1.D　如图，由题意得＝＋＝a－c，＝－＝－＝b－a，∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，且·＝（a－c）·（b－a）＝a·b－a2－b·c＋a·c＝－1，∴cos＜，＞＝＝＝－，∴＜，＞＝120°.
2.解：（1）由已知得｜｜＝，｜｜＝，
∴＝，
＝，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝（＋）－＋（1－）·（－＋）
＝＋，
∴｜｜＝
＝
＝
＝（0＜a＜）.
即MN的长度为（0＜a＜）.
（2）由（1）知当a＝，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为.
随堂检测
1.A
2.C　＝＋＝＋（＋）＝＋（＋），＝＋，则·＝（｜｜2＋｜｜2）＝1，故选C.
3.AD　由数量积的性质和运算律可知A、D正确.
4.⊥　解析：∵·＝·，∴·（－）＝·＝0.∴⊥.
5.　解析：如图，连接PN，∵＝－＝（＋）－＝（＋－），∴｜｜＝｜＋－｜＝｜－－｜，又｜－－｜2＝＋＋－2·－2·＋2·＝22＋22＋22－2×2×2×－2×2×2×＋2×2×2×＝8，∴｜｜＝.
6 / 6(共90张PPT)
第二课时　
空间向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积 数学抽象
2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ，那么力 F 所作的功 W
＝ F × S ＝｜ F ｜｜ S ｜ cos θ，为了在数学中体现“功”的这样一个标
量，我们引入了“数量积”的概念.
【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？
（2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一
样吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
知识点一　两个向量的夹角
1. 如图，已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 ＝ a ，
＝ b ，则 叫作向量 a ， b 的夹角，记作
.
∠ AOB 　
＜ a ， b
＞　
2. 向量 a ， b 的夹角＜ a ， b ＞的范围是 ，当＜ a ， b ＞＝
时，称向量 a ， b 互相 ，记作 .
规定：零向量与任意向量 .
【想一想】
1. 当＜ a ， b ＞＝0和＜ a ， b ＞＝π时，向量 a 与 b 有什么关系？
提示：当＜ a ， b ＞＝0时， a 与 b 同向；当＜ a ， b ＞＝π时， a 与 b
反向.
[0，π]　
垂直　
a ⊥ b 　
垂直　
2. ＜ a ， b ＞，＜－ a ， b ＞，＜ a ，－ b ＞，＜－ a ，－ b ＞，它们有
什么关系？
提示：＜－ a ， b ＞＝＜ a ，－ b ＞＝π－＜ a ， b ＞，＜－ a ，－ b
＞＝＜ a ， b ＞.
知识点二　两个向量的数量积
1. 数量积的定义
已知两个空间向量 a ， b ，把 叫作 a
与 b 的数量积，记作 a · b .即 a · b ＝ .
2. 数量积的性质
（1） cos ＜ a ， b ＞＝ （ a ≠0， b ≠0）；
（2）｜ a ｜＝ ；
（3） a ⊥ b .
｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞　
｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞　
a · b ＝0　
3. 数量积的运算律
（1）交换律： a · b ＝ ；
（2）分配律： a ·（ b ＋ c ）＝ ；
（3）（λ a ）· b ＝ （λ∈R）.
b · a 　
a · b ＋ a · c 　
λ（ a · b ）　
【想一想】
1. 向量的数量积运算是否满足结合律？
提示：不满足.
2. 两个向量 a 与 b 的数量积 a · b 还是向量吗？
提示：不是.任意两向量的数量积都是数量.
3. 对于向量 a ， b ，若 a · b ＝ k ，能否写成 a ＝ （或 b ＝ ）？
提示：不能.向量没有除法运算.
知识点三　投影向量与投影数量
1. 投影向量
（1）定义：已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，过点 B 作直线 OA 的垂线，垂足为点 B1，称向量 为向量 b 在向量 a 方向上的投影向量，其长度等于｜｜
b ｜ cos ＜ a ， b ＞｜.
（2）代数式表示：用 a0表示与向量 a （ a ≠0）同方向的单位向量，
则向量 b 在向量 a 方向上的投影向量为
.
｜ b ｜ cos ＜ a ， b
＞· a0　
2. 投影数量
向量 b 在向量 a 方向上的投影数量为
＝ ＝ （其中 a0为与 a 同方向的单位向量）.
｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞　
　
a0· b 　
2. 和向量（ b ＋ c ）在向量 a 方向上的投影数量等于 b ， c 在向量 a 方向
上的投影数量之和吗？
提示：等于.
【想一想】
1. 向量 a 在向量 b 方向上的投影数量与向量 b 在向量 a 方向上的投影数
量一样吗？
提示：不一样.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）零向量与任意向量的数量积为0. （　√　）
（2）对于任意向量 a ， b ， c ，都有（ a · b ） c ＝ a （ b · c ）.
（　×　）
（3）若 a · b ＝ b · c ，且 b ≠0，则 a ＝ c . （　×　）
（4）向量 a 在向量 b 上的投影向量 c ＝｜ a ｜ cos ＜ a ， b ＞· .
（　√　）
√
×
×
√
2. 已知空间向量 a ， b ，｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝ ， a · b ＝－2，则＜
a ， b ＞＝ .
解析： cos ＜ a ， b ＞＝ ＝－ ，∴＜ a ， b ＞＝ .
　
3. 已知向量 a ， b 满足｜ a ＋ b ｜＝｜ a －2 b ｜，其中 b 是单位向量，
则 a 在 b 方向上的投影向量是
解析：∵ b 是单位向量，∴｜ b ｜＝1.∵｜ a ＋ b ｜＝｜ a －2 b ｜，
∴（ a ＋ b ）2＝（ a －2 b ）2，化简得2 a · b ＝ b2＝1，即 a · b ＝ ，
∴ a 在 b 方向上的投影向量是 · b ＝ b .
b 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量数量积的运算
【例1】　如图所示，在棱长为1的正四面体 A - BCD 中， E ， F 分别是
AB ， AD 的中点，求：
（1） · ；
解： · ＝ · ＝ ｜ ｜｜
｜· cos ＜ ， ＞＝ cos 60°＝ .
（2） · ；
解： · ＝ · ＝ ｜ ｜2＝ .
（3） · ；
解： · ＝ ·
＝ ｜ ｜·｜ ｜ cos ＜ ， ＞
＝ cos 120°＝－ .
（4） · .
解： · ＝ ·（ － ）
＝ · － ·
＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞－｜ ｜｜
｜ cos ＜ ， ＞
＝ cos 60°－ cos 60°＝0.
通性通法
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值
的乘积；
（3）代入 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞求解.
【跟踪训练】
已知 a ＝3 p －2 q ， b ＝ p ＋ q ， p 和 q 是相互垂直的单位向量，
则 a · b ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　∵ p ⊥ q 且｜ p ｜＝｜ q ｜＝1，∴ a · b ＝（3 p －2
q ）·（ p ＋ q ）＝3 p2＋ p · q －2 q2＝3＋0－2＝1.
题型二 投影数量与投影向量
【例2】　已知四棱柱 ABCD -A'B'C'D'的底面 ABCD 是边长为1的菱
形，且∠C'CB＝∠C'CD＝∠ BCD ＝ ，DD'＝2.
（1）求向量 在 方向上的投影向量；
解：∵CC'∥DD'， CB ∥ DA ，
∴∠D'DA＝∠C'CB＝ ，
∴向量 在 方向上的投影数量为
｜ ｜· cos ∠D'DA＝2× cos ＝1，
又 为单位向量，
∴向量 在 方向上的投影向量为 .
（2）求 在 － 方向上的投影数量.
解：∵ ·（ － ）＝ · － ·
＝｜ ｜·｜ ｜· cos －｜ ｜·｜ ｜· cos
＝2×1× －2×1× ＝0.
∴向量 与向量 － 的夹角为90°，
∴向量 在 － 方向上的投影数量为｜
｜· cos 90°＝0.
通性通法
求向量 a 在向量 b 方向上的投影数量（向量）的步骤
（1）先求向量 a 与 b 的夹角＜ a ， b ＞；
（2）再求向量 a 的模｜ a ｜；
（3）则 a 在 b 方向上的投影数量为｜ a ｜· cos ＜ a ， b ＞；
（4）若 b0为 b 方向上的单位向量，则 a 在 b 方向上的投影向量为｜
a ｜ cos ＜ a ， b ＞· b0.
【跟踪训练】
棱长为1的正四面体 ABCD 中，
（1）求向量 在 方向上的投影向量；
解：∵四面体 ABCD 是棱长为1的正四面体，
∴∠ ABC ＝ ，∴＜ ， ＞＝π－∠ ABC ＝ ，
∴ 在 方向上的投影向量为｜ ｜ cos ＜ ， ＞·
＝1× cos · ＝－ .
（2）求 在 方向上的投影数量.
解： ∵ · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝｜
｜·｜ ｜ cos （π－∠ ABD ）－｜ ｜·｜ ｜· cos （π
－∠ ABC ）＝1×1× cos －1×1× cos ＝0，
∴＜ ， ＞＝ ，
∴ 在 方向上的投影数量为｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝0.
题型三 空间向量数量积的应用
角度1　利用数量积证明垂直问题
【例3】　已知空间四边形 OABC 中，∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ，且
OA ＝ OB ＝ OC ， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是 MN 的中点，
求证： OG ⊥ BC .
证明：连接 ON （图略），设∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ＝θ，
又设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，
则｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜.
又 ＝ （ ＋ ）＝
＝ （ a ＋ b ＋ c ）， ＝ c － b .
∴ · ＝ （ a ＋ b ＋ c ）·（ c － b ）
＝ （ a · c － a · b ＋ b · c － b2＋ c2－ b · c ）
＝ （｜ a ｜2· cos θ－｜ a ｜2· cos θ－｜ a ｜2＋｜ a ｜2）＝0.
∴ ⊥ ，即 OG ⊥ BC .
通性通法
用向量法证明空间线线、线面垂直的思路
（1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明
这两个向量的数量积为0即可；
（2）证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量
数量积证明线线垂直即可.
【跟踪训练】
如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，
∠ DAB ＝60°， AB ＝2 AD ， PD ⊥底面 ABCD . 求证： PA ⊥ BD .
证明：在△ ADB 中，∠ DAB ＝60°， AB ＝2 AD ，
由余弦定理得， BD ＝ AD ，所以 AD2＋ BD2＝ AB2，
所以 DA ⊥ BD ，则 · ＝0.
由 PD ⊥底面 ABCD ，知 PD ⊥ BD ，则 · ＝0.
又 ＝ ＋ ，
所以 · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0，即
PA ⊥ BD .
角度2　用数量积求解夹角和模
【例4】　如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CA ＝ CB ＝1，
∠ BCA ＝90°，棱 AA1＝2，点 N 为 AA1的中点.
（1）求 的模；
解：由已知得｜ ｜＝｜ ｜＝1，｜ ｜＝｜ ｜＝2，
＝ ＝ .
＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°，
所以 · ＝ · ＝ · ＝0.
因为 ＝ － ＝ ＋ － ＝ ＋
－ ，
所以｜ ｜2＝ ＝
＝ ＋ ＋ ＝12＋ ×22＋12＝3，
所以｜ ｜＝ ＝ .
（2）求 cos ＜ ， ＞的值.
解：因为 ＝ － ＝ ＋ － ，
＝ ＋ ，
所以｜ ｜2＝ ＝（ ＋ － ）2＝
＋ ＋ ＝12＋22＋12＝6，｜ ｜＝ ，
｜ ｜2＝ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＝
12＋22＝5，｜ ｜＝ ，
· ＝（ ＋ － ）·（ ＋ ）＝
－ ＝22 －12＝3，
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
【母题探究】
1. （变设问）本例中条件不变，求 与 夹角的余弦值.
解：由例题知，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
· ＝ ·（ ＋ ）
＝ － ＝ ×22 －12＝1.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
所以 与 夹角的余弦值为 .
2. （变条件、变设问）本例中，若 CA ＝ CB ＝ AA1＝1，其他条件不
变，求异面直线 CA1与 AB 夹角的大小.
解：由已知得｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1， · ＝
· ＝ · ＝0，
因为｜ ｜2＝ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＝12＋
12＝2，
所以｜ ｜＝ ，
因为｜ ｜2＝ ＝（ － ）2＝ ＋ ＝12＋12＝2，
所以｜ ｜＝ ，
又因为 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝－ ＝－1.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ .
所以＜ ， ＞＝120°，
所以异面直线 CA1与 AB 夹角的大小为60°.
通性通法
求向量的夹角和模
（1）求两个向量的夹角：利用公式 cos ＜ a ， b ＞＝ 求 cos ＜
a ， b ＞，进而确定＜ a ， b ＞（注意向量的夹角与两向量所在直
线夹角的区别）；
（2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用已知夹角
和模的向量表示该向量；③利用｜ a ｜＝ ，计算出｜ a ｜，
即得所求长度（距离）.
1. 已知正方体 ABCD -A'B'C'D'的棱长为1，设 ＝ a ， ＝ b ，
＝ c ，则＜ ， ＞＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
【跟踪训练】
解析： 　如图，由题意得 ＝ ＋ ＝ a －
c ， ＝ － ＝ － ＝ b － a ，∴｜
｜＝ ＝ ，｜ ｜＝
＝ ，且 · ＝（ a － c ）·（ b
－ a ）＝ a · b － a2－ b · c ＋ a · c ＝－1，∴ cos ＜
， ＞＝ ＝ ＝－ ，∴＜
， ＞＝120°.
2. 已知正方形 ABCD ， ABEF 的边长均为1，且平面 ABCD ⊥平面
ABEF ，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若｜ CM ｜＝｜
BN ｜＝ a （0＜ a ＜ ）.
（1）求线段 MN 的长；
解： 由已知得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ （ ＋ ）－ ＋ ·（－ ＋ ）＝
＋ ，
∴｜ ｜＝
＝
＝
＝ （0＜ a ＜ ）.
即 MN 的长度为 （0＜ a ＜ ）.
（2）当 a 为何值时，线段 MN 最短？
解： 由（1）知当 a ＝ ，即 M ， N 分
别是 AC ， BF 的中点时， MN 的长度最小，
最小值为 .
1. 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列各组向量的夹角为
45°的是（　　）
2. 已知棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的上底面 A1 B1 C1 D1的中心
为 O1，则 · ＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋
（ ＋ ）， ＝ ＋ ，则 · ＝ （｜ ｜2＋｜
｜2）＝1，故选C.
3. （多选）设 a ， b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确
的有（　　）
A. a2＝｜ a ｜2
C. （ a · b ）2＝ a2· b2
D. （ a － b ）2＝ a2－2 a · b ＋ b2
解析： 　由数量积的性质和运算律可知A、D正确.
4. 已知空间中四点 A ， B ， E ， C ，若 · ＝ · ，则
.（填“⊥”“∥”或“＝”）.
解析：∵ · ＝ · ，∴ ·（ － ）＝ · ＝0.
∴ ⊥ .
⊥　
5. 若四面体 P - ABC 各棱长都为2， M ， N 分别为 PA ， BC 的中点，
则｜ ｜＝ .
解析：如图，连接 PN ，∵ ＝ － ＝ （
＋ ）－ ＝ （ ＋ － ），∴｜ ｜
＝ ｜ ＋ － ｜＝ ｜ － － ｜，
又｜ － － ｜2＝ ＋ ＋ －2
· －2 · ＋2 · ＝22＋22＋22－
2×2×2× －2×2×2× ＋2×2×2× ＝8，∴｜
｜＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知两异面直线的方向向量分别为 a ， b ，且｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，
a · b ＝－ ，则两直线的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　设向量 a ， b 的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝－ ，所以
θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝
60°.
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2. 已知 a ， b 是异面直线，且 a ⊥ b ， e1， e2分别为取自直线 a ， b 上的
单位向量，且 m ＝2 e1＋3 e2， n ＝ ke1－4 e2， m ⊥ n ，则实数 k 的值
为（　　）
A. －6 B. 6
C. 3 D. －3
解析： 　由 m ⊥ n ，得 m · n ＝0，∴（2 e1＋3 e2）·（ ke1－4 e2）＝
0.∴2 k －12＝0.∴ k ＝6.
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3. 已知向量 a ， b 满足｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝ ，且 a 与2 b － a 互相垂
直，则 a 在 b 方向上的投影数量为（　　）
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解析： 　根据 a 与2 b － a 互相垂直，得 a ·（2 b － a ）＝0，即2 a · b
＝｜ a ｜2＝4，解得 a · b ＝2，∴ cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ ＝
，∴＜ a ， b ＞＝ ，∴ a 在 b 方向上投影数量为｜ a ｜ cos ＜ a ，
b ＞＝2× ＝ .
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4. 设正四面体 A - BCD 的棱长为 a ， E ， F 分别是 BC ， AD 的中点，则
· ＝（　　）
C. a2
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解析： 　由题意，作出正四面体 A - BCD ，如图所
示.因为 E ， F 分别是 BC ， AD 的中点，所以 ＝
（ ＋ ）， ＝ .又因为正四面体 A - BCD
的棱长都为 a ，所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞
＝60°，故 · ＝ （ ＋ ）· ＝
（ · ＋ · ）＝ （ a2 cos 60°＋ a2 cos
60°）＝ a2.故选A.
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5. 若 a ， b ， c 是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中成立的是
（　　）
A. ｜ a ＋ b ｜＝｜ b － a ｜
B. （ a ＋ b ）· c ＝ a ·（ b ＋ c ）
C. λ（ a ＋ b ）＝λ a ＋λ b
D. b ＝λ a
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解析：　由向量加法的平行四边形法则，只有 a ⊥ b ，即 a · b ＝0
时，有｜ a ＋ b ｜＝｜ b － a ｜，A不成立；由数量积的运算律有（ a
＋ b ）· c ＝ a · c ＋ b · c ， a ·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c ， a · b 与 b · c 不一
定相等，B不成立；由向量数乘法则，C一定成立；只有 a ， b 共线
且 a ≠0时，才存在λ，使得 b ＝λ a ，D不成立.故选C.
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6. （多选）如图所示，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为 a ，对角线
AC1和 BD1相交于点 O ，则有（　　）
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解析： 　连接 A1 D （图略），则 · ＝ · ＝｜
｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ a × a × cos 60°＝
a2，A正确. · ＝ ·（ ＋ ＋ ）＝ ＋ · ＋
· ＝ a2，故B错误. · ＝ · ＝ ·（ ＋ ＋
）＝ （ ＋ · ＋ · ）＝ ＝ ｜ ｜2＝
a2，C正确. · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝
－ a2，D错误.
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7. 如图，在正四棱台 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O ， O1分别是对角线 AC ，
A1 C1的中点，则＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞＝ .
0°　
90°　
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解析：由题意得 ， 方向相同，是在同一条直线 AC 上，故＜
， ＞＝0°；由题意知 OO1是正四棱台 ABCD - A1 B1 C1 D1的
高，故 OO1⊥平面 A1 B1 C1 D1，所以 OO1⊥ A1 B1，故＜ ，
＞＝90°.
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8. 如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，过顶点 A 的三条棱的长
均为2，且两两所成角均为60°，则｜ ｜＝ 　2 　.
2 　
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解析：设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，∴｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜
＝2，＜ a ， b ＞＝＜ a ， c ＞＝＜ c ， b ＞＝60°，∴ a2＝ b2＝ c2＝
4， a · b ＝ b · c ＝ c · a ＝2×2 cos 60°＝2.∴｜ ｜2＝｜ a ＋ b ＋
c ｜2＝｜ a ｜2＋｜ b ｜2＋｜ c ｜2＋2 a · b ＋2 a · c ＋2 c · b ＝24，∴｜
｜＝2 .
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9. 已知向量 a ， b ，｜ a ｜＝6，｜ b ｜＝8，＜ a ， b ＞＝120°，则 a
在 b 上的投影向量为 　－ b 　， b 在 a 上的投影向量为 　－ a 　.
解析：由题可得与向量 a ， b 同方向的单位向量分别为 ，
，｜ a ｜＝6，｜ b ｜＝8，＜ a ， b ＞＝120°，根据投影向量
的定义，则 a 在 b 上的投影向量为｜ a ｜ cos ＜ a ， b ＞· ＝
＝－ b ， b 在 a 上的投影向量为｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞ ＝
＝－ a .
－ b 　
－ a 　
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10. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AA1＝2， AD ＝4， E 为侧面
AA1 B1 B 的中心， F 为 A1 D1的中点，求下列向量的数量积：
（1） · ；
· ＝ ·（ ＋ ）＝ b ·［ （ c － a ）＋
b ］＝｜ b ｜2＝42＝16.
解：如图，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝
c ，则｜ a ｜＝｜ c ｜＝2，｜ b ｜＝4， a · b
＝ b · c ＝ c · a ＝0.
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（2） · .
解： · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ·（ a ＋ c ）＝｜ c ｜2－｜ a ｜2＝22－22＝0.
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11. 如图，在三棱锥 A - BCD 中， DA ， DB ， DC 两两垂直，且 DB ＝
DC ， E 为 BC 的中点，则 · ＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析： 　∵ · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ （ －
＋ － ）·（ － ）＝ （ －2 ＋ ）·（
－ ）＝ · － － · ＋ · ＋ －
· ，由题意知 · ＝0， · ＝0， · ＝0，｜
｜＝｜ ｜，∴ · ＝0.
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12. 设 A ， B ， C ， D 是空间不共面的四点，且满足 · ＝0，
· ＝0， · ＝0，则△ BCD 是（　　）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
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解析： 　∵ ＝ － ， ＝ － ，∴ · ＝
（ － ）·（ － ）＝ · － · － · ＋｜
｜2＝｜ ｜2＞0，∴ cos ∠ CBD ＝ cos ＜ ， ＞＝
＝ ＞0，∴∠ CBD 为锐角，同理，∠ BCD 与
∠ BDC 均为锐角，∴△ BCD 为锐角三角形.
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13. （多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD - A1 B1 C1
D1，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角
都是60°，下列说法中不正确的是（　　）
A. AC1＝6
B. AC1⊥ BD
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解析： 　对于A， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，
∴ ＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 ·
＝36＋36＋36＋2×6×6× cos 60°＋2×6×6× cos 60°＋
2×6×6× cos 60°＝216，所以｜ ｜＝ ＝6 ，选项A
错误；对于B， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ － ）＝
· ＋ ＋ · － － · － · ＝6×6×
cos 60°＋36＋6×6× cos 60°－36－6×6× cos 60°－6×6× cos
60°＝0，所以 · ＝0，即 AC1⊥ BD ，选项B正确；对于C，向量 与 的夹角是180°－60°＝120°，所以向量 与 的夹角也是120°，选项C错误；
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对于D， ＝ ＋ － ， ＝ ＋ ，｜ ｜2＝（
＋ － ）2，所以｜ ｜＝
＝6 ，
同理，可得｜ ｜＝6 ，又 · ＝（ ＋ － ）·（
＋ ）＝18＋18－36＋36＋18－18＝36，所以 cos ＜ ， ＞＝
＝ ＝ ，选项D错误.故选A、C、D.
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14. 如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱， AB 是一条侧棱， Pi
（ i ＝1，2，…，10）是正方体其余的10个顶点，则 · （ i ＝
1，2，…，10）的不同值的个数为 .
2　
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解析：当 i ＝1，2，3，4，5时， ⊥ ，故 · ＝0，当 i ＝
6，7，8，9，10时， ＝ ＋ ，∴ · ＝ ·（ ＋
）＝ ＋ · ，∵ ⊥ ，∴ · ＝0，∴ · ＝1，∴ · （ i ＝1，2，…，10）的不同值的个数为2.
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15. 如图，在空间四边形 OABC 中，2 ＝ ，点 E 为 AD 的中点，
设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c .
（1）试用向量 a ， b ， c 表示向量 ；
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解： ∵2 ＝ ，
∴ ＝ ＝ （ － ）＝ （ c －b ），
故 ＝ ＋ ＝ b ＋ （ c － b ）＝ b ＋ c ，
∵点 E 为 AD 的中点，故 ＝ （ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c .
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（2）若 OA ＝ OC ＝3， OB ＝2，∠ AOC ＝∠ BOC ＝∠ AOB ＝
60°，求 · 的值.
解：由题意得 a · c ＝ ， a · b ＝3，
c · b ＝3， ＝ c － a .
故 · ＝ ·（ c － a ）＝
－ a2＋ c2＋ a · c ＋ b · c － b · a ＝
－ ×9＋ ×9＋ × ＋ ×3－ ×3＝－ .
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16. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，以点 A 为
圆心， r 为半径作圆，如图所示，其中 PQ 为圆 A 的直径，求
· 的最大值（用 a ， b ， c ， r 及∠ BAC 的代数式表示）.
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解：∵ ＝ － ， ＝ － ＝－ － ，∴ ·
＝（ － ）·（－ － ）＝（－ · ）＋ · －
＋ · ＝ · － r2＋ ·（ － ）＝ · － r2＋
· ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ BAC － r2＋ · ＝ bc · cos ∠
BAC － r2＋ · .当 与 同向时， · 取最大值，为｜
｜｜ ｜＝ ra ，即当 与 共线且同向时， · 有最大
值 bc cos ∠ BAC ＋ ar － r2.
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